Метод імовірнісних твірних функцій (аналітичний метод) (реферат)

РЕФЕРАТ На тему:

Метод імовірнісних твірних функцій (аналітичний метод) У темі досліджувалися системи обслуговування, до яких над­ходив один пуассонівський потік вимог, а тому ймовірнісні моделі цих систем мали просту структуру й основні числові характеристики для них визначалися шляхом нескладних алгебраїчних перетворень із використанням умови нормування.

Отже, особливих труднощів під час розв’язування задач такого класу не виникало.

Задача значно ускладнюється, якщо до системи обслуговування надходять два і більше пуассонівські потоки, для котрих, здебільшого, вводиться певна черговість обслуговування вимог, що можуть здійснювати не один, а кілька приладів. Тоді у стаціонарному режимі ймовірнісну модель буде подано системою лінійних алгебраїчних рівнянь високого порядку відносно ймовірностей станів системи. Розв’язати таку систему рівнянь методами, які застосовувалися в попередніх задачах, а також класичними методами лінійної алгебри досить складно, а іноді й неможливо.

Існує аналітичний метод розв’язування таких систем — метод твірних функцій, які називають імовірнісними твірними функціями.

Метод імовірнісних твірних функцій дає змогу звести систему лінійних алгебраїчних рівнянь високого порядку до системи функціональних рівнянь відносно ймовірнісних твірних функцій значно нижчого порядку. Розв’язуючи цю спрощену систему, знаходимо аналітичний вираз зазначених функцій, за допомогою якого визначаються основні числові характеристики.

Спинимося докладніше на понятті ймовірнісних твірних функцій та їх основних властивостях. Поняття ймовірнісних твірних функцій уже розглядалось у темі 5. Тепер приділимо йому значно більше уваги.

6.1. Імовірнісні твірні функції та їх властивості.

Як уже наголошувалося в темі 5, збіжний степеневий ряд виду.

$$A(x)=p_0+{\text{xp}}_1+x^2{p}_2+x^3{p}_3+\text{.}\text{.}\text{.}+x^k{p}_k+\text{.}\text{.}\text{.}=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^k{p}_k$$ (245).

називають імовірнісною твірною функцією, де $$|x|<=1$$, $$p_k$$ — імовірність того, що система містить k вимог.

Основні властивості $$A(x)$$ :

1. Оскільки.

$$A(x)=p_0+{\text{xp}}_1+x^2{p}_2+x^3{p}_3+\text{.}\text{.}\text{.}+x^k{p}_k+\text{.}\text{.}\text{.},$$.

то $$p_0=A(0)-p_1=A^{\text{'}}(0)-p_2=\frac{A^{\text{'}\text{'}}(0)}{2!}-p_3=\frac{A^{\text{'}\text{'}\text{'}}(0)}{3!}-\text{.}\text{.}\text{.}$$.

$$p_k=\frac{A^{(k)}(0)}{k!}$$. (246).

2. Оскільки $$A(x)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^k{p}_k$$, то.

$$A^{\text{'}}(x)={\text{kx}}^{k-1}{p}_k$$ і за х = 1 дістаємо, що $$A^{\text{'}}(1)={\text{kp}}_k$$. З того, що $$k=x_k$$, випливає:

$$M(x)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{\text{kp}}_k=A^{\text{'}}(1)$$. (247).

3. Оскільки $$A^{\text{'}\text{'}}(1)=k(k-1)p_k=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{k}^2{p}_k-\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{\text{kp}}_k$$ ,.

то.

$$M(x^2)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{k}^2{p}_k=A^{\text{'}\text{'}}(1)+A^{\text{'}}(1)\text{.}$$ (248).

Тоді.

$$D(x)=A^{\text{'}\text{'}}(1)+A^{\text{'}}(1)-{\left(A^{\text{'}}(1)\right)}^2$$. (249).

Якщо в систему надходять два пуассонівські потоки, то ймовірнісна твірна функція в цьому разі має такий вигляд:

$$A(x,y)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\underset{j=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^i{y}^j{p}_{\text{ij}},$$ (250).

де $$|x|<=\mathrm{1,}|y|<=1$$, $$p_{\text{ij}}$$ є ймовірність того, що система містить і вимог першого пуассонівського потоку і j вимог другого пуассонівського потоку.

Для системи обслуговування, до якої надходять три пуассонівські потоки, імовірнісна твірна функція подається таким збіжним степеневим рядом.

$$A(x,y,z)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\underset{j=0}{\overset{\mathrm{}}{}}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^i{y}^j{z}^k{p}_{\text{ijk}}$$, (251).

де $$|x|<=\mathrm{1,}|y|<=\mathrm{1,}|z|<=1$$, $$p_{\text{ijk}}$$ — імовірність того, що система містить i вимог першого пуассонівського потоку, j вимог другого і k вимог третього такого потоку.

2. Імовірнісна модель (М/М/1).

Розглянемо найпростішу систему з одним обслуговуючим приладом, до якої надходить один пуассонівський потік вимог із інтенсивністю Час обслуговування вимоги є випадковою величиною, що розподілена за експоненціальним законом із параметром При цьому кількість вимог, які можуть перебувати в системі, не обмежується.

У стаціонарному режимі роботи система подається ймовірнісною моделлю такого виду:

$$\begin{array}{c}1\text{.}{\mathit{}}_0={\mathit{}}_1,\\ 2\text{.}(+)p_k={\mathit{}}_{k+1}+{\mathit{}}_{k-1},k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ (252).

Безперечно, для визначення основних числових характеристик системи можна скористатися методами, що застосовувалися в попередніх задачах. Проте з метою наочності скористаємося для цієї задачі методом імовірнісних твірних функцій.

Нехай $$A(x)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^k{p}_k$$ .

Тоді $$A(1)+p_0=1$$, оскільки це умова нормування.

Помноживши друге рівняння системи на $$x^k,$$ дістанемо:

$$\begin{array}{c}1\text{.}{\mathit{}}_0={\mathit{}}_1,\\ 2\text{.}(+)x^k{p}_k={\mathit{}}^k{p}_{k+1}+{\mathit{}}^k{p}_{k-1},k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ (253).

Додамо перше та друге рівняння системи і виконаємо підсумування за k:

$${\mathit{}}_0+\left(+\right)\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^k{p}_k=\frac{}{x}\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^k{p}_k+{\text{xp}}_0+\mathit{}\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^k{p}_k->$$.

$$->{\mathit{}}_0+\left(+\right)A(x)=\frac{}{x}A(x)+{\text{xp}}_0+\text{xA}(x)->$$.

$$->\left[(1-x)+\left(1-\frac{1}{x}\right)\right]A(x)=(x-1)p_0->$$.

$$->A(x)=\frac{(x-1)p_0}{(1-x)+\left(1-\frac{1}{x}\right)}->$$.

$$A(x)=\frac{{\mathit{}}_0}{\frac{1}{x}-}=\frac{{\mathit{}}_0}{\frac{1}{x}-}=\frac{{\text{xp}}_0}{1-\mathit{}}$$, $$=\frac{}{}$$ .

За х = 1 маємо.

$$A(1)=\frac{}{1-}{p}_0$$ .

Згідно з умовою нормування маємо:

$$A(1)+p_0=1->\frac{}{1-}{p}_0+p_0=1->p_0=1-$$ ,.

$$A(1)=\frac{}{1-}(1-)=$$ .

Отже, дістали:

імовірність того, що система простоюватиме (відсутні вимоги), така:

$$p_0=1-$$ — (254).

імовірність того, що система зайнята обслуговуванням вимог, становить.

$$A(1)=\text{.}$$ (255).

Щоб визначити М, скористаємося (247):

$$M=A^{\text{'}}(x){|}_{x=1}={\left(\frac{{\text{xp}}_0}{1-\mathit{}}\right)}_{x=1}^{}={\left(\frac{(1-\mathit{})+{}^{2}x}{(1-\mathit{}{)}^2}{p}_0\right)}_{x=1}=$$.

$$=\frac{-{}^2+{}^2}{(1-{)}^2}{p}_0=\frac{}{(1-{)}^2}{p}_0=\frac{}{(1-{)}^2}(1-)=\frac{}{1-}$$ .

Отже, математичне сподівання кількості вимог, що перебувають у системі:

$$M=\frac{}{1-}$$ .

Для систем обслуговування розглядуваного класу визначаємо такі числові характеристики:

• ередню кількість вимог потоку, що перебуває в черзі:

$$\begin{array}{c}L=M-A(1)->\\ L=\frac{}{1-}--\end{array}$$ (256).

• ередній час перебування вимог у системі:

$$T=\frac{M}{}=\frac{}{}-$$ (257).

• ередній час перебування вимоги в черзі:

$$T^{}=\frac{L}{}\text{.}$$ (258).

3. Імовірнісна модель системи (М/М/1).

із ненадійним приладом обслуговування В одноканальну систему обслуговування надходить пуассонівський потік вимог із інтенсивністю час обслуговування яких є випадковою величиною, що має експоненціальний закон розподілу з параметром Канал (прилад) обслуговування з деяких причин виходить із ладу. При цьому поломка каналу як подія відбувається у випадкові моменти часу, утворюючи пуассонівський потік із параметром Час, що витрачається на відновлення каналу до роботоздатного стану, розглядається як випадкова величина, що має експоненціальний закон розподілу із параметром /p>

Позначимо $$p_k(t)$$ імовірність того, що в момент часу t в системі перебуває k вимог і канал перебуває в роботоздатному стані- $$R_k(t)$$ — імовірність того, що в системі перебуває k вимог і канал перебуває у стані ремонту. При цьому, у стані ремонту каналу, до системи продовжують надходити нові вимоги. Імовірнісна модель має такий вигляд:

$$\begin{array}{c}{p}_0^{\text{'}}(t)=-{\mathit{}}_0(t)+{\mathit{}}_1(t)+{}_0{R}_0(t)-\\ p_k^{\text{'}}(t)=-(+)p_k(t)+{\mathit{}}_{k+1}(t)+{\mathit{}}_{k-1}(t)+{}_0{R}_k(t),k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3\text{.}\text{.}\text{.}-\\ R_0^{\text{'}}(t)=-(+{}_0)R_0(t)+{}_0{p}_0(t)-\\ R_k^{\text{'}}(t)=-(+{}_0)R_k(t)+{}_0{p}_k(t)+{\mathit{}}_{k-1}(t),k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ (259).

У стаціонарному режимі система (259) набирає такого вигляду:

$$\begin{array}{c}1\text{.}{\mathit{}}_0={\mathit{}}_1+{}_0{R}_0,\\ 2\text{.}(+)p_k={\mathit{}}_{k+1}+{\mathit{}}_{k-1}+{}_0{R}_k,\\ 3\text{.}(+{}_0)R_0={}_0{p}_0,\\ 4\text{.}(+{}_0)R_k={}_0{p}_k+{\mathit{}}_{k-1}\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ (260).

Нехай $$A_1(x)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^k{p}_k$$, $$A_2(x)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^k{R}_k$$ .

Помножимо друге і четверте рівняння на $$x^k$$ і просумуємо рівняння за k. Дістанемо систему функціональних рівнянь відносно ймовірнісних твірних функцій $$A_1(x),A_2(x)$$ такого вигляду:

$$\begin{array}{c}\left[{}_0+(1-x)+\left(1-\frac{1}{x}\right)\right]A_1(x)-{}_0{A}_2(x)=\left[(x-1)-{}_0\right]p_0,\\ \left[{}_0+(1-x)\right]A_2(x)-{}_0{A}_1(x)={}_0{p}_0\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ (261).

Розв’язуючи систему (261), маємо:

$$A_1(x)=\frac{\left[{}_0-{}^2(x-1)+{}_0{}_1\right]{\text{xp}}_0}{\left[{}_0+(1-x)+{}^2(x-1)x-{}_0\mathit{}-{}_0\mathit{}\right]},$$ (262).

$$A_2(x)=\frac{{}_0{p}_0}{\left[{}_0+(1-x)+{}^2(x-1)x-{}_0\mathit{}\right]-{}_0\mathit{}}\text{.}$$ (263).

Із (262) і (263) знаходимо:

$$A_1(1)=\frac{(1+{}_0)}{1--{}_0}{p}_0$$ — $$A_2(1)=\frac{{}_0{p}_0}{1--{}_0}\text{.}$$.

За умовою нормування маємо:

$$A_1(1)+A_2(1)+p_0=1$$ ,.

звідки.

$$\frac{(1+{}_0)}{1--{}_0}{p}_0+\frac{{}_0}{1--{}_0}{p}_0+1=1->$$.

$$->p_0=\frac{1--{}_0}{1+{}_0}=K_{Г}(1--{}_0)$$. (264).

Тут $$K_{}=\frac{1}{1+{}_0}$$ називають коефіцієнтом готовності системи. Скориставшись виразом для $$p_0,$$ дістанемо:

$$A_1(1)=\frac{(1+{}_0)}{1--{}_0}{p}_0\frac{1--{}_0}{1+{}_0}=-$$.

$$A_2(1)=\frac{{}_0}{1--{}_0}\frac{1--{}_0}{1+{}_0}=\frac{{}_0}{1+{}_0}=K_{}{}_0\text{.}$$.

Отже, маємо:

• мовірність того, що система перебуває у роботоздатному стані.

$$A_1(1)=-$$ (265).

• мовірність того, що система перебуває у стані ремонту.

$$A_2(1)=K_{}{}_0\text{.}$$ (266).

Для визначення решти числових характеристик застосуємо формули (262) — (265).

Так, для визначення математичного сподівання кількості вимог, що перебувають у системі, необхідно знайти $$A_1^{\text{'}}(1),A_2^{\text{'}}(1)$$ :

$$A_1^{\text{'}}(1)=\frac{(1+{}_0)-(2+{}_0)}{(1--{}_0)(1+{}_0)},$$ (267).

$$A_2^{\text{'}}(1)=\frac{{}_0-{}_0{}^2+{}_0^2+{}_0}{(1--{}_0)(1+{}_0)}\text{.}$$ (268).

Отже, одержали:

$$M=A_1^{\text{'}}(1)+A_2^{\text{'}}(1)$$. (269).

Тут $${}_0=\frac{}{{}_0}$$ — $$=\frac{}{}$$ — $$=\frac{}{{}_0}$$ .

4. Імовірнісна модель (М/М/1).

із двома пуассонівськими потоками вимог:

1) із надійним каналом (приладом) обслуговування.

В одноканальну систему надходять два пуассонівські потоки вимог із параметрами $${}_1,{}_2$$, час обслуговування яких є випадковою величиною, що має експоненціальний закон розподілу з відповідними параметрами $${}_1,{}_2$$. Параметри $${}_1,{}_1$$ стосуються вимог першого потоку, $${}_2,{}_2$$ — другого потоку.

Вимоги першого потоку користуються так званим відносним пріоритетом щодо вимог другого потоку, який називають простим, а саме: коли в системі перебувають вимоги обох потоків і канал обслуговує вимогу простого потоку, то після його завершення перевагу в наступному обслуговуванні надають вимогам першого, пріоритетного потоку. Перший канал обслуговує їх до повної ліквідації черги цього потоку й лише потім починає обслуговувати вимоги простого потоку, коли вони перебувають у черзі. Якщо в системі немає вимог першого і другого потоків, то канал налаштовується на обслуговування вимог простого потоку.

Позначимо $$p_{i,k}(t)$$ імовірність того, що в момент часу t у системі перебуває i вимог простого потоку та k вимог пріоритетного і канал обслуговує вимогу простого потоку;

$$Q_{i,k}(t)$$ — імовірність того, що в момент часу t у системі перебуватиме і вимог простого потоку, k вимог пріоритетного і канал обслуговує вимогу пріоритетного потоку.

Імовірнісна модель динамічного стану системи набере такого вигляду:

1. $$p_{\text{00}}^{\text{'}}(t)=-({}_1+{}_2)p_{\text{00}}(t)+{}_1{Q}_{\text{01}}(t)+{}_2{p}_{\mathrm{1,0}}(t)$$ ,.

2. $$p_{\mathrm{1,0}}^{\text{'}}(t)=-({}_1+{}_2+{}_2)p_{\mathrm{1,0}}(t)+{}_1{Q}_{\mathrm{1,1}}(t)+{}_2{p}_{\mathrm{2,0}}(t)+{}_2{p}_{\mathrm{0,0}}(t)$$ ,.

3. $$p_{\mathrm{1,}k}^{\text{'}}(t)=-({}_1+{}_2+{}_2)p_{\mathrm{1,}k}(t)+{}_1{p}_{\mathrm{1,}k-1}(t),k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\text{.}\text{.}\text{.}$$, (270).

4. $$p_{i+\mathrm{1,}k}^{\text{'}}(t)=-({}_1+{}_2+{}_2)p_{i+\mathrm{1,}k}(t)+{}_1{p}_{i+\mathrm{1,}k-1}(t)+{}_2{p}_{i,k}(t),$$.

$$i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{.}\text{.}\text{.}k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{.}\text{.}\text{.}$$ ,.

5. $$Q_{\mathrm{0,}k}^{\text{'}}(t)=-({}_1+{}_2+{}_1)Q_{\mathrm{0,}k}(t)+{}_1{Q}_{\mathrm{0,}k-1}(t)+{}_1{Q}_{\mathrm{0,}k+1}(t)+{}_2{p}_{\mathrm{1,}k}(t)$$, (260).

6. $$Q_{i\mathrm{,\; 1}}^{\text{'}}(t)=-({}_1+{}_2+{}_1)Q_{i\mathrm{,\; 1}}(t)+{}_1{Q}_{i\mathrm{,\; 2}}(t)+{}_2{Q}_{i-\mathrm{1,1}}(t)+{}_2{p}_{i+\mathrm{1,1}}(t)$$ ,.

7. $$Q_{i,k+1}^{\text{'}}(t)=-({}_1+{}_2+{}_1)Q_{i,k+1}(t)+{}_1{Q}_{i,k+2}(t)+{}_2{Q}_{i-\mathrm{1,}k+1}(t)+$$.

$$+{}_1{Q}_{i,k}(t)+{}_2{p}_{i+\mathrm{1,}k+1}(t)$$ .

У стаціонарному режимі диференціально-різницева система рівнянь (270) переходить у лінійну однорідну систему алгебраїчних рівнянь, яка набирає такого вигляду:

1. $$({}_1+{}_2)p_{\text{00}}={}_1{Q}_{\mathrm{0,1}}+{}_2{p}_{\mathrm{1,0}}$$ ,.

2. $$({}_1+{}_2+{}_2)p_{\mathrm{1,0}}={}_1{Q}_{i\mathrm{,\; 1}}+{}_2{p}_{i+\mathrm{1,0}}+{}_2{p}_{i-\mathrm{1,0}}$$ ,.

3. $$({}_1+{}_2+{}_2)p_{\mathrm{1,}k}={}_1{p}_{\mathrm{1,}k-1},$$.

4. $$({}_1+{}_2+{}_2)p_{i+\mathrm{1,}k}={}_2{p}_{i,k}+{}_1{p}_{i+\mathrm{1,}k-1}$$ ,.

5. $$({}_1+{}_2+{}_1)Q_{\mathrm{0,}k}={}_1{Q}_{\mathrm{0,}k-1}+{}_1{Q}_{\mathrm{0,}k+1}+{}_2{p}_{\mathrm{1,}k}$$, (271).

6. $$({}_1+{}_2+{}_1)Q_{i\mathrm{,\; 1}}={}_1{Q}_{i\mathrm{,\; 2}}+{}_2{Q}_{i-\mathrm{1,1}}+{}_2{p}_{i+\mathrm{1,1}}$$ ,.

7. $$({}_1+{}_2+{}_1)Q_{i,k+1}={}_1{Q}_{i,k+2}+{}_2{Q}_{i-\mathrm{1,}k+1}+$$ $${}_1{Q}_{i,k}+{}_2{p}_{i+\mathrm{1,}k+1}$$ .

Систему (271) розв’язуємо методом імовірнісних твірних функцій.

Нехай.

$$A(x,y)=A_1(x,y)+A_2(x,y)+p_{\mathrm{0,0}},$$ (272).

де.

$$A_1(x,y)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^i{y}^k{p}_{\text{ik}},$$ (273).

$$A_2(x,y)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{}}{}}\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^i{y}^k{Q}_{i,k}\text{.}$$ (274).

Тут $$A_1(x,y),A_2(x,y)$$ — так звані часткові ймовірні твірні функції.

$$A_1(\mathrm{1,}1)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{p}_{\text{ik}}$$ — імовірність того, що в системі перебуває і вимог простого потоку та k вимог пріоритетного потоку і система обслуговує вимогу простого потоку;

$$A_2(\mathrm{1,}1)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{}}{}}\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{Q}_{i,k}$$ — імовірність того, що в системі перебуває і вимог простого потоку та k вимог пріоритетного і система обслуговує вимоги цього потоку.

Помножимо друге рівняння системи (271) на $$x^i$$, третє - на $${\text{xy}}^k$$, четверте — на $$x^{i+1}{y}^k$$, п’яте — на $$y^k$$, шосте та сьоме — відповідно на $$x^{i}y$$ та $$x^i{y}^{k+1}$$ і підсумуємо за індексами і та k. У результаті дістанемо систему функціональних рівнянь відносно часткових імовірнісних твірних функцій виду:

$$\begin{array}{c}\left[{}_1(1-y)+{}_2(1-x)+{}_2\right]A_2(x,y)=\left[{}_2(x-1)-{}_1\right]p_{\mathrm{0,0}}+{}_{1}A(x),\\ \left[{}_1(1-y)+{}_2(1-x)+{}_1\left(1-\frac{1}{y}\right)\right]A_1(x,y)-\frac{{}_2}{x}{A}_2(x,y)={}_1{\text{yp}}_{\mathrm{0,0}}-{}_{1}A(x),\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ (275).

де $$A(x)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^i{Q}_{i\mathrm{,\; 1}}+{}_{\text{21}}\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{x}^i{p}_{i0}$$. Тут $${}_{\text{21}}=\frac{{}_2}{{}_1}$$, що настає внаслідок формування часткових імовірнісних твірних функцій $$A_1(x,y),$$ $$A_2(x,y)\text{.}$$.

Зі здобутої системи функціональних рівнянь (275) дістаємо:

$$A_1(x,y)=\frac{\left[{}_1{}_2(1-x)-{}_1{}_{1}x(1-y)-{}_1{}_{2}x(1-x)\right]A(x)}{\left[{}_1(1-y)+{}_2(1-x)+{}_1\left(1-\frac{1}{y}\right)\right]\left[{}_1(1-y)+{}_2(1-x)+{}_2\right]x}+$$.

$$+\frac{\left[{}_2{}_2(x-1)-{}_1{}_2\text{xy}(1-x)+{}_1^2\text{xy}(1-y)+{}_2{}_1(\text{xy}-1)\right]p_{\text{00}}}{\left[{}_1(1-y)+{}_2(1-x)+{}_1\left(1-\frac{1}{y}\right)\right]\left[{}_1(1-y)+{}_2(1-x)+{}_2\right]x}$$ — (276).

$$A_2(x,y)=\frac{{}_{1}A(x)+\left[{}_2(x-1)-{}_1\right]p_{\text{00}}}{{}_1(1-y)+{}_2(1-x)+{}_2}$$. (277).

За $$x->\mathrm{1,}y->1$$ знаменник виразу для $$A_1(x,y)$$ набирає нульового значення. Але оскільки $$A_1(x,y)$$ є аналітичною функцією, поданою у вигляді збіжного степеневого ряду за $$|x|<=\mathrm{1,}|y|<=1$$, то корені знаменника (268) будуть також і коренями його чисельника. Справді, знаменник $$A_1(x,y)$$ набирає нульового значення за $$x->\mathrm{1,}y->1$$, коли.

$$\begin{array}{c}{}_1(1-y)+{}_2(1-x)+{}_1\left(1-\frac{1}{y}\right)|\\ x->1\\ y->1\\ {\begin{array}{c}\end{array}}_{}=0\text{.}\end{array}$$ (278).

Із (270) випливає, що за $$x->1$$ значення y також прямує до одиниці. Отже, у буде функцією від х, тобто y = у (х).

Далі нам знадобиться значення $$y^{\text{'}}(1)$$, а тому продиференціюємо (270) за х і спрямуємо $$x->1$$. Тоді.

$$\left(-{}_1{y}^{\text{'}}(x)-{}_2+{}_1\frac{y^{\text{'}}(x)}{y^2}\right){|}_{x->1}=-{}_1{y}^{\text{'}}(1)-{}_2+{}_1{y}^{\text{'}}(1)=0->$$.

$$->y^{\text{'}}(1)=\frac{{}_2}{{}_1-{}_1}=\frac{{}_2}{{}_1(1-{}_1)}\text{.}$$ (279).

Отже, доходимо висновку, що.

$$\left[{}_1{}_2(1-x)-{}_1{}_{1}x(1-y(x))-{}_1{}_1(1-x)\right]A(x)+$$.

$$+\left[{}_2{}_2(x-1)+{}_1{}_2\text{xy}(x)(1-x)+{}_1^2\text{xy}(x)(1-y(x))+{}_2{}_1(\text{xy}(x)-1)\right]p_{\mathrm{0,0}}=0$$ .

Звідси.

$$\begin{array}{c}A(x)=\frac{[{}_2{}_2(1-x)-{}_1{}_{2}xy(x)(1-x)-{}_1^{2}xy(x)(1-y(x))+}{{}_1{}_2(1-x)-{}_1{}_{1}x(1-y(x))-}\\ \frac{+{}_2{}_1(1-xy(x))]p_{\mathrm{0,0}}}{-{}_1{}_2(1-x)}->\end{array}$$.

$$->A(x)=\frac{\left[{}_2{}_2-{}_1{}_{2}xy(x)-{}_1^{2}xy(x)\frac{1-y(x)}{1-x}+{}_2{}_1\frac{1-xy(x)}{1-x}\right]p_{\mathrm{0,0}}}{{}_1{}_2-{}_1{}_1-{}_1{}_2\frac{1-y(x)}{1-x}}\text{.}$$.

Далі.

$$\underset{x->1}{\text{lim}}A(x)=\frac{\left[{}_2{}_2-{}_1{}_2-{}_1^2\underset{x->1}{\text{lim}}\frac{1-y(x)}{1-x}+{}_2{}_1\underset{x->1}{\text{lim}}\frac{1-xy(x)}{1-x}\right]p_{\mathrm{0,0}}}{{}_1{}_2-{}_1{}_1-{}_1{}_2\underset{x->1}{\text{lim}}\frac{1-y(x)}{1-x}}=$$.

$$\begin{array}{c}\text{оскільки}\underset{x->1}{\text{lim}}\frac{1-y(x)}{1-x}=\left(\frac{0}{0}\right),\underset{x->1}{\text{lim}}\frac{1-\text{xy}(x)}{1-x}=\left(\frac{0}{0}\right),\\ \text{то}\text{згідно}з\text{правилом}\text{Лопіталя}\text{дістаємо:}\\ \underset{x->1}{\text{lim}}\frac{1-y(x)}{1-x}=\underset{x->1}{\text{lim}}\frac{-y^{\text{'}}(x)}{-1}=y^{\text{'}}(1)-\underset{x->1}{\text{lim}}\frac{1-\text{xy}(x)}{1-x}=\underset{x->1}{\text{lim}}\frac{-y(x)-x{y}^{\text{'}}(x)}{-1}=1+y^{\text{'}}(1)\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}||||\end{array}\\ =\\ \end{array}$$.

$$=\frac{{}_2{}_2-{}_1{}_2-{}_1^2{y}^{\text{'}}(1)+{}_2{}_1\left(1+y^{\text{'}}(1)\right)}{{}_1{}_2-{}_1{}_2-{}_1{}_1{y}^{\text{'}}(1)}{p}_{\text{00}}=$$.

$$=\frac{{}_2{}_2-{}_1{}_2-{}_1^2\frac{{}_2}{{}_1(1-{}_1)}+{}_2{}_1+{}_2{}_1\frac{{}_2}{{}_1(1-{}_1)}}{{}_1{}_2-{}_1{}_2-{}_1{}_1\frac{{}_2}{{}_1(1-{}_1)}}{p}_{\text{00}}=$$.

$$=\frac{\frac{{}_2{}_2}{{}_1{}_2}-\frac{{}_1{}_2}{{}_1{}_2}+\frac{{}_2{}_1}{{}_1{}_2}+\frac{{}_2{}_1{}_2}{{}_1^2{}_2}\frac{1}{1-{}_1}}{1-\frac{{}_1{}_2}{{}_1{}_2}-\frac{{}_1{}_1{}_2}{{}_1{}_2(1-{}_1)}}{p}_{\text{00}}=$$.

$$=\frac{{}_{\text{21}}{}_2-{}_1{}_2+{}_1+\frac{{}_{\text{21}}{}_1{}_2-{}_1^2{}_2}{1-{}_1}}{1-{}_2-\frac{{}_1{}_2}{1-{}_1}}{p}_{\mathrm{0,0}}=$$.

$$=\frac{{}_{\text{21}}{}_2-{}_{\text{21}}{}_1{}_2-{}_1{}_2+{}_1^2{}_2+{}_1-{}_1^2+{}_{\text{21}}{}_1{}_2-{}_1^2{}_2}{1-{}_1-{}_2+{}_1{}_2-{}_1{}_2}{p}_{\mathrm{0,0}}=$$.

$$=\frac{{}_{\text{21}}{}_2-{}_1{}_2+{}_1-{}_1^2}{1-{}_1-{}_2}{p}_{\mathrm{0,0}}$$ .

Таким чином, маємо:

$$A(1)=\frac{{}_{\text{21}}{}_2-{}_1{}_2+{}_1-{}_1^2}{1-{}_1-{}_2}{p}_{\mathrm{0,0}}$$. (280).

Із (276) і (277) визначаємо:

$$A_1(\mathrm{1,}1)=\frac{{}_1}{1-{}_1-{}_2}{p}_{\mathrm{0,0}},$$ (281).

$$A_2(\mathrm{1,}1)=\frac{{}_2}{1-{}_1-{}_2}{p}_{\mathrm{0,0}}\text{.}$$ (282).

Оскільки $$A_1(\mathrm{1,}1)+A_2(\mathrm{1,}1)+p_{\mathrm{0,0}}=1$$, то.

$$\frac{{}_1}{1-{}_1-{}_2}{p}_{\mathrm{0,0}}$$ + $$\frac{{}_2}{1-{}_1-{}_2}{p}_{\mathrm{0,0}}+p_{\mathrm{0,0}}=1->$$.

$$->p_{\mathrm{0,0}}=1-{}_1-{}_2$$. (283).

Тоді $$A_1(\mathrm{1,}1),A_2(\mathrm{1,}1)$$ набирають такого вигляду:

$$A_1(\mathrm{1,}1)={}_1$$ — (284).

імовірність того, що система зайнята обслуговуванням вимог пріоритетного потоку;