Математичний лад музики

Справжня наука і справжня музика вимагають однорідної розумового процесу. А. Эйнштейн.

Нам відомий пифагоров лад, тобто. математичне вираз интервальных коефіцієнтів, лидийской гами, чи, у сучасній термінології, лад натурального мажору: 1 9 81 4 3 27 243 2.

8 64 3 2 16 128 до ре ми фа сіль ля сі до.

9 9 256 9 9 9 256.

8 8 243 8 8 8 243.

Тут цифри внизу позначають интервальные коефіцієнти сусідніх щаблів гами; нагадаємо, що 9/8 є тон, а 256/243- напівтон. Основні консонансные (консонанс — узгоджене поєднання двох звуків) інтервали в межах октави — квінта і кварти — є відповідно середнім арифметичним та середнім гармонійним частот основного тону і октави. З іншого боку, октава, квінта, кварти і тон утворюють геометричну пропорцію: октава / квінта = кварти / тон.

Отже, музична гама розділена на пропорційні частини: вона буквально пронизана пропорціями, а пропорційність, як знаємо, одна із об'єктивних критеріїв краси. Однак цим математика музичної гами не закінчується, а, скоріш, лише начинается.

Насамперед, з співвідношення видно, що відстані між сусідніми сходами пифагорова ладу неоднакові. Тому, по-перше, від ноти до можна було грати в лидийском ладу, а щоб зіграти від цього ноти, скажімо, в дорийском ладу, потрібно було перебудовувати майже всі струни ліри. По-друге, від ноти ре виходив не лідійський, а фригийский лад і, взагалі, від транспортування кожної нової ноти починався новий лад (7 ладів — за одним на кожну з 7 нот октави). Тому, щоб зіграти мелодію в лидийском ладу від інший ноти (чого, безумовно, вимагали обмежені можливості людського голоси: один співає вище, інший — нижче), ліру, також слід було перебудовувати. (Звісно, якщо все життя витрачати час на одному ладу та однієї тональності, то семи нот в октаві буде предосить. До цього часу чудово обходяться сім'ю звуками деякі гармошки та інші инструменты).

Отже, у тому, щоб матимуть можливість переходити з ладу в лад і з тональності в тональність, лад може бути рівномірним, тобто. мати однаково висотні відстані (интервальные коефіцієнти) між звуками. Здається, що простіше: потрібно розділити кожен тон — інтервал навпіл на два півтони, тобто. одержати ще п’ять додаткових звуків, і шкала пифагорова [pic]строя стане рівномірної. І ось тут і таїлася основна трудность.

Річ у тім, що половині тону (V9/8~1,0607) з точністю не дорівнює полутону (256/243~1,0545). Тому якщо для єдиного масштабу ладу взяти напівтон V9/8, тобто. замінити нею наявні два півтони 256/243, то ці 12 нових півтонів приведуть нас потребу не точно в октаву, а трішки вище: (V9/8) 12=(9/8)6=2,0273. Інтервал між октавою, отриманої кроками по 12- рівномірним півтонів V9/8, і чистої октавою нарівні і з називається пифагоровой коммой (коммой у тій музичній акустиці називається інтервал, не перевищує 1/9 цілого тону. Пифагорова комма приблизно дорівнює 1/9 тона).

Представляючи пифагорову комму як [pic][pic][pic].

мы одержимо ще одне важливий результат: 12 квінт з точністю до пифагоровой коммы рівні 7 октавам.

Але [pic][pic], тобто. новий напівтон містив ірраціональне число V2, якого піфагорійці боялися, як вогню. Взяти настільки «негарне» число в ролі одиниця виміру музичної гами було немислимим для піфагорійців: це суперечило філософії цілочислових відносин. Тому піфагорійці пішли іншим шляхом: як основи музичної гами взяли квінту, гарне число 3/2.

Розглянемо ряд, складений із ступенів числа 3/2: … pic][pic][pic]. .

Виявляється, з допомогою цього гарного симетричного низки можна одержати всі интервальные коефіцієнти пифагорова ладу. Почати з середини деяких обласних і всі отримувані звуки будемо зводити до однієї октаву, примножуючи чи ділячи їх интервальные коефіцієнти на потрібні ступеня числа 2 (интервальный коефіцієнт октавы) ю Нові звуки будемо позначати або найближчим знизу основним звуком з додаванням слова «дієз» () під час руху по квинтам вгору, або найближчим згори основним звуком з додаванням слова «бемоль» () під час руху по квинтам вниз. Це означає відповідно підвищення чи зниження основного звуку. Итак,.

[pic] сіль [pic][pic] [pic][pic] ре [pic][pic] [pic][pic] ля [pic][pic] [pic][pic][pic][pic].

Як кажуть, рухаючись у квинтам угору й униз від основного тону, ми одержали всі щаблі пифагорова ладу, кожна з яких своєю чергою може бути підвищено, знижена, двічі підвищена чи знижена тощо. Процес цей, на жаль, нескінченний. Точного октавного повторення основного тону (до) так і одержимо. (Легко бачити, що сі-діез і ре-бемоль-бемоль збігаються із головною тоном (до) знов-таки з точністю до пифагоровой коммы.) Отже, і розділити октаву на ціла кількість частин цим методом ми сможем.

Отже, бажаючи розділити п’ять [pic]тонов на півтони, ми отримали, по крайнього заходу, 10 проміжних звуков.

Які з цих додаткових звуків взяти: з бемолями чи з диезами"? Для музикантів, граючих на інструментах з нефиксированной заввишки звуків (скрипалів, наприклад), цю проблему годі. Вони і й інші. У результаті звучання скрипки стає виразнішим і контрастним, позаяк у ладі загострюються тяжіння нестійких звуків до стійким. Цим багато чому пояснюється то «чарівне спів» скрипки, яке доступно їй одной.

Що ж до інструментів з фіксованою заввишки звуків, то запровадження 10 додаткових звуків на майже 7 основних занадто б ускладнило і якісь інструменти, і гру ними. Тим паче, що це не решщало остаточно проблему і більш тонші побудови вимагали все більшої кількості звуків. Нині у теорії музики відомо багато ладів із кількістю щаблів від 17 до 84! Але всі вони і залишилися у кабінетах теоретиків. Але практика, керуючись мудрим критерієм простоти (та краси), залишила тільки п’ятьох додаткових звуків: за одним у кожному з цілих тонів. Вони і вони чорними клавішами (додатковими) фортепиано.

Так було в октаві стало 12 звуків. Оскільки кожне подружжя додаткових звуків відрізнялася тільки пифагорову комму (це легко перевірити), їх просто прирівнювали між собою (до-діез стала рівною ре-бемолю тощо.). Таке прирівнювання звуків з однаковим заввишки, але різними назвами теорії музики називається энгармонизмом. Тонкощі ладового звучання були принесено на поталу простоті. Інструменти ж із числом звуків в октаві, перевищують 12, можна лише в музеях. У московському Музеї музичної культури ім. І. Глінки зберігається рояль письменника, музики і музикознавця У. Ф. Одоєвського (1804−1869), у кожному октаві якого 17 клавиш.

Квинтовая ланцюг пифагорова ладу дала найпростіший спосіб настройки інструментів з фіксованою заввишки звуків: органів, клавесинів, фортепіано. Від основного тону (сьогодні з загальному визнанню таким є звук ля першої октави) відкладалося? октав — скелет музичної шкали. Ці октави заповнювалися 12 звуками угору й униз. Які з звуків взяти за додаткові - підвищені чи знижені, — особливого значення не мало. Важливо була інша: пифагорова комма залишалася всередині октави. Її можна було перемістити у будь-яку довільну місце октави, але не можна зробити лише одну: не міг від неї позбутися! І вона продовжувала псувати кров музикантам на протязі століть. Почему?

Якщо взяти пифагоров лад із зниженими додатковими звуками: сі до ре ми фа сіль ля сі до1 .243 1 256 9 32 81 4 1024 3 128 27 16 243 2 512 256 243 8 27 64 3 729 2 81 16 9 128.

243…

то такому ладі все квінти звучатимуть суто (мати интервальный коефіцієнт 3/2), крім однієї. Квінта сі - соль-бемоль матиме интервальный коефіцієнт 1024 / 729: 243 / 256 ~ 1,4798, а чи не 1,5! Від чистої квінти вона відрізняється на пифагорову комму: 1,5 / 1,4798 ~ 10 136. Така квінта на органі видавала пронизливий, неприємний звук, схожий на завивання вовка, внаслідок чого і було прозвана «вовчою квінтою» чи навіть «вовком». Зверненням «вовчою квінти «є «вовча кварти» сільбемоль — сі, що також відрізняється від чистого кварти (4/3 = 1,333…) на пифагорову комму: 243 / 127: 1024 / 729 ~ 1,3515; 1,3515 / 1,3333 ~ 1,0136. Можна сміливо сказати, що історія розвитку музичних ладів була історією боротьби з «вовками». Але звідси — трохи позже.

Нині ж звернемо увагу другого недолік пифагорова ладу. Його зауважив ще у II столітті давньогрецький учений піфагорієць Дидим. Річ у тім, що пифагорова терція (81 / 64) при гармонійному, тобто. одночасному, виконанні обох тонів, їхнім виокремленням терцію, звучить занадто напружено. Дидим запропонував замінити пифагорову терцію (81 / 64) так званої «чистої терцією» (5 /4 = 80 / 64), яка гармонійно звучить значно приємніше, хоча, як нам бачиться, тільки трохи — трохи відрізняється від пифагоровой терції. Різниця пифагоровой і чистої терцій (81 / 64: 80 / 64 = 81 / 80 ~ 1,0125) називається дидимовой коммой і близько равна1 / 10 цілого тона.

Проте ідеї Дидима, хоч як це раз сучёными Стародавню Грецію, випередили історію на півтори тисячі років. Не знайшли підходящої грунту у розвиток, зів'яли, померли і було відроджені аж наприкінці XV века…

…У XIV столітті у Європі отримує стала вельми поширеною орган, став офіційним інструментом католицькій Церкві. З розвитком органу розвивається і багатоголосся, якого знала ні Давня Греція, ні раннє середньовіччя. Протягом століть орган настроювався в пифагоровом ладі. Ніякого іншого ладу середньовіччя знала. Але пифагоровы терції звучали на органі особливо жорстко і давали спокою музыкантам.

У XVI столітті видатний італійський й музичний теоретик Джозеффе Царлино (1517−1590) воскресив ідеї Дидима. Отак виникло новий квинтово — терцовый лад, під назвою чистим строєм. Нове з працею пробиває собі шлях. Вчення Царлино піддалося різким нападкам. Цікаво, що серед тих, хто визнавав вчення Царлино і вів з нею непримиренну боротьбу, був Винченцо Галілей — видатний італійський лютняр і її батько великого революціонера Галілео Галилея.

Чиста терція (5 /4), стала які з квінтою повноправною господинею нового ладу, звучить приємніше пифагоровой. Зазначимо одну разючу закономірність: интервальный коефіцієнт чистої терції (її називають також великий терцією) є середнім арифметичне интервальных коефіцієнтів основного тону (1) і квінти (3 /2): [pic][pic] А доповнення великий терції (5 /4) до квінти (3 /2) — мала терція (3 /2: 5 /4 = 6 /5) — є середнім гармонійним основного тону і квінти: [pic][pic] Обидва ці інтервалу дають приємне звучання; в такий спосіб, закон цілочислових відносин Піфагора розширюється, а всередині музичної гами з’являються ще дві пропорции!

Припускають, що ще Архіт вмів висловлювати велику підтримку і малу терції як середнє арифметичне і гармонійне тону і квінти. Проте письмове свідчення цього ми бачимо лише объёмном праці «Універсальна гармонія» Марена Мерсенна (1588−1648) — ченця францисканского ордена, французького математика, теоретика музики і філософа, який у єзуїтському коледжі Ла Флеш разом із Рене Декартом. Праця Мерсенна — нескінченне дослідження про інтервалах, повне всеосяжних умоглядів. На десяти сторінках величезного формату автор глибокодумно обговорює, наприклад, «чи є унісон консонансом», і водночас вирішує, «як б людина могла підняти землю», тощо. Проте, попри надзвичайну бундючність, яка, втім, була невід'ємною рисою всіх творів на той час, робота Мерсенна містила цікаві ідеї, й прозріння. У частковості, це стосувалося консонантности і пропорцій великий й малої терцій. Сьогодні велику підтримку і малу терції належать до групі недосконалих консонансов.

Та повернімося до робіт Царлино. Визначною заслугою його було лише виявлення консонантности великий терції (5 /4), а й побудова «досконалої гармонії» — об'єднання великий терції і квінти в гармонійне тризвук. То був перший історія музики акорд, а саме тризвук [pic] нині іменується мажорним і є основою всього гармонійного мови музики. З іншого боку, Царлино виявив, що й відкласти самі велику терцію і квінту вниз від основного тону, то забарвлення звучання акорду істотно зміниться. Світлі тону мажору подёргиваются похмурої серпанком іншого звучання — мінору. Наводячи акорд 2/3: 4/5: 1 до основного тону (примножуючи на 3/2, тобто. зсуваючи вгору на квінту), отримуємо мінорний тризвук [pic][pic] Так відкрили закон, відомий сьогодні кожному юному музиканту: зміна великий терції на малу переводить мажорне тризвук в минорное.

Мажорне тризвук робилося в основі чистого ладу. Обрамляючи мажорне тризвук 1: 5/4: 3/2 так само тризвуками зверху і знизу і зводячи множенням і розподілом на 2 побудовані звуки до однієї октаву, отримуємо чистий лад лидийской гами (натурального мажору) до ре ми фа сіль ля сі до1.

1 9 5 4 3 5 15 2.

8 4 3 2 3 8.

9 10 16 9 10 9 16.

8 9 15 8 9 8 15.

Відзначено тони, змінилися проти пифагоровым строєм, цифри внизу позначають інтервали між ступенями.

Як кажуть, числові характеристики чистого ладу простіші. Проте сам лад став менш рівномірним: у ньому, крім півтони 15 /16, з’явилися чи два різновиди цілих тонів 9/8 і 10/9. Знайомі з музичної грамотою, звісно, побачили, що мажорні тризвуку (4:5:6) чистого ладу побудовано на тоніці (до), субдоминанте (фа), і домінанту (соль).

З допомогою цілих тонів 9/8 і 10/9 і півтони 16/15 легко побудувати чистий лад фригийской гаммы:

9 6 4 3 5 16.

1 8 5 3 2 3 9 2.

Тепер стало два розподілу цілих тонів чистого ладу. Чистий лад у історії музики зіграв коротку, але помітну роль. Його звучання стало значно яскравіший від й багатше проти пифагоровым строєм. Чистий лад сприяв формуванню мажорного і мінорного ладів, розвитку музичної гармонії. Но…

Разом із достоїнствами прийшли й недоліки. Все самі ненависні музикантам «вовки» оселилися сьогодні вже не так на додаткових, але в основних щаблях чистого ладу! Легко перевірити, що квінта між II і VI сходами (ре — ля) є справжнім «вовком»: 5/3:9/8 = 27/20 = 1,35:

до ре ми фа сіль ля сі до1 ре1.

.1 9 5 4 3 5 15 2.

9…

8 4 3 2 3 8.

Следовательно, налаштувавши орган в чистому ладі ноти до, наприклад, органіст не міг вже перейти через тональність ре мажор і ре мінор, тобто. у ті тональності, де «вовча квінта» входить у тонічне тризвук і трапляється найбільш часто. Зрозуміло, доводилося виключати й ті тональності, де цей квінта входило у домінанту і субдоминанту, що є основними сходами ладу. Отже, органіст опинявся що називається пов’язаним через руки: модуляції, тобто. переходи, до інших тональності були вкрай обмежені небезпечні, і це позбавляло музику значній своїй частині її виразних средств.

«Вовки» продовжували дошкуляти органістів. З огляду на «досконалої гармонії» чистого ладу це були особливо нестерпно. Кумедний випадок розповідають про французькому композитора і теоретика музики, жагучому приверженце чистого ладу, Жані Рамо (1683−1764). Якось Рамо, бажаючи відмовитися від запропонованої йому посади церковного органіста, випустив з органу стільки «вовків», що навів жахало святих батьків і переконав їх у своїй «безталання». Святі батьки поспішили піти разом із схвальними предложениями.

Проте проблема залишалася. Вигнати «вовків» з органу, тобто. знайти закон побудови нового музичного ладу, отже, і рецепт нової настройки органу, поруч із музикантами безрезультатно намагалися і математики: Кеплер, Декарт, Ляйбніц, Эйлер. Про теорії гармонії Эйлера жартівливо казали, що вона занадто музична для математиків і дуже математична для музыкантов.

І те, який зміг зробити изощрённый розум математика, зробила звичайна кмітливість простого органіста… ———————————;

«вовча кварта».

«вовча квинта».

«волчья кварта».

«вовча квинта».