Теорія імовірності

Поняття ймовірності та зародження науку й про закономірності випадкових явлении.

Випадок, випадковість — з ними зустрічаємося повсякденно: випадкова зустріч, випадкова поломка, випадкова знахідки, випадкова помилка. Цю низку можна продовжувати нескінченно. Здається, тут років місця для математики—какие вже закони в царстві Випадку! Але й тут наука виявила цікаві закономерности—они дозволяють людині впевнено почуватися при зустріч із випадковими событиями.

Як наука теорія ймовірності зародилася в 17 В. Виникнення поняття ймовірності була пов’язана і з потребами страхування, який отримав значного розповсюдження у той епоху, коли помітно росли торговельні зв’язки і морські подорожі, і у зв’язки України із запитами азартних игр.

Слово «азарт», під яким зазвичай розуміється сильне захоплення, гарячність, є транскрипцією французького слова hazard, буквально що означає «випадок», «ризик». Азартними називають ті гри, а яких виграш залежить переважно немає від вміння гравця, як від случайности.

Схема азартних ігор була проста і можна було зазнала всебічному логічному аналізу. Першим спробував цієї своєрідної пов’язані із конкретними іменами відомих учёных—алгебраиста Джероламо Кардана (1501- 1576) и.

Галілео Галілея (1564—1642). Проте честь відкриття цієї теорії, яка лише дає можливість порівнювати випадкові величини, а й виробляти певні математичні операції із нею, належить двом видатними ученым—Блезу Паскалю (1623—1662) і П'єру Ферма. Ще давнини зазначалося, що є явища, які мають особливістю: при малому малому числі спостережень з них немає ніякої правильності, зате принаймні збільшення кількості спостережень все ясніше проявляється певна закономірність. Усе розпочалося із можливостями гри в кости.

Азартні гри практикувалися на той час головним чином з-поміж знаті, феодалів і дворян. Особливо поширеної була гра до кісток. Було виявлено. що з багаторазовому киданні однорідної кубики, всі шість граней якій позначено відповідно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 число очок від 1 до 6 випадають загалом однаково часто, інакше кажучи, висловлюючись мовою математики, випадання певного числа очок має ймовірність, рівну 1/6 (тобто. відношенню числа випадків, благоприятствующих події до загальної кількості всіх випадків "). Аналогічно можливість появи верхній межі кістки чётного числи очок дорівнює 3/6, оскільки з 6 равновозможных випадків чётное число з’являється тільки у трьох. Одне з представників французької знаті на той час, жагучий гравець де Мері написав одного з найбільших вчених тоги часу Блезу Паскалю лист, де просив вирішити низка запитань, які виникли в нього на зв’язки України із грою до кістки. Завдання кавалера де Мері. Кавалер де Мері, одне із французьких придворних, був азартних гравцем. Грошовий виграш при гру косить зазвичай залежить від комбінації сп’янілих чисел, яку робиться ставки. Один із таких комбинаций—выпадение хоча б однієї шестёрки при чотирьох бросаниях гральною кістки. Де мері зміг підрахувати число шансів цієї комбінації. Загальна кількість фіналів при чотирьох бросаниях гральною кістки одно 64=1296. Кількість шансів появи хоча б однієї шістки становить 6−5 =671, оскільки шестёрки не випадає ніколи в розмірі 5 випадках. Отже, ймовірність випадання хоча б однієї шестёрки при чотирьох бросаниях дорівнює 671/1296~0,518> ½, тому при чотирьох бросаниях вигідно ставку те що, що випаде хоча б одні шестёрка. ніж те що випаде жодної. Очевидно, багато досвідчені гравці знали, що як перша комбінація з’являється частіше, ніж друга, і знайти партнера ні таку гру важко було. Більше складні комбінації виникали, якщо кидали відразу дві кістки. Де Мері намагався визначити, скільки вже разів треба кинути пару кісток, щоб ймовірність хоча самого появи двох шестёрок було більше ½. Він підрахував, що досить 24 бросаний. Проте досвід гравця змусив де Мері сумніватися у правильності своїх обчислень. Тоді він звернувся з цим завдання до математику Блезу Паскалю, який запропонував правильне рішення. Вчений визначив, що з 24 бросаниях пари кісток дві шестёрки з’являються хоча разів з імовірністю, меншою ½, а при 25 бросаниях—с ймовірністю, більшої ½.В насправді, якщо кинути одного разу пару кісток, дві шестёрки випадуть з імовірністю 1/36, а чи не выпадут—с ймовірністю 1−1/36=35/36. При n бросаниях пари кісток число шансів непояви пари шісток одно 35, а загальна кількість фіналів становитиме 35. Поэтому гравець, робить ставку подія, А виграє приблизно, а 50,5% ігор, а гравець, робить ставку подія, А —приблизно 49,1% ігор. Ця завдання кавалера де Мері змусила Паскаля узятися до вивчення випадкових подій. На листуванні Блеза Паскаля і П'єра Ферма вперше стали згадуватися поняття теорії ймовірностей. Підрахунок всіх можливих і благоприятствующих цієї події випадків нерідко представляє великі труднощі. Саме тому на вирішення завдань деякі гравці зверталися до великим ученим. Розповідають, що Гюйгенсу поставили таке питання: «Якщо кинути одночасно три гральних кістки, то яка сума очок буде випадати чаще—11 чи 12?» Підрахунок всіх різних випадків тут простий: N=6 =216. Підрахунок ж М тут складний. Сума 11 може й такими шістьма у різний спосіб: 1+4+6, 1+5+5, 2+3+6, 2+4+5, 3+3+5. 3+4+4. Також шістьма у різний спосіб утворюється сума 12: 1+5+6, 2+4+6, 2+5+5, 3+3+6, 3+4+5, 4+4+4. Ця обставина викликає думку, що обидві суми повинні з’являтися однаково часто. Але це не так. Уже практиці було помічено, сума 11 з’являється частіше суми 12. Річ, а тому, що вищевказані по три числа власними силами неоднаково часто випадають. Так, якщо кожну із трьох кісток забарвити по-різному, скажімо в білий, червоний і зелений колір, стає ясним, що поєднання, а якому є три різних доданків, наприклад (1+4+6), може виходити шістьма різними способами: 1) 1 біл. + 4 красн. + 6 зел.; 2) 1 біл. + б красн. + 4 зел.: 3) 4 біл. + 1 красн. + 6 зел.; 4) 4 біл. + 6 красн. + 1 зел.;

5) 6 біл. + 1 красн. + 4 зел.; 6) б біл. + 4 красн. + 1 зел. Аналогічно поєднання з цими двома однаковими складовою частиною, наприклад (2+5+5), може й трьома в різний спосіб, тоді як поєднання їх зі однаковими складовою частиною, на кшталт (4+4+4), виходить єдиний засіб. І ось для 11 очок ми матимемо, в такий спосіб, не шість різних способів, а.

1*6 + 1*3 + 1*6 + 1*6 + 1*3 + 1*3 = 27.

Для суми ж 12 число різних способів буде: 1*6 + 1*6 + 1*3 + 1*3 + 1*6+ 1 = 25. Рішення інколи досить складних завдань, з якими обходилися зацікавлені особи до Паскалю, Ферма, Гюйгенсу, сприяло розробці основних понять і спільних принципів теорії ймовірностей, зокрема і правил дії з них. Звідси слід, звісно, укладати, що основоположники теорії ймовірностей розглядали азартні ігри як єдиний чи головним предметом що розроблялися ними нова галузь науки. На розвиток теорії ймовірностей вплинули серйозніші потреби науку й запити практики, насамперед страхову справу, розпочате в деяких країнах ще 16 В. У 16−17вв. установа страхових товариств та страхування судів від пожежі поширилися у багатьох країни. Азартні гри для учених лише зручною моделлю вирішення завдань і аналізу понять теорії ймовірності. Про це зауважив ще Гюйгенс у своїй книзі «Про расчётах в азартної грі» (1657), яка першою книжкою світі з теорії ймовірностей. Він писав: «…при — уважному вивченні предмета читач помітить, що він займається як грою, що тут даються основи глибокою моральністю і дуже цікавою». Гюйгенс вперше і запровадив важливе для теорії ймовірностей поняття математичного очікування, котра одержала розвиток, а працях Данила Бернуллі, Даламбера та інших. Поняття математичного очікування знаходить чимало застосувань, а різних інших галузях людської деятельности.

Отже, у роки 17 В. було вироблено перші поняття і деякі елементи теорії ймовірностей. У двоє століть вчені зіштовхнулися з безліччю нових завдань, пов’язаних з дослідженням випадкових явищ. Чи відіграє природа до кісток? У 19 В. викладач Вищої реальної школи, у місті Брюнне Грегор Йоганн Мендель виробляв свої які є згодом знаменитими досліди з горохом, у яких було відкрито закони спадковості. Мендель схрестив два сорти гороху з жёлтыми і зеленими насінням, після чого рослини дали лише жовті насіння (перше покоління гібридів). Після самоопыления рослин, виражених з цього насіння (в другому поколінні гібридів), з’явився горох і з жёлтыми, і з зеленими насінням Мендель підрахував, причетне числа рослин з жёлтыми насінням до рослин з зеленими насінням одно 3,01. Вчений схрещував також сорти гороху, різняться або за формі плоду, або за розташуванню квіток, або за розмірам рослині тощо. І завжди у першому поколінні виявляли лише з протилежних батьківських признаков—его Мендель назвав домінантним (від латів. dominatus— «панування »), лише у другому поколінні проявлявся і другой—регрессивный (від. латів. recessus— «відступ»), У дослідах Менделя ставлення числа рослин з домінантним ознакою до рослин з рецессивным ознакою було одно 3,15; 2,95; 2,82; 3,14;2,84, тобто. завжди чинився близькими до 3. Згодом німецький зоолог Август Бейсман і американський біолог Томас Хант Морган пояснили результати дослідів Менделя. Використовуємо з тією ж метою урновую схему. Припустимо, що дві елементарних носія спадковості— домінантний ген Проте й рецессивный ген а—отвечают в організмі за якийсь ознака. У цьому даний ознака ставиться парою генів АА, Аа, аА чи аа, і особини з генами АА, Аа, аА мають домінантний ознака, а особини з генами аа —рецессивный. При схрещуванні гороху АА з горохом аа гібрид одержує вигоду від батька по 1 гену, тому всі особини першого покоління мають пару генів Аа чи аА і можна знайти домінантний ознака: наприклад, насіння жовтого кольору. Від батьків із парами генів Аа чи аА можна було одержати особина АА, Аа, аА чи аа. Всі ці поєднання однаково можливі, отже, особина аа з рецессивным ознакою виявляється з ймовірністю ¼, а особина АА, Аа чи аА з домінантним признаком—с ймовірністю ¾. Механізм наслідування як і випадковий, як й вирішили результат кидання монети чи гральною кістки. Тому можна сказати, що природа іноді «грає у кости».

Основні поняття теорії вероятности.

Теорія ймовірності, як і будь-яка розділ математики, оперує певним колом понять. Більшості понять теорії ймовірностей даються визначення, та деякі приймаються за первинні, не зумовлені, як і геометрії точка, пряма, площину. Первинним поняттям теорії ймовірностей є подія. Під подією розуміють то, про який після певного моменту часу можна сказати те й лише з двох :

Так, воно произошло.

Ні, він сталося. Наприклад, маю лотерейний квиток. Після опублікування результатів розіграшу лотереї цікавить мене подія — виграш тисячі рублів або відбувається, або відбувається. Будь-яке подія відбувається внаслідок випробування (чи досвіду). Під випробуванням (чи досвідом) розуміють ті умови, в результаті чого відбувається подія. Наприклад, підкидання монети — випробування, а поява у ньому «герба» — подія. Подія прийнято позначати заголовними написом: A, B, C,…. Події у матеріальному світі можна розбити втричі категорії - достовірні, неможливі і случайные.

Достовірне подія — це таку неординарну подію, про яку наперед відомо, що воно відбудеться. Його позначають буквою ?. Так, достовірним є випадання трохи більше шести очок під час кидання звичайній гральною кістки, поява білого кулі при добуванні з урни, що містить лише білі кулі, тощо. Неможливе подія — всі ці події, про яку наперед відомо, що його не відбудеться. Його позначають буквою ?. Прикладами неможливих подій є вилучення більш чотирьох тузів зі звичайної карткової колоди, поява червоного кулі з урни, що містить лише білі і чорні кулі, тощо. п.

Випадкове подія — всі ці події, яке може статися або статися результаті випробування. Події Проте й У називають несовместными, якщо наступ однієї з них виключає можливості наступу іншого. Так поява будь-якого можливого числа очок під час кидання гральною кістки (подія А) несовместно з приходом іншого числа (подія У). Випадання чётного числа очок несовместно з випаданням нечётного числа. Навпаки, випадання чётного очок (подія А) і кількості очок, кратного трьом (подія В), не будуть несовместными, бо випадання шести очок означає наступ і події Проте й події У, отже наступ однієї з них виключає наступ іншого. З подіями можна здійснювати операції. Об'єднанням двох подій С=АUВ називається подія З, що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбувається хоча одне з цих подій Проте й У. Перетином двох подій D=A? У називається подія, що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбуваються події та Проте й В.

Нехай, А — деяке подія. Тоді протилежним події А* до події А називається таку страхову подію, що відбувається тоді й тільки тоді, коли відбувається подія А. Розглянемо деяку сукупність подій А, В,…, L. Ці події прийнято називати єдино можливими, якщо внаслідок кожного випробування хоча одне їх напевно настане. Подейкують, що аналізовані події утворюють повну групу подій. Приміром, під час кидання гральною кістки повну групу утворюють події, що перебувають у випадання одного, двох, трьох, чотирьох, п’ятьох шести очков.

Однією з важливих питань теорії ймовірностей і те, звідки беруться значення ймовірностей фіналів випробувань, адже ймовірності всіх інших подій, ми матимемо, спираючись саме у ці ймовірності. Тут два випадку: а, по яким -або міркувань симетрії ми вважаємо все елементарні результати равновозможными, у разі маємо p1=p2=…=pn, бо як p1+p2+…+pn=1, усі pk рівні 1/n, pk= /n, 1.