Самое важливе з історії інтегрального исчисления

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РБ.

УФА ШКОЛА — ГІМНАЗІЯ № 3.

[pic].

ПЕВНИЙ ИНТЕГРАЛ:

Найважливіше з історії інтегрального исчисления!

Виконав: Морозкин Ю. Н.

Консультант: Крупнов У. П.

Гуцунаева Р. И.

УФА 1998 г.

Зміст :

[pic].

ІНТЕГРАЛ (від латів. Integer — цілий) — одне з найважливіших понять математики, який виник у зв’язки України із потребою, з одного боку відшукувати функції їх похідним (наприклад, знаходити функцію, яка має шлях, пройдений що просувалася точкою, за швидкістю цієї точки), з другого — вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу тощо. п.

[pic].

ДАНІ ІЗ ИСТОРИИ.

Про ПОХОДЖЕННЯ ТЕРМІНІВ І ОБОЗНАЧЕНИЙ.

Символ [pic]введен Лейбніцем (1675 р.). Цей знак є зміною латинської літери P. S (першої літери слова сума). Саме поняття інтеграл придумав Я. Бернуллі (1690 р.). Мабуть, воно походить від латинського integero, яке перекладається забезпечувати стан, відновлювати. (Справді, операція інтегрування «відновлює» функцію, дифференцированием якої отримана подынтегральная функція.) Можливо походження слова інтеграл інше: слово integer означає целый.

У результаті листування І. Бернуллі і Р. Ляйбніц пристали на пропозицію Я. Бернуллі. Тоді ж, в 1696 г., виникло й назва нової галузі математики — інтегральне літочислення (calculus integralis), яке ввів І. Бернулли.

Інші відомі вам терміни, які стосуються інтегральному підрахунку, з’явилися значно пізніше. Употребляющееся зараз назва первообразная функція замінило більш ранніх «примітивна функція», яке ввів Лагранж (1797 р.). Латинське слово primitivus перекладається «початковий»: F (x)= [pic] - початкова (чи початкова, чи первообразная) для функції f (x), що утворюється з F (x) дифференцированием.

[pic].

У сучасному літературі безліч всіх первообразных для функції f (x) називається також невизначеним інтегралом. Це выделил.

Ляйбніц, зазначивши, що це первообразные функції відрізняються на довільну постійну. А [pic] називають певним интегралом.

(позначення ввів До. Фур'є (1768−1830), але межі інтегрування вказував вже Эйлер).

[pic].

Найважливіше з історії інтегрального исчисления!

Виникнення завдань інтегрального обчислення пов’язані з перебуванням площ, і обсягів. Ряд завдань що така було вирішено математиками древней.

Греції. Антична математика випередила ідеї інтегрального обчислення значно більшою мірою, ніж диференціального обчислення. Велику роль під час вирішення завдань грав вичерпний метод, созданный.

Евдоксом Книдским (прибл. 408 — прибл. 355 до зв. е.) і дуже применявшийся.

Архімедом (прибл. 287 — 212 до зв. э.).

Проте Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів і понять про интеграле, а тим більше створив алгоритму інтегрального обчислення. Вчені Середнього і Близького Сходу в IX — XV століттях вивчали і перекладали праці Архімеда на загальнодоступний у середовищі арабська мова, але істотно нових успіхів у інтегральному обчисленні де вони получили.

Діяльність європейських вчених у цей час була скромнішої. Лише XVI і XVII століттях розвиток математично-природничої грамотності поставило перед математикою Європи низку інших завдань, зокрема завдання на перебування квадратур (завдання на обчислення площ постатей), кубатур

(завдання на обчислення обсягів тіл) й визначення центрів тяжкості .

[pic].

Праці Архімеда, вперше видані 1544 (латинською та грецькою мовами), стали залучати широке увагу, та його вивчення стало однією з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального исчисления.

Архімед передбачив багато ідей інтегрального обчислення. Але потрібно більше півтори тисячі років, як цих ідей знайшли чітке вираз і було доведені рівня исчисления.

Математики XVII століття, отримали багато нових результати, навчалися на працях Архімеда. Активно працював і інший метод — метод неподільних, також зародився у Стародавній Греції. Наприклад, криволинейную трапецію вони вважали собі складеної з вертикальних відрізків довжиною f (x), яким тим щонайменше приписували площа, рівну нескінченно малої величині f (x)dx. Відповідно до таким розумінням бажана площа вважалася рівної сумме.

P.S = [pic] нескінченно значної частини нескінченно малих площ. Іноді доходить навіть підкреслювалося, що окремі складові у цій сумі - нулі, але нулі особливий, які складені в нескінченному числі, дають цілком певну позитивну сумму.

[pic].

На такий здавалося б нині за меншою мірою сумнівною основі И.

Кеплер (1571 — 1630 рр.) у творах «Нова астрономія» (1609 р.) і «Стереометрія винних бочок» (1615 р.) правильно обчислив ряд площадей.

(наприклад площу фігури, обмеженою эллипсом) та обсягів (тіло краялось на нескінченно тонкі пластинки).

Ці дослідження продовжені італійськими математиками Б.

Кавальери (1598 — 1647 роки) і Еге. Торрічеллі (1608 -1647 годы).

У XVII столітті було зроблено багато відкриття, які стосуються інтегральному підрахунку. Так, П. Ферма вже у 1629 року вирішив завдання квадратури будь-який кривою y =[pic], де N — ціле (т. е. вивів формулу [pic][pic]), і основі вирішив ряд завдань на перебування центрів тяжкості. І. Кеплер при виведення свої знамениті законів руху планет, фактично спирався на ідею наближеного інтегрування. І. Барроу (1603−1677 року), вчитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв’язку інтегрування і диференціювання. Важливе значення мали роботи з уявленню функції як статечних рядов.

[pic].

Проте за всієї значимості результатів, отриманих математиками.

XVII століття, обчислення не було. І було виділити загальні ідеї, які у його основі багатьох приватних завдань, і навіть встановити зв’язок операцій диференціювання і інтегрування, що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Ляйбніц, відкрили незалежно друг від друга факт, відомий вам під назвою формули Ньютона — Лейбница.

Тим самим було остаточно оформився загальний метод. Треба було ще навчитися знаходити первообразные багатьох функцій, дати логічні основи нового обчислення тощо. п. Але головне було зроблено: диференціальний і інтегральне літочислення создано.

Методи математичного аналізу активно розвивалися наступного столітті (насамперед слід назвати імена Л. Эйлера, завершив систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій, і И.

Бернуллі). У розвитку інтегрального обчислення взяли участь російські математики М. У. Остроградський (1801 — 1862 рр.), У. Я. Буняковский.

(1804 — 1889 рр.), П. Л. Чебышев (1821 — 1894 рр.). Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, довів, що є інтеграли, не выразимые через елементарні функции.

Суворе виклад теорії інтеграла лише у минулому веке,.

Виконання цього завдання пов’язані з іменами Про. Коші, однієї з найбільших математиків німецького вченого Б. Рімана (1826 — 1866 рр.), французького математика Р. Дарбу (1842 — 1917).

Відповіді на багато запитань, пов’язані з тривалим існуванням площ, і обсягів постатей, отримано зі створенням До. Жорданом (1826 — 1922 рр.) теорії меры.

[pic].

Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку нашого століття було запропоновано французькими математиками А. Лебегом (1875 — 1941 рр.) и.

А. Данжуа (1884 — 1974) радянським математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.).

Список використаної литературы.

1). Афанасенко Є. І. Дитяча енциклопедія т.2., М., «Просвітництво», 1964.

2). Вавілов У. У. Завдання з математики. Початок аналізу., М., «Наука»,.

1990.

3).Евграфов М. М. Курс фізики для підготовчих відділень вузів., М.,.

«Вищу школу», 1984.

4). Колмогоров А. М. Алгебра і формального початку аналізу., М., «Просвітництво», 1990.

5). Пинсий А. А. Фізика., М., «Просвітництво», 1994.

6). Прохоров А. М. Велика Радянська енциклопедія т.10., М., «Радянська енциклопедія», 1972.

7). Сканаві М. І. Збірник завдань із математиці для вступників у втузы.,.

М., «Вищу школу», 1988.

[pic].

8). Яковлєв Т. Х. Допомога за математиці для що у вузы.,.

М., «Наука», 1988.