История геометрії

История геометрии

Введение

Геометрия виникла дуже довго, це один із найбільш древніх наук. Геометрія (грецьке, від ge — земля і metrein — вимірювати) — наука щодо простору, точніше — наука про формах, розмірах і втрачає межах тих частин простору, що у ньому займають речові тіла. Таке класичне визначення геометрії, чи, вірніше, таке дійсне значення класичної геометрії. Та сучасна геометрія у багатьох своїх дисциплінах виходить далеко межі цього визначення. Розвиток геометрії принесло з собою глибоко що йде еволюцію поняття щодо простору. У цьому значенні, у якому простір як математичний термін широко вживається сучасними геометрами, воно. не може бути первинним поняттям, у якому спочиває визначення геометрії, а, навпаки, саме знаходить визначення у розвитку геометричних идей.

Важную роль грали й естетичні потреби людей: бажання прикрасити своє житло і одяг, малювати картини нашому житті. Усе це сприяло формуванню і нагромадженню геометричних відомостей. Протягом кількох століть до нашої ери в Вавилоні, Китаї, Єгипті та Греції мали початкові геометричні знання, які добувалися переважно дослідним шляхом, але вони були ще систематизовані і гроші передавалися від покоління до покоління як правив і рецептів, наприклад, правил перебування площ постатей, обсягів тіл, побудова прямих кутів тощо. Немає ще доказів цих правил, та його виклад не була наукової теории.

Геометрия на Востоке

Родиной геометрії вважають зазвичай Вавилон і Єгипет. Грецькі письменники одностайно сходяться па тому, що геометрія виникла Єгипті та звідти перенесена в Элладу.

Первые кроки культури скрізь, де виникала, у Китаї, таки в Індії, в Ассирії, в Єгипті, пов’язані з необхідністю вимірювати відстані і ділянки землі, об'єми та ваги матеріалів, продуктів, товарів; перші значні споруди вимагали нівелювання, витриманому вертикалі, знайомства з планом і перспективою. Необхідність вимірювати часові відтинки вимагала систематичного спостереження над рухом світил, отже, виміру кутів. Усе було нездійсненне без знайомства із елементами геометрії, і всіх названих країнах основні геометричні уявлення виникали частиною незалежно друг від друга, частиною — гаразд преемственной передачі. Проте точних даних про пізнаннях єгиптян у сфері геометрії ми маємо. Єдиним першоджерелом, що дійшли до нас, є папірус, написаний при фараоні Payee ученим писарем його Ахмесом (Ahmes) у період 2000 і 1700 р. до нашої ери. Це — керівництво, що містить різноманітних математичні завдання й їх рішення; значне більшість завдань належить до арифметики, менша частина — до геометрії. З останніх майже всі пов’язані з виміром площ прямолінійних лідерів та кола, причому Ахмес приймає площа рівнобедреного трикутника рівної твору підстави наполовину бічний боку, а площа кола — рівної площі квадрата, сторона якого менше діаметра на 1/3 його частину (це справді дає л=3,160…); площа равнобочной трапеції він швидко приймає рівної твору полусуммы паралельних сторін відпочивати бік. Як очевидно з інших завдань Ахмеса, єгиптяни цієї пори знали, що кути прямокутного трикутника визначаються ставленням катетів. Як вони прийшли до цих правилам, знали чи найосвіченіші жерці — хранителі єгипетської науки, — що й дані є лише наближеними, про цьому ми маємо жодних додаткових даних. Так само мало знаємо ми у тому, що додало до цих знанням єгиптян таке тисячоліття; більш-менш значних успіхів вони в будь-якому разі не зробили. Важко сказати цілком точно, що з цих відомостей єгиптяни відкрили і що вони запозичували від вавилонян і індусів. Безсумнівно лише те, що геометричні відомості вавилонян були такі ж уривчасті і саме жалюгідні. Їм належить розподіл окружності на 360о; вони мали інформацію про паралельних лініях і відтворювали прямі кути; усе це було ним необхідно при астрономічних спостереженнях, які, очевидно, головним способом мислення й сприяли їх геометричних знань. Вавилоняни знали, що сторона правильного записаного до коло шестикутника дорівнює радіусу. Характерним при цьому першого, у сенсі доісторичного, періоду геометрії є дві сторони справи: по-перше, встановлення найбільш елементарного геометричного матеріалу, прямо необхідного в практичну роботу, а по-друге, запозичення цього з природи шляхом безпосереднього спостереження («почуттєвого сприйняття», за словами Евдема Родосского). Найхарактерніше вираз цього безпосереднього апелювання до інтуїції як єдиному засвідченню правильності висловленої істини ми бачимо у индусского математика Ганеши.

2. Грецька геометрия

Греческие автори відносять поява геометрії у Греції до кінця VII в. до зв. е. і пов’язують його безпосередньо з ім'ям Фалеса Милетского (639—548), усе наукове діяльність якого полягає змальовується греками в полумифическом світлі, отже точно її відновити неможливо. Достеменно, очевидно, те, що Фалес замолоду багато подорожував по Єгипту, мав спілкування з єгипетськими жерцями і навчився багато чому, зокрема геометрії. Повернувшись там, Фалес замешкав у Милете, присвятивши себе занять наукою, і оточив себе учнями, образовавшими так звану Ионийскую школу. Фалесу приписують відкриття низки основних геометричних теорем (наприклад, теорем про рівність кутів при підставі рівнобедреного трикутника, рівність вертикальних кутів тощо. п.). Важливіше, очевидно, інше. Важко допустити, щоб наука, «хоча в зародковому свій стан, було покладено на треческую грунт одним чол овеком. Важио то, що у Елладі за інших умов економічних відносин також соціального життя утворився клас, на той час безсумнівно прогресивний, як усвоивший східну культуру, а й развивший до невпізнанною висоти, створив, в такий спосіб, вже свою високу еллінську культуру. У разі швидко розвивалася архітектури, мореплавання, цивільної та військову техніку, за умов развертывавшихся вже у з цим досліджень у сфері астрономії, фізики, механіки, вимагали точних вимірів, як дуже швидко виявилися протиріччя, та неправильності єгипетської геометрії, а й у виправленому вигляді її убогий матеріал перестав задовольняти зрослим потребам. Елементарні прийоми безпосереднього спостереження східної геометрії безсилі перед новими завданнями. Щоб їх дозволити, було необхідно відірвати геометрію від безпосередніх завдань виміру полів і будівлі пірамід, — завдань, вузьких за всієї важливості, — й гордо поставити їй незмірно ширші завдання. Цією тенденції повинно бути був початок Фалесом. Ионийская школа перенесла геометрію до області значно більше широких уявлень, і завдань, надала їй теоретичний характері і зробила її предметом тонкого дослідження, у якому поруч із інтуїцією починає грати видну роль і абстрактна логіка. Абстрактно-логический характер геометрії, що у Ионийской школі лише намічався, затягнувся, щоправда, кілька містичним флером у піфагорійців, прийняв у Платона або Ньютона більш здорові форми й у Олександрійської школі знайшов своє завершення. Було створено наука, широка по задуму, багата фактичним матеріалом, та, попри абстрактний характер, дає ряд надзвичайно важливих практичних застосувань. Понад те, можна сказати, що у абстрактної структурі, яку завоювала геометрія в працях грецьких вчених із VI по III в. до зв. е., і корениться можливість різноманітного конкретного использования.

Самое слово «геометрія» недовго зберігає свою первісне значення — виміру землі. Вже Аристотель ввів для такого виміру новий термін — геодезія. Проте і змістом нової дисципліни незабаром також стали розуміти ширшому сенсі, що може бути найкраще передається сучасним терміном «метрична геометрія». У працях Фалеса, Піфагора, Платона, Демокрита, Гіппократа, Динострата, Никомеда, Аристотеля, якщо назвати лише найважливіших, із надзвичайною швидкістю виробляються з’ясування умотивованості й систематизація фактичного матеріалу класичної геометрії. Слід зазначити, що мені відомі лише розрізнені ланки в цільною ланцюга розвитку геометрії; багато ланки і імена цілком втрачено. Близько IV в. до зв. е. вже є з’являтися зведені твори під назвою «Почав геометрії», мали завданням систематизувати видобуте геометричний матеріал. Такі «Почала» за свідченням Прокла, склали Гіппократ Хиосский, Феодосії з Магнезії, Гиероним Колофонский та інших. Жоден з цих творів до нас потребу не дійшло: усі вони втратили своє значення і було забуті, коли чудове посібник з геометрії — «Почала» Евкліда, жив кінці IV — початку III в. до зв. э.

Евклид жив у Олександрії за доби, коли утворився найбільш великий центр грецької наукової думки. Маючи праці своїх попередників, Евклид створив глибоко продуману систему, сохранявшую керівну роль протягом понад 2 тисячі років. «Упорядник Почав» — це прізвисько зробилося хіба що власним ім'ям, під який усе пізніші грецькі математики розуміли Евкліда, яке «Почала» стали підручником, яким у протягом двох тисячоліть навчалися геометрії юнаки і дорослі. Навіть ті підручники, якими ведеться початкове навчання геометрії нашого часу, сутнісно є переробку «Почав» Евклида.

Материал, який міститься у «Засадах», сутнісно охоплює елементарну геометрію, як ми її розуміємо нині. Метод побудови геометрії у Евкліда пізніше характеризували словами — будувати геометрію виключно геометричними засобами, не вносячи у ній далеких їй елементів. Це означає передусім, що Евклид не вдається до арифметичним засобам, т. е. до численным співвідношенням. Рівність постатей у Евкліда означає, що є підстави суміщені рухом, нерівність — що одне постать то, можливо цілком або частинами уміщена до іншої. Равновеликость постатей означає, що є підстави складено з двох частин. Саме цими засобами, не вдаючись навіть до пропорціям, Евклид доводить, кожен багатокутник то, можливо перетворений на рівновеликий трикутник, а трикутник — в квадрат.

Теорема Піфагора у Евкліда має сенс тільки той зміст, яке встановлюється його доказом: квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, то, можливо розкладено на частини, рівновеликі квадратах, збудованим з його катетах; пов’язане з цим алгебраїчне співвідношення про чисельні значень гіпотенузи і катетів йому цілком чуже. Але це замало те, що Евклид не користується числовими співвідношеннями, — він встановлює геометричні співвідношення, еквівалентні основним алгебраїчним тождествам, встановленим набагато пізніше; цьому присвячена майже половину другий книжки «Начал».

Эпоха великих геометрів (другий Олександрійський період). Найхарактернішою рисою другий Олександрійської епохи і те, що вона дала з собою метрики, якої геометрії Евкліда бракувало. Ту завдання, яку Евклид, то, можливо, свідомо оминав, — вимір, — Архімед поставив на чільне місце. Не випадково, а пов’язана з тим прикладним напрямом, яким перейнято все творчість Архімеда, жив епоху (III в. до зв. е.), коли боротьба між окремими грецькими державами за незалежність" і за гегемонію досягла найбільшого напруги; старість само одержувати його протік у роки, коли почалася рішуча боротьба Еллади за саме її існування. Легенди пов’язують всю захист Сіракуз безпосередньо з ім'ям Архімеда, який винаходив дедалі нові метальні гармати, отражавшие суду обложили. Скільки у тому правди, судити важко. Але Плутарх свідчить, діяльність инженера-практика Архімеда будь-коли приваблювала, і не написав із цього предмета жодного твори. У III в. до зв. е. прикладні завдання стояли вже перед еллінськими вченими під весь зростання. Заслуга Архімеда полягала в тому, що він побудував дуже багато катапульт, суть у тому, що йому належить теоретичні основи, у яких в кінцевому підсумку і з сьогодні спочиває машинобудування, — він створив основи механіки. Механіка вимагала обчислення мас, отже, площ та обсягів, і навіть центрів тяжкості; механіка настійно вимагала метричної геометрії; цьому й зосереджено увагу Архімеда в геометрії. Труднощі несоизмеримых відносин долає у порядку, котрий за справжнє час залишається сутнісно єдиним способом як практичного обчислення, а й теоретичного побудови вчення про ірраціональних величинах, — шляхом складання послідовних наближень. На цьому шляху й було необхідно виняткове мистецтво, бо великовагова система числення представляла найслабше місце грецької математики. Архімед намагався радикальні кошти на подолання труднощів числення — цьому присвячена його книга «Літочислення піску». До мети це кривело. Цей твір представляє собою ще одне свідчення виняткового дотепності Архімеда, але з дає хороших коштів на практичного рахунки. Найважливішим було близьке обчислення квадратних коренів, необхідне наближеного ж обчислення довжини окружності; цьому присвячено особливе, невеличке твір, сутнісно заключающее близьке обчислення периметрів правильних 96-угольников, уписаного в окружність і описаного близько нее.

Таким чином, твори Архімеда істотно відрізняються від геометрії Евкліда і з матеріалу та кількості методом; це — величезний крок уперед, це — нова епоха. У викладі цих досягнень, проте, витримана система Евкліда: аксіоми і постулати на початку кожного твори, тонко продумана ланцюг умовиводів, претендує на досконалість мережі силогізмів. Але, як і системи Евкліда, геометрія Архімеда постійно віддає щедру данина інтуїції, причому не лише поруч із геометричній інтуїцією тут з’являється інтуїція механическая.

Сочинения, присвячені тлумачення «Почав» з’явилися рано. Першим коментатором Евкліда був, очевидно, ще Гемин Родосський, жила у ІІ. до зв. е. займалися цим пізніше Герої і Папп, і навіть Теон та інші, та їх коментарі до нас або зовсім не від дійшли, або залишилися самі в уривках у передачі Прокла, який писав вже у V в. зв. е. Коментарі Прокла стали невдовзі класичним твором, з яким тривалий час ніхто не конкурував у справі тлумачення «Почав». До того ж Прокл жив вже у епоху повного занепаду грецької науку й на його випало лише підвести загальний підсумок діяльності його великих попередників. Значення коментаторів Евкліда полягає переважно, в тому, що вони з’ясували слабких місць його логічного схеми. Не зробивши ще нічого для істотного поліпшення цієї схеми, вони вказали шляхи, якими пробираються у систему Евкліда міркування, порушують витриману нитку логічних висновків. Багато було висловлено глузливих зауважень щодо коментаторів Евкліда: казали, що вони переливали з порожнього в порожнє, робили ясне незрозумілим. У цих закидах, звісно, багато правди. Коментування елементарного твори не потребує великих знань, і тому було написане багато легковажних і беззмістовні творів щодо «Почав» Евкліда і питання про підставах геометрії взагалі. Але не можна заперечувати, що коментатори Евкліда, старанно вивчали «Почала» і «глибоко їх продумавшие, вказали безліч темних пунктів цього твору зауважили низку властивостей просторових образів, які мають лягти основою логічного системи геометрии.

3. Геометрія нових веков

. Прокл був, очевидно, останнім представником грецької геометрії. Римляни не внесли в геометрію нічого істотного. Загибель античної культури, як відомо, привела до глибокому занепаду наукової думки, тривало близько 1000 років, до епохи Відродження. Не отже, проте, що математика у цей період цілком заглухла. Посередниками між еллінської та поглибленні нової європейської наукою з’явилися араби. Коли кілька влігся затятий релігійний фанатизм, пануюче за доби арабських завоювань, за умов швидко розвивалася торгівлі, мореплавання та міського будівництва стала розгортатися і арабська наука, у якій математика грала дуже значної ролі. Евклид уперше перекладений арабська мова, очевидно, в ІХ ст. Потім пішов переклад творів інших грецьких геометрів, чимало з яких тільки з цих перекладах доі дійшли. Проте математичні інтереси арабів зосереджувалися й не так на геометрії, скільки на арифметиці і алгебрі, на мистецтві рахунки широкому значенні цього терміну. Араби вдосконалили систему числення та організаційні засади алгебри, запозичені від індусів; але у області геометрії, вони або не мали значних достижений.

Интерес до рахунку перейшов і до європейських математикам раннього Відродження. Повільно — з початку XIII в. (Леонард Пизанский) й під кінець XV в. (Лука Пачолі) — у боротьбі абацистов з алгорифмиками встановлюється сучасну систему числення, а наступному, XVI в. починає викристалізовуватися і сучасна алгебра. Система символічних позначень сучасної алгебри веде своє керівництво від Виеты, якій належать і перші докладання алгебри до геометрії. Записавши квадратні рівняння у спільній форми і розглядаючи невідому як відрізок, а коефіцієнти рівняння як дані відтинки чи добросусідські відносини даних відрізків, Виета дає загальні методи побудови невідомого відрізка з допомогою циркуля і лінійки. Він показує далі, що розв’язання цієї так само завдань 3-ї та 4-ї ступеня може бути наведено побудувати двох середніх пропорційних. В усьому цьому як що немає жодних знахідок; сутнісно усе було відомо Евклиду, Герону, Проклу. Але нова, більш загальна схема дає можливість об'єднати цикл розрізнених завдань, интересовавших грецьких геометрів, встановити загальну їх характеристику, раціонально класифікувати їх за характеру рівняння, до якому наводить алгебраїчний метод виконання завдання. Всі ці прийоми у подальшому її розвитку склали невелику дисципліну, відому на цей час під назвою «Додатка алгебри до геометрії». Характерним нею є зведення рішення геометричній завдання до якогось алгебраическому рівнянню або до визначеною системою алгебраїчних рівнянь. У цих цілях немає будь-якого спеціального, для геометрії придуманого задуму. Це — прийом, проходить через докладання алгебри переважають у всіх дисциплінах, де застосовується для розвідки невідомих величин: завдання виражаються певної системою рівнянь, вирішення яких дає значення невідомих. Це об'єднання алгебри з геометрією невдовзі призвело до значно більше поглибленому і своєрідному застосуванню алгебраического методу в геометричному дослідженні. Проміжне значення (у разі хронологічно) мають ідеї Орезма (точніше, Орема), які стосуються XIV в. Схоластики були дуже схильні до встановленню співвідношень між різними величинами, співвідношень іноді справді існуючих, але частіше ілюзорних. У цьому вся коренилася, звісно, ідея функціональної залежності, якої Орезм перший намагався дати графічне вираз — як те, що ми час називаємо діаграмою. Мабуть, туманні міркування, із якими його, таке просте але суті, була пов’язана у схоластиків, повели до того що, що метод Орезма на той час значного поширення недоотримав і прямого впливу подальшу еволюцію геометрії не надав. У період Відродження зародилася й дуже звана образотворчий геометрия.

Основным на заваді її подальшого розвитку геометрії була відсутність загальних методів геометричного дослідження, які мали б вказівки, як підійти до кожній приватній геометричній завданню. Потреба у тому загальному методі надзвичайно назріла. З розвитком алгебри, принесла з собою кошти математичного дослідження дуже широкої спільності, було природно у яких шукати і шляхів до геометричному дослідженню. Справді, XVII в. два геніальних французьких математика, Ферма і Декарт, майже одночасно висувають ідеї, що призвели до нового і дуже широкому розквіту геометричній думки. Ці ідеї були викладені Ферма яка «Введення у вчення про геометричних місцях на площини і в просторі», відомого у колі паризьких математиків ще 1637 р., але опубліковано були лише по смерті автора (1679 р.). У листі до Робервалю Ферма виклав сутність свої волелюбні ідеї ще на 10 років раніше. Погляди Декарта викладені у невеличкому його творі «Геометрія», який з’явився у 1637 р. в ролі додатку до твору «Міркування про методі». Обидва геометра явно знаходилися під великий вплив Аполлония; але встановлений ними метод, нині відомий під назвою аналітичної геометрії, все-таки залишається цілком своєрідним. Від прийомів Аполлония він особливий тим, що співвідношення, що визначають геометричне місце, виражені у вигляді рівнянь символічною алгебри; від методів застосування алгебри до геометрії, запропонованих Виета, він особливий тим, що саме переважна значення мають невизначене рівняння і невизначена система рівнянь; корінний його особливістю є метод координат, при застосуванні якого найбільша його сила. Координатами сутнісно користувався підтримкою і Аполлоний. Однак він ордината точки параболи є її відстань від осі цієї параболи; координація завжди тісно пов’язана з самої кривою. Декарту (більш як Ферма) належить ясно виражений задум координації точок площині щодо довільно вибраних осей, але це це і є найістотніша сторона справи. Спільно вийшов метод, що дозволяє висловити ті співвідношення, якими визначається геометричне місце, з допомогою рівнянь, що пов’язують координати його точок. Геометричні співвідношення вмістилося у загальні схеми аналітичної функціональної залежності, і було дано загальні методи вивчення цієї залежності засобами алгебри і грунтовного аналізу. Знайшли ключі до широкої нової постановці геометричного дослідження. Ферма дав систематичну зведення рівнянь найважливіших кривих. У Декарта цього немає, зате в нього ширше і глибше обкреслені загальні ідеї методу: саме твір мало бути прикладом того, яке значення має тут метод. Звісно, те що, щоб здійснити його систематично, знадобилося чимало часу. У Декарта йдеться лише про координацію точок на площині; природне узагальнення — визначення точки у просторі трьома координатами —було зроблено Ла-Гиром, багато сприяв розвитку методу Декарта. Уже перший систематичне виклад аналітичної геометрії в цілому дав Эйлер у другому томі свого «Введение в аналіз бесконечных».

С ім'ям Монжа пов’язана така ж завершення інший геометричній дисципліни — нарисної геометрії, чи, як його правильніше називають німці, образотворчої геометрії («Darstellende Geometric»). Завдання образотворчої геометрії залежить від такому графічному відтворенні образу заданого об'єкта, яким можна було б із точністю відтворити геометричні форми цього об'єкта. Такі зображення майже завжди доводиться відтворювати на площині (листку папери, полотні, камені, стіні); відповідно до цьому і образотворчий геометрія є майже теорію зображення предметів на площині; у тому зображенні просторових образів на площини і полягає труднощі завдання. Жодна галузь геометрії не виникла так безпосередньо з практичних завдань, як образотворчий геометрія. Першим спробував відтворення (малювання) природних об'єктів ставляться часам доісторичної давнини античному світі це мистецтво вже досягло високого рівня досконалості, але залишалося тільки мистецтвом, і тільки відтоді, як умови життя пред’явили до цього зображенню вимоги точності, виникає спеціальна наука — теорія графічного зображення. Основ з цією теорії природно було шукати у засобах сприйняття зорових відчуттів — в оптиці, точніше — в геометричній оптиці. Прямолінійність світлового променя має тут вирішальне значення. Якщо об'єкт перебуває між оком, і деякою площиною, наприклад стіною, то очей є центром, з якого предмет проектується пучком променів на площину. Ця обставина, яким вказував вже Евклид у своїй «Оптиці», зробило центральну проекцію основою всієї образотворчої геометрії. Перші систематичні кроки у тому напрямі належать римському зодчому і інженеру Витрувию, написавшему незадовго до християнської ери трактат про архітектуру за десять книгах.

Однако ідеї Вітрувія не надали великого впливу розвиток образотворчої геометрії, і її наново почала будуватися за доби Відродження. Три імені грають тут на вирішальній ролі: найбільший представник італійського Ренесансу Леонардо так Вінчі (1452—1519), німецький художник Дюрер (1471 —1528) й французький архітектор, інженер і математик Дезарг (1593—1662). У його трактаті про живопису («Trattato della pittura»), що у друку з’явився в 1701 р.,.

Заслуга Монжа трояка. По-перше, вирішив питання побудові зображення в одній площині, перенісши другу (вертикальну) проекцію й у першу горизонтальну площину; у своїй друга площину із нанесеною у ньому проекцією повертається на 90° навколо лінії перетину обох площин (лінії землі); одержувані отже, у горизонтальній площині дві проекції утворюють так званий «эпюр», яким вже з точністю відтворити зображуваний об'єкт; вчення про будівництво і «читанні» эпюра і як зміст нарисної геометрії Монжа. По-друге, Монж звів весь матеріал, зібраний стосовно різноманітним окремих об'єктах, в струнку систему. По-третє, спробував використовувати ці графічні методи з метою общегеометрического дослідження: оскільки зображуваний об'єкт цілком визначається эпюром, то геометричне дослідження цього об'єкта то, можливо зведено до вивчення эпюра. Ця остання ідея, проте, істотних результатів не дала.

Книга Мопжа являла собою підручник нарисної геометрії для паризькій Політехнічної школи; печатку цього твору і з сьогодні лежить на жіночих всіх довідниках по нарисної геометрии.

Таким чином, до кінця XVIII в. оформилися й одержали завершене вираз ті течії геометричній думки, що виникли за доби Відродження та поступово розвивалися протягом 6 століть. Істотні риси нової геометрії цієї другої (після еллінської) епохи розквіту полягали у дослідженні тієї ж питань, котрі обіймали грецьких геометрів, але за допомогою абсолютно нових методів. Принцип «geometria geometrice» відпадає; навпаки, в геометрії знаходять широке додаток дві нові математичні науки — алгебра і літочислення нескінченно малих. Нові методи геометричного дослідження носять значно більше абстрактний характер, й далі від безпосередньої інтуїції. Разом про те, вони дають загальніші кошти на вирішення конкретних завдань; часто питання дозволяється механічно, коли він належно своїх поставлений. Від геометризации алгебри робиться перехід до алгебраизации геометрії, і лише образотворчий геометрія будується старими, суто геометричними методами. Що ширшим розвиваються ці методи, то глибше стають їх практичні застосування. Невипадково, що у Франції основні геометричні дисципліни одержують у цю добу своє завершення, що у особі Монжа вони теж мають найяскравішого вираженого речника. Це був час розпалу Французькій революції і до її гасла, Монж належав до вождів революции.

4. Класична геометрія XIX века

. Могло здаватися, що успішний розвиток, яке нова геометрія отримало працях французьких геометрів кінця XVIII в., призвело до певного завершення її й що для створення нового поштовху залишається чекати епохи нового Відродження. Цього, проте, не сталося: XIX століття принесло з собою новий глибокий переворот й у змісті геометрії, і її методах, й у самих поглядах їхньому сутність. Найбільш характерною рисою нової геометрії була її алгебраизация. Але із коренів алгебраического методу росли протиріччя, мали двоякий источник.

Во-первых, сама алгебра непогані сильна. Кордони класичної геометрії визначалися тими питаннями, які алгебраїчно зводяться до рівнянням 1-ї та ІІ-го ступеня. Ці рівняння в надзвичайно простий формі дозволяються в радикалів. У цьому вся міститься ключі до дослідженню кривих ліній і поверхонь 2-го порядку, джерело простоти й витонченості, із якими геометрія древніх перекладається алгебраїчний мову. Але у вивченні складніших кривих, хоча навіть алгебраїчних, кошти алгебри загалом дослідженні втрачають свою простоту. Формули Кардано і Феррарі, службовці висловлення коренів рівнянь 3-ї та 4-ї ступеня, зі своїми вдаваними радикалами, яких не можна позбутися, майже знаходять собі застосування. За межами 4-го ступеня таких формул у загальне рішення рівнянь немає. Доводиться оперувати такими властивостями алгебраїчних рівнянь, широкої спільності яких розпливаються окремі приватні завдання. Саме це загальні питання алгебраїчній геометрії усе ж таки одержали дозвіл, а рішення багатьох окремих завдань методи Декарта дали менше, ніж від нього можна було ожидать.

Вторая сторона полягає у цьому, що у ланцюга рівнянь і алгебраїчних викладок губляться наочність і просторова інтуїція; цей потужний важіль синтетичної геометрії тут і абсолютно відмовляється служити. До цього приєднувалося та обставина, деякі частини алгебри і грунтовного аналізу були ще чимало обгрунтовані і вони містили протиріччя собі. Ці протиріччя викликали як сумніви, а й пряме дратує тих, кому невиразність думки нестерпна; а математику, звиклому до суворості логічного думки, таке умонастрій було надто обтяжує. Видатний учень Монжа Карно вважав, що й вчення про негативні числах, відіграватиме в методі координат важливу роль для, повно протиріч; він вимагав звільнення геометрії від «ієрогліфів аналізу». Прагнення подоланню що виникли таким чином протиріч призвело і до відродження суто геометричних методов.

Этот процес розгортався у різних напрямах; найбільш плідний шлях був пов’язані з методами образотворчої геометрії. Його вихідні пункти кореняться ще в дослідженнях Менелая.

При всьому тому значенні, яке синтетичні методи геометрії отримали ХІХ ст., не треба думати, що вони витіснили аналітичні прийоми. Навпаки, аналітична геометрія продовжувала широко повинна розвиватися у найрізноманітніших напрямах. Насамперед відгалужується алгебраїчна геометрія, т. е. вчення про алгебраїчних кривих, алгебраїчних поверхнях та його перетинах. Надзвичайно поглиблені дослідження, у цьому напрямі розгортаються за трьома путям.

Первый шлях через розвиток методів аналітичної геометрії, які застосовувались до дослідженню кривих 2-го порядку, веде до кривим 3, 4, 5, 6-го порядку як пласким, і просторовим. По різним підставах встановлюється їх класифікація, будуються їх эпюры (у разі просторових кривих), досліджується їх форма. Що Стосуються сюди результати надзвичайно різноманітні і дифференцированы.

Второй шлях веде своє керівництво головним чином Плюкера разом й характеризується тим, що у ній ставиться завдання досліджувати окремі алгебраїчні криві і поверхні, а розшукати спільні кошти для геометричній інтерпретації алгебраїчних уравнений.

Третий шлях є найбільш тісне об'єднання геометрії з алгеброю і теорією функцій. Якщо алгебраїчна крива виражається рівнянням f (x, у)=0 в раціональному вигляді, те в є те, що ми називаємо алгебраїчній функцією від x. Отже, що це загальна теорія алгебраїчних кривих і теорія алгебраїчних, функцій є одним ціле: перша представляє собою інтерпретацію другий з погляду Плюкера, друга є алгебраїчне вираз Першу світову погляду Штейнера. Надалі цей плідний шлях веде від Якобі, через Римапа і Гессе до сучасної теорії функцій комплексного змінного; дав ті докладання геометрії до теорії функцій, які Курант об'єднав під загальним назвою геометричній теорії функций.

Во всіх галузях математики вплив геометрії в XIX ст. дуже. У працях Минковского воно проникло навіть у таку область, як теорія чисел, що було цитаделлю арифметичних і алгебраїчних методів. Деякі математики, в особливості Шаль, стверджували, що алгебраи-зация геометрії XVIII в. змінилася в в XIX ст. геометризацией алгебри, але геометризацией незрівнянно більш досконалої, ніж це відбувалося у еллінську епоху. Навряд, проте, це. Справедливіше сказати, що домінуюча роль, яку аналітична геометрія грала у період з Декарта до Монжа, поступилося місцем тісної і глибокому об'єднанню аналітичних і геометричних методов.

5. Неевклидовая геометрия

Но багатовікові спроби докази п’ятого постулату Евкліда викликали появу кінці кінців до появи нової геометрії, відрізнялася від евклідовій тим, що V постулат не виконується. Ця геометрія називається неевклідової, а Росії називається Лобачевського, що опублікував роботи з її изложением.

И одній з передумов геометричних відкриттів М. І. Лобачевського (1792−1856) був саме його матеріалістичний підхід до проблем пізнання. Лобачевський Він був переконаний в об'єктивному і що залежить від людської свідомості існуванні матеріального світу й у можливостей його пізнання. У промові «Про найважливіших предметах виховання» (Казань, 1828) Лобачевський співчутливо наводить слова Ф. Бэкона: «залишіть трудитися даремно, намагаючись отримати від одного розуму всю мудрість; запитуйте природу, вона зберігає все істини і всі питання ваші відповідатиме вам неодмінно і задовільно». У його творі «Про основи геометрії», що є першої публікацією відкритої їм геометрії, Лобачевський писав: «перші поняття, із яким починається якась наука, би мало бути зрозумілі й наведено до самого меншому числу. Тоді лише можуть служити міцним і достатньою підставою вчення. Такі поняття купуються почуттями; уродженим — на повинен вірити». Тим самим було Лобачевський відкидав ідеї про апріорному характері геометричних понять, поддерживавшуюся І. Кантом.

Первые спроби Лобачевського довести п’ятий постулат ставляться до 1823 року. До 1826 року вона до переконання у цьому, що V постулат залежить від інших аксіом геометрії Евкліда і 11(23) лютого 1826 року зробив засіданні факультету казанського університету доповідь «Стислий виклад почав геометрії із суворим доказом теореми про паралельних», в якому було викладено початку відкритої їм «уявлюваного геометрії», як і називав систему, пізніше що отримала назву неевклідової геометрії. Доповідь 1826 г. увійшов до складу першої публікації Лобачевського по неевклідової геометрії - статті «Про основи геометрії», надрукованій у журналі Казанського університету «Казанський вісник» в 1829−1820 гг. подальшого розвитку і додатків відкритої їм геометрії були присвячені мемуари «Уявлювана геометрія», «Застосування уявлюваного геометрії до деяких интегралам» і «Нові початку геометрії з повним теорією паралельних», опубліковані «Учених записках» відповідно 1835, 1836 і 1835−1838 рр. Перероблений текст «Уявлюваного геометрії» з’явився в французькому перекладі у Берліні, там-таки в 1840 г. вийшли окремою книжкою німецькою «Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній» Лобачевського. Нарешті, в 1855 і 1856 рр. він видав у Казані російською і французькою мовами «Пангеометрию».

Высоко оцінив «Геометричні дослідження» Гаусс, який провів Лобачевського (1842) в члени-кореспонденти Геттінгенського вченого суспільства, колишнього сутнісно Академією наук ганноверського королівства. Однак у друку, у оцінкою нової геометричній системи Гаусс не выступил.

Исследования Гаусса по неевклідової геометрии

Высокая оцінка гауссом відкриття Лобачевського пов’язана з тим, що Гаусс, ще з 90-х років XVIII в. займався теорією паралельності ліній, дійшов тим самим висновків, як і Лобачевський. Свої погляди з цього питання Гаусс не публікував, вони залишилися самі у його чорнових записках й у небагатьох листів до друзів. У 1818 р. у листі до австрійському астроному Герлингу (1788−1864) він писав: «Я радію, що у вас є мужність висловитися бо коли б ви визнавали неправдивість нашої теорії паралельних, а водночас і нашої геометрії. Але оси, гніздо яких Ви потривожите, полетять Вам на голову»; очевидно, під «потревоженными осами» Гаусс мав на оці прибічників традиційних поглядів на геометрію, і навіть априоризма математичних понятий.

Янош Бояи..

Независимо від Лобачевського і гаусса на відкриття неевклідової геометрії прийшов угорський математик Янош Бояи (1802−1860), син Ф. Бояи.

Когда Я. Бояи дійшов тим самим ідеям, що Лобачевський і гаусс, батько не зрозумів його, проте запропонував надрукувати стисле вищенаведене викладення його відкриття вигляді додатку до своєму керівництву з математики, який вийшов в 1832 г. Повне назва праці Я. Бояи — «Додаток, що містить науку щодо простору, абсолютно справжню, не яка від істинності чи помилковості XI аксіоми Евкліда (що апріорі ніколи вирішено не може)» та її зазвичай коротко називають просто «Апендикс». Відкриття Я. Бояи був визнано за його життя; Гаусс, якому Ф. Бояи послав «Апендикс », зрозумів його, але ще не сприяв визнанню відкриття Я. Бояи.

Геометрия Лобачевского.

Лобачевский відразу поставив питання експериментальної перевірці того, яка геометрія має місце у світі - «вживана» чи «уявна», чого він вирішив виміряти суму кутів трикутника, освіченого двома діаметрально протилежними положеннями Землі їхньому орбіті і Сириусом і вважаючи одне із кутів цього трикутника прямим, а інший — рівним розі паралельності, Лобачевський знайшов, що ця сума відрізняється від на різницю, меншу помилки угломерных інструментів у його час. «Потому, — пише Лобачевський, — можете уявити, скільки ця різницю, де заснована наша теорія паралельних, виправдовує точність всіх обчислень звичайної геометрії і дозволяє прийняті початку розглядати, як б суворо доказанными».

Это пояснює, під «суворим доказом теореми про паралельних» у доповіді 1826 р. Лобачевський розумів неможливість встановити експериментальним шляхом, яка з цих двох геометрий має місце у світі, звідки випливає, що у практиці можна скористатися «вживаної геометрією», не ризикуючи запасти у ошибку.

Наиболее повно викладено система Лобачевського у його «Нових засадах з повним теорією паралельних» (1835−1838). Переказ геометрії у Лобачевського полягає в суто топологічних властивості доторку і перерізу, конгруентність тіл і рівність відрізків визначаються сутнісно з допомогою движения.

В пізніших роботах Лобачевський ввів координати і обчислив з геометричних міркувань низку нових певних з дитинства інтегралів, яким він спеціально присвятив роботу «Застосування уявлюваного геометрії до деяких интегралам» (Учений. зап. Казан. ун-ту, 1836), чимало з яких були у подальші справочники.

6. Геометрія XX века

Истекшие роки першої чверті XX в. як ми підбивали підсумки всього цього великому циклу ідей, але дали нове їхній розвиток, нові застосування, які довели їх до розквіту. Насамперед XX століття завдало нову гілка геометрії. Не скажеш, щоб він у цьому столітті виникла. Але аналогічно, як проективна геометрія створилася з розрізнених матеріалів, скоплявшихся з Дезарга протягом двох століть, то з різноманітних уривчастих ідей, розсіяних у всій історії геометрії, в XX в. складається особлива дисципліна — топология К початку ХХ століття належить зародження векторно-моторного методу в нарисної геометрії, застосовується у будівничій механіці, машинобудуванні. Цей метод розроблений Б. Майором і Р. Мизесом, Б. М. Горбуновым.

Геометрия Ейнштейна — Минковского

Геометрическая сторона побудованої Ейнштейном теорії відносності, особливо відтінена Мінковським, у тому, що світобудову, в його статичному стані нагальні моменти, тоді як у усієї своєї одвічною динаміці, Ейнштейн і Мінковський розглядають як розмаїття, елемент визначається чотирма координатами.

Руководясь тим, що гравітаційні сили у світі діють завжди, тоді як інші сили (електричні, магнітні) у кожному місці то з’являються, то зникають, Ейнштейн поставив собі за мету побудувати риманову геометрію цього четырехмерного різноманіття те щоб охопити однієї загальної схемою як просторові, і гравітаційні співвідношення, що панують у світобудові. Завдання полягало, отже, у тому виборі основний диференціальної форми, коли він система правильно відображає ці співвідношення в нескінченно малому елементі світу і гаразд інтегрування дає можливість висловити процеси кінцеві у часі і пространстве.

Роль геометрії в природознавстві досягла у тому задумі свого кульмінаційного пункту. Був порушено питання геометризации фізики. Найбільш, можливість такий порушення питання досить показова. Понад те, можливість і тих досягнень, які Ейнштейну удалося одержати, заснована, якщо можна висловитися, на геометризации самої римановой геометрии.

Заключение

Неевклидова геометрія зіграла величезну роль в усій сучасної математиці, і буде в теорії геометризованной гравітації марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна (1913;1915). Досить несподівано, ще раніше включилися була встановлено в’язь кінематики Лоренца-Пуанкаре з геометрією Лобачевського. У 1909 року Зоммерфельд показав, що довгоочікуваний Закон складання швидкостей даної кінематики пов’язаний з геометрією сфери мнимого радіуса (подібне співвідношення вже зазначали Лобачевський і Бояйи). У 1910 року Варичак зазначив аналогію цього закону складання швидкостей і складання відрізків на площині Лобачевського.

Предположение Лобачевського, що реальні геометричні відносини залежить від фізичної структури матерії, було підтверджено у космічних масштабах. Сучасна теорія квант з дедалі більшою настійністю висуває необхідність застосування геометрії, відмінній від евклідовій, до проблем микромира.

Геометрия претендує у найбільш потужного гармати точного природознавства на оволодіння механікою і фізикою, вона стоїть біля вершини людського знання. Вдасться ля їй виконати цей задум, чи збереже вона домінуюче місце чи порядку іншого подолання розростання протиріч вона має його поступитися, — це питання майбутнього, можливо, менш далекого.

Геометрия вивчає форми, розміри, взаємне розташування предметів незалежно від своїх інших властивостей: маси, кольору та таке інше. Геометрія як дає чітке уявлення про постатях. їх властивості. взаємній розташуванні, а й вчить розмірковувати, ставити питання, аналізувати, зробити висновок, тобто логічно мыслить.

Список литературы

Демьянов В.П. Геометрія і Марсельєза. — М.: Знання, 1986.

Каган В. Ф. Нариси з геометрії. — М.: Московський університет, 1963.

Математика ХІХ століття. — М.: Наука, 1981.

Свечников А. А. Подорож до історії математики чи як навчилися вважати. — М.: Просвітництво, 1995.

Юшкевич О.П. Історія математики Росії. — М.: Наука, 1968.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.