Однопорожнинний гіперболоїд

Міністерство вищої освіти Російської Федерации.

Московський державний будівельний университет.

РЕФЕРАТ.

На тему:

«Однополостный гиперболоид».

Факультет: ПГС.

Група: № 15.

Студент: Муравицкий А.С.

Викладач: Ситникова Е.Г.

Москва.

2003 Поверхні другого порядку — це поверхні, які у прямокутної системі координат визначаються алгебраїчними рівняннями другого ступеня. До них належать однополосный гіперболоїд. Однополосный гіперболоїд. Однополосным гіперболоїдом називається поверхню, що у деякою прямокутної системі координат визначається уравнением.

[pic] (1) [pic].

З рівняння (1) випливає, що координатні площині є площинами симетрії, а початок координат — центром симетрії однополостного гіперболоїда. Рівняння (1) називається канонічним рівнянням однополосного гіперболоїда. Якщо однополостный гіперболоїд заданий своїм канонічним рівнянням (1) то осі Ой, Зу і Oz називаються його головними осями.

Встановимо вид поверхні (1). І тому розглянемо перетин її координатными площинами Oxy (y=0) і Oyx (x=0). Отримуємо відповідно уравнения.

[pic] і [pic].

з яких випливає, що у перетинах виходять гіперболи. [pic][pic] Тепер на перерізу даного гіперболоїда площинами z=h, паралельними координатної площині Oxy. Лінія, получающаяся в сечении, визначається уравнениями.

[pic] чи [pic].

из які слід, що площину z=h перетинає гіперболоїд по еліпсу з полуосями [pic] і [pic], сягаючими своїх найменших значень при h=0, тобто. в сечении даного гіперболоїда координатної віссю Oxy виходить найменший еліпс з полуосями a*=a і b*=b. При нескінченному зростанні [pic] величини a* і b* зростають нескінченно. [pic].

Таким чином, розглянуті перерізу дозволяють зобразити однополосный гіперболоїд як безкінечною трубки, нескінченно розширення принаймні видалення (з обох боків) від площині Oxy. Величини a, b, з називаються полуосями однополосного гиперболоида.

Дослідження поверхні методом паралельних перетинів. Суть методу залежить від з’ясуванні форми ліній перетину поверхні з площинами, паралельними координатным площинам. Розглянемо лінії перетину з площинами, паралельними площині OXY. Усі рівняння ліній перетинань будуть виходити з рівняння площині, в якому z буде замінено певна кількість, однакову відстані від котрий перетинає площині до площині OXY. Для наочного уявлення, я зобразив всі отримані криві як проекцій на площину OXY. Зображення кривих представлені вище. Величини a, b, з називаються полуосями однополосного гіперболоїда. Якщо a=b, то гіперболоїд можна отримати обертанням гіперболи з полуосями чи з навколо мнимої осі 2с. Однією з прикладів такої поверхні є конструкція радиобашни побудованої за принципом сітчастих конструкцій на Шаболовці (р. Москва), Володимиром Григоровичем Шуховым в 1919 — 1922 рр. У минулому році виповнилося 80 років Шаболовской радиобашне — символу радянського телебачення 40−60-х годов.

Список використаної литературы:

1.Шипачёв В. С.: «Вища математика» 2.В.А. Ільїн, Є.Г. Позняк: «Аналітична геометрія» 3.И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев «Довідник з математики для інженерів і учнів ВТУЗОВ».