Дослідження властивостей гіперболічних функцій

Курсова робота

Дослідження властивостей гіперболічних функцій

Зміст

• Вступ
• 1. Гіперболічні функції
• 2. Обчислення меж гіперболічних функцій
• 2.1 Розкриття невизначеностей
• 2.2 Заміна змінного при обчисленні межі
• 2.3 Порівняння гіперболічних і зворотних до них функцій
• 2.3.1 Еквівалентні функції
• 2.3.2 Заміна функцій еквівалентними при обчисленні меж
• 2.3.3 Поняття нескінченно малої функції в порівнянні з інший
• 2.3.4 Критерій еквівалентності функцій
• 3. Диференціювання зворотних гіперболічних функцій
• 3.1 Диференціал функції
• 3.2 Правила диференціювання
• 3.3 Диференціювання складної функції
• 3.4 Диференціювання гіперболічних і зворотних гіперболічних функцій
• 4. Формула Тейлора гіперболічних функцій
• 4.1 Формула Тейлора
• 4.2 Формула Маклорена
• 4.3 Розкладання гіперболічних функцій по формулі Тейлора
• 4.4 Обчислення бокового вівтаря за допомогою формули Тейлора
• 5. Невизначений інтеграл гіперболічних функцій
• 5.1 Поняття невизначеного інтеграла
• 5.2 Властивості невизначеного інтеграла
• 5.3 Інтегрування гіперболічних і зворотних гіперболічних функцій
• 6. Ряди гіперболічних функцій
• 6.1 Статечні ряди
• 6.2 Властивості статечних рівностей
• 6.3 Ряд Тейлора
• 6.4 Розкладання гіперболічних функцій у ряд Тейлора
• 6.5 Гіперболічні функції комплексного змінного
• Висновок
• Список використаних джерел

Вступ

У математиці і її додатках до природознавства й техніки знаходять широке застосування показові функції. Це, зокрема, пояснюється тим, що багато досліджувані в природознавстві явища ставляться до числа так званих процесів органічного росту, у яких швидкості зміни функцій, що беруть участь у них, пропорційні величинам самих функцій.

Якщо позначити через функцію, а через аргумент, то диференціальний закон процесу органічного росту може бути записаний у вигляді де деякий постійний коефіцієнт пропорційності.

Інтегрування цього рівняння приводить до загального рішення у вигляді показової функції

Якщо задати початкова умова при, то можна визначити довільну постійну й, таким чином, знайти приватне рішення яке являє собою інтегральний закон розглянутого процесу.

До процесів органічного росту ставляться при деяких припущеннях, що спрощують, такі явища, як, наприклад, зміна атмосферного тиску залежно від висоти над поверхнею Землі, радіоактивний розпад, охолодження або нагрівання тіла в навколишнім середовищі постійної температури, хімічна реакція (наприклад, розчинення речовини у воді), при якій має місце закон дії мас (швидкість реакції пропорційна наявній кількості реагуючої речовини), розмноження мікроорганізмів і багато хто інші.

Зростання грошової суми внаслідок нарахування на неї складних відсотків (відсотки на відсотки) також являє собою процес органічного росту.

Ці приклади можна було б продовжувати.

Поряд з окремими показовими функціями в математику і її додатках знаходять застосування різні комбінації показових функцій, серед яких особливе значення мають деякі лінійні й дрібно-лінійні комбінації функцій і так звані гіперболічні функції. Цих функцій шість, для них уведені наступні спеціальні найменування й позначення:

(гіперболічний синус),

(гіперболічний косинус),

(гіперболічний тангенс),

(гіперболічний котангенс),

(гіперболічний секанс),

(гіперболічний секанс).

Виникає питання, чому дані саме такі назви, причому тут гіпербола й відомі із тригонометрії назви функцій: синус, косинус, і т.д. Виявляється, що співвідношення, що зв’язують тригонометричні функції з координатами крапок окружності одиничного радіуса, аналогічні співвідношенням, що зв’язують гіперболічні функції з координатами крапок рівносторонньої гіперболи з одиничною піввіссю. Цим саме й виправдується найменування гіперболічних функцій.

1. Гіперболічні функції

Функції, задані формулами називають відповідно гіперболічним косинусом і гіперболічним синусом.

Ці функції визначені й безперервні на, причому — парна функція, а — непарна функція.

Малюнок 1.1 — Графіки функцій

З визначення гіперболічних функцій і треба, що:

За аналогією із тригонометричними функціями гіперболічні тангенс і котангенс визначаються відповідно формулами

Функція визначена й безперервна на, а функція визначена й безперервна на множині з виколотою крапкою; обидві функції - непарні, їхні графіки представлені на малюнках нижче.

Малюнок 1.2 — Графік функції

Малюнок 1.3 — Графік функції

Можна показати, що функції й — строго зростаючі, а функція — строго убутна. Тому зазначені функції оборотні. Позначимо зворотні до них функції відповідно через .

Розглянемо функцію, зворотну до функції, тобто функцію. Виразимо неї через елементарні. Вирішуючи рівняння відносно, одержуємо Тому що, те, звідки

Заміняючи на, а на, знаходимо формулу для функції, зворотної для гіперболічного синуса:

Зауваження. Назва «гіперболічні функції» пояснюється тим, що рівняння можна розглядати як параметричні рівняння гіперболи. Параметр у рівняннях гіперболи дорівнює подвоєної площі гіперболічного сектора. Це відбито в позначеннях і назвах зворотних гіперболічних функцій, де частка є скорочення латинського (і англійського) слова «» — площа.

Вправа. Довести формули:

Доведемо формулу

Виразимо неї через елементарні. Вирішуючи рівняння відносно, одержуємо тому що, те, звідки Заміняючи на, а на одержимо

2. Обчислення меж гіперболічних функцій

2.1 Розкриття невизначеностей

При обчисленні меж часто зустрічається випадок, коли потрібно знайти де й — нескінченно малі функції при, тобто В цьому випадку обчислення межі називають «розкриттям невизначеності» виду .

Щоб знайти таку межу, звичайно перетворять дріб, виділяючи в чисельнику й знаменнику множник виду. Наприклад, якщо в деякій околиці крапки функції й представляються у вигляді де, а функції й безперервні в крапці, то при, звідки треба, що якщо .

Аналогічно, якщо й — нескінченно більші функції при, тобто те говорять, що їхня частка й різниця являють собою при невизначеність виду й відповідно. Для розкриття невизначеностей таких типів звичайно перетворять частка або різниця так, щоб до отриманої функції були застосовні властивості меж. Наприклад, якщо й — багаточлени ступеня, де, те, розділивши чисельник і знаменник дробу на, знайдемо, що

Приклад. Знайти якщо:

а) Розклавши чисельник і знаменник на множники, одержимо

звідки треба, що

б) Помноживши чисельник і знаменна функцію й використовуючи формулу, де одержимо

в) Тому що де, те використовуючи першу чудову межу й безперервність косинуса, одержуємо

2.2 Заміна змінного при обчисленні межі

Теорема 1. Якщо існують причому для всіх з деякої проколотої околиці крапки виконується умова, то в крапці існує межа складної функції й справедливо

Відповідно до визначення межі, функції й визначені відповідно в і, де, причому для виконується умова. Тому на множині визначена складна функція. Нехай — довільна послідовність така, що

Позначимо, тоді по визначенню межі функції

Тому що існує

Це означає, що тобто справедливо рівність

Приклад 1. Довести, що:

Функція безперервна й строго монотонна на (зростає при й убуває при). На проміжку існує зворотна до неї функція, безперервна й строго монотонна. З огляду на, що при й використовуючи формулу одержуємо

Відзначимо важливий окремий випадок формули (1):

Приклад 2. Довести, що

Тому що те, застосовуючи формулу одержуємо

гіперболічна функція тейлор макларен

2.3 Порівняння гіперболічних і зворотних до них функцій

2.3.1 Еквівалентні функції

Якщо в деякій проколотій околиці крапки визначені функції такі, що то функції й називають еквівалентними (асимптотичне рівними) при й пишуть при або, коротше, при

Наприклад, при, тому що, а

Відзначимо, що функції й, що не мають нулів у проколотій околиці крапки тоді й тільки тоді, коли

Поняття еквівалентності використовують у тих випадках, коли обидві функції і є або нескінченно малими, або нескінченно більшими при .

Складемо таблицю функцій, еквівалентних при :

Ці співвідношення залишаються в силі при, якщо замінити в них на функцію таку, що при .

Наприклад,

при

при .

Приклад. Довести, що при .

а) Користуючись тим, що й при, одержуємо при

б) Тому що й при, те при

2.3.2 Заміна функцій еквівалентними при обчисленні меж

Теорема 2. Якщо й при, то з існування межі функції при треба існування межі функції при й справедливість рівності

За умовою й при. Це означає, що

і, де lim і lim .

те найдеться така проколота околиця крапки, у якій визначені функції, ,, причому й, звідки треба, що в цій околиці визначена функція така, що

Отже, визначена функція

і

Тому що існує

те існує й справедливо рівність (2).

Приклад 1. Знайти

Так як

то при .

Звідси по теоремі треба, що шукана межа дорівнює .

Приклад 2. Знайти

Тому що при. Звідси, по теоремі треба, що шукана межа дорівнює .

2.3.3 Поняття нескінченно малої функції в порівнянні з інший

Якщо в деякій проколотій околиці крапки визначені функції

те функцію називають нескінченно малої в порівнянні з функцією при й пишуть

Цей запис читається так, є нескінченно мале від при, що прагне до «. Зокрема, запис означає, що є нескінченно малою функцією при .

Якщо в деякій проколотій околиці крапки, то співвідношення (3) можна записати у вигляді

або у вигляді

Варто мати на увазі, що функції, про які мова йде в записі (3), не обов’язково є нескінченно малими при .

Наприклад, якщо, те, а функції і є нескінченно більшими при .

У випадку, коли функція нескінченно мала більше високого порядку, чим. Наприклад, при функції, , нескінченно малі більше високого порядку, чим. Тому справедливі рівності, ,, .

Символ у цих рівностях служить для позначення множини або, як прийнято говорити, класу функцій, нескінченно малих більше високого порядку, чим, писати,. Однак другий запис незручний для застосування при виконанні операцій над функціями.

Із сказаного випливає, що рівність виду (3) не є рівністю у звичайному змісті. Така рівність відповідно до визначення запису (3) варто читати тільки ліворуч праворуч, оскільки права частина позначає клас функцій, нескінченно малих у порівнянні із при, а — яка-небудь функція із цього класу.

Відзначимо деякі важливі властивості символу, уважаючи, що

а рівності, що містять цей символ, читаються ліворуч праворуч (тут З — постійна):

Доведемо перше із цих властивостей.

Треба показати, що будь-яка функція, що належить класу функцій, належить і класу функцій, тобто якщо

По визначенню запис означає, що, де при. Але тоді, де при, тобто

Поряд із символом у математику вживають символ. Запис означає, що в деякій проколотій околиці крапки визначені функції такі, що де — функція, обмежена на, тобто .

Співвідношення (4) читається так: «є O велике від при, що прагне до «.

2.3.4 Критерій еквівалентності функцій

Теорема 3. Для того щоб функції були еквівалентними при, необхідно й досить, щоб

. (5)

Нехай при, тоді виконують умови

і тому ,

де

при. Звідси по визначенню символу треба, що, тобто справедлива рівність

.

Обернено, з рівності (5) треба, що при. Дійсно, якщо виконується рівність (5), те, де при, звідки, де при, тобто при .

Теорема 3 дозволяє наведену в пункті 2.3.1 таблицю еквівалентних функцій записати у вигляді

За допомогою цієї таблиці можна обчислювати межі функцій.

Приклад. Знайти

3. Диференціювання зворотних гіперболічних функцій

3.1 Диференціал функції

Визначення 2. Якщо функція визначена в — околиці крапки, а приріст функції в крапці представимо у вигляді

де не залежить від, а при, те функція називається дифиренцюємої у крапці, а добуток називається її диференціалом у крапці й позначається або .

У такий спосіб при, де .

Відзначимо, що приріст можна розглядати тільки для таких, при яких крапка належить області визначення функції, у той час як диференціал визначений при будь-яких .

Теорема 4. Для того щоб функція була дифиренцюємою у крапці, необхідно й досить, щоб ця функція мала похідну в крапці. При цьому диференціал і похідні зв’язані рівністю

Якщо функція дифиренцюєма в крапці, то виконується умова й тому, де при, звідки треба, що існує тобто існує .

Обернено, якщо існує те справедливо рівність

і тому виконується умова (6). Це означає, що функція диференційована в крапці, причому коефіцієнт у формулах

дорівнює, і тому диференціал записується у вигляді:

Таким чином, існування похідної функції в даній крапці рівносильне диференцюємості функцій у цій крапці інтервалу (a, b), називають диференцюєма на інтервалі (a, b).

Якщо функція диференцюєма на інтервалі (a, b) і, крім того, існують і, то функцію називають диференцюємою на відрізку [a, b].

Зауваження. Якщо, то з рівностей при й треба, що при й при .

У цьому випадку говорять, що диференціал є головна лінійна частина приріст функції, тому що диференціал є лінійна функція від і відрізняється від на нескінченно малу більше високого порядку, чим .

3.2 Правила диференціювання

Теорема 5. Якщо функції й дифиренцюємі в крапці x, то в цій крапці функції, (за умови, що

) і при цьому

Позначимо й. Тоді при, тому що існують і. Крім того, тому що функції й безперервні в крапці .

а) Якщо

звідки

Права частина цієї формули має при межа рівний

. Тому існує межа лівої частини, що по визначенню дорівнює. Формула (7) доведена.

б) Якщо

Звідси треба формула (8), тому що при

в) Якщо

або

Звідки

Переходячи до межі в цій рівності й з огляду на, що при, де, одержуємо формулу (9).

Наслідок. Якщо функція диференцюєма в крапці й — постійна, то тобто постійний множник можна виносити з-під знака диференціювання.

3.3 Диференціювання складної функції

Теорема 6. Якщо функції диференцюємі відповідно в крапках і, де, то складна функція диференцюєма в крапці, причому

(10)

Складна функція безперервна в крапці, тому що з функцій і треба безперервність цих функцій відповідно в крапках і. Тому функція визначена в при якімсь .

Нехай — довільний приріст незалежного змінного таке, що й. Позначимо

.

Приріст, що залежить від, визначає приріст функції в крапці, тобто

Тому що функція дифиренцюєма в крапці, те відповідно до формули (6)

де при .

Помітимо, що функція не визначена при. Однак приріст може звернутися в нуль і при. Тому при, думаючи. Тоді рівність (11) буде виконуватися й при .

Розділивши обидві частини рівності (14) на, одержимо

Приріст у лівій частині рівності (12) можна розглядати як приріст складної функції, що відповідає приросту аргументу .

Якщо, то в силу безперервності функції в крапці, і тому. Крім того,, тому що функція дифиренцюєма в крапці .

Отже, права частина рівності (12) має при межа, рівний. Тому існує межа в лівій частині (12), тобто складна функція дифиренцюєма в крапці й справедлива формула (10).

Наслідок. Диференціал функції має той самий вид як у випадку, коли — незалежна змінна, так і у випадку, коли — дифиренцюємая функція якого-небудь іншого змінного.

Приклад 1. Довести формули

Гіперболічні функції задаються наступними формулами

а) Застосовуючи теореми 4 і 6, одержуємо

Аналогічно доводиться формула (14)

б) Використовуючи правило диференціювання частки й формули (13) — (14), одержуємо

звідки треба рівність (15), тому що .

Аналогічно доведемо формулу (16), одержуємо

звідки треба рівність (16), тому що .

Приклад 2. Довести формули

Зворотні гіперболічні функції задаються наступними формулами:

Отже,

формула (17) доведена.

Аналогічно доведемо формулу (18).

Далі,

де

Звідки

3.4 Диференціювання гіперболічних і зворотних гіперболічних функцій

Формули диференціювання гіперболічних і зворотних гіперболічних функцій можна звести в наступну таблицю:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

. (10)

Перші чотири формули виводяться в такий спосіб.

По визначенню,

. Тому .

Аналогічно .

Тому що, т. е. Аналогічно

.

Наступні чотири формули можна вивести за допомогою правила диференціювання зворотної функції:. Якщо, то .

Диференціюючи по, одержимо. Тому

тому що

Якщо, то й, звідки

Якщо, і, звідки

Якщо, то й, звідки

Формули (9) і (10) одержують у такий спосіб. Як відомо,

Тому

З визначення функції, і з формули треба, що .

Тому

4. Формула Тейлора гіперболічних функцій

4.1 Формула Тейлора

Лема 1. Якщо функція має в крапці похідну n-го порядку, то існує багаточлен ступеня не вище n такий, що

Цей багаточлен представляється у вигляді

4.2 Формула Маклорена

Якщо існує, то

Якщо й існує, то рівність (20) приймає вид

Формулу (21) називають формулою Маклорена.

4.3 Розкладання гіперболічних функцій по формулі Тейлора

Тому що — непарна функція,

при, те по формулі

одержуємо

або

Аналогічно по формулі

знаходимо

або

Приклад. Розкласти по формулі Маклорена до функцію .

Тому що — непарна функція, те

звідки, дорівнюючи коефіцієнти при й, знаходимо

.

Отже,

4.4 Обчислення бокового вівтаря за допомогою формули Тейлора

Розглянемо межа при відносини, де, тобто межа типу. Будемо припускати, що

. Тоді розкладання функції по формулі Маклорена має вигляд

Аналогічно, припускаючи, що

по формулі (21) знаходимо

З рівностей (22) і (23) треба, що

Якщо, то

Якщо, то якщо ж, те

Приклад. Знайти

Використовуючи формули (21) і

Одержуємо

Отже, шукана межа дорівнює - 4.

5. Невизначений інтеграл гіперболічних функцій

5.1 Поняття невизначеного інтеграла

Сукупність всіх первісних для функцій на деякому проміжку називають невизначеним інтегралом від функції на цьому проміжку, позначають символом і пишуть

Тут — яка-небудь первісна функції на проміжку ,

C — довільна постійна. Знак називають знаком інтеграла, — підінтегральної функцією, — підінтегральним вираженням.

Підінтегральне вираження можна записати у вигляді або, тобто

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від даної функції, що є зворотної операції диференціювання, називають інтегруванням. Тому будь-яку формулу для похідній, тобто формулу виду, можна записати виді (24). Використовуючи таблицю похідних, можна знайти інтеграли від деяких елементарних функцій. Наприклад, з рівності треба, що

5.2 Властивості невизначеного інтеграла

Властивість 1.

З рівності (3) треба, що, тому що .

Властивість 2.

Рівність (27) треба з рівностей (24) і (25).

Властивість 3. Якщо функції й мають на деякому проміжку первісні, то для будь-яких таких, що, функція також має первісну на цьому проміжку, причому

Приклади. Знайти, якщо:

Рішення.

а) Використовуючи таблицю довільних і властивість 3 інтеграли, одержуємо

б) Тому що, те

Таблиця інтегралів гіперболічних функцій.

5.3 Інтегрування гіперболічних і зворотних гіперболічних функцій

Інтеграл виду де — раціональна функція від і, зводиться до інтеграла від раціонального дробу за допомогою підстановки тому що

Іноді більше ефективними при обчисленні інтеграла (28) можуть виявитися підстановки

Приклад. Знайти

Рішення. Тому що, те, думаючи, одержуємо

Зробивши обіг таблиці похідних з пункту 3.4, одержимо інтегральні вираження:

Наведені інтеграли можна продовжити. Застосовуючи звичайні методи інтегрування функцій з урахуванням співвідношень між гіперболічними функціями, можна одержати ще ряд формул які даються нижче (у додатку).

Розглянемо питання про обчислення інтеграла від раціональної функції гіперболічного синуса й гіперболічного косинуса. У курсі інтегрального вирахування доводиться, що інтеграл, де символ раціональної функції, завжди береться в кінцевому виді за допомогою універсальної підстановки. Зовсім аналогічно можна обчислити інтеграл за допомогою підстановки .

Поклавши, ми одержали, звідки

У свою чергу

Підставляючи отримані вираження, і через у підінтегральне вираження, будемо мати:

де символ раціональної функції від. Тому що інтеграл від раціональної функції завжди може бути виражений за допомогою кінцевого числа елементарних функцій, те й наш інтеграл може бути виражений через елементарні функції від, після чого залишається зробити зворотну заміну через. Приклад.

6. Ряди гіперболічних функцій

6.1 Статечні ряди

Функціональні ряди виду

(29)

де — задані комплексні числа й — комплексне змінне, називають статечними рядами, а числа — коефіцієнтами статечного ряду (29).

Думаючи в (29), одержимо ряд

(30)

дослідження збіжності якого еквівалентно дослідженню збіжності ряду (29).

Малюнок 6.1

Теорема 7 (Абеля). Якщо статечної ряд (30) сходиться при, то він сходиться й притім абсолютно при будь-якому такому, що, а якщо цей ряд розходиться при, те він розходиться при всякому, для якого .

Наслідок 1. Якщо ряд (30) сходиться в крапці, то в колі

де цей ряд сходиться абсолютно й рівномірно.

Наслідок 2. Якщо ряд (30) сходиться в крапці, то ряди

сходяться абсолютно в колі, а в колі - абсолютно й рівномірно.

Теорема 8. Для всякого статечного ряду (30) існує (- число або) таке, що:

а) якщо й ряд (30) абсолютно сходиться в колі

і розходиться поза колом; це коло називають навкруги збіжності ряду (30), а — радіусом збіжності ряду;

б) якщо, те ряд (30) сходиться в одній крапці ;

в) якщо, те цей ряд сходиться у всій комплексній площині.

Теорема 9 (Абеля). Якщо — радіус збіжності статечного ряду (30), причому, і якщо цей ряд сходиться при, то він сходиться рівномірно на відрізку, а його сума безперервна на цьому відрізку.

Теорема 10. Якщо існує кінцевий або нескінченний то ряд радіуса збіжності ряду (2) справедливі формула, а якщо існує кінцевий або нескінченний те

6.2 Властивості статечних рівностей

Теорема 11. Статечні ряди

мають той самий радіус збіжності.

6.3 Ряд Тейлора

Якщо функція визначена в деякій околиці крапки й має в крапці похідні всіх порядків, то статечної ряд

називається поруч Тейлора функції в крапці .

Теорема 12. Якщо функція всі її похідні обмежені в сукупності на інтервалі, тобто

те функція представляється збіжної до неї в кожній крапці інтервалу поруч Тейлора

6.4 Розкладання гіперболічних функцій у ряд Тейлора

Знайдемо розкладання основних гіперболічних функцій у ряд Тейлора в околиці крапки, тобто в ряд виду

який називають поруч Маклорена.

Показова й гіперболічна функції

Нехай, тоді для кожного, де виконуються нерівності

По теоремі 12 ряд (34) для функції сходиться до цієї функції на інтервалі при будь-якому, тобто радіус збіжності цього ряду. Тому що для функції виконуються рівності для кожного, то по формулі (34) одержуємо розкладання в ряд Маклорена показової функції

Використовуючи розкладання (14) і формули

знаходимо розкладання в ряд Маклорена гіперболічного косинуса й гіперболічного синуса:

Радіус збіжності кожного з рядів (36), (37) .

6.5 Гіперболічні функції комплексного змінного

Показова, гіперболічні функції комплексного змінного визначається відповідно формулами

Радіус збіжності кожного з рядів (38) — (39) дорівнює .

Висновок

Гіперболічні функції часто зустрічаються в різноманітних фізичних і технічних дослідженнях; досить важливу роль грають вони також у неевклідовій геометрії Лобачевского, беручи участь у всіх тригонометричних залежностях цієї геометрії. Теорія гіперболічних функцій може становити значний інтерес школяра й учителі середньої школи, тому що аналогія між гіперболічними й тригонометричними функціями по-новому висвітлює багато питань тригонометрії.

Список використаних джерел

1. Янпольський, А.Р. Гіперболічні функції. — К., 2005

2. Шерватов В. Г. Гіперболічні функції. — К., 2005

3. Гребенча М. К. Курс математичного аналізу. — К., 2006

4. Зверович Е.І. Речовинний і комплексний аналіз. — К., 2003

5. Волковиський Л.І. Збірник задач по ТФКП. — К. 2003

6. Курант Р. Курс диференціального й інтегрального вирахування. — К. 2005

7. Никольський С. М. Курс математичного аналізу. — К., 2006

8. Збірник задач по математичному аналізі (інтеграли, ряди) / Л. Д. Кудрявцев [і ін.] - К. 1996.

9. Фихтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального вирахування. — К., 2007

10. Сидоров Ю. В. Лекції по теорії функцій комплексного змінного. — К., 2000

11. Зорич В. А. Математичний аналіз. — К., 2005

12. Двайт Г. Б. Таблиці інтегралів і інші математичні формули. — К., 2008