Алгебра і Початок анализа

|Алгебра та початок аналізу. | |[pic]1. Лінійна функція y = ax + b, її властивості і графік. |Отве| | |т | |[pic]2. Квадратична функція y = ax2 + bx + з, її властивості і |Отве| |графік. |т | |[pic]3. Функція y = k/x, її властивості і графік, графік |Отве| |дробно-линейной функції (на конкретному приме-ре). |т | |[pic]4. Показова функція y = ax, її властивості і графік. |Отве| | |т | |[pic]5. Логарифмічна функція y = logax, її властивості і графік. |Отве| | |т | |[pic]6. Функція y = sin (x), її властивості і графік. |Отве| | |т | |[pic]7. Функція y = cos (x), її властивості і графік. |Отве| | |т | |[pic]8. Функція y = tg (x), її властивості і графік. |Отве| | |т | |[pic]9. Функція y = ctg (x), її властивості і графік. |Отве| | |т | |[pic]10. Арифметична прогресія, сума перших n членів |Отве| |арифметичній прогресії. |т | |[pic]11. Геометрична прогресія, сума перших n членів |Отве| |геометричній прогресії. Сума нескінченно убутній |т | |геометричній прогресії. | | |[pic]12. Рішення рівняння sin (x) = a, нерівностей sin (x) > a, |Отве| |sin (x) |[pic]13. Рішення рівняння cos (x) = a, нерівностей cos (x) > a, |Отве| |cos (x) |[pic]14. Рішення рівняння tg (x) = a, нерівностей tg (x) > a, tg (x) 0, цей кут гострий; якщо k < 0 — тупий; якщо k = 0, то пряма збігаються з віссю Ох.

5. Графік функції y = kx + b то, можливо постпоен з допомогою паралельного перенесення графіка функції y = kx.

[pic].

Ответ № 2. Опр. Квадратичной функцією називається функція, що можна поставити формулою виду y = ax2 + bx + з, де x — незалежна змінна, а, b і з — деякі числа, причому, а [pic]0.

Графіком квадратичной функції є парабола.

Властивості функції y = ax2(частный випадок) при, а > 0.

1. Якщо x = 0, то y = 0. Графік функції проходить через початок координат.

2. Якщо x [pic]0, то y > 0. Графік функції лежить у верхньої полуплоскости.

3. Графік функції симетричний щодо осі Oy.

4. Функція убуває між тим (- [pic]; 0] зростає між тим [0; + [pic]).

5. Найкоротший значення функція приймає при x = 0. Область значень функції [0; + [pic]).

Властивості функції y = ax2 при, а < 0.

1. Якщо x = 0, то y = 0. Графік функції проходить через початок координат.

2. Якщо x [pic]0, то y < 0. Графік функції лежить у нижньої полуплоскости.

3. Графік функції симетричний щодо осі Oy.

4. Функція убуває між тим [0; + [pic]) зростає між тим (- [pic]; 0].

5. Найкоротший значення функція приймає при x = 0. Область значень функції (- [pic]; 0].

І, так, графік функції y = ax2 + bx + з є парабола, вершиною якої є точка (m; n), де m = [pic], n= [pic]. віссю симетрії параболи служить пряма x = m, паралельна осі y. При, а > 0 галузі параболи спрямовані вгору, при a < 0 — вниз.

[pic].

Відповідь 3 Якщо змінна у зворотно пропорційна перемінної x, ця залежність виражається формулою [pic], де [pic]- коефіцієнт зворотної пропорциональности.

1. Область визначення функції [pic]- є чимало всіх чисел, відмінних нуля, т. е. [pic].

2. Графіком зворотної пропорційності у=k/x є крива, що складається з двох гілок, симетричних щодо початку координат. Така крива називається гіперболою. Якщо k>0, то галузі гіперболи перебувають у I і III координатних чвертях; Якщо ж k1.

а) область визначення — безліч всіх дійсних чисел;

б) безліч значень — безліч всіх позитивних чисел;

в) функція возрастает;

г) при x = 0 значення функції одно 1;

д) якщо x > 0, то ax > 1;

е) якщо x < 0, то 0.

а) D (f) = R+;

б) E (f) = R;

в) функція возрастает;

г) якщо x = 1, то loga x = 0;

д) якщо 0 0.

Свойства функції y = loga x при 0 1, то loga x < 0.

[pic] № 6. Опр. Ставлення катета прямокутного трикутника, противолежащего гострого розі, до гіпотенузі називається синусом цього кута (позначається sin [pic]).

1. область визначення — безліч всіх дійсних чисел;

2. безліч значень — [-1; 1];

3. функція непарний: sin (-x) = -sin (x) всім [pic];

4. функція періодична з найменшою позитивним періодом [pic];

5. sin (x) = 0 при x = [pic];

6. sin (x) > 0 всім [pic];

7. sin (x) < 0 всім [pic];

8. функція зростає на [pic];

9. функція убуває на [pic].

[pic] № 7.Опр. Ставлення катета прямокутного трикутника, прилежащего до гострого розі, до гіпотенузі називається косинусом цього кута (позначається co [pic]).

1. область визначення — безліч всіх дійсних чисел;

2. безліч значень — [-1; 1];

3. функція парна: cos (-x) = cos (x) всім [pic];

4. функція періодична з найменшою позитивним періодом [pic];

5. cos (x) = 0 при [pic];

6. cos (x) > 0 всім [pic];

7. cos (x) > 0 всім [pic];

8. функція зростає на [pic];

9. функція убуває на [pic].

[pic] № 8.Опр. Ставлення катета, противолежащего гострого розі прямокутного трикутника, до катету, прилежащему до цього розі, називається тангенсом (позначається tg [pic]).

1. область визначення — безліч всіх дійсних чисел, крім чисел вида[pic];

2. безліч значень — вся числова прямая;

3. функція непарна: tg (-x) = -tg (x) всім x в галузі определения;

4. функція періодична з найменшою позитивним періодом [pic];

5. tg (x) = 0 при x = [pic];

6. tg (x) > 0 всім [pic];

7. tg (x) < 0 всім [pic];

8. функція зростає на [pic].

[pic] № 9.Опр. Ставлення катета, прилежащего гострого розі прямокутного трикутника, до катету, противолежащему до цього розі, називається котангенсом (позначається ctg [pic]).

1. область визначення — безліч всіх дійсних чисел, крім чисел виду [pic];

2. безліч значень — вся числова прямая;

3. функція непарна: ctg (-x) = -ctg (x) всім x в галузі определения;

4. функція періодична з найменшою позитивним періодом [pic];

5. ctg (x) = 0 при x = [pic];

6. ctg (x) > 0 всім [pic];

7. ctg (x) < 0 всім [pic];

8. функція убуває на [pic].

[pic].

Відповідь № 10.

1. Числова послідовність, всі члени якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з однією і тим самим числом, називається арифметичній прогрессией.

2. З визначення арифметичній прогресії слід, що різницю між будь-яким її членом і його попереднім дорівнює одному й тому числу, т. е. А2 — а1 = а3 — А2 = … = ak — ak-1 = …. Ця кількість називається різницею арифметичній прогресії і звичайно позначається буквою d.

3. Щоб поставити арифметичну прогресію (аn), досить знати її перший член а1 і d.

4. Якщо різницю арифметичній прогресії - позитивне число, така прогресія є зростаючій; якщо негативне число, то убутній. Якщо різницю арифметичній прогресії дорівнює нулю, то ми все її члени рівні між собою — і прогресія є постійною последовательностью.

5. Характеристична властивість арифметичній прогрессии.

Послідовність (аn) є арифметичній прогресією тоді й тільки тоді, що кожен її член, починаючи з другого, є середнім арифметичним попереднього і наступного членів, т. е.

[pic](1).

6. Формула n-го члена арифметичній прогресії має вигляд: an = a1 + d (n;

1). (2).

7. Формула суми n перших членів арифметичній прогресії має вид:

[pic](3).

8. Якщо формулу (3) підставити замість аn його вираз за такою формулою (2), одержимо співвідношення [pic].

9. З визначення різниці арифметичній прогресії слід, що a1 + an.

= a2 + an-1 = …, т. е. сума членів, рівновіддалених від кінців прогресії, є незмінною. Відповідь № 11.

1. Числова послідовність, перший член якої різниться від нуля, а всі члени, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому одне і те нерівний нулю число, називається геометричній прогрессией.

2. З визначення геометричній прогресії слід, причетне будь-якого її члена до попередньому одно одному й тому числу, т. е. b2: b1 = b3: b2 = … = bn: bn-1 = bn+1:bn = …. Ця кількість називається знаменником геометричній прогресії і звичайно позначається буквою q.

3. А, аби поставити геометричну прогресію (bn), досить знати її перший член b1 і знаменник q.

4. Якщо q > 0 ([pic]), то прогресія є монотонної послідовністю. Нехай, наприклад, b1= -2, q = 3, тоді геометрична прогресія -2, -6, -18, … є монотонно убутна послідовність. Якщо q = 1, то ми все члени прогресії рівні між собою. І тут прогресія є постійною последовательностью.

5. Характеристичний властивість геометричній прогрессии.

Послідовність (bn) є геометричній прогресією тоді й тільки тоді, коли кожний її член, починаючи з другого, є середнім геометричне сусідніх із ним членів, т. е. [pic](1).

6. Формула n-го члена геометричній прогресії має вигляд: [pic](2).

7. Формула суми п перших членів геометричній прогресії має вид:

[pic], [pic](3).

8. Якщо формулу (3) підставити замість bn його вираз за такою формулою (2), вийде соот-ношение. [pic], [pic](4).

9. З визначення знаменника геометричній прогресії слід, що b1bn.

= b2bn-1 = …, тобто. твір членів, равноотстоящих від кінців прогресії, є величина постоянная.

Сума безкінечною геометричній прогресси при [pic].

1. Нехай (xn) — геометрична прогресія зі знаменником q, де [pic]и.

[pic]. Сумою безкінечною геометричній прогресії, знаменник якої задовольняє умові [pic], називається межа суми n перших її при [pic].

2. Означимо суму безкінечною геометричній прогресії через P. S. Тоді правильна формула [pic]. № 12.

Рішення тригонометрических рівнянь виду sin (x) = a.

1. формула для коренів рівняння sin (x) = a, де [pic], має вигляд: [pic].

Приватні случаи:

2. sin (x) = 0, x = [pic].

3. sin (x) = 1, x = [pic].

4. sin (x) = -1, x = [pic].

5. формула для коренів рівняння sin2(x) = a, де [pic], має вигляд: x=.

[pic].

Рішення тригонометрических нерівностей виду sin (x) > a, sin (x).

1. Нерівності, містять зміну тільки під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометрическими.

2. За позитивного рішення тригонометрических нерівностей використовують властивість монотонності триго-нометрических функцій, і навіть проміжки їх знакопостоянства.

3. Аби вирішити найпростіших тригонометрических нерівностей виду sin (x) > a.

(sin (x) < а) використовують одиничну окружність чи графік функції y = sin (x).

sin (x) = 0 якщо x = [pic];

sin (x) = -1, якщо x = [pic]>;

sin (x) > 0, якщо [pic];

sin (x) < 0, якщо [pic]. Відповідь № 13.

Рішення тригонометричного рівняння cos (x) = a.

1. Формула для коренів рівняння cos (x) = a, де [pic], має вигляд: [pic].

2. Приватні случаи:

cos (x) = 1, x = [pic];

cos (x) = 0, [pic];

cos (x) = -1, x = [pic].

3. Формула для коренів рівняння cos2(x) = a, де [pic], має вигляд: [pic].

Рішення тригонометрических нерівностей виду cos (x) > a, cos (x).

1. Аби вирішити найпростіших тригонометрических нерівностей виду cos (x) > a, cos (x).

2. Важливим моментом є знання, что:

cos (x) = 0, якщо [pic];

cos (x) = -1, якщо x = [pic];

cos (x) = 1, якщо x = [pic];

cos (x) > 0, якщо [pic];

cos (x) > 0, якщо [pic].

№ 14.

Рішення тригонометричного рівняння tg (x) = a.

1. Формула для коренів рівняння tg (x) = a має вигляд: [pic].

2. Приватні случаи:

tg (x) = 0, x = [pic];

tg (x) = 1, [pic];

tg (x) = -1, [pic].

3. Формула для коренів рівняння tg2(x) = a, де [pic], має вигляд: [pic].

Рішення тригонометрических нерівностей виду tg (x) > a, tg (x).

1. Аби вирішити найпростіших тригонометрических нерівностей виду tg (x) > a, tg (x).

2. Важливо знати, что:

tg (x) > 0, якщо [pic];

tg (x) < 0, якщо [pic];

Тангенс немає, якщо [pic].

№ 15.

1. Формулами приведення називаються співвідношення, з допомогою яких значення тригонометрических функцій аргументів [pic], [pic], [pic],.

[pic], виражаються через значення sin [pic], co [pic], tg [pic]и ctg.

[pic].

2. Усі формули приведення можна звести в таку таблицю: |Функция|Аргумент [pic] | |[pic] | |.

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |sin [pic] |co [pic] |co [pic] |sin [pic] |-sin [pic] |-co [pic] |-co [pic] |-sin [pic] |sin [pic] | |co [pic] |sin [pic] |-sin [pic] |-cos[pic] |-cos[pic] |- sin [pic] |sin [pic] |co [pic] |co [pic] | |tg [pic] |ctg [pic] |-ctg [pic] |-tg [pic] |tg [pic] |ctg [pic] |-ctg [pic] |-tg [pic] |tg [pic] | |ctg [pic] |tg [pic] |-tg [pic] |-ctg [pic] |ctg [pic] |tg [pic] |-tg [pic] |-ctg [pic] |ctg [pic] | |Для полегшення запам’ятовування наведених формул потрібно використовувати такі правила:

1. a) під час переходу від функцій кутів [pic], [pic]к функцій угла.

[pic]название функції змінюють: синус на косинус, тангенс на котангенс і наоборот;

під час переходу від функцій кутів [pic], [pic]к функцій угла.

[pic]название функції сохраняют;

б) вважаючи [pic]острым кутом (т. е. [pic]), перед функцією угла.

[pic]ставят такий знак, який має наведена функ-ция кутів [pic],.

[pic], [pic]. Усі формули можна було одержати, користуючись наступним правилом:

Любая тригонометрическая функція кута 90°n + [pic]по абсолютну величину дорівнює тієї ж функції кута [pic], якщо число n — парне, та додатковою функції, якщо число n — парне. У цьому, якщо функція кута 90°n + [pic]. позитивна, коли [pic]- гострий кут, то знаки обох функцій однакові, якщо негативною, то различны.

№ 16.

1. Формули косинуса суми і різниці двох аргументов:

[pic][pic].

Мал.1 Рис. 2.

Повернемо радіус ОА, рівний R, близько точки Про на кут [pic]и на угол.

[pic](рис.1). Одержимо радіуси ВВ і ОС. Знайдемо скалярне твір векторів [pic]и [pic]. Нехай координати точки У рівні х1 і y1, координати точки З рівні х2 і y2. Ці самі координати мають й вектори [pic]и [pic]. За визначенням скалярного твори векторов:

[pic][pic][pic]= х1×2 + y1y2. (1).

Висловимо скалярне твір [pic][pic][pic]через тригонометрические функції кутів [pic]и [pic]. З визначення косинуса і синуса слід, что.

х1 = R co [pic], y1 = R sin [pic], х2 = R co [pic], y2 = R sin.

[pic].

Підставивши значення х1, х2, y1, y2 в праву частина рівності (1), получим:

[pic][pic][pic]= R2cos[pic] cos[pic] + R2sin[pic] sin[pic] =.

R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic]).

З іншого боку, по теоремі про скалярном творі векторовимеем:

[pic][pic][pic]= [pic][pic]cos [pic]BOC = R2cos [pic]BOC.

Кут ВОС між векторами [pic]и [pic]может дорівнювати [pic];

[pic](рис.1), [pic]- ([pic] - [pic]) (мал.2) або може відрізнятиметься від цих значень на ціла кількість оборотів. У кожному з цих випадків cos.

[pic]BOC = co ([pic] - [pic]). Поэтому.

[pic][pic][pic]= R2 co ([pic] - [pic]).

Т.к. [pic][pic][pic]равно також R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic]), то.

cos ([pic] - [pic]) = cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic].

cos ([pic] + [pic]) = cos ([pic] - (-[pic])) = cos[pic] cos (-[pic]) + sin[pic] sin (-[pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic].

Значит,.

cos ([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic].

2. Формули синуса суми і різниці двох аргументов:

sin ([pic] + [pic]) = co ([pic]/2 — ([pic] + [pic])) = co (([pic]/2 ;

[pic]) — [pic]) = co ([pic]/2 — [pic]) cos[pic] + sin ([pic]/2 ;

[pic]) sin[pic] = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].

Значит,.

sin ([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].

sin ([pic] - [pic]) = sin ([pic] + (-[pic])) = sin[pic] cos (-[pic]) + cos[pic] sin (-[pic]) = sin[pic] cos[pic] - cos[pic] sin[pic].

Значит,.

sin ([pic] - [pic]) = sin[pic] cos[pic] - cos[pic] sin[pic].

№ 17.

Формули подвійних кутів Формули складання дозволяють висловити sin 2[pic], co 2[pic], tg 2[pic], ctg 2[pic] через тригонометрические функції кута [pic].

Положим в формулах.

sin ([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic] ,.

cos ([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic] ,.

[pic],.

[pic].

[pic]равным [pic]. Одержимо тотожності: sin 2[pic] = 2 sin [pic]cos [pic];

co 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]= 1 — sin2 [pic]= 2 cos2 [pic]- 1;

[pic]; [pic].

№ 18.

Формули половинного аргумента.

1. Висловивши праву частина формули co 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]через одну тригонометрическую функцію (синус чи косинус), то дійдемо соотношениям.

co 2[pic] = 1 — sin2 [pic], co 2[pic] = 2 cos2 [pic]- 1.

Якщо даних співвідношеннях покласти [pic]= [pic]/2, то получим:

co [pic]= 1 — 2 sin2 [pic]/2, co 2[pic] = 2 cos2 [pic]/2 — 1. (1).

2. З формул (1) слід, что.

[pic] (2), [pic] (3).

3. Розділивши почленно рівність (2) на рівність (3), получим.

[pic] (4).

4. У формулах (2), (3) і (4) знак перед радикалом залежить від цього, як і координатної чверті перебуває кут [pic]/2.

5. Корисно знати таку формулу:

[pic]. № 19.

Формули суми і різниці синусів, косинусов.

Суму і синусів чи косинусов можна як твори тригонометрических функцій. Формули, у яких грунтується таке перетворення, можна отримати з формул сложения.

Щоб краще уявити як твори суму sin [pic]+ sin [pic], між іншим [pic]= x + y і [pic]= x — y і скористаємося формулами синуса суми і синуса різниці. Получим:

sin [pic]+ sin [pic]= sin (x + y) + sin (x — y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy — cosx siny = 2sinx cosy.

Вирішивши тепер систему рівнянь [pic]= x + y, [pic]= x — y щодо x і y, одержимо x = [pic], y = [pic].

Следовательно,.

sin [pic]+ sin [pic]= 2 sin[pic] cos[pic] .

Аналогичным чином виводять формулы:

sin [pic]-sin [pic]= 2 cos[pic] sin [pic];

co [pic]+ co [pic]= 2 cos[pic] cos[pic] ;

co [pic]+ co [pic]= -2 sin[pic] sin [pic]. № 20.

Чтобы знайти рішення наведеного квадратного рівняння x2 + px + q = 0, де [pic], досить перенести вільний член в праву частина, й до обеем частинам рівності додати [pic]. Тоді ліва частина стане повним квадратом, і ми отримуємо равносильное рівняння [pic]= [pic]- q .

Оно відрізняється від найпростішого рівняння x2 = m була лише зовнішньою виглядом: [pic]стоит замість x і [pic]- q — замість m. Знаходимо [pic]= [pic]. Отсюба x = - [pic][pic]. Ця формула показує, що всяке квадратне рівняння має два кореня. Але це коріння можуть і вдаваними, якщо [pic]< q. Може також виявитися, що обидві кореня квадратного рівняння рівні між собою, якщо [pic]= q. Возращаемся до виду [pic].

1. Сума коренів наведеного квадратного рівняння x2 + px + q = 0 дорівнює другому коефіцієнта, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену, тобто. х1 + х2 = -р, а х1×2 = q .

2. Теорему, зворотна теоремі Виета. Якщо р, q, х1, х2 такі, що х1 + х2 = -р і х1×2 = q, то х1 і х2 — коріння рівняння x2 + px + q = 0.

№ 21 Опр. Логарифмом числа b по підставі а називається показник ступеня, в яку потрібно звести підставу а, чтобыполучить число b.

Формулу [pic](где b > 0, a > 0 і a [pic]1) називають основним логарифмическим тождеством.

Властивості логарифмов:

1. [pic];

2. [pic];

3. Логарифм твори дорівнює сумі логарифмів сомножителей:

[pic].

Аби довести скористаємося основним логарифмическим тождеством:

x = [pic], y = [pic].

Перемножимо почленно ці рівності, получаем:

xy = [pic][pic][pic]= [pic].

Отже, з визначення логарифма (п.3) доказан.

4. Логарифм приватного дорівнює логарифму діленого без логарифма делителя:

[pic].

Хід докази аналогічний доведенню п. 3.

5. Логарифм ступеня дорівнює твору показника ступеня на логарифм її основания:

[pic].

При доказі, також потрібен скористатися основним логарифмическим тотожністю. № 22.

1. Похідною функції f (x) у точці х0 називається межа відносини збільшення [pic]функции у точці х0 до збільшенню [pic]аргумента, коли останнє котиться до нуля. Це можна записати так: [pic].

2. З визначення похідною слід, що функція може мати похідну у точці х0 в тому разі, якщо її визначено у певній околиці точки х0, включаючи цю точку.

3. Необхідною умовою існування похідною функції у цій точці є безперервність функції у цій точке.

4. Існування похідною функції f у точці х0 еквівалентно існуванню (невертикальной) дотичній у точці (х0; f (х0)) графіка, у своїй кутовий коефіцієнт дотичній дорівнює [pic]. У цьому полягає геометричний сенс производной.

5. Механічний сенс похідною f «(x) функції у = f (x) — це швидкість зміни функції у точці x. Тому, за рішенні прикладних завдань слід, що який би процес ні описувався досліджуваної функцією у = f (x) похідну з фізичною погляду можна видати за швидкість, з якою протікає процес. № 23.

1. Похідна суми дорівнює сумі похідних, якщо вони существуют:

[pic].

2. Якщо функція u і v дифференцируемы у точці х0 їх похідні дифференцируемы у цій точці и.

[pic].

3. Якщо функція u і v дифференцируемы у точці х0, а З — стала, то функція Cu дифференцируема у цій точці и.

[pic].

4. Якщо функція u і v дифференцируемы у точці х0 й третя функція v не дорівнює нулю у цій точці, то приватне двох функцій теж дифференцируемо у точці х0 и.

[pic].