Шпаргалка з вищої математике

1. Визначники. Основні визначення. Обчислення визначників третього порядку. Визначникчисло, характеризує матрицю. Визначником матриці 1-го порядку А=(а11) є єдиний елемент цієї матриці. Визначником 2-го порядку називається число, характеризує матрицю 2-го порядку, що є з такого правилу: з художніх творів елементів головною діагоналі віднімається твір елементів другий діагоналі матриці А. Визначником матриці 3-го порядку називається число, вычисляемое за правилом Сарруса. Правило Сарруса: визначник 3-го порядку ((3) дорівнює алгебраїчній сумі шести потрійних творів елементів, котрі стоять у різних рядках і різноманітних шпальтах; зі знаком «+» беруться твори, сомножители розташовані на головною діагоналі й у вершинах трикутників, чиї підстави рівнобіжні головною діагоналі, інші складові беруться зі знаком «-».

2. Властивості определителей.

1) Якщо к.-л. рядок чи стовпець в матриці складається з самих нулів, то (цієї матриці дорівнює 0. 2) При транспонировании матриці її визначник не змінюється: (А (=(А'(. 3) Якщо всі елементи к.-л. рядки чи шпальти матриці помножити одне і те число, те й (цієї матриці множиться це самого числа. 4) При перестановці місцями 2-х рядків чи шпальт матриці її визначник змінює свого знака на протилежний. 5) Якщо квадратна матриця містить 2 однакових рядки чи шпальти, її визначник дорівнює 0. 6) Если 2 рядки чи 2 шпальти матриці пропорційні, її (дорівнює 0. 7) Сума творів елементів к.-л. рядки чи шпальти матриці і той рядки чи шпальти дорівнює 0. 8) Визначник матриці не змінюється якщо елементам рядка чи шпальти додати елементи інший рядки чи шпальти, помножений одне і те число. 9) Если к.-л. стовпець чи рядок матриці є сумою 2-х елементів, то (цієї матриці може бути подано у вигляді суми 2-х определителей.

3. Минор.

Минором Мij квадратної матриці n-го порядку елемента аij називається визначник (n-1)-ого порядку, отриманий із даного вычёркиванием i-ой рядки — і j-ого столбца.

4. Алгебраїчне дополнение.

Алгебраическим доповненням Аij для елемента квадратної матриці аij називається мінор цього елемента, узятий зі знаком (-1)i+j .

5. Обчислення визначників будь-якого порядку. Поняття означника n-ого порядка.

Определителем квадратної матриці n-ого порядку називається число, однакову алгебраїчній сумі n членів, кожен із якого є твором nелементів матриці, узятих однієї зі кожного рядка чи шпальти (причому знак кожного члена окреслюється (-1)r (j), де r (j)-число інверсій). Теорему Лапласа: визначник квадратної матриці дорівнює сумі творів елементів к.-л. рядки чи шпальти з їхньої алгебраїчні дополнения.

6. Матриці. Основні определения.

Матрицей розміру mxn називається прямокутна таблиця чисел, що містить m рядків і n шпальт. Вектор-строкой називають матрицю, що складається з однієї рядки. Вектор-столбцом — вже з шпальти. Матриця, що має кількість шпальт дорівнювала кількості рядків, називається квадратної матрицею n-ого порядку. Елементи матриці, які мають номер рядки — і номер шпальти збігається, називаються діагональними й утворюють головну діагональ матриці. Якщо всі недіагональні елементи матриці рівні нулю, то матрицю називають діагональної. Якщо в діагональної матриці n-ого порядку на головною діагоналі все елементи рівні 1, то матриця називається одиничної і позначається Є. Матриця будь-якого розміру, все елементи якої рівні 0, називається нуль-матрицей.

7. Операції над матрицами.

1)Умножение матриці на число: немає умов, помножити на число можна будь-яку матрицю. Твором матриці На число (називається матриця У, рівна (А елемент якою за такою формулою: bij =(x aij. А, щоб помножити матрицю на число необхідно помножити цього число кожен елемент матриці. 2) Сложение 2-х матриць: умова — складати можна тільки матриці однакового розміру. Сумою 2-х матриць Проте й У називається матриця С=А+В, кожен елемент якою за такою формулою Сij=aij+bij. А, щоб скласти 2 матриці, необхідно складати між собою елементи, які стоять на однакових місцях. 3) Вычитание 2-х матриць: операція аналогічна додаванню. 4) Умножение 2-х матриць: множення На У можливо тоді й тільки тоді, коли кількість шпальт, А одно числу рядків У; твором матриці А розміру mxk на матрицю У розміру kxn називається матриця З розміру mxn, кожен елемент якої дорівнює сумі творів елементів i-ой рядки матриці На відповідні елементи j-ого шпальти матриці У. 5) Возведение до рівня: будувати до рівня можна тільки квадратні матриці; цілої позитивної ступенем квадратної матриці Аm називається твір m-матриц, рівних А. 6) Транспонирование: немає умов; транспонирование-операция, у яких сморжі та стовпчики матриці змінюються місцями зі збереженням порядку елемента, у своїй елементи головною діагоналі залишаються у своїх местах.

8. Поняття зворотної матриці і алгоритм її вычисления.

Матрица А-1 називається зворотної стосовно квадратної матриці Якщо ж при множенні її в задану як справа і зліва вийдуть одинична матриця. Теорему (необхідне та достаточн. условие сущ-я обратн. матрицы): зворотна матриця А-1 сущ-т і єдина тоді й тільки тоді, коли задана матриця не вырожденная. Матриця називається вырожденной, якщо її визначник дорівнює 0, інакше вона — не вырожденная. Алгоритм: 1) Определитель заданої матриці. 2) Транспонирование. 3) Алгебраические доповнення всіх елементів транспонованої матриці. 4) Присоед. матрица А ((дома кожного эл-та Ат його алгебраич. доп-я). 5) А-1= 1/(А (((. 6) Проверка ((А-1 (А=Е.

9. Ранг матриці. Елементарні преобразования.

Рангом матриці А називається найвищий порядок відмінних 0 миноров цієї матриці (rang A=r (A)(. Ранг матриці не змінюється під час проведення елементарних перетворень. Перетворення: 1) отбрасывание рядки чи шпальти, які з одних нулів; 2) умножение всіх эл-ов к.-л. рядки чи шпальти матриці одне і те число, не на 0; 3) изменение порядку рядків чи шпальт матриці; 4) прибавление до кожного эл-ту к.-л. рядки чи шпальти эл-ов ін. рядки чи шпальти, помножених одне і те число, не однакову 0; 5) транспонирование матрицы.

10. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Основні визначення. Матрична форма записи.

Линейным ур-ем щодо невідомих x1, x2,…, xn називається вираз виду a1x1+a2x2+…+anxn=b, де a1, a2,…, an і bпрості числа, причому a1, a1,…, an називаються коефіцієнтами при невідомих, а bвільним коефіцієнтом. Послідовність чисел k1, k2,…, kn називається рішенням кря, якщо підстановці цих чисел в ур-е воно звертається до правильне рівність. Два лінійних ур-я називаються рівносильними, якщо розв’язання збігаються. Щоб самому отримати равносильное ур-е з заданого, необхідно здійснити такі перетворення: 1) перенесення доданків з частині ур-я до іншої; 2) поэлементное множення всього ур-я одне і те число, не на нуля. Вирішити лінійне ур-е -це що означає знайти його рішення чи встановити, що й немає. Система рівнянь називається спільної, якщо вона не має хоча одне рішення. Система ур-ий називається певній, якщо має одну єдине рішення, і невизначеної, якщо рішень безліч. Невідоме x1 називається разрешённым, якщо к.-н. ур-е системи містить невідоме x1 з коефіцієнтом, рівним 1, тоді як у все ін. ур-я системи невідоме x1 не входить. Якщо кожне ур-е системи містить разрешённое невідоме, то такої системи називають разрешённой. Невідомі СЛУ, які входить у дозволений набір, називаються вільними. Разрешённая СЛУ завжди совместна, вона певній, якщо число ур-ий одно числу невідомих; і невизначеної, якщо число невідомих більше, ніж ур-ий. А, щоб визначити совместна система чи ні, не вирішуючи її, можна скористатися теоремою Кронекера-Капелли. Матриця, эл-тами якої є коефіцієнти при невідомих системи, називається матрицею системи. Матриця системи, доповнена стовпцем вільних коефіцієнтів, називається розширеній матрицей.

11. Правило Крамера.

Правило Крамера: нехай (А-определитель матриці системи, а (j-определитель матриці, отриманою з матриці системи заміною j-ого шпальти на стовпець вільних коефіцієнтів; тоді, якщо (А (0, то система має єдине рішення, обумовлений за такою формулою (Xj= (j/ (A.

12. Теорему Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеній матриці цією системою. Система ур-ий називається спільної, якщо вона не має хоча одне решение.

13. Рішення систем лінійних алгебраїчних ур-ий методом Гаусса.

Метод Гаусса: кожну СЛУ з допомогою кінцевого числа перетворень можна перетворити на дозволену системи ур-ий чи систему, що містить суперечливе ур-е. Суперечливим називається ур-е виду OX1+OX2+…+OXn=b. Якщо кожне ур-е системи містить разрешённое невідоме, то такої системи називають разрешённой. Невідоме x1 називають разрешённым, якщо к.-н. ур-е системи містить невідоме x1 з коефіцієнтом, рівним 1, тоді як у й інші ур-я системи невідоме x1 не входит.

14. Матричний метод рішення системи лінійних алгебраїчних уравнений.

Этим чином можна розв’язати лише ті системи, у яких число невідомих одно числу рівнянь. Алгоритм: 1) Записать матрицю системи (А); 2) Знайти зворотний матрицю для матриці системи (А-1); 3) Помножити А-1 на матрицю вільних коефіцієнтів (У) (X=A-1(B.

15. Однорідна система лінійних алгебраїчних уравнений.

Система m лінійних ур-ий з n перемінними називається системою лінійних однорідних рівнянь, коли всі вільні члени рівні 0. Система лінійних однорідних ур-ий завжди совместна, т.к. вона має, по крайнього заходу, нульовий рішення. Система лінійних однорідних ур-ий має ненульове рішення тоді й тільки тоді, коли ранг її матриці коефіцієнтів при змінних менше ніж змінних, тобто. при rang A (n. Будь-яка лин. комбінація рішень системи лин. однородн. ур-ий є також рішенням цією системою. Система лин. независимых рішень е1, е2,…, еk називається фундаментальної, якщо кожне рішення системи є лінійної комбінацією рішень. Теорему: якщо ранг r матриці коефіцієнтів при змінних системи лінійних однорідних рівнянь менше ніж змінних n, то всяка фундаментальна система рішень системи складається з n-r рішень. Тому спільне рішення системи лин. однордн. ур-ий має вигляд: с1е1+с2е2+…+сkеk, де е1, е2,…, еk — будь-яка фундаментальна система рішень, с1, с2,…, сk — довільні числа і k=n-r. Загальне рішення системи m лінійних ур-ий з n перемінними дорівнює сумі допомоги загального сценічного рішення відповідної їй системи однородн. лінійних ур-ий і довільного приватного вирішення цієї системы.

1 (16). Скалярні і векторні величини. Основні определения.

В математиці використовується 2 виду величин: а) скалярні - величини, які повністю визначаються завданням їх числових значень (довжина, площа, обсяг, маса кафе і т.д.); б) векторні - величини, до повного визначення яких крім чисельного значення потрібні ще й напрями у просторі (зображуються з допомогою векторів). Вектор — спрямований відрізок на площині чи просторі, має певну довжину, у якого одне з точок прийнята за початок, іншу за кінець. Координатами вектора (а є координати його кінцевій точки. Довжиною вектора (нормою) чи модулем називається число, однакову довжині відрізка, який зображує вектор ((a (((x2+y2(+z2)(. Якщо початок і поклала край вектора збігаються, такий вектор називається нульовим і позначається (0. (напрям (0 довільно, не визначено). До кожного (а, відмінного від 0, існує протилежний -(а, який має модуль, рівний (а (, коллиниарен з нею, але направлений у інший бік. Два вектора (а и (в називаються коллинеарными, якщо вони розташовані на півметровій одній прямій чи паралельних прямих. Два вектора називаються рівними, якщо вони: 1) имеют рівні модулі; 2) коллиниарны; 3) направлены до однієї сторону.

2 (17). Лінійні операції над векторами. Властивості лінійних операций.

1)Сложение 2-х векторів: (правило трикутників) сумою 2-х векторів (а и (в називають вектор (з =(а +(в, початок якого збігаються з початком (а, а кінецьз кінцем (в за умови, що початок (в збігаються з концом (а. 2) Складання кількох векторів: (правило багатокутника) сума 4-х векторів (а,(в,(с,(d є вектор (е =(а +(в +(з +(d, початок якого збігаються з початком (а, а кінецьз концом (d. (правило паралелепіпеда) сума 3-х векторів (а,(в,(с окреслюється (d =(а +(в +(з. 3) Вычитание 2-х векторів: різницею 2-х векторів (чи (в називається сума (чи -(в (протилежного). 4) Сумою 2-х векторів однаковою розмірності n називається вектор, кожна компонента якого дорівнює сумі відповідних компонент доданків вектора: ((= (x +(y, (i=xi + yi (i.

5) Твором (x на дійсне число, а називається (в = а (x, кожна компонента якого дорівнює а ((xi. Cвойства лин. операцій над векторами: 1) коммутативное св-во суми (переместительное); 2) ассоциативное св-во суми (сочетательное); 3) ассоциативное щодо числового множника: ((((((((((((((; 4) дистрибьютивное (розподільче; 5) существование нульового вектора, такого, що ((((((((((; 6) для будь-якого ((існує такий протилежний -((, що (((((((((((((; 7) для будь-якого ((справедливо: (((((((.

3 (18). Векторное простір, його розмірність. Поняття Базиса.

N-мерным вектором називається упорядкована сукупність n-действительных чисел, записаних як (x=(x1,x2,xi, xn), де Xi-компонента (X. Два Nмірних вектора рівні тоді й тільки тоді, коли рівні їх відповідні компоненти: (x =(y, якщо xi=yi (і. Безліч векторів зі справжніми компонентами, у якому визначено операції складання векторів і множення вектора на число, що задовольнить всім сво-вам суми (коммутативное, асоціативні), називається векторным простором. Розмірність векторного простору дорівнює кількості векторів в базисі цього простору. Сукупність n-мерных векторів, розглянута з певними у ній операціями складання векторів і множення вектора на число, називається nмірним координатным простором. Система n—мерных лин. незалежних векторів називається базисом Rn (R2-плоскость, R3-пространство), якщо кожне вектор цього простору R розкладається за векторами цією системою. Базисом називається сукупність всіх лин. незалежних векторів системи простору. Теорему: у тому, щоб — 1)2 вектора на площині (2)3-в просторі) були лінійно не залежні необхідне й досить, що вони були 1) коллиниарны (2) компланарны). Вектори називаються компланарными, якщо лежать одноплощинно чи рівнобіжні площині. Два вектора (а и (в називаються коллинеарными, якщо їх розташовано в одній прямій чи на паралельних прямих. Теорему: якщо діагональна система є частиною n-мерных векторів, вона ж є базисом цією системою. Теорему: будь-який вектор системи векторів єдиним образів розкладається по векторах її базиса.

4 (19). Базис на площині. Розпад вектора по базису R.

Система n—мерных лин. незалежних векторів називається базисом Rn (R2- плоскость, R3-пространство), якщо кожне вектор цього простору R розкладається за векторами цією системою. Базисом називається сукупність всіх лин. незалежних векторів системи пространства.

5 (20). Базис у просторі. Розпад вектора по базису R.

Система n—мерных лин. незалежних векторів називається базисом Rn (R2- плоскость, R3-пространство), якщо кожне вектор цього простору R розкладається за векторами цією системою. Базисом називається сукупність всіх лин. незалежних векторів системи пространства.

6 (21). Лінійні операції над векторами, задані координатами.

7 (22). Проекція вектора але в вектор b. Направляючі косинуси вектора.

8 (23). Скалярне твір векторів. Властивості скалярного произведения.

Скалярным твором 2-х векторів (а и (в називається число, однакову твору модулів, перемноженных на co кута з-поміж них: а ((в (((а ((((в ((Co (, де (-угол (а между (в. Скалярне твір то, можливо знайдено також із формулі: (а ((в =((а ((пр.а (в =((в ((пр.в (а (скалярне твір 2-х векторів одно твору модуля однієї з них як на проекцію нею іншого вектора. Властивості скалярного твори: 1) Переместительное ((а ((в=(в ((а); 2) Сочетательное щодо числового множника ((((а ((в)=((а (((в); 3) Распорядительное (((а +(в)((с=(а ((з ((в ((с); 4) Если скалярне пр-е одно 0, то або рівний 0 одне із перемножаемых векторів, любо Co кута з-поміж них, тобто. вектори перпендикулярні. Скалярне твір саме він одно квадрату його модуля.

9 (24). Скалярне твір ортов. Скалярне твір векторів, заданих координатами.

10 (25). Визначення кута між двома векторами.

11 (26). Умови паралельності і перпендикулярности двох векторов.

12 (27). Векторное произведение.

Векторным твором вектора (але в вектор (в називається вектор (з, що визначається так: 1) модуль (з чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на перемножаемых вектори як у сторони (с (=(а (((в ((Sin (. 2) вектор з перпендикулярний обом перемножаемым векторах; 3) напрям вектора з таке, що й дивитися з кінця вздовж вектора, а до вектору в, здійснюється проти годинниковий стрілки. Геометрич. сенс векторного твори -модуль векторн. пр-я дорівнює площі паралелограма, побудованого на перемножаемых вектори. Якщо вектори задано в координатної формі, їх векторн. Твір перебувають розслідування щодо формулі: (а ((в =(і j k (.

(ax ay az (.

(bx by bz (.

13 (28). Властивості векторного произведения.

1. При перестановці сомножителей векторное твір змінює свого знака на протилежний, зберігаючи у своїй свій модуль: (а ((в =((в) ((а. 2) Векторн. пр-е має сочетательным св-вом щодо числового (скалярного) множника: ((((а ((в (((((а (((в ((а (((((в (. 3) Векторн. пр-е має розподільчим св-ом. 4) Якщо векторн. пр-е 2-х векторів одно 0- вектору, то або рівний 0 одне із перемножаемых векторів, любо синус кута з-поміж них, тобто. вектори коллиниарны (рівнобіжні). (А, щоб 2 ненульових вектора були коллиниарны необхідне й досить, щоб їх векторное пр-е було одно нуль-вектору.

14 (29). Векторное твір ортов.

15 (30). Векторное твір векторів, заданих проекциями.

16 (31). Змішане твір векторів. Властивості змішаного твори. Геометричний сенс змішаного произведения.

Рассмотрим твір векторів, а і з, складене так: ((а ((в) — векторно, та був отриманої твір множать на (з скалярно. ((а ((в) ((з. Таке твір називається векторно-скалярным чи змішаним. Воно є певна кількість. Скалярним твором двох векторів називається твір довжин двох векторів на косинус кута з-поміж них. Змішане твір одно определителю 3-го порядку, в рядках якої стоїть відповідні проекції перемножаемых векторов.

Свойства: 1) если всередині змішаного твори на векторном творі поміняти множники місцями, то змішане пр-е змінить свого знака на протилежний, тобто. ((а ((в) ((з = - ((в ((а) ((з; ((а ((в) ((з = (з (((а ((в). 2) Для здобуття права 3 вектора, а і з були компланарны, необхідно і, щоб їх змішане твір дорівнювало 0: ((а ((в) ((с=0. Вектори, паралельні площині чи які у площині, називаються компланарными. Геометрич. сенс змішаного твори: у тому, що змішане пр-е з точністю до знака одно обсягу паралелепіпеда, побудованого цих вектори як у рёбрах.

1 (32). Координати на прямий. Розподіл відрізка у цьому отношении.

Положение кожної крапки над осі визначається кількістю, рівним відношенню довжини відрізка прямий від точки 0 до заданої точки до обраної одиниці довжини. Становище кожної крапки над вертикальної осі визначається координатою, що називається ордината. Координата на горизонтальній осі називається абсциса. Метод координат на площині ставить за відповідність кожної точки площині впорядковану пару дійсних чисел — координати цієї точки. Відстань між 2-мя точками можливо знайти 2-мя шляхами: 1) если обидві точки лежать в одній осі, то відстань з-поміж них по осі ординат (чи абсцис) одно 0, а, по осі абсцис (ординат) абсолютну величину різниці між абсциссами кінця так і початку відрізка +рис.; 2) якщо 2 точки лежать у однієї площині, довжина відрізка дорівнює квадратному корені від суми квадратів разностей відповідних координат кінців отрезков.

Деление відрізків у плані: дано 2 точки М1((((((і М2((((((. Потрібна знайти всередині відрізка точку М з координатами ((;((, таку, що відрізок М1М2 поділиться точкою М у відсотковому співвідношенні М1М/М2М=(. Знайти координати М, задовольняють даному рівності. Рішення: М1М/М2М=АА1/АА2. АА1=X-X1, AA2=X2-X. M1M/M2M=(X-X1)/(X2-X) =(. X-X1=((X2-X), X-X1=(X2-(X. X+(X=X1+(X2(X (1+() =X1+(X2, X=X1+(X2/1+(.

2 (33). Загальне рівняння прямий та її исследование.

Рассмотрим ур-е першого ступеня з цими двома перемінними загалом: Ax+By+C=0, у якому коефіцієнти Проте й Не рівні одночасно нулю, т. е.А2+В2 (0. 1) Пусть В (0. Тоді ур-е Аx+By+C=0 можна записати як y= -Ax/B — C/B. Означимо k= -А/В, b= -C/B. Якщо А (0, С (0, одержимо y=kx+b (ур-е прямий, що проходить ч/з початок координат); якщо А=0, С (0, то y=b (ур-е прямий, паралельної осі Оy); якщо А=0, С=0, то y=0 (ур-е осі Оx). 2) Пусть В=0, А (0. Тоді ур-е Аx+By+C=0 набуде вигляду x= - C/A. Якщо С (0, одержимо x=a (кре прямий, паралельної осі Оy); якщо С=0, то x=0 (ур-е осі Оy). Таким чином, за будь-яких значеннях коефіцієнтів А, У (не рівних одночасно нулю) і З ур-е Ax+By+C=0 є ур-е деякою прямий лінії на площині Оxy. Це ур-е називається загальним ур-ем прямий. Ур-е прямий, заданий загалом вигляді, не дає ставлення до розташуванні прямий на площині, але потім із нього легко знаходяться практично всі основні хар-ки прямий: 1) k= -A/B; 2) начальная ордината b= - C/B; 3) відтинки, отсекаемые прямий на вісях ординат: Ax+By+C=0 /((- C).

— Ax/C-By/C=1.

a= - C/A; b= - C/B.

3 (34). Рівняння прямий, що проходить через точку М (x, y) перпендикулярно нормальному вектору n (A, B).

4 (35). Рівняння прямий, що проходить через точку М (x, y) паралельно який вектору q (l, m).

5 (36). Рівняння прямий, що проходить за два точки М 1(x1, y1) М2 (x2, y2).

Это ур-е є приватною випадком ур-я пучка прямих. Пряма задана 2-мя лежать у ньому точками М1 (x1;y1) і M2(x2;y2), x1(x2, y1(y2(при рівність — застосування ур-япрямой, проход.ч.з 2 точки, неможливо). Для складання ур-я прямий М1М2 необхідно ур-е пучка прямих, проходять ч/з точку М1: yy1=k (x-x1). Т.к. точка M2(x2;y2) лежить даної прямий, те що виділити її з пучка, підставимо в ур-е пучка прямих координати М2 і знайдемо кутовий коефіцієнт: k=y2-y1/x2-x1.

Теперь ур-е прямий, проходящеё через 2 задані точки, набуде вигляду: y-y1=(xx1) (y2-y1/x2-x1(y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1.

(др. спосіб: після ур-я кутового коэф-та виводжу: tg (=M2(N/M1(N, M2N=y2-y1; M1N=x2-x1(tg (=K=y2-y1/x2-x1. Підставимо це ур-е в ур-е пучка прямих: yy1=(x-x1)(y2-y1/.

/x2-x1 (((y2-y1)(y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1.).

6 (37). Рівняння прямий в отрезках.

Прямая задана відрізками, що вона відсікає на вісях координат. Знайду ур-е прямий по заданим відрізкам а (0 і b (0, отсекаемым на вісях координат. Використовуючи ур-е прямий, що проходить через точки А (а;0) і В (0;b) — y-y1/y2- y1=x-x1/x2-x1—ур-е прямий в відтинках набуде вигляду: y-0/b-0= x-a/0-a чи: -ay= b (x-a), -ay-bx+ab=0 ((ab; -y/b-x/a+1=0 (((-1);

x/a+y/b=1. А-отрезок, отсекаемый на осі Оx; В-отрезок на осі Оy. Тоді пряму можна з’ясувати, як пряму, задану двома точками (A (a;b) на осиOx і B (0:b) на осі Oy. Підставивши координати цих точок в ур-е прямий, що проходить за два задані точки, одержимо ур-е прямий в отрезках.

7 (38). Рівняння прямий з кутовим коэффициентом.

Угловой коефіцієнт прямийодне з характеристик розташування прямий на площині; її нахил щодо осі Оx (за кут нахилу приймається ((, отсчитываемый від осі Оx проти помаху годинникової стрілки до цієї прямий); tg кута нахилу цієї прямий до осі Оx. Якщо k ((, то (-гострий; якщо (=0, то k=0, пряма паралельна осі Оx; якщо (=90(, то пряма паралельна осі Оy, kнемає. Нехай становище прямий в прямокутної системі координат поставлено величиною відрізка, отсекаемого цієї прямий на осі Оy і k цієї прямий. Візьмемо довільну точку М ((;(). Тоді tg кута (нахилу прямий знайдемо з прямокутного трикутника МВN: tg (= MN/NB= y-b/x. Введём кутовий коефіцієнт прямий k=tg (; одержимо k=y-b/x. y=kx+b — ур-е прямий з кутовим коефіцієнтом. Залежно від величин k і b можливі такі варіанти розташування прямий: 1) при в (0, пряма перетинає вісь Оx вище початку координат; при в (0, пряма (Оx нижче початку координат. 2) при k (0, пряма утворює гострий кут з Оx; при k (0,-тупой кут; при k=0-параллельна осі Оx; при k=(-перпендикулярна Оx.

8 (39). Рівняння прямий, що проходить через цю точку М (x, y) з цим кутовим коефіцієнтом k.

9 (40). Нормальне рівняння плоскости.

Нормальное ур-е площині: x (Cos () +y (Cos ()+z (Cos ()+(=0, де Co (, Co (, Co (-направляючі Co -сы нормального вектора; (-відстань з початку координат до площині. Загальне ур-е наводиться до нормальному виду шляхом множення на нормирующий множитель.

10 (41). Умова паралельності і перпендикулярности прямых.

1)Если прямі рівнобіжні, всі вони утворюють з віссю OX однакові кути. Тому кутові коэф-ты k1 і k2 цих прямих рівні. Назад, якщо k1= k2, то кути нахилу прямих до осі OX однакові, звідки слід, що ці прямі рівнобіжні. Умовою паралельності 2-х прямих яв-ся рівність їх кутових коефіцієнтів. 2) Формула tg (=k2-k1/1+k1k2 визначає кут (між пересічними прямими через tg (. Якщо (=90, ця формула виявляється незастосовною, т.к. tg=90 немає. Якщо прямі взаємно перпендикулярні, то (2=(1+90, звідки tg (2= tg ((1+90)= -Сtg (1. tg (2= - 1/ tg (1. Замінюючи tg (1 і Сtg (2 через k1 і k2, знаходимо: k2= 1/ k1 чи 1+ k1k2=0. Назад, нехай k2= 1/ k1, це що означає, що tg (2= -1/tg (1 звідки отримуємо (2=(1+90. Отже, кут між двома даними прямими дорівнює 90, тобто. прямі взаємно перпендикулярні. Умова перпендикулярности 2-х прямих у тому, що кутові коэф-ты цих прямих обратны по абсолютної величині і протилежні за сигналом: k2= -1/ k1.

11 (42). Кут між прямыми.

Угол (між 2-мя паралельними прямими дорівнює 0, тоді tg (=0; з іншого боку, з умови паралельності, тобто. з рівності k1= k2, слід, що k1- k2=0 і з формулі tg (=k2-k1/1+k1k2-угол між 2-мя пересічними прямыми-получаем: k1-k2/1+k1k2=0.

12 (43). Площину у просторі. Види рівнянь плоскости.

Существуют такі види ур-ий площині: 1) Загальне ур-е площині: Ax+By+Cz+D=0, де (n=(A, B, C) — нормальний вектор площині. 2) ур-е площині, що проходить через точку М1(x1;y1;z1) перпендикулярно вектору (n=(A, B, C): A (x-x1)+B (y-y1)+C (z-z1)=0. 3) Ур-е площини у відтинках: x/a+y/b+z/c=1, де a, b, c-величины відрізків, отсекаемых площиною на вісях координат. 4) Нормальное ур-е площині: x (Cos () +y (Cos ()+z (Cos ()+(=0, де Co (, Co (, Co (-направляючі Co -сы нормального вектора; (- відстань з початку координат до площині. Загальне ур-е наводиться до нормальному виду шляхом множення на нормирующий множник. 5) Ур-е площині, що проходить через три задані точки: М1(x1;y1;z1), М2(x2;y2;z2), М3(x3;y3;z3).

(x-x1 y-y1 z-z1(.

(x2-x1 y2-y1 z2-z1(=0.

(x3-x1 y3-y1 z3-z1(.

13 (44). Умова паралельності і перпендикулярности плоскостей.

14 (45). Пряма у просторі. Види рівнянь прямий в пространстве.

Взаимное ур-е 2-х прямих у просторі: а) нехай прямі задано своїми канонич. ур-ями: x-x1/L1=y-y1/m1=z-z1/n1,.

x-x2/L2=y-y2/m2=z-z2/n2; де (q 1(L1;m1;n1), (q2 (L2;m2;n2) — направляючі вектори. Тоді прямі рівнобіжні, якщо рівнобіжні їх направляючі векторы:(q1 (((q2 (L1/L2=m1/m2=n1/n2. б) нехай прямі задано аналогічно випадку а). Дві прямі (тоді й тільки тоді, якщо їх направляючі вектори перпендикулярні ((q1((q2).

L1L2+m1m2+n1n2=0. Існують такі види ур-ий прямий у просторі: 1) Общее ур-е прямий: пряма ставиться як лінія перетину 2-х плоскостей.

(A1x+B1y+C1z+D1=0.

(A2x+B2y+C2z+D2=0, де А1, В1, С1-непропорциональные коефіцієнтам А2, В2, С2.

2)Ур-е прямий, що проходить за два точки (виводиться аналогічно ур-ю прямий на плоскости):

x-x2/x2-x1=y-y2/y2-y1=z-z2/z2-z1.

3)Каноническое рівняння прямий у просторі (ур-е прямий, що проходить ч/з задану точку М0 (x0;y0;z0), паралельно який вектору (q (l;m;n)):

x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n.

4)Параметрическое ур-е прямий: пряма ставиться з допомогою точки, лежачої на прямий, і подає вектора. М0(x0;y0;z0), (q (l;m;n). (x=x0+lt.

(y=y0+mt.

(z=z0+nt, tпараметр.

5)Угол між 2-мя прямими у просторі - це, практично, кут поміж їхніми напрямними векторами:

Cos (=L1L2+m1m2+n1n2/(L12 +m12+n12 ((L22+m22+n22 .

15 (46). Взаємна розташування прямий і плоскости.

1)Угол між прямий і площиною обчислюється за такою формулою: Cos (=(Al+Bm+Cn (((A2+B2+C2 ((l2+m2+n2. Де l, m, nкоординати подає вектора прямий; A, B, Зкоординати (n. І тут пряма то, можливо задана канонічним чи параметрическим ур-ем прямий, а площину — загальним. 2) Прямая і площину у просторі рівнобіжні: тоді навіть тільки тоді ми, коли скалярне твір подає вектора прямий і нормального вектора площині одно 0. (n (A, B, C)(q (l;m;n)(Ax+By+Cz+D=0 (загальне ур-е площині); x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n. Т.к. (n ((q=0 (Al+Bm+Cn=0. 3) прямая і площину у просторі перпендикулярні: тоді й тільки тоді, коли спрямовує вектор прямий нормальна вектор площині коллинеарные (рівнобіжні). Два вектора коллинеарны тоді й тільки тоді, якщо їх векторное твір одно 0 чи координати пропорційні. Т.к. (n ((q=0, А/l=B/m=C/n. 4) условия, у яких пряма належить площині: а) скалярное произведение (n ((q=0, тобто. Al+Bm+Cn=0; б) при підстановці координат точки, лежачої на прямий, на загальне ур-е площині виходить правильне рівність (Ax0+By0+Cz0+D=0.

(x=x0+lt,.

(y=y0+mt,.

(z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой).

5)точка перетину прямий і в пласкості: у тому, щоб знайти координати точки перетину прямий і в пласкості у просторі, необхідно спільно вирішити систему, складену з ур-ий: x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n (канонич. ур-е прямий), Ax+By+Cz+D=0 (загальне ур-е площині). Для того, чтобы вирішити таку систему необхідно вийти з канонич. ур-я до параметрическому:

(x=x0+lt,.

(y=y0+mt,.

(z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой).

(Ax+By+Cz+D=0.

16 (47). Криві другого порядку. Окружность.

Кривой 2-го порядку називається лінія, обумовлена рівнянням 2-ой ступеня щодо поточних декартовых координат. Загалом вигляді ур-е набирає вигляду: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, де A, 2B, З, 2D, 2E, Fсправжні числа. З іншого боку, по крайнього заходу, одна з цих чисел (0. Окружность-множество точок, одно удалённых від даної точки (центру). Якщо позначити через R радіус дкр., а ще через С (x0,y0) -центр окружності, то виходячи з того визначення :

Возьмём на дкр. довільну точку М (x, y). За визначенням, відстань РМ= R. Висловлю РМ ч/з координати заданих точок: РМ =((x-x0)2+(y-y0)2 = R (R2=(x-x0)2+(y-y0)2 -ур-е дкр. З центром у точці С (x0,y0). Це ур-е називається нормальним ур-ем окружності. Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0-ур-е другого ступеня з 2-мя перемінними загалом. Ax2++Cy2 =(-крива другого порядку, де А, В, С нерівні 0 одночасно, тобто. А2+В2+С2(0. x2+y2−2x0x- 2y0y+x02+y02-R2=0; B=0, A/1=C/1(A=C (0 (т.к. A2+B2+C2(0, B=0). Отримуємо кре: Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0- загальне ур-е оркужности. Поділимо обидві частини цієї ур-я на А (0 і, доповнивши члени, містять x, y, до квадрата, отримуємо: (x+(D/2A))2+(y+(E/2A))2=(D2+E2−4AF)/4A2. Cравнивая це ур-е з крїм дкр., можна дійти невтішного висновку, що ур-е: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0-ур-е дійсною окружності, если:1)А=С; 2) В=0; 3) D2+E2−4AF (0. При виконання цих умов центр дкр. лежить у точці О (-D/2A;-E/2A), а її радіус R=(D2+E2−4AF/2A.

17 (48). Криві другого порядку. Эллипс.

Кривой 2-го порядку називається лінія, обумовлена рівнянням 2-ой ступеня щодо поточних декартовых координат. Загалом вигляді ур-е набуває вигляду: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, де A, 2B, З, 2D, 2E, Fсправжні числа. З іншого боку, по крайнього заходу одна з цих чисел (0. Еліпс (крива еліптичного типу) — крива 2-го порядку, де коефіцієнти Проте й З мають однакові знаки.

18 (49). Криві другого порядку. Гипербола.

Кривой 2-го порядку називається лінія, обумовлена рівнянням 2-ой ступеня щодо поточних декартовых координат. Загалом вигляді ур-е набуває вигляду: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, де A, 2B, З, 2D, 2E, Fсправжні числа. З іншого боку, по крайнього заходу одна з цих чисел (0. Крива 2-го порядку називається гіперболою (чи кривою гіперболічного типу), якщо коефіцієнти Проте й З мають протилежні знаки, тобто. АС (0. Криві 2го порядку описуються з допомогою загального ур-я:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где.

[pic].

а) Канонічне ур-е параболи: y2=2px чи y=ax2.

19 (50). Криві другого порядку. Парабола.

Кривой 2-го порядку називається лінія, обумовлена рівнянням 2-ой ступеня щодо поточних декартовых координат. Загалом вигляді ур-е набирає вигляду: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, де A, 2B, З, 2D, 2E, Fсправжні числа. З іншого боку, по крайнього заходу одна з цих чисел (0.

———————————- 2).