Общая теорія статистики (Контрольная)

Завдання 1.

З метою виявлення залежності між економічними показниками провести угруповання 50 ремонтних підприємств залізничного транспорту (див. Таб. 1) із рівними інтервалами, виділивши 5 групп.

Исходные данные:

Таб. 1.

| |Группировоч-н|Результатив-| | |Группировоч-н|Результатив-| |№ |ый ознака |ный ознака | |№ |ый ознака |ный ознака | | |число вагонов|чистая | | |число вагонов|чистая | | |що є в|прибыль | | |що є в|прибыль | | |ремонті, |підприємства,| | |ремонті, |підприємства,| | |шт/сут |млн.руб. | | |шт/сут |млн.руб. | |51 |8 |130 | |76 |10 |134 | |52 |11 |148 | |77 |6 |136 | |53 |36 |155 | |78 |7 |133 | |54 |2 |124 | |79 |1 |127 | |55 |2 |125 | |80 |7 |128 | |56 |29 |135 | |81 |1 |118 | |57 |14 |126 | |82 |5 |124 | |58 |14 |136 | |83 |15 |137 | |59 |8 |124 | |84 |6 |110 | |60 |8 |128 | |85 |17 |139 | |61 |5 |110 | |86 |8 |148 | |62 |8 |150 | |87 |1 |123 | |63 |1 |110 | |88 |10 |138 | |64 |6 |122 | |89 |21 |189 | |65 |18 |140 | |90 |11 |139 | |66 |4 |110 | |91 |2 |122 | |67 |9 |139 | |92 |2 |124 | |68 |2 |121 | |93 |1 |113 | |69 |1 |111 | |94 |8 |117 | |70 |5 |132 | |95 |6 |126 | |71 |1 |129 | |96 |3 |130 | |72 |7 |139 | |97 |3 |112 | |73 |9 |148 | |98 |2 |133 | |74 |25 |144 | |99 |25 |195 | |75 |16 |146 | |100 |5 |176 |.

Решение завдання: 1. Угруповання проводиться у разі группировочному ознакою. Визначимо величину (крок) інтервалу угруповання по формуле:

[pic].

k = 5, число груп у угрупованню (з умови) Xmax, Xmin — максимальне і мінімальну значення группировочного ознаки l — величина (крок) інтервалу группировки.

[pic].

2. Визначимо нижню й верхній интервальные кордону кожної групи: номер кордону групи нижня верхняя.

1 1.0.

8.0.

2 8.0.

15.0.

3 15.0.

22.0.

4 22.0.

29.0.

5 29.0.

36.0.

3. Складемо робочу таблицю, куди зведемо первинний статистичний материал:

|Группы | |Кількість вагонів, |Торішній чистий прибуток | |предпри-ятий по |Номер |що у |підприємства, | |кол-ву вагонів |підприємства |ремонті, шт/сут |млн.руб. | |нахощящ. на | | | | |ремонті, шт/сут | | | | | 1 | 2 | 3 | 4 | | 1.0 — 8.0|51 |8 |130 | | |54 |2 |124 | | |55 |2 |125 | | |59 |8 |124 | | |60 |6 |128 | | |61 |5 |110 | | |62 |8 |150 | | |63 |1 |110 | | |64 |6 |122 | | |66 |4 |110 | | |68 |2 |121 | | |69 |1 |111 | | |70 |5 |132 | | |71 |1 |129 | | |72 |7 |139 | | |77 |6 |136 | | |78 |7 |133 | | |79 |1 |127 | | |80 |7 |128 | | |81 |1 |118 | | |82 |5 |124 | | |84 |6 |110 | | |86 |8 |148 | | |87 |1 |123 | | |91 |2 |122 | | |92 |2 |124 | | |93 |1 |113 | | |94 |8 |117 | | |95 |6 |126 | | |96 |3 |130 | | |97 |3 |112 | | |98 |2 |133 | | |100 |5 |176 | |РАЗОМ: | 33 |140 |4165 | | | | | | |8.0 — 15.0 |52 |11 |148 | | |57 |14 |126 | | |58 |14 |136 | | |67 |9 |139 | | |73 |9 |148 | | |76 |10 |134 | | |83 |15 |137 | | |88 |10 |138 | | |90 |11 |139 | |РАЗОМ: | 9 |103 |1245 | | | | | | |15.0 — 22.0 |65 |18 |140 | | |75 |16 |146 | | |85 |17 |139 | | |89 |21 |189 | |РАЗОМ: | 4 |72 |614 | | | | | | |22.0 — 29.0 |56 |29 |135 | | |74 |25 |144 | | |99 |25 |195 | |РАЗОМ: | 3 |79 |474 | | | | | | |29.0 — 36.0 |53 |36 |155 | |РАЗОМ: | 1 |36 |155 |.

4. Розробимо аналітичну таблицю взаємозв'язку між числом вагонів що є на ремонті й чистим прибутком :

Табл. 2.

|Группы предпр. |Кількість |Кількість вагонів |Торішній чистий прибуток, | |по кол-ву |предпр|находящихся в |млн.руб | |вагонів |и-ятий|ремонте, шт/сут | | |що у | | | | |ремонт | | | | | | |Усього |загалом на|Всего по|в середньому становив| | | |по |одне |групі |одне | | | |групі |підприємство | |підприємство | | 1.0 — 8.0 |33 |140 |4,2 |4165 |126,2 | | 8.0 — 15.0 |9 |103 |11,4 |1245 |138,3 | |15.0 — 22.0 |4 |72 |18,0 |614 |153,5 | |22.0 — 29.0 |3 |79 |26,3 |474 |158,0 | |29.0 — 36.0 |1 |36 |36,0 |155 |155,0 |.

Дослідивши показники роботи 50-ти підприємств залізничного транспорту, можна сказати, що — чиста прибуток підприємства перебуває у прямої залежності від числа вагонів що у ремонте.

Завдання 2. Розрахувати коефіцієнти варіації по группировочному ознакою виходячи з вихідних даних, і по аналітичної угрупованню відповідно до свого варіанта з завдання 1. Пояснити (є) розбіжність у значеннях отриманих коэффициентов.

Решение: Розрахунок коефіцієнта варіації проходить за наступній формуле:

[pic].

где: G — середнє квадратическое відхилення; x — середня величина.

1) [pic].

n — обсяг (чи чисельність) сукупності, x — варіанта чи значення ознаки (для интервального низки приймається середнє значение).

Розрахуємо показники варіації приміром, розглянутої в завданні 1. Розрахунок проходить за группировочному ознакою. По-перше, розрахуємо все показники по вих. даним (див. табл. 1):

[pic].

2) Середнє кв. відхилення розраховуємо по формуле:

[pic].

[pic] повернемося до форм. (1) [pic] 3) Тепер розрахуємо коефіцієнт варіації по аналітичної таблиці (див. табл. 2).

Розрахуємо серединні значення интервалов:

4,5 11,5 18.5 25,5 32,5.

1 8 15 22.

29 36.

[pic], где.

f — частота, тобто. число, яке показує, скільки зустрічається кожна варианта:

[pic] ваг. Розрахунок середнього квадратического відхилення по аналітичної группировке:

[pic].

[pic].

[pic].

Вывод: в обох випадках розрахунку, коефіцієнт варіації (V) значно більше 30%. Отже, розглянута сукупність неоднорідна і середня нею недостатньо типична.

Задание 3. Провести 20% механічну вибірку з генеральної сукупності, поданої у таблиці (використовувати усі 100 підприємств), за показником, що є результативним ознакою в аналітичної угрупованню завдання 1 відповідно до варіантом. З імовірністю 0,997 розрахувати кордону зміни середнього розміру у генеральній сукупності. Розрахувати середню даного ознаки по генеральної сукупності (по табл.) і порівняти результат, отриманим виходячи з розрахунку по вибіркової сукупності. Початок відбору розпочинати з номери підприємства збігається з номером варіанта (8).

1).

Табл.

|Номер |Торішній чистий прибуток | |Номер |Торішній чистий прибуток | |підприємства |предпр., млн.руб.| |підприємства |предпр., млн.руб.| |1 |2 | |1 |2 | |8 |203 | |53 |155 | |13 |163 | |58 |136 | |18 |131 | |63 |110 | |23 |134 | |68 |121 | |28 |130 | |73 |148 | |33 |117 | |78 |133 | |38 |133 | |83 |137 | |43 |125 | |88 |138 | |48 |141 | |93 |113 | | | | |98 |133 |.

2) Для розрахунку кордонів зміни середньої характеристики генеральної сукупності за матеріалами вибірки скористаємося формулами:

[pic] (1).

[pic].

(2).

[pic].

(3).

Х — середня генеральної сукупності; Х — середня вибіркової совокупности;

— гранична помилка выборки;

t — коефіцієнт довіри = 0,997 (за умовою); М — середня помилки вибірки G2 — дисперсія досліджуваного показника; n — обсяг вибіркової сукупності; N — обсяг генеральної сукупності; n/N — частка вибіркової сукупності обсягом генеральної (чи % відбору, виражений в коэффициенте) Решение: 1) У цьому варіанті завдання середня чистий прибуток одне підприємство з вибіркової сукупності равна.

Х=136,8 млн руб.; 2) дисперсія дорівнює = 407,46; 3) коэф-т довіри =3, т.к. ймовірність визначення меж середньої равна.

=0,997 (по ум); 4) n/N = 0,2, т.к. відсоток відбору становить 20% (за умовою). 5) Розрахуємо середню помилку по ф. (3):

[pic].

6) Розрахуємо граничну помилку і наявність визначимо кордону зміни середньої по ф.

(2).

[pic].

Т.о. з імовірністю 0,997 можна стверджувати, що — чиста прибуток одне підприємство у генеральної сукупності перебуватиме у межах від 124,5 млн руб. до 149,1 млн руб., включаючи у собі середню по вибіркової совокупности.

7) Тепер розрахуємо середню по генеральної сукупності (по 100 підприємствам) і порівняємо її з отриманої интервальной оцінкою по выборке:

[pic].

де а1 + А2 +... +а100 — сума числа вагонів, що у ремонте.

(штук на добу) на 1, 2, 3.. ., 100 предприятиях.

Вывод: Порівнюючи середню генеральну сукупність рівну 140,27 з интервальной оцінкою за вибіркою 124,5 < x < 149,1 робимо вибір, що інтервал із заданої ймовірністю укладає у собі генеральну среднюю.

Завдання 4. За даними свого варіанта (8) розрахуйте: > Індивідуальні і загальний індекс цін; > Індивідуальні і загальний індекси фізичного обсягу товарообігу; > Загальний індекс товарообігу; > Економію чи перевитрата коштів населення внаслідок зміни на товари у звітній періоді проти базисным Исх. данные:

|Вид |БАЗИСНИЙ ПЕРІОД |ЗВІТНИЙ ПЕРІОД («1 ») | |товару |(«0 ») | | | |Ціна за 1 кг,|Продано, |Ціна за 1 |Продано, | | |тыс.руб |тонн |кг, тыс. руб |тонн | |1 |2 |3 |4 |5 | |А |4,50 |500 |4,90 |530 | |Б |2,00 |200 |2,10 |195 | |У |1,08 |20 |1,00 |110 |.

Решение:

Индекс — показник порівняння двох станів однієї й тієї самого явища (простого чи складного, що складається з порівнянних чи несоизмеримых елементів); включає 2 виду: V Звітні, оцінювані дані («1 ») V Базисні, використовувані як порівняння («0 »).

1) Знайдемо індивідуальні індекси по формулам:

[pic] [pic].

(где: р, q — ціна, обсяг відповідно; р1, р0 — ціна звітного, базисного періодів відповідно; q1, q2 — обсяг звітного, базисного періодів відповідно). для величини [pic] (ціни) за кожним видом товара.

[pic].

[pic].

[pic]. для величини q (обсягу) за кожним видом товаров:

[pic].

[pic].

[pic].

2) Знайдемо загальні індекси по формулам:

[pic] [pic][pic].

представляет собою середнє індивідуальних індексів (ціни, обсягу), де j — номер товара.

[pic].

[pic] 3) Загальний індекс товарообігу дорівнює: [pic].

[pic].

4) Знайдемо цілковиту зміну показника (економії чи перерасхода):

[pic].

получаем: [pic].

Вывод: спостерігається перевитрата коштів населення внаслідок зміни на товари у звітній періоді проти базисним, в середньому становив 5,54%.

Задание 5. Визначити, крім змінюватися ціни на всі товари, якщо їхню вартість у середньому збільшиться на 3,2%, а фізичний реалізацію загалом не изменится.

Решение:

Для базисного періоду для цін характерний наступний индекс:

[pic] Для звітний період відомо зростання вартості на 3,2%, т. е.:

[pic].

Вывод: з отриманого видно, що ціни на всі товари у результаті збільшення їх вартості на 3,2% відповідно зростуть на 3,2%.

Завдання 6. Розрахувати коефіцієнт кореляції по вихідним даним свого варіанта, використовуючи завдання 1.

Решение: Коефіцієнт кореляції оцінює тісноту зв’язок між кількома ознаками. У разі потрібно оцінити зв’язок між двома ознаками. Тому необхідно розрахувати парний коефіцієнт кореляції. Скористаємося такими формулами:

[pic] [pic] де: [pic] - індивідуальні значення факторного і результативного ознак; [pic] - середні значення ознак; [pic] - середня з художніх творів індивідуальних значень признаков;

[pic] - середні квадратические відхилення признаков.

1) Коефіцієнт розрахуємо по вихідним даним варіанта (50 підприємств), які у табл. 1 [pic] [pic] [pic] [pic].

2) Розрахунок середньої з художніх творів проведемо в таблиці M, заповнюючи даних про факторном і результативному ознаці з таблиці № 1:

| |Группир|Результа| | | |Группир|Результа| | |№ |. |т | | |№ |. |т | | | |признак|признак |X x Y | | |признак|признак |XxY | | |число |чиста | | | |число |чиста | | | |вагонов|прибыль,| | | |вагонов|прибыль,| | | |, |млн.руб.| | | |, | | | | |шт/сут | | | | |шт/сут |млн.руб.| | |51 |8 |130 |1040 | |76 |10 |134 |1340 | |52 |11 |148 |1628 | |77 |6 |136 |816 | |53 |36 |155 |5580 | |78 |7 |133 |931 | |54 |2 |124 |248 | |79 |1 |127 |127 | |55 |2 |125 |250 | |80 |7 |128 |896 | |56 |29 |135 |3915 | |81 |1 |118 |118 | |57 |14 |126 |1764 | |82 |5 |124 |620 | |58 |14 |136 |1904 | |83 |15 |137 |2055 | |59 |8 |124 |992 | |84 |6 |110 |660 | |60 |8 |128 |1024 | |85 |17 |139 |2363 | |61 |5 |110 |550 | |86 |8 |148 |1184 | |62 |8 |150 |1200 | |87 |1 |123 |123 | |63 |1 |110 |110 | |88 |10 |138 |1380 | |64 |6 |122 |732 | |89 |21 |189 |3969 | |65 |18 |140 |2520 | |90 |11 |139 |1529 | |66 |4 |110 |440 | |91 |2 |122 |244 | |67 |9 |139 |1251 | |92 |2 |124 |248 | |68 |2 |121 |242 | |93 |1 |113 |113 | |69 |1 |111 |111 | |94 |8 |117 |936 | |70 |5 |132 |660 | |95 |6 |126 |756 | |71 |1 |129 |129 | |96 |3 |130 |390 | |72 |7 |139 |973 | |97 |3 |112 |336 | |73 |9 |148 |1332 | |98 |2 |133 |266 | |74 |25 |144 |3600 | |99 |25 |195 |4875 | |75 |16 |146 |2336 | |100 |5 |176 |880 | | | |61 686 |.

[pic] Розрахунок коефіцієнта кореляції проведемо по перша з запропонованих на початку рішення двох формул: [pic].

Вывод: т.к. отриманий коефіцієнт кореляції більше значення 0,8, то можна дійти невтішного висновку у тому, що тіснота зв’язок між досліджуваними ознаками досить тесная.

Задание 7. За даними свого варіанта (див. табл. N) розрахувати індекси сезонності, побудувати графік сезонності і зробити выводы.

Исх. дані: 1).

Табл. N |Місяць |Роки |Разом за |У |Індекси | | | |3 року |сред-нем|сезон-ност| | | | |за месяц|и, % | | |1991 |1992 |1993 | | | | |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 | |Січень |4600 |2831 |3232 |10 663 |3554 |90,3 | |Лютий |4366 |3265 |3061 |10 692 |3564 |90,6 | |Березень |6003 |3501 |3532 |13 036 |4345 |110,5 | |Квітень |5102 |2886 |3350 |11 338 |3779 |96,1 | |Травень |4595 |3054 |3652 |11 301 |3767 |95,8 | |Червень |6058 |3287 |3332 |12 677 |4226 |107,4 | |Липень |5588 |3744 |3383 |12 715 |4238 |107,8 | |Август |4869 |4431 |3343 |12 643 |4214 |107,1 | |Вересень |4065 |3886 |3116 |11 067 |3689 |93,8 | |Жовтень |4312 |3725 |3114 |11 151 |3717 |94,5 | |У листопаді |5161 |3582 |2807 |11 550 |3850 |97,0 | |Грудень |6153 |3598 |3000 |12 751 |4250 |108,0 | |У среднем|5073 |3482 |3244 | |3953 |100,0 |.

Сезонными коливаннями називають стійкі внутригодовые коливання у низці динаміки. Вони характеризуються індексами сезонності, сукупність яких графіці утворює сезонну волну.

Воспользуемся наступній формулою розрахунку індексів сезонности:

[pic] Vt — фактичні (середні) дані про місяців (среднемесячный.

результат, розрахована за 3 року у однойменною місяців); Vo — загальна чи стала середня (середньомісячний рівень по.

36-ти місяців) Тепер виходячи з отриманих індексів сезонності (ст. 7 табл. N) побудуємо графік сезонности:

Вывод: Сезонність мала три хвилі підйому кількості відправлених вагонів з одного станції: V головний — у березні м-ці V другий (слабше) — в червні-липні м-цах V третій (слабше) — у грудні м-ці. Зменшення спостерігається: V початку року (січень-лютий м-цы) V у другій половині весни (квітень-травень м-цы) V восени (вересень-листопад м-цы).

Завдання виконано 10 листопада 1997 года.

_____________________Фролова Е.В.

Дружинин М. К. Математична статистика економіки. — М.: Статистика, 1971.

Елисеева І.І. моя професія — статистик. — М.: Фінанси і статистика, 1992.

Елисеева І.І., Юзбашев М. М. Загальна теорія статистики: Підручник / Під ред. Чл.- кор. РАН И. И. Елисеевой. — М.: Фінанси і статистика, 1996.

Кривенкова Л. Н., Юзбашев М. М. Область існування показників варіації і її застосування // Вісник статистики. — 1991. — № 6. — С.66−70.

Робота над ошибками.

Завдання 4.

п.2) Знайдемо загальні індекси цін за такою формулою Пааше — розрахунок виготовляють основі даних про кількість проданих товарів у базисному і звітному періоді (в кожному j-му товару).

[pic].

[pic].

[pic].

[pic][pic].

п.3) Знайдемо загальний індекс товарооборота:

[pic].

[pic].

Проверка:

[pic].

[pic] З перевірки видно, що загального індексу товарообігу зроблено верно.

п.4) Знайдемо цілковиту зміну показника (економія — перерасход):

[pic].

Получаем: [pic]Т.к. отримана величина позитивно, ми маємо перевитрата средств.