Паралельність у просторі. 
Розв"язування задач

Житомирський державний університет імені Івана Франка Кафедра методики навчання математики, фізики та інформатики Курсова робота Паралельність у просторі. Розв’язування задач Студентки 5 курсу, 51-Б групи Напряму підготовки: математика Спеціальності:

математика: інформатика Климчук І.Г.

Керівник:

Доцент, кандидат педагогічних наук Прус А.В.

м. Житомир 2014

План паралельність навчання геометричний підручник Вступ Розділ І. Структура та аналіз змісту теоретичного матеріалу теми «Паралельність прямих у просторі»

1.1 Програма та тематичне планування вивчення теми

1.2 Теоретичний матеріал по темі «Паралельність прямих у просторі»

1.3 Аналіз викладення теми у шкільних підручниках:

Розділ ІІ. Аналіз системи задач до теми «Паралельність прямих у просторі» на прикладі підручника Геометрія (академічний рівень) (авт. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.) та Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В.О.) та особливості навчання учнів їх розв’язувати

2.1 Системи задач у підручнику Геометрія (академічний рівень) (авт. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.)

2.2 Системи задач у підручнику Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В.О.)

2.3 Методика навчання базового теоретичного матеріалу теми

2.4 Методика навчання учнів розв’язування завдань по темі

Висновок Література Додаток Вступ Темою «Паралельність прямих і площин у просторі» розпочинається вивчення курсу стереометрії у 10 класі. Тому основне її призначення — закладення основи для конструювання геометричних тіл, дослідження їхніх властивостей і вимірювання геометричних величин, пов’язаних з ними. Для цього вводяться основні поняття стереометрії (точки, прямі і площини), а також відношення між ними (належність, паралельність та ін.). Проводиться класифікація взаємного розміщення прямих і площин у просторі, вивчаються відповідні ознаки взаємного розміщення.

У процесі вивчення даної теми поглиблюються знання учнів про аксіоматичну побудову математичної теорії, розвиваються їхні просторові уявлення. Вже з перших кроків вивчення стереометрії на перший план виступає ідея математичного моделювання реальних об'єктів і відношень між ними за допомогою найпростіших геометричних фігур і відповідних математичних відношень.

До найважливіших завдань вивчення теми належить розгляд одного з основних методів зображення просторових фігур на площині — методу паралельного проектування і формування найпростіших навичок його застосування.

Таким чином, основними завданнями вивчення теми є:

формування в учнів розуміння того, що просторові геометричні фігури є математичними моделями об'єктів навколишнього середовища;

розвиток в учнів уявлень про дедуктивний метод;

систематизація уявлень та знань учнів про взаємне розміщення прямих і площин у просторі;

ознайомлення учнів з методами побудови зображень фігур і виконання на них побудов.

Вивчення теми потрібно спланувати так, щоб після завершення навчання учні вміли:

встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема паралельність прямих, прямої і площини, двох площин, мимобіжність прямих;

застосовувати відношення паралельності між прямими і площинами у просторі для опису об'єктів фізичного простору і відношень між ними.

Мета роботи. Метою роботи є розробити методику вивчення теми «Паралельність прямих у просторі»

Предмет дослідження. Предметом дослідження є особливості вивчення даної теми в старшій школі.

Завдання дослідження.

1. Вивчити науково-методичну літературу з предмету дослідження.

2. Охарактеризувати особливості вивчення даної теми і втілити їх у розробки уроків.

3. Згідно проведеного дослідження і виявлених проблем розробити відповідний проект, направлений на усунення недоліків у роботі з учнями старших класів.

Методи дослідження. Теоретичні - системний аналіз психолого-педагогічної і навчально-методичної літератури з проблеми дослідження, моделювання педагогічних процесів.

Емпіричні - спостереження, бесіди з вчителями і викладачами, вивчення і узагальнення досвіду загальноосвітніх закладів щодо реалізації завдань навчання вищезгаданої теми.

Робота складається зі вступу, двох розділів, висновків, додатків та списку використаних джерел.

Перший розділ включає в себе аналіз навчальної літератури, теоретичний матеріал, а також твердження, правила, алгоритми. Другий розділ розкриває методику навчання учнів теми «Паралельність прямих у просторі», також розглянуто методику навчання учнів розв’язування завдань даної теми, в тому числі і тих, які не мають алгоритмів розв’язування.

Розділ І. Структура та аналіз змісту теорeтичного матеріалу теми «Паралельність прямих у просторі»

1.1 Програма та тематичне планування вивчення теми У старшій школі вивчення математики диференціюється за чотирма рівнями: рівнем стандарту, академічним, профільним та рівнем поглибленого вивчення математики. Кожному з них відповідає окрема навчальна програма.

Розглянемо академічний рівень, так як більшість шкіл орієнтуються саме на цей рівень.

Вивчення математики на академічному рівні передбачається передусім у тих випадках, коли вона тісно пов’язана з профільними предметами і забезпечує їх ефективне засвоєння. Крім того, за цією програмою здійснюється математична підготовка старшокласників, які не визначилися щодо напряму спеціалізації.

Програма академічного рівня призначена для організації навчання у класах універсального профілю та класах тих профілів, в інваріантній складовій типового навчального плану яких на вивчення математики відведено від 4 до 6 год на тиждень, і математика є базовим (обов'язковим для вивчення) предметом, близьким до профільних навчальних дисциплін — хімії, фізики, біології, екології, економіки, технологій.

У програмі академічного рівня з метою забезпечення для учнів можливості зміни рівня вивчення математики в кожному класі, в основному, збережено назви і послідовність вивчення тем, передбачених програмою рівня стандарту. Зміст навчального матеріалу доповнено, а перелік навчальних досягнень учнів конкретизовано й уточнено у відповідності до Державного стандарту.

У процесі навчання математики на академічному рівні основна увага приділяється не лише засвоєнню математичних знань, а й виробленню вмінь застосовувати їх до розв’язування практичних і прикладних задач, оволодінню математичними методами, моделями, що забезпечить успішне вивчення профільних предметів — хімії, фізики, біології, технологій. При цьому зв’язки математики з профільними предметами посилюються за рахунок розв’язання задач прикладного змісту, ілюстрацій застосування математичних понять, методів і моделей у шкільних курсах хімії, біології, фізики, технологій.

За програмою для вивчення геометрії на академічному рівні в 10 класі відводиться 2 год на тиждень, а всього — 70 годин. Курс геометрії складається із чотирьох тем:

1. Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії.

2. Вступ до стереометрії.

3. Паралельність прямих і площин у просторі.

4. Перпендикулярність прямих і площин у просторі.

Вивчення теми «Паралельність прямих і площин у просторі» розраховано на 22 години навчального часу. Дана тема включає в себе наступний навчальний матеріал:

· Розміщення двох прямих у просторі: прямі, що перетинаються, паралельні, мимобіжні прямі.

· Розміщення прямої та площини у просторі: пряма і площина, що перетинаються, паралельні пряма і площина. Ознака паралельності прямої та площини.

· Розміщення двох площин у просторі: площини, що перетинаються, паралельні площини. Ознака паралельності площин. (Існування площини, паралельної даній площині). Властивості паралельних площин.

Враховуючи вищезгаданий навчальний матеріал та кількість годин, орієнтовне планування даної теми може мати слідуючий вигляд:

Після закінчення вивчення теми «Паралельність прямих та площин у просторі» учні повинні:

— Формулювати означення паралельних і мимобіжних прямих, паралельних прямої і площини, паралельних площин; властивості та ознаки паралельності прямих і площин.

— Класифікувати взаємне розміщення прямих, прямих і площин, площин у просторі.

— Знаходити і зображувати паралельні прямі та площини на малюнках і моделях.

— Встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема паралельність прямих, прямої і площини, двох площин, мимобіжність прямих.

— Будувати зображення фігур і виконувати на них нескладні побудови.

— РозвЧязувати нескладні задачі на застосування властивостей та ознак паралельності прямих і плошин.

— Застосовувати відношення паралельності між прямими і площинами у просторі до опису відношень між об'єктами оточуючого світу.

Під час оцінювання знань, умінь та навичок учнів з теми «Паралельність прямої та площини у просторі» необхідно враховувати наступні критерії.

Початковий рівень — учень називає геометричну фігуру (пряму, площину), символ, але тільки в тому випадку, коли цей об'єкт (його зображення, опис, характеристика) запропоновано йому (їй) безпосередньо; за допомогою вчителя виконує елементарні завдання.

Середній рівень — учень (учениця) повторює інформацію, операції, дії, засвоєні ним (нею) у процесі навчання, здатний (а) розв’язувати завдання за зразком.

Достатній рівень — учень (учениця) самостійно застосовує знання в стандартних ситуаціях, вміє виконувати математичні операції, загальні методи і послідовність (алгоритм) яких йому (їй) знайомі, але зміст та умови виконання змінені.

Високий рівень — учень (учениця) здатний (а) самостійно орієнтуватися в нових для нього (неї) ситуаціях, складати план дій і виконувати його; пропонувати нові, невідомі йому (їй) раніше розв’язання, тобто його (її) діяльність має дослідницький характер.

1.2 Теоретичний матеріал по темі «Паралельність прямих та площин у просторі»

Як відомо з курсу планіметрії, дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. У планіметрії всі фігури розміщувались на одній площині. У стереометрії можна ж розглядати нескінченно багато площин. У зв’язку з цим означення паралельних прямих потребує уточнення.

Дві прямі в просторі називають паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

Паралельність прямих а і b в стереометрії позначають так само, як і в планіметрії: а || b.

З означення паралельності прямих випливає, що через дві паралельні прямі можна провести площину. Ця площина єдина. Отже, через дві паралельні прямі можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Як відомо, на площині через дану точку, яка не належить прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній (аксіома паралельності прямих на площині, або аксіома Евкліда). Така ж властивість виконується у просторі.

Теорема про існування і єдиність прямої, яка проходить через дану точку і паралельна даній прямій З аксіоми паралельності Евкліда випливає, що в площині через дану точку можна провести не більше однієї прямої, яка паралельна даній прямій. А скільки таких прямих можна провести у просторі?

Нехай дано пряму a і точку А, що не лежить на ній. Через них можна провести єдину площину (теорема 1.1). У цій площині можна провести єдину пряму b, яка паралельна прямій б (рис. 33).

Отже, у просторі через дану точку, А можна провести єдину пряму, паралельну даній прямій а.

Таким чином, справедлива теорема: Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.

Теорема.

Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.

Доведення Нехай b|| a, с || а. Доведемо, що b|| с.

Прямі b і с не можуть перетинатися. Інакше через точку їх перетину проходили б дві різні прямі, паралельні прямій а, що суперечило б теоремі.

Припустимо, що прямі b і с — мимобіжні. Через паралельні прямі b і а, с і a проведемо площини г і в, а через пряму b і точку С прямої с — площину б. Нехай площини б і в перетинаються по прямій c₁. Прямі а, с, c₁ лежать в одній площині в, причому сIIа. Тому пряма с₁, яка перетинає с, перетинає пряму a в деякій точці А. Прямі c₁ і а лежать відповідно у площинах б і г, тому їх спільна точка, А належить цим площинам, а отже, і їх спільній прямій b. З припущення випливає, що паралельні прямі a і b мають спільну точку А, що суперечить умові.

Отже, прямі b і с не можуть ні перетинатися, ні бути мимобіжними. Таким чинм, b|| с .

Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Паралельність прямої а і площини б позначається так: а ||. Наочне уявлення про пряму, яка паралельна площині, дають лінії перетину стіни і стелі — ці лінії паралельні площині підлоги. Відрізок називається паралельним площині, якщо він є частиною прямої, паралельної площині.

Сформулюємо та доведемо ознаку паралельності прямої і площини.

Теорема.

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Доведення

Припустимо, що пряма а не належить площині. Тоді а і мають спільну точку А.

Якщо, А b , то а і b мають спільну точку А, що суперечить умові.

Якщо, А b, то а і b мимобіжні, що суперечить умові.

Отже, а || .

Властивість паралельних прямих.

Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то її друга пряма перетинає площину.

На малюнку: а || b і а б = М. За вказаною властивістю пряма b також також перетинає площину б.

Взаємне розміщення двох площин у просторі, означення паралельних площин

Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій. Звідси випливає, що дві площини або перетинаються по прямій, або не перетинаються, тобто не мають спільних точок Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Уявлення про паралельні площини дають підлога і стеля кімнати, дві протилежні стіни, поверхня стола і площина підлоги. Якщо площини і паралельні, пишуть: || .

Властивості прямої і площини, які паралельні між собою

1. Якщо площина проходить через пряму, яка паралельна другій площині, і перетинає цю площину, то пряма перетину паралельна даній прямій.

Доведення

Нехай а || і площина проходить через а, b — пряма перетину площин і. Доведемо, що а || b. Прямі а і b лежать в одній площині і не перетинаються, бо в супротивному випадку пряма а перетинала б площину, що неможливо, оскільки згідно з умовою а ||. Отже, а || b.

2. Якщо через кожну із двох паралельних прямих проведено площину, причому ці площини перетинаються, то їх лінія перетину паралельна кожній із даних прямих.

Доведення

Нехай а || b, пряма а лежить в площині, пряма b лежить в площині, площини і перетинаються по прямій с (рис. 56). Доведемо, що а || с, b || с. Оскільки а || b і пряма b лежить в площині, то а || і, отже, згідно з розв’язуванням задачі 1, а || с. Аналогічно, оскільки а || b, а лежить в площині, b || і, отже, b || с. Таким чином, а || с і b || с .

3. Якщо дві площини, що перетинаються, паралельні одній і тій самій прямій, то пряма перетину цих площин паралельна даній прямій.

Доведення

Нехай і перетинаються по прямій с, а ||, а ||. Доведемо, що а || с. Візьмемо на прямій с довільну точку, А і через неї проведемо пряму b, паралельну прямій а. Оскільки пряма а || , а ||, то пряма b лежить як в площині, так і в площині. Отже, пряма b — пряма, по якій перетинаються площини і, тому пряма b збігається з прямою с, отже, с || а .

Теорема. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Доведення розіб'ємо на дві частини.

1. Доведемо, що через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній площині.

Дано:, А

Довести: існує, ||, А .

Доведення

Проводимо в площині а дві прямі а і b, які перетинаються.

Через точку, А проведемо прямі а₁ і b₁ такі, що а₁ || а, b₁ || b.

Через прямі а₁ і b₁ проведемо площину, яка паралельна .

Безпосередньо з доведення існування площини не випливає, що — єдина, бо прямі а і b вибрані довільно, тому може статися, що другій парі таких прямих буде відповідати друга площина ₁, паралельна а.

2. Доведемо, що через точку поза даною площиною проходить тільки одна площина, паралельна даній площині.

Дано:, А, , ||, А .

Довести: — єдина.

Доведення

Припустимо, через точку, А проходить ₁ така, що ₁ || .

Візьмемо точку С таку, що С ₁, С .

Візьмемо точку В, В .

Через точки А, B, С проведемо г, яка перетинає по прямій b, — по а, ₁— по с. Тоді а || b, с || b. Отже, через точку, А проходять дві різні прямі а і с, які паралельні прямій b, що суперечить теоремі.

Теорема.

Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

Цю теорему можна сформулювати по-іншому:

Паралельні площини перетинаються січною площиною по паралельних прямих. Доведемо теорему.

Дано: ||; г перетинає по прямій а; г перетинає по прямій b.

Довести: а || b .

Доведення

Припустимо, що а b. Оскільки а і b лежать в г, то вони перетинаються в деякій точці А; А, бо a; А, бо b. Отже, і перетинаються, що суперечить умові: ||. Отже, а || b.

Паралельне проектування та його властивості

Для зображення просторових фігур у стереометрії користуються паралельним проектуванням.

Нехай дано довільну площину б, точку, А і пряму h, яке перетинає площину б. Проведемо через точку, А пряму, яка паралельна h, вона перетинає площину б у деякій точці А₁. Знайдену таким способом точку А; називають паралельною проекцією точки, А на площину б у напрямі h. Пряму h називають проектуючою прямою, площину б — площиною проекцій.

Щоб побудувати проекцію будь-якої фігури, треба спроектувати на площину проекції кожну точку даної фігури (рис. 84). Наведемо деякі властивості паралельного проектування.

Теорема.

Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні:

1) відрізки зображаються відрізками;

2) паралельні відрізки зображаються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої;

3) відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається.

Доведення

1) Усі прямі, що проектують точки відрізка АВ, лежать в одній площині в, яка перетинає площину б по прямій А₁В₁. Отже, проекцією відрізка є відрізок, причому довільна точка С відрізка АВ зображається точкою С₁ відрізка А₁В₁.

2) Нехай відрізки АВ і CD, які проектуються, паралельні. Усі прямі, що їх перетинають і паралельні h, заповнюють або частини однієї площини, або паралельних площин.

Ці частини площин перетинають площину, а відповідно або по відрізках однієї прямої, або по паралельних відрізках А₁В₁ і С₁D₁.

3) Якщо відрізки АВ і СВ, які проектують, розміщені на одній прямій, то за теоремою про пропорційні відрізки маємо: А₁С₁: С₁B₁ = АС: СВ.

Якщо відрізки АВ і CD паралельні, а їх проекції А₁B₁ і С₁D₁ лежать на одній прямій, то АВВ₂A₂ — паралелограм. У цьому випадку A₁B₁: C₁D₁ = A₂B₂: CD = AB: CD.

Нарешті, якщо проекції А₁В₁ і С₁D₁ даних відрізків АВ і CD не лежать на одній прямій, то побудуємо паралелограм CDKB. Його проекція — паралелограм СDKВ.

Отже, маємо: А₁В₁: C₁D₁ = А₁В₁: В₁К₁ = АВ: ВК = АВ: CD.

1.3 Аналіз викладення теми у шкільних підручниках

— Геометрія (академічний рівень) (авт. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.)

— Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В.О.)

Підручник є джерелом інформації, засобом навчання і контролю знань. Найважливішими функціями шкільного підручника вважають: інформаційну, трансформаційну, контролюючу, виховну, розвивальну. Крім провідних функцій закріплення знань та контролю рівня знань, в останні роки шкільний підручник стає важливим засобом розвитку учнів, виховання морально-етичних рис і якостей, духовності.

У зв’язку з введенням у школах нових навчальних планів і програм з математики постала гостра потреба у підручниках, які б відповідали вимогам нових програм.

Навчання математики у 10 класах загальноосвітніх навчальних закладів здійснюється за новими підручниками Геометрія (академічний рівень) (авт. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.) видавництво «Зодіак-ЕКО»; Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В.О.) видавництво «Ґенеза» .

Ці підручники створено відповідно до Державного стандарту та нових програм з геометрії для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Однією з основних проблем шкільних підручників геометрії - оптимальне поєднання науковості й доступності викладення матеріалу. Складністю вирішення цієї проблеми пояснюється те, що українські школи мають обмаль підручників, за якими справді хотілося б навчати учнів. Та з іншого боку, це дало поштовх до педагогічної творчості чималій кількості небайдужих вчителів.

Розглянемо, як висвітлена тема «Паралельність у просторі» у цих підручниках.

У підручнику «Геометрія, 10 клас» М.І. Бурди, Н.А. Тарасенкової розділ розпочинається переліком передбачуваних пізнавальних результатів («У розділі дізнаєтесь…»), а завершується рубрикою «Перевірте, як засвоїли матеріал розділу». Тут подано контрольні запитання узагальнюючого характеру і тестові завдання. У кожному параграфі є: основний навчальний матеріал; додаткові відомості (рубрика «Дізнайтеся більше»); запитання для повторення вивченого (рубрика «Згадайте головне»); система задач, диференційована за складністю (рубрика «Розв'яжіть задачі»), яку завершує окремий блок завдань «Застосуйте на практиці» .

У рубриці «Перевірте, як засвоїли матеріал розділу» подано контрольні запитання узагальнюючого характеру і тестові завдання. Відповідаючи на запитання і виконуючи тести, учні переосмислюють, узагальнюють і систематизують відомості, вивчені в розділі, приводять у систему отримані навички й уміння. Даний розділ поділено на параграфи.

Зміст даного розділу підручника ґрунтується на таких методичних засадах: 1) доступність та науковість; 2) наступність; 3) диференційована реалізованість; 4) пріоритет розвивальної функції навчання; 5) прикладна спрямованість 6) посилення міжпредметних зв’язків (фізика, хімія, біологія, технології).

Науковість змісту розділу забезпечена в першу чергу логічно послідовним розміщенням навчального матеріалу, коректним формулюванням означень понять, достатнім рівнем строгості. Логічне упорядкування і послідовність навчального матеріалу розділу відповідають вимогам дидактики і математики як науки. Термінологія сучасна, предметна й однозначна. Поняття і властивості геометричних фігур сформульовані коректною математичною мовою. Чітко розмежовується зміст понять (перераховуються всі суттєві ознаки) і їх обсяг (вказується множина об'єктів, де застосовується поняття). При цьому зміст понять розкривається за допомогою означень, а їх обсяг — із залученням класифікацій (поділу понять за певною ознакою). З одного боку, це покращить засвоєння і застосування понятійного апарату даної теми, а з другого — посилить його зорове сприймання. Заслуговує на увагу і те, що поряд з означеннями понять через найближчий рід і видову відмінність, сприймання яких вимагає складнішої розумової діяльності, використовуються і конструктивні означення, які дають змогу учневі усвідомити сам процес створення (побудови) відповідного стереометричного об'єкта. Тому означення поняття нерідко спирається або на малюнок, або побудову, або на розгляд життєвої ситуації. Учням пропонується спочатку самостійно дати означення поняттю, а потім порівняти його з наведеним у підручнику.

Навчальний матеріал про паралельність у просторі спирається на наочність та інтуїцію учнів, на їх життєвий досвід, що робить його доступним. Зміст теми розрахований на самостійне його опрацювання учнями. З цією метою вивчення геометричних фактів розпочинається з аналізу учнем його емпіричного досвіду (відповідних прикладів з довкілля, моделей чи малюнків). Це дає змогу з’ясувати істотні ознаки понять, властивості геометричних фігур і на основі цього самостійно сформулювати відповідні твердження. Навчальні тексти написані так, щоб залучити учня до співпраці. Виклад розпочинається з опису практичних дій, які приведуть учня до нового поняття чи факту, або ж зі звернення до його досвіду «Ви вже знаєте, що …». Самостійно оволодіти навчальним матеріалом допоможе і підкріплення його малюнками, які виконують не лише ілюстративну, а й евристичну роль — на малюнках кольором виділяються дані і шукані величини, допоміжні побудови тощо. Загалом підручник добре ілюстрований. Кольорові фотографії несуть ретельно продумане дидактичне навантаження.

Особлива увага приділяється теоремам та їх доведенням. До кожної теореми дається скорочений запис. Це дає учням можливість точніше зрозуміти суть її умови і вимоги. Доведення лаконічні й поділені на смислові блоки.

Слідом за означенням поняття чи доведенням теореми учням пропонується поміркувати над проблемним запитанням. Воно сприяє глибшому осмисленню істотних ознак нового поняття або етапів доведення.

Матеріал розрахований на учнів з різними навчальними досягненнями. Для тих, хто цікавиться геометрією, бажає поглибити свої знання призначена рубрика «Дізнайтеся більше». Матеріал цієї рубрики досить цікавий і корисний для учнів. Школярі отримують можливість ознайомитися не лише з історичними відомостями, долями визначних вчених, але й розширити та поглибити свої знання стосовно основного навчального матеріалу.

Задачі підручника мають чотири рівні складності - початковий, середній, достатній і високий. Усередині набору певного рівня складності задачі згруповані за порядком вивчення теоретичних відомостей.

У підручнику реалізовано діяльнісний підхід до навчання геометрії — засвоєння не лише готових знань, а й способів цього засвоєння, способів міркувань, які застосовуються в геометрії, створення дидактичних ситуацій, які стимулюють самостійні відкриття учнями геометричних фактів. Майже у кожному параграфі вміщені поради щодо того, як діяти у тій чи іншій навчальній ситуації. Вони сформульовані у вигляді правил або вказівок. Вказівки спрямовані на розпізнавання геометричних залежностей, на застосування понять, теорем або способів розв’язування задач. Значна увага приділена систематизації навчального матеріалу (таблиці, схеми, задачі-таблиці, класифікації), що полегшить застосування його до розв’язування задач. Для кращого орієнтування старшокласників щодо матеріалу даної теми використані піктограми. Найважливіші означення нових понять, формулювання теорем обведені рамкою. Треба, щоб учні зрозуміли їх, запам’ятали і навчилися застосовувати до розв’язування задач. Інші важливі відомості надруковані жирним шрифтом. Курсивом виділено терміни (наукові назви) понять.

Підручник «Геометрія, 10 клас» (академічний рівень) авторів Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В. О. повністю відповідає новій програмі геометрії для 12-річної школи, усім дидактичним принципам, потребам сучасного українського суспільства. Коротко охарактеризувати його можна словами: науковий, доступний, практичний, сучасний, український, зручний. Підручник поділений на сім модулів. Тема «Паралельність прямих і площин у просторі» розглядається у двох модулях: «Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої і площини» та «Взаємне розміщення площин у просторі». Структура кожного модуля наступна: починається з короткого змісту та характеристики цілей вивчення; теоретичний матеріал, який включає в себе задачі з розв’язками; вправи, які розраховані на чотири рівні складності; прикладні задачі та розділ «З літопису геометрії». Кожен модуль закінчується запитаннями та тестом для самоконтролю. Кожен модуль поділений на параграфи.

Зміст даних модулів ґрунтується на тих же методичних засадах, що й у підручнику геометрії авторів Бурда та Тарасенкова.

На початку кожного модуля подається його основний зміст та коротка мотивація вивчення. У такий спосіб учні та вчителі мають можливість заглянути на багато уроків наперед, установлюючи тим самим зв’язки між окремими темами. Гарно оформлені заставки та цитати відомих особистостей сприяють естетичному вихованню та створюють атмосферу зацікавленості до навчання.

Мова підручника є виразною та літературною. Доступність мови і викладення дає змогу учневі в разі потреби самостійно опановувати навчальний матеріал. Також цьому сприяє оформлення теоретичної частини. Теоретичний матеріал викладено просто і лаконічно, опираючись на досвід учнів. Тут даються відповідні означення, доводяться ознаки та низка теорем про паралельність прямих і площин у просторі. Кожна теорема виділена певним кольором, а доведення теореми взято в кольорову рамку. Теореми та їх доведення доповнюють відповідні побудови, за допомогою яких учням краще зрозуміти матеріал. Для ознайомлення з основними ідеями розв’язування задач в підручнику наводяться приклади, у яких, крім самого розв’язання, окремо міститься також додаткове пояснення у формі «Чому саме так?», що допоможе учневі орієнтуватися в змісті задачі та вибирати спосіб її розв’язування. Дані зразки розв’язування допоможуть школярам скласти план розв’язування аналогічного завдання. За умови такої подачі навчального матеріалу коментар, у якому пояснюється розв’язання, не заважає сприйняттю основної ідеї та плану розв’язування завдань певного типу. Це дозволяє учневі, який уже засвоїв спосіб розв’язування, за допомогою наведеного прикладу згадати, як розв’язувати аналогічні завдання, а учневі, якому потрібна консультація з розв’язування, — отримати детальну консультацію, що міститься в коментарі. (Це ж дозволяє учневі, який не був присутнім на уроці, де пояснювався відповідний матеріал, самостійно освоїти його). Після кожного параграфа є вправи на засвоєння вивченого. Кожному завданню приписано його рівень складності відповідно до класифікації, яка застосовується для позначення рівнів навчальних досягнень учнів: початковий і середній рівні навчальних досягнень, достатній рівень, високий рівень. Початковий та середній рівні подаються у вигляді тестових завдань, які можна виконувати як усно, так і письмово.

Запитання та тести для самоконтролю допоможуть учням повторити матеріал, який вивчався в модулі, та підготуватися до певного виду контролю.

Можна з впевненістю сказати, що структура, обсяг і співвідносність навчального матеріалу даних підручників повністю відповідають діючій програмі. Зміст підручників відповідає основним дидактичним принципам науковості, фундаментальності, сучасності теоретичних навчальних матеріалів, оптимальності співвідношення та доступність об'єму теоретично — наукового матеріалу з основ науки з індивідуальними, психологічними й віковими можливостями та особливостями учнів, інтеграції та синтезу міжпредметних та спеціальних знань, умінь, навиків.

На мою думку, в підручнику геометрії авторів Бурда та Тарасенкова необхідно збільшити кількість задач практичного змісту та кількість зразків розв’язування типових задач до змісту параграфів, додати типові завдання для підготовки до контрольних робіт. А в підручнику авторів Біляніні, Біляніні, Швець збільшити кількість теоретичного матеріалу, поліпшити якість поліграфії, збільшити кількість ілюстрацій та розмір шрифту.

Розділ ІІ. Аналіз системи задач до теми «Паралельність прямих у просторі» на прикладі підручника Геометрія (академічний рівень) (авт. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.) та Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В.О.) та особливості навчання учнів їх розв’язувати

2.1 Системи задач у підручнику Геометрія (академічний рівень) (авт. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.)

Після кожного параграфу наводиться набір задач. До загальної системи задач включено вправи на повторення, що мають на меті сприяти готовності до опанування наступним матеріалом, збереженню вмінь і навичок, сформованих при вивченні попередніх розділів. Задачі підручника поділяються на чотири рівні складності. Як правило, набори початкового і середнього рівнів складності розпочинаються із задач за готовими малюнками. Хоча вони не є виключенням і серед більш складних задач. Окремі, найбільш важливі задачітеореми виділені жирним шрифтом. Учням доцільно запам’ятати їх формулювання. Ці геометричні твердження можна застосовувати у розв’язанні інших задач. Особливістю задач підручника є те, що задачі високого рівня складності включають елементи задач середнього і достатнього рівнів, а останні - елементи задач початкового рівня. Першу групу складають усні вправи — завдання теоретичного плану, розгляд яких є проміжним етапом між вивченням теорії і розв’язуванням письмових задач. Наявність таких задач дає змогу використовувати на уроці інтерактивні форми роботи. Друга група завдань — графічні вправи, які учні можуть виконувати як власноруч у зошиті, так і за допомогою комп’ютера. Ці вправи дають наочне уявлення про базові геометричні конфігурації, що вивчаються, сприяють розвитку початкових креслярських умінь і навичок роботи з графічними комп’ютерними програмами. Наступну групу складають письмові задачі, згруповані за трьома рівнями складності. На кожному рівні завдання диференційовано за змістом навчальної діяльності - задачі на обчислення, доведення, побудову тощо.

До кожного параграфа наведено багато задач, серед яких задачі на: застосування властивостей та ознак паралельності прямих та площин, побудову площини, паралельної даній, побудову перерізів многогранників, з використанням властивостей паралельних площин.

Розглянемо та охарактеризуємо задачі до теми «Паралельність прямих і площин у просторі» .

Задачі параграфа «Взаємне розміщення прямих у просторі» поділяються на:

В параграфі «Властивості й ознака паралельних прямих у просторі» задачі носять слідуючий характер:

В наступному параграфі «Взаємне розміщення прямої та площини» наступна система задач:

До параграфа «Взаємне розміщення двох площин» автори підібрали наступну систему задач:

Задачі параграфа «Властивості паралельних площин» поділяються на:

Система задач до параграфа «Паралельне проектування» наступна:

По завершенні вивчення теми учням пропонується перевірити свої знання, виконавши тестові завдання, які включають в себе весь матеріал теми «Паралельність прямих і площин у просторі» .

На мій погляд в даній системі задач необхідно зменшити кількість задач на доведення, а збільшити кількість задач обчислювального характеру та задач практичного змісту. Також я вважаю, що потрібно доповнити матеріал задачами початкового та середнього рівня.

2.2 Системи задач у підручнику Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В.О.)

Підручник містить педагогічно доцільну систему задач і вправ, яка спрямована на формування основних понять теми «Паралельніть прямих і площин у просторі», а також на вироблення в учнів відповідних способів їх розв’язування". У більшості випадків реалізовано алгоритмічний підхід до такого вироблення, що передбачає його поетапність і відпрацювання кожного передбаченого відповідним алгоритмом кроку. Система завдань містить задачі і вправи чотирьох рівнів складності, які, як правило, згруповані за відповідними рівнями. Значну увагу приділено задачам практичного характеру, вміщених у рубриці «Прикладні задачі» .

Система задач і вправ має чотири рівні складності. Кожному завданню приписано його рівень складності відповідно до класифікації, яка застосовується для позначення рівнів навчальних досягнень учнів: початковий і середній рівні навчальних досягнень, достатній рівень, високий рівень. Це допоможе вчителю краще орієнтуватись у системі задач. Завдання початкового та середнього рівня подані у вигляді тестових завдань, які можна виконувати як усно так і письмово.

Розглянемо систему задач до модуля «Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої і площини». Даний модуль складається із трьох параграфів, до кожного з яких підібрані вправи.

Перший параграф даного модуля носить назву «Взаємне розміщення прямих у просторі». Для закріплення теоретичного матеріалу даного параграфа автори рекомендують розв’язати наступну систему задач.

Задачі 3.1−3.10 початкового та середнього рівня, які носять тестовий характер.

Достатній та високий рівень включаю в себе задачі практично всі задачі на доведення та дослідження.

Система задач наступного параграфа «Взаємне розміщення прямої і площини у просторі» слідуюча:

Задачі до параграфа «Паралельність прямої і площини» включають в себе 19 різнорівневих задач, зміст яких наступний.

До вищезгаданого модуля підібрано сім задач прикладного змісту. Деякі з них мають вказівки до розв’язування, а деякі лише відповідь. Також учні самостійно можуть перевірити свої знання за допомогою систем задач в розділі «Тест для самоконтролю», який поділяється на три частини. Перша частина включає в себе задачі початкового та середнього рівня, і носить тестовий характер. Тестова частина складається із задач на визначення взаємного розміщення прямих та площин., а також задачі на обчислення довжин та відстаней. Завдання другої частини відповідають достатньому рівневі і вимагають короткого запису ходу міркування. Задачі даної частини розраховані на здійснення обчислювальних операцій. Третя частина включає в себе чотири завдання високого рівня, дві з яких на обчислення певних параметрів, а дві іншіна доведення. Дані задачі необхідно розв’язати з повним обґрунтуванням

Далі розглянемо систему задач, яку автори книги підібрали до модуля «Взаємне розміщення площин». Даний модуль складається із трьох параграфів, кожен з яких має певну систему задач.

Перший параграф вищезгаданого модуля «Взаємне розміщення двох площин у просторі. Паралельні площини» включає в себе 22 вправи.

До наступного параграфа «Властивості паралельних площин» авторами подано 24 наступні вправи

Заключний параграф по темі «Паралельність в просторі» має назву «Паралельне проекціювання. Зображення плоских і просторових фігур на площині». Він має таку систему задач.

До даного модуля в книзі наведена лише одна прикладна задача. Також є тест для самоконтролю, який включає в себе завдання чотирьох рівнів складності. Вимоги до виконання даного тесту такі ж як і до тесту попереднього модуля.

Проаналізувавши систему задач підручника «Геометрія, 10 клас» авторів Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець В. О., на мою думку, система задач для повторення теоретичного матеріалу не зовсім відредагована, також необхідно урізноманітнити завдання, замало задач на побудову, доповнити систему вправ завданнями для групової роботи, а також включити вправи для повторення. На мій погляд потрібно збільшити кількість вправ для роботи з обдарованими учнями.

2.3 Методика навчання базового теоретичного матеріалу теми Розгляд теми «Паралельність прямих і площин у просторі» зводиться, власне, до вивчення взаємного розміщення прямих і площин, зокрема їхньої паралельності.

При вивченні теми особливу увагу слід приділити класифікації взаємного розміщення прямих і площин у просторі. Учні мають зрозуміти, що всі наведені теореми спрямовані насамперед на те, щоб допомогти визначати відповідне розміщення.

В умовах явного дефіциту навчального часу рекомендується використовувати на заняттях задачі, у процесі розв’язування яких формуються різні поняття, вміння і навички в межах одних і тих самих геометричних конструкцій.

Такими конструкціями можуть бути:

1) куб і тетраедр;

два трикутники, квадрати, прямокутники, паралелограми, що мають спільну сторону і лежать у різних площинах;

трикутник, квадрат, прямокутник, паралелограм, трапеція, розташовані паралельно до деякої площини, і паралельні відрізки, що з'єднують вершини цих многокутників з точками площини;

правильний трикутник, квадрат, прямокутник, рівнобічна трапеція і точка поза площиною даної фігури, з'єднана з деякими точками фігури.

Останні два види конструкцій дають змогу зробити чудову пропедевтику вивчення таких важливих понять стереометрії, як піраміда, призма.

Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості теми. Головним внеском у вирішення цієї проблеми є формування в учнів чітких уявлень про взаємозв'язки геометричних об'єктів і відношень між ними з об'єктами навколишнього середовища та відношеннями між ними.

У даній темі закладається фундамент побудови стереометрії. Тому важливо з самого початку акцентувати увагу на необхідності обґрунтування кожного кроку міркувань, прискіпливо аналізувати зміст понять, тверджень. Важливим є питання існування і єдиності об'єктів, про які йдеться. Існування чи неєдиність якогось об'єкта доводяться конструктивно. Єдиність чи неіснування доводяться, як правило, від супротивного. Ці загальні положення учні повинні засвоїти під час вивчення теми і застосовувати надалі.

Вивчення теми «Паралельність прямих у просторі можна поділити на чотири блоки:

1. Паралельність прямих у просторі

2. Паралельність прямої і площини

3. Паралельність площин у просторі

4. Паралельне проектування як спосіб зображення просторових фігур на площині.

Базовим для засвоєння основних понять і результатів теми «Паралельність прямих і площин у просторі» є поняття паралельності прямих у просторі. На ньому ґрунтуються ознаки паралельності прямої і площини, двох площин, а також доведення більшості фактів, які наводяться у підручниках. На вивчення паралельності прямих у просторі відводиться 5 годин.

На першому уроці, тема якого «Взаємне розміщення двох прямих у просторі: прямі, що перетинаються, паралельні, мимобіжні прямі», насамперед необхідно з учнями повторити розміщення прямих на площині і основну властивість паралельних прямих. Далі перейти до розгляду взаємного розміщення прямих у просторі, при цьому звертається увага на дві важливі умови: прямі або належать одній площині, або не належать. Усі три випадки розміщення прямих у просторі можна розглядати на каркасних моделях многогранників. Учні знайомляться з ознакою мимобіжності прямих. Усно розбираються задачі практичного змісту. Необхідно звернути увагу учнів на твердження: через дві паралельні прямі можна провести площину, і до того ж тільки одну. Новим і найбільш важким для учнів є поняття мимобіжних прямих. Робота з означенням не забезпечує формування просторового уявлення, тому ілюстрація многогранників повинна поєднуватися з малюнками цих тіл. Це сприяє правильному зображенню мимобіжних прямих при розв’язанні задач. На наступних двох уроках розв’язуються задачі і вправи по темі попереднього уроку. Перед вивченням властивостей і ознак паралельних прямих у просторі доречно було б перевірити, як засвоїли учні матеріал, невеличкою самостійною роботою .