Аналіз виробничих функцій

[pic].

Курсова робота :

«Аналіз виробничих функций».

Група: ДІ 302.

Студент: Шеломанов Р.Б.

Керівник: Зуєв Г. М.

Москва 1999.

Теоретична частина 3.

Мультипликативная виробнича функція 3.

Линейная виробнича функція 10.

Производственная функція вхід-видобуток 10.

Практическая частина 10.

Задача 10.

Решение 10.

Заключение

11.

Литература

12.

Теоретична часть.

Мультипликативная виробнича функция.

Виробнича функція (ПФ) висловлює залежність результату виробництва від витрат ресурсів. При описі економіки (точніше, її виробничої підсистеми) з допомогою ПФ ця підсистема розглядається як «чорну скриньку», на вхід якого надходять ресурси R1, …, Rn, але в виході виходить результат як річних обсяги виробництва різних видів продукції Х1, …, Хm. Як ресурсів (факторів виробництва) на макрорівні найчастіше розглядаються накопичений праця викладачів у формі виробничих фондів (капітал) До і реальний (живої) працю L, а ролі результату — валовий випуск Х (або валовий внутрішній продукт Y, або національний дохід N). В усіх життєвих випадках результат коротко називатимемо випуском і позначати X, це може бути валовий випуск, і ВВП, і Львівський національний дохід. Зупинимося кілька докладніше на обгрунтуванні складу чинника До. Нагромаджений минулий працю проявляється у основних та оборотних, виробничих та невиробничих фондах. Вибір тієї чи іншої складу K визначається метою дослідження, і навіть характером розвитку виробничу краще й невиробничій сфер в изучаемый період. Якщо цей період невиробничу сферу вкладається приблизно стала частка новоствореної вартості і невиробнича сфера надає на виробництво приблизно однаковий вплив, це є підставою безпосередньо враховувати в ПФ лише виробничі фонди. Але виробничі фонди складаються з основних та оборотних виробничих фондів. Якщо співвідношення між тими складовими частинами виробничих фондів приблизно постійне протягом усього досліджуваного періоду, то досить безпосередньо враховувати в ПФ лише основні виробничі фонди. Якщо изучаемый період досить тривалий і однорідний щодо впливу на виробництво зазначених вище складових частин, слід спробувати все варіанти включення в модель (від усіх разом до однієї з них). Щоб не говорити про деталі, далі будемо До називати фондами. Отже, економіка заміщується своєї моделі у формі нелінійної ПФ Х= F (K, L),.

т.е. випуск (продукції) є функція від витрат ресурсів (фондів і труда).

Тепер на економічну інтерпретацію основних характеристик ПФ з прикладу мультипликативной функції (зокрема, функції Кобба—Дугласа), деяких інших ПФ, використовувані економіки, розберемо наприкінці работы.

Виробнича функція Х= F (K, L) називається неокласичної, якщо вона є гладкою і задовольняє наступним умовам, здатною піддатися природною економічної інтерпретації: 1) F (0, L) = F (K, 0) = 0 — за відсутності однієї з ресурсів виробництво невозможно;

2) [pic][pic].

— зі зростанням ресурсів випуск зростає; 3) [pic] [pic] - зі збільшенням ресурсів швидкість зростання випуску сповільнюється; 4) f (+(, L) = F (K, +() = +([pic]- при необмеженому збільшенні однієї з ресурсів випуск необмежено зростає. Мультипликативная ПФ задається вираженням a1>0 a2>0 де, А — коефіцієнт нейтрального технічного прогресу; а1, a2 -коефіцієнти еластичності за працею і фондам .

Отже, ПФ має здатність 1, адекватним реальної економіці: за відсутності однієї з ресурсів виробництво неможливо. Приватним випадком цієї функції служить функція Кобба-Дугласа.

[pic] Де a1=a, a2=1-a.

Мультипликативная ПФ визначається по тимчасовому ряду випусків і витрат ресурсів (Хt, Кt, Lt,), t= 1, …, Т, де Tдовжина тимчасового низки, при цьому припускають, що відбувається Т соотношений.

[pic].

де (t — корректировочный випадковий коефіцієнт, який спричиняє відповідність фактичний і розрахунковий випуск б і відбиває флюктуацию результату під впливом інших чинників, М (t = 1. Бо у логарифмах цю функцію линейна:

In Хt = In A + atIn Kt+ a2InLt + (t, де (t = In (t, М (t= 0,.

отримуємо модель лінійної множинної регресії. Параметри функції А, a1, a2 можуть визначити методом найменших квадратів з допомогою стандартних пакетів прикладних програм, містять метод множинної регресії (наприклад, STATGRAF чи SAS для персональних ЭВМ).

Як приклад наведемо мультипликативную функцію валового випуску Російської Федерації (млрд. крб.) залежно вартості основних виробничих фондів (млрд. крб.) і кількості зайнятих в народному господарстві (млн. чол.) за даними за 1960;1994 рр. (все вартісні показники дано у порівняних цінах при цьому периода):

X=0,931K0,539L0,594.

Мультипликативная функція володіє властивістю 2, адекватним реальної економіці: зі зростанням витрат ресурсів випуск збільшується, т. е.

Оскільки a1 >0 Оскільки a2>0.

Приватні похідні випуску з чинників називаються граничними продуктами чи граничними (маржинальными) эффективностями факторів, і є приріст випуску на малу одиницю приросту фактора:

[pic]- граничний продукт фондів, гранична фондовіддача (гранична ефективність фондов);

[pic]- граничний продукт праці, гранична продуктивність (гранична ефективність труда).

Для мультипликативной функції зазначеної вище випливає, що гранична фондовіддача пропорційна середньої фондоотдаче — [pic] з коефіцієнтом a1, а гранична продуктивності праці — середньої продуктивність праці [pic] — з коефіцієнтом А2: [pic], [pic].

З чого випливає, що з а1 < 1, a2 < 1 граничні віддачі чинників менше середніх; за цих умовах мультипликативная функції має властивістю 3, що дуже часто зокрема у реальної економіці: зі зростанням витрат ресурсу його гранична віддача падає, т. е.

[pic] оскільки а1Kt, Lt+1>Lt) відповідно до [pic] росте, і випуск (тобто. Xt+1>Xt), отже, при а1+ А2 > 1 [pic].

т.е. справді, темпи зростання випуску більше від середнього темпу зростання чинників. Отже, при а1+ А2 > 1 ПФ описує дедалі більшу економіку. Лінії рівня на площині До, L, чи изоквантой, називається безліч тих точок площині, котрим F (K, L) =Х0=const. Для мультипликативной ПФ изокванта має вигляд :

[pic] чи [pic].

т.е. є статечної гіперболою, асимптотами якої слугують осі координат. Для різних До, L, лежачих у конкретній изокванте, випуск дорівнює одному і до того ж значенням X0, що еквівалентно утвердженню про взаємозамінності ресурсів. Оскільки на изокванте F (K, L) = Х0 = const, то.

[pic].

В цьому співвідношенні [pic], [pic] тому dK і dL мають різні знаки: якщо dL0, тобто вибувши обсягом [pic] працю заміщується фондами обсягом dK.

Тож природно таке визначення, що з [pic]. Граничною нормою заміни SK праці фондами називається ставлення модулів диференціалів ОФ і праці: [pic] відповідно, гранична норма заміни SL фондів працею [pic] у своїй Sk SL=1.

Для мультипликативной функції норма заміщення праці фондами пропорційна фондовооруженности: [pic], [pic] що цілком природно: недолік труднощів можна компенсувати кращої фондовооруженностью.

Изоклиналями називаються лінії найбільшого зростання ПФ. Изоклинали ортогональны лініях нульового зростання, тобто. изоквантам. Оскільки напрям найбільшого зростання кожній фазі (До, L) задається градиентом.

grad [pic], то рівняння изоклинали записується в форме[pic].

В частковості, для мультипликативной ПФ отримуємо, [pic].

поэтому изоклиналь задається диференційним уравнением,.

[pic], що має решение.

[pic], [pic].

где (L0; К0) — координати точки, якою проходить изоклиналь. Найбільш проста изоклиналь при, а = 0 є прямую.

[pic].

На рис. 1 зображені изокванты і изоклинали мультипликативной ПФ. Під час вивчення чинників економічного зростання виділяють екстенсивні чинники зростання (рахунок збільшення витрат ресурсів, тобто. збільшення масштабу виробництва) і [pic] рис. 1.

интенсивные чинники зростання (рахунок підвищення ефективність використання ресурсів). Постає питання: як за допомогою ПФ висловити масштаб і ефективність виробництва? Це порівняно легко зробити, якщо випуск та експлуатаційні витрати виражені в порівнянних одиницях, наприклад представлені у сумірної вартісної формі. Проте проблема порівняння сьогодення й минулого праці досі не вирішена задовільним чином. Тому скористаємося переходом до відносним (безрозмірним) показателям. В відносних показниках мультипликативная ПФ записується наступним образом:

[pic].

те X0, K0 L0 — значення випуску і витрат фондів і праці базовий рік. Безрозмірна форма, згадувана, легко наводиться до початкового виду [pic].

Таким чином, коефіцієнт [pic] отримує природну інтерпретацію — це коефіцієнт, який порівнює ресурси з випуском. Якщо позначити випуск і ресурси в відносних (безрозмірних) одиницях виміру через x, k, l, то ПФ в форме.

[pic] запишеться так:

[pic].

Знайдемо тепер ефективність економіки, представленої ПФ. Нагадаємо, що ефективність — цей показник результату до витрат. У нашому випадку два виду витрат: витрати минулого праці вигляді фондів k і справжнього праці l. Тому є приватних показника ефективності: [pic] -фондовіддача, [pic] - виробник труда.

Оскільки приватні показники ефективності мають однакову розмірність (точніше, однаково безразмерны), можна знаходити будь-які середні їх. Оскільки ПФ виражена в мультипликативной формі, те й середнє природно взяти у самій формі, тобто. среднегеометрическое значение.

Отже, узагальнений показник економічну ефективність є зважене середнє геометричне приватних показників економічної эффективности:

[pic].

в якому роль терезів виконують відносні еластичності [pic] [pic] тобто. приватні ефективності беруть участь у освіті узагальненої ефективності із пріоритетами, з якими входить у ПФ відповідні ресурсы.

З [pic]вытекает, що з допомогою коефіцієнта економічну ефективність ПФ перетворюється на форму, зовні збігається з функцією Кобба-Дугласа: k=Eka l1-a порівняно з ніж Є - не постійний коефіцієнт, а функція від (До, L).

Оскільки масштаб виробництва М проявляється у обсязі витрачених ресурсів, то тим самим міркувань, наведені при розрахунку узагальненого показника економічну ефективність, середня площа використаних ресурсів (тобто. масштаб производства).

M=kal1-a.

У результаті дістаємо, що випуск Х є твором економічної ефективності і масштабу производства:

Х=ЕМ.

Лінійна виробнича функция.

X=F (K, L)=EKK+ELL.

Де EK і EL приватні ефективності ресурсов.

EK =[pic] -фондовіддача, EL =[pic] - виробник праці. Оскільки приватні показники ефективності мають однакову розмірність (точніше, однаково безразмерны), можна знаходити будь-які середні з них.

Эластичности заміни праці фондами для лінійної ПФ = (їх кількість показує, наскільки відсотків треба змінити фондовооруженность, аби домогтися зміни норми заміни на 1%.

Виробнича функція вхід-видобуток X= F (K, L)=[pic] Где:

[pic].

[pic].

Коефіцієнти еластичності представлені у вигляді логарифмічних похідних чинників показують, наскільки відсотків збільшиться випуск, якщо чинник зросте на 1%. Наприклад, відповідно до ПФ X=0,931K0,539L0,594 зі збільшенням основних фондів (ОФ) на 1% валовий випуск підвищиться на 0,539%, а зі збільшенням зайнятих на 1% — на 0,594%.

Практична часть.

Завдання Дана виробнича функція валового внутрішнього продукту США за даними 1960;1995 гг.

X=2,248K0,404L0,803 Валовий внутрішній продукт США, обмірюваний в млрд. дол. у цінах 1987 р. зросла з 1960 по 1995 р. в 2,82 разу, основні виробничі фонди за цей період збільшився у 2,88 разу, число зайнятих — в 1,93 разу. Необхідно розрахувати масштаб і ефективність производства.

Рішення З умови x = 2,82 k=2,88 l=1,93; («початку знаходимо відносні еластичності по фондам і праці [pic] Потім визначаємо приватні ефективності ресурсів [pic] [pic] після чого знаходимо узагальнений показник ефективності як середнє геометричне приватних: [pic] Масштаб встановлюємо як середнє геометричне темпи зростання ресурсів [pic] Отже, загальне ВВП з 1960 по 1995 р. в 2,82 разу стався за рахунок збільшення масштабу виробництва, у 2,207 рази, й з допомогою підвищенні ефективності виробництва, у 1,278 разу (2,82 = 1,273 * 2,207).

Заключение

Выше досить докладно була вивчена мультипликативная ПФ F (K, L)[pic]. Зокрема, був з’ясований економічний сенс її параметрів, показано, що при 0.