Оцінки Шера і Цаллена

Шер і Цаллен ввели для оцінки порога перколяції критичну долю об'єму. Навкруги кожного вузла ґратки описується сфера (відповідної розмірності: коло в двомірному випадку, багатогранна сфера в випадку d>2). Радіус сфери рівний половині відстані до найближчого кластера. Таким чином, сфери дотикаються, але не перетинаються. Доля доступного об'єму V визначається як відношення об'ємів сфер, центрованих на неблокованих вузлах, до повного об'єму сфер. Ця велична може бути розрахована за формулою.

(13).

тут f — коефіцієнт заповнення (відношення об'єму вписаної сфери до об'єму елементарної комірки). Критичний об'єм (для p_c) залежить лише від розмірності. [3].

перколяційний поріг кластер архімедовий.

«Універсальна формула» Галама і Можера

В 1996 році Галам то Можер встановили степеневий закон для визначення порога перколяції як в випадку задачі вузлів, так і випадку зв’язків.

(14).

тут d — розмірність простору, q — координаційне число. Всі розрахунки було розділено на три універсальні класи. Для перших двох класів b = 0 в випадку вузлів та b = a в випадку задачі зв’язків. Для третього класу b=2a-1 в обох випадках. Класи визначаються значеннями з набору {p₀;a}. Наприклад, ґратки першого класу відносяться трикутна, квадратна і шестикутна ґратки (p₀ = 0,8889, а = 0,6160 для задачі вузлів та p₀ = 0,6558, а = 0,6897). [3].

В 1997 році автори представили універсальну формулу для анізотропних та аперіодичних ґраток. Вони ввели параметр p_efi — ефективне координаційне число, яке виявилось дуже близьким до середнього координаційного числа < Z >.

Але дуже швидко виявилось, що існує цілий ряд випадків, коли універсальна формула дає невірний результат. Так в 1997 році Ван дер Марк показав, що в випадку об'ємноцентрованої ґратки і простої гексагональної ґратки формула передбачає однакові результати, оскільки для них обох d = 3 та q = 8 (p₀ = 0,246, а = 0,2623 та p₀ = 0,3623, а = 0,1859 відповідно).

Далі Ван дер Марк показав ще ряд прикладів, в тому числі і для ізотропних ґраток, коли універсальна формула давала невірні результати. На основі отриманих даних автор зробив висновок про те, що розмірності простору і координаційного числа не вистачає для передбачення порогу протікання.

Ще один приклад, коли результати комп’ютерного моделювання і оцінка по універсальній формулі дають відчутно різні значення порога перколяції було показано для ґратки додекаедра.