Запрещенные арифметичні операції можливі

Запрещенные арифметичні операції возможны

Геннадий Неверов Из всіх послуг, які можна надані науці, запровадження нових ідей сама важная.

Дж. Дж. Томсон Наука про числах початку формуватися за 2…3 тисячоліття до нашої ери. Переказ арифметики в більш-менш сучасному вигляді з’явилося ХVIII веке.

Одними із наріжних і стійких правил математики є правила дій зі категоріями, знаками нескінченності та нуля. Правила стверджують, що ні мають сенсу складання і віднімання бесконечностей і те саме нулів, забороняється ділити на нуль. Ці правила ніхто не викликають заперечень, вони охоче сприймаються здоровий глузд школярів та академиков.

Эти затвердження включені в усі підручники і довідники з математики та математиці. Вони міцно вбиті в голови сучасних покупців, безліч, можна сказати, вже закріплені в генетичної памяти.

Однако, моє погляд, це помилкова думка. Нижче я покажу, що арифметичні операції з названими числами возможны.

Например, при розробці евристичного алгоритму (однієї з багатьох) виконання завдання комівояжера (The Traveling Salesman Problem) можливі відповідні ситуации.

Напомню, що це завдання з несерйозним назвою має численні практичні докладання, є найбільш відомої завданням класу NP-complete problems (їх кількість понад тисячі), особливість якого складають зведення завдань класу друг до друга. Ці завдання немає ефективного (полиномиального) алгоритму рішення і вирішуються наближеними і эвристическими алгоритмами. Якщо ж це колись буде знайдено полиномиальный алгоритм рішення хоча б однієї завдання класу, їх сонм вирішуватиметься эффективно.

В журналі Scientific American (1984, 7) зазначалося, що розв’язання цієї завдань сучасної математиці за силам.

Суть The Traveling Salesman Problem наступного. Є мережу міст, її комівояжеру необхідно відвідати кожен, відвідуючи міста за одним разу — те щоб загальна довжина шляху було мінімум. У термінах теорії графів є матриця відстаней між вершинами графа, відстані (дуги) може бути натуральними позитивними числами, нескінченністю чи нулем. Поява в шуканому шляху хоча б однієї дуги, рівної нескінченності, робить весь шлях нескінченним, а дуги, рівні нулю, скорочують путь.

Идея алгоритму: вибирати дуги, починаючи з першої аналогічно далі, те щоб в рядках і шпальтах викреслювалися найгірші дуги, тобто у першу чергу рівні нескінченності. Причому у матриці залишаться більш-менш короткі дуги, які використовуватимуться на подальші кроки алгоритму. Останній не знаходить оптимальним шляхом, але гарантує відсутність провалу, якщо такий шанс є: у ньому нічого очікувати дуг, рівних нескінченності, чи інших найдовших (якщо цей шлях у цій матриці існує). Насправді надійні, наближені до оптимуму рішення може мати попит. (Цей алгоритм та інші, згадувані в статті, розроблено мною).

Так ось, вирішуючи завдання крок по кроку, змушені підраховувати кожному кроці кількість бесконечностей у кожному рядку і стовпці - й вибирати нам ту дугу, яка знищує їх якомога більше, тобто складати і вичитати бесконечности.

Хотя по багатовікової теорії сума, наприклад, трьох бесконечностей дорівнює однієї нескінченності, в мене ця сума дорівнює трьом бесконечностям. І сума п’яти бесконечностей далі в мене, ніж, наприклад, четырех.

Возьмем інший евристичний алгоритм. Будемо крок по кроку вибирати дуги те щоб в знищуваних рядках і шпальтах було мінімум нулів, а оставляемых — максимум. Задум у тому, щоб зберегти найкращі, нульові, дуги для подальшого використання. У цьому вся алгоритмі я складаю і віднімаю нули.

Если читач вважає, що нахабність автора вичерпана, він помилився. Коли вже переконалися, що складати і вичитати як нескінченності, і нулі можна й потрібно, треба бути послідовними. Переконаний, що є сенс вираз: нескінченність плюс нуль. Читач міг би стрепенутися і вигадати, згадати, свій приклад, коли цей вислів можна буде. А я знову звертаюся до конструювання алгоритму рішення The Traveling Salesman Problem.

Если з'єднати названі перший і другий алгоритм до одного — третій, ми муситимемо складати і порівнювати (вичитати) нескінченності та нулі. У існуючої теорії нескінченність плюс нуль раняется однієї нескінченності; чи нескінченність плюс два нуля теж дорівнює однієї нескінченності. А в мене ці суми різні, й призводять до різним последствиям.

О нуле

Это число по визначенню не змінює будь-який інший, якого то, можливо додано, чи то з якого віднімається. Йому не можна поділяти. Отже, не маю права іменувати нулем то число, яким оперую. Вихід один: назвати модифікований нуль якимось новим ім'ям, наприклад, неу (перші три літери моє прізвище) неначе й жити далі людству з розширеним переліком категорій математики. Характеристика неу буде таке: це дуже мала кількість, — нуль, з яким відбуваються арифметичні операції. На відміну від нуля нев можна буде потрапити додавати і забирати, нього можна ділити натуральне число, одержуючи у результаті бесконечность.

Какими знаками позначити запропоновані нові цифри? Доцільно зберегти існуючі знаки, оскільки нові категорії є як загальним випадком. Старі самого поняття цих цифр, якщо їх існування матиме сенс, можна позначати подчеркиванием.

Но згоден з тими, хто рекомендує не збільшувати кількість сутностей без гострої необхідності. Може набагато краще змінити визначення нуля? Назвемо його нескінченно малим числом тоді неу нічого очікувати потрібен. У кожному разі правила арифметики істотно змінюються час думати над последствиями.

О бесконечности

Герман Вейль (Weyl), якого називали тонким знавцем проблем математики точного природознавства, очевидно, перегинав палицю, коли визначав математику як науку про нескінченному (ВейльГ. Про філософію математики. 1934 р., стор.9 і 90). По моєї думки, сфера математики значно ширше. Проте, запровадження арифметичних операцій із нескінченністю безумовно вражає будинок математики. Тут той самий проблема: змінювати визначення нескінченності, чи заснувати новий термін. Для другого варіанта я пропоную назва неллі: перші дві літери — із мого прізвища, а цілому ім'я моєї дружини, чиї позитивні якості невичерпні. Дефініція буде таке: неллі - нескінченність, з якою відбуваються арифметичні операции.

Таким чином я ставлю міжнародної математичної громадськості ультиматум: чи змінюються характеристики нескінченності та нуля, чи цієї статтею вводжу нові, певні вище, числа неллі (nelly) і неу (nev).

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із сайту internet.