Історія похідної, функції, інтеграла (реферат)

Реферат на тему:

Історія похідної, функції, інтеграла.

Ключовим поняттям математичного аналізу, початки якого вивчають в школі, є поняття функції, границі, похідної та інтеграла.

Термін «функція «вперше запропонував у 1692 р. видатний німецький філософі математик Готфрід Вільгельм Лейбіц (1646 — 17 16) для характеристики різних відрізків, що сполучають точки деякої кривої. Перше означення функції, яке вже н було пов’язане з геометричними уявленнями, сформулював Йоган Бернуллі (1667 — 1748) у 1718р. Пізніше, у 1748. дещо уточнене означення функції дав учень Й. Бернулі Леонард Ейлер (1707−1783). Ейлеру належить символ функції f (х).

В означеннях Бернуллі і Ейлера функцію ототожнювали з аналітичним виразом, яким вона здається. Ейлер вважав також за можливе задавати одну й ту саму функцію на різних множинах різними аналітичними виразами. Ці так звані «Кусково — задані функції «широко застосовуються на практиці.

Вже в часи Ейлера стало зрозумілим, що ототожнення функції з її аналітичним виразом звужує саме поняття функції, бо, по-перше, одним і тим же виразом можна задати різні функції, по-друге, не завжди функцію можна задати аналітично. Вже Ейлер припускав можливість задавання функції лише графіком.

Дальший розвиток математичного аналізу і практичних застосувань математики привів до розширення поняття функції. У 1834 р. видатний російський математик М. І. Лобачевский (1792 — 1856) сформулював означення функції, в основу якого було покладено ідею відповідності: «Загальне поняття вимагає, щоб функцією від х називати число, яке дається для кожного х і разом з х поступово змінюється. Значення функції може бути задане або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб випробування всіх чисел і вибору одного з нихабо, нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою «.

Вже через три роки німецький математик Лежен Дріхле (1805 — 1859) зробив таке узагальнення поняття функції: «y є функція змінної x (на відрізку a <= x <= b), якщо кожному значенню x відповідає цілком повне значення y, причому не має значення, яким чином встановлена ця відповідність — аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами» .

У другій половині xix ст. після відкриття теорії множини до означення функції, крім ідеї відповідності, було залучено ідею множини, а тому сучасне означення функції формулюють так: «Відповідність між множинами x і y, при якій кожному елементу х множина Х відповідає певний елемент у множини У, називають функцією» .

У xx ст. відбулося подальше розширення поняття функції, викликане потребами фізики. У 1930р. англійський фізик Поль Дірак (1902 — 1984 0 ввів поняття так званої «дельта — функції «, а у 1936р. російський математик і механік С. Л. Соболєв (1908 — 1990) ввів більш широке поняття узагальненої функції, яке охоплює і дельта — функцію.

Отже, поняття функції продовжує розвиватися і розширюватися відповідно до потреб розвитку математичної науки та її практичних застосувань.

Походження поняття границі, на якому ґрунтується весь математичний аналіз і корені якого сягають глибокої давнини, пов’язане з обчисленням площ криволінійних фігур, об'ємів тіл, обмежених кривими поверхнями. Ідею границі вперше було використано стародавнім грецьким математиком IV ст. до н.е. Евдоксом Кнідським. Метод Евдокса, який був названий «метод вичерпування «, використовували Квклід, Архімед та інші вчені стародавнього світу.

Перше означення границі дав у середині XVII ст. англійський математик Джон Вал ліс (1616 — 1703). Але тоді ще не було чіткого розуміння основних понять, пов’язаних з теорією границь. Зокрема, термін «нескінченно мала «розуміли як вказівку на розмір величини, а не характер її зміни.

Термін «границя «і відповідний символ lim вперше було введено англійським математиком і механіком Ісааком Ньютоном (1643 — 1727).

Строге означення границі і неперервності функції сформулював у 1823 р. Французький математик Огюстен Луї Коші (1789 — 1857). Означення неперервності функції ще раніше за Коші сформулював чеський математик Бернард Больцано (1781 — 1848). За цим означеннями на базі теорії дійсних чисел було здійснено строге обґрунтування основних положень математичного аналізу.

Відкриттю похідно і основ диференціального числення передували роботи французького математика і юриста П''єра Ферма (1601 — 1665), який у 1629 р. Запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися на застосування похідних. Цьому сприяли також роботи Рене Декатра (1596 — 1650), який розробив метод координат і основи аналітичної геометрії. Лише в 1666 р. Ньютон і дещо пізніше Лейбніц незалежно один від одного побудували теорію диференціального числення. Ньютон прийшов до поняття похідної, розв’язуючи задачі про миттєву швидкість, а Лейбніц, — розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої. Ньютон і Лейбніц досліджували проблему максимумів і мінімумів функцій. Зокрема, Лейбніц сформулював теорему про достатню умову зростання і спадання функції на відрізку.

Ейлер в роботі «Диференціальне числення «Диференціальне числення «.

(1755р.) розрізняв локальний екстремум і найбільші та найменші значення функції на певному відрізку. Він перший почав використовувати грецьку букву ля позначення приросту аргументу — X1 і приросту функції Y2 — Y1.

Позначення похідної у ' і f '(х) ввів французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736 — 1813).

Інтегральне числення і саме поняття інтеграла виникли з потреб обчислення площ плоских фігур і об'ємів довільних тіл. Ідеї інтегрального числення беруть свій початок у роботах стародавніх математиків. Проте це свідчить «метод вичерпування «Евдокса, який пізніше використав Архімед у ІІІ ст. до н. е. Суть цього методу полягала в тому, що для обчислення площі плоскої фігури і, збільшуючи кількість сторін многокутника, знаходили границю, до якої прямували площі ступінчастих фігур. Проте для кожної фігури обчислення границі залежало від вибору спеціального прийому. А проблема загального методу обчислення площ і об'ємів фігур залишалась нерозв’язаною. Архімед ще явно не застосовував загальне поняття границі і інтеграла, хоча в неявному вигляді ці поняття використовувались.

У XVII ст. Йоганном Кеплером (1571 — 1630), який відкрив закони руху планет, було успішно здійснено першу спробу розвинути ідеї Архімеда. Кеплер обчислював площі плоских фігур і об'єми тіл, спираючись на ідею розкладання фігури і тіла на нескінченну кількість нескінченно малих частин. З цих частин у результаті додавання складалась фігура, площа якої відомо і яка дає змогу обчислити площу шуканої. На відміну від Кеплера, італійський математик Бонавентуро Кавальєрі 9 1598 — 1647), перетинаючи фігуру (тіло) паралельними прямими (площинами), вважав їх позбавленнями будь — якої товщини, але додавав ці лінії. В і сторію математик увійшов так званий «принцип Кавальєрі «, за допомогою якого обчислювали площі і об'єми. Цей принцип дістав теоретичне обґрунтування пізніше за допомогою інтегрального числення. Для площ плоских фігур принцип кавальєрі формулювали так: якщо прямі деякого пучка паралельних прямих перетинають фігури Ф1 і Ф2 рівні.

Ідеї Кеплера та інших вчених стали тим ґрунтом, на якому Ньютон і Лейбніц відкрили інтегральне числення. Розвиток інтегрального числення продовжили Ейлер та П. Л. Чебишов (1821- 1894), який розробив способи інтегрування деяких класів ірраціональних функції.

Сучасне означення інтеграла як границі інтегральних сум належить Коші. Символ x було введено Лейбіцем. Знак агадує розтягнуту S (першу букву латинського слова SUMMA — «сума «). Термін «інтеграл» походить від латинського INTEGER — «цілий «і був запропонований у 1690р. Й. Бернуллі .