Дуалистические властивості математики їх свій відбиток у процесі викладання

Дуалистические властивості математики їх свій відбиток у процесі преподавания

А.В.Ястребов.

1. Про инвариантном ядрі різних концепцій математичного образования

Перечисляя основні психологічно орієнтовані моделі шкільного навчання, М. А. Холодная називає наступні п’ять: вільну модель (Р.Штейнер, Ф. Г. Кумбе та інших.), особистісну модель (Л.В.Занков, М. В. Зверева та інших.), розвиваючу модель (Д.Б.Эльконин, В. В. Давыдов та інших.), активизирующую модель (А.М.Матюшкин, М. М. Махмутов та інших.), яка формує модель (П.Я.Гальперин, Н. Ф. Талызина та інших.) [6, з. 307−308]. Додамо до цього списку запропоновану нею модель який збагачує навчання, концепцію укрупнення дидактичних одиниць П. М. Эрдниева, в значною мірою орієнтовану на математику, і навіть деякі концепції вузівського математичної освіти: концепцію спеціальної математичної і методичної підготовки викладачів профільних шкіл О. А. Иванова, профессионально-педагогической спрямованості навчання А. Г. Мордковича, наглядно-модельного навчання Е. И. Смирнова, моделювання наукових досліджень про А. В. Ястребова.

Для викладача математики педагогічного вузу настільки велика різноманітність підходів призводить до того, що комплексне, одночасне використання здобутків і традицій рекомендацій кожної з концепцій вистачає важким чи неможливим з огляду на їх достатку і розмаїття. Понад те, труднощі що така лише зростає принаймні подальшої розробки перелічених концепцій і нових. Однією з методів поліпшення ситуації може бути виділення інваріантного ядра різних концепцій математичної освіти. Йдеться пошуку таких положень (принципів, аксіом, і ін.), що або вже входять до більшості з концепцій, або б увійти до них же в ролі складової частини у процесі їх розвитку. Полемічно загострюючи думку, можна сказати, йдеться про пошуку таких положень, облік яких тією чи іншій формі був би дуже бажаний як із існуючих підходах, так в тих, що неминуче з’явиться у недалекому будущем.

Математическое освіту, яких б теоретичних посилках воно ні базувалося, покликане сформувати у свідомості учнів адекватний образ математики. Через це загальних положень будь-який педагогічної концепції мали бути зацікавленими тісно пов’язані з іманентними властивостями математики, незалежними ні від предметної області в ній, ні від рівня математичних досліджень, ні від історичного періоду розвитку. Нижче розглядатимуться що з таких свойств.

2. Дуалістичні властивості математики

При описі дуалістичних властивостей математики ми виходити, по-перше, з спільного уявлення про науку і, по-друге, із загального ставлення до математиці як «про науці про кількісних відносинах і просторових формах дійсного мира.

Математике, як і усілякої науці, притаманний деятельностно-продуктивный дуалізм. Це означає, що правове поняття математики включає у собі як діяльність із отриманню нового знання, і продукт цієї бурхливої діяльності - суму отриманих на цей час математичних знаний.

Поскольку утворення має формувати у свідомості студентів адекватний образ науки, об'єктивно виникає природне вимогу до математичної підготовці: навчання математиці має бути орієнтоване, причому це й однаковою мері, як у передачу системи математичних знань, і формування умінь і навиків діяльності всередині математики.

Проиллюстрируем вищесказане прикладом, описавши два різних сценарію, яких може слідувати педагог при виявленні математичних взаємозв'язків. А вибираємо нарочито простий приклад, що з однаковим успіхом може розглядатися й у школі, й у вузі - зв’язок між парністю і дифференцируемостью функции.

Первый сценарій полягає у прямому використанні вправи з його відомого задачника [1, № 537].

Задание 0. Доведіть, що й і дифференцируема, то .

Поскольку твердження, що слід довести, сформульовано вочевидь і дійшов студентові ззовні, то єдине, що залишається йому робити — це діяти за формальним правилам, використовуючи визначення похідною, умова і переобозначение перемінної під знаком краю: .

Второй сценарій грунтується на спостереженні за групою функций.

Задание 1. Розгляньте функції , , , , і знайдіть їх загальне властивість, та був обчислите їх похідні. Яку гіпотезу ви можете сформулировать?

Как правило, студентам незрозуміло вираз «знайти загальне властивість». Викладачеві доводиться повертати їх до спільної схемою дослідження функцій і згадувати, що їм відомі багато властивостей функцій, виражені у вигляді понять: область визначення, парність, періодичність, асимптота, обмеженість, монотонність, екстремум, безперервність, дифференцируемость. Однією з методів пошуку загальних властивостей є метод винятку. Можна Знайти, наприклад, що це ряд функцій містить як періодичні, і непериодические функції ( і відповідно), отже періодичність перестав бути їхнім спільним властивістю. Це ж можна сказати більшість властивостей у складі згаданих. Винятком є непарність всіх функцій і, із певною застереженням, їх дифференцируемость (обмовка полягає в недифференцируемости функції лише у точці своїй сфері визначення). Обчислення похідних показує, що вони четны. Так природним чином народжується гіпотеза: «Якщо функція нечетна і дифференцируема, що його похідна четна». Перевірка справедливості цієї гіпотези призводить до формальному доведенню, наведеній выше.

Нетрудно бачити, що розумові дії, які скоювалися учнями другий — коли сценарії, досить різноманітні: це узагальнююче повторення, обчислення похідних, формулювання гіпотези і потім суто технічні дії, використовувані в першому сценарії. Узагальнено кажучи, з першого сценарії учень засвоює математичний продукт, отриманий на інших людей, а другий — коли сценарії - і продукт, і елементи математичної діяльності з його получению.

Отступим основної лінії нашого викладу і відзначимо пропедевтичний компонент розглянутої прикладу. Якщо вираховуватимуть похідну функції з допомогою визначення цієї функції, одержимо, що . Неважко бачити, що цей словесно задану похідну можна поставити аналітично: . Інтерпретуючи останнє рівність говорячи по-іншому, можна сказати, що первообразной елементарної функції є неэлементарная функція . Цей в’язкий і решту приклади психологічно готують студентів до сприйняття з дитинства інтегралів, не що виражаються у кінцевому вигляді [5, з. 36, 83 і др.].

Вернемся до розгляду дуалістичних властивостей математики.

Математике, як і усілякої науці, притаманний личностно-социальный дуалізм. Це означає, що мають місце кілька доповнюють одне одного фактів: (а) кожен математичний результат винаходиться особисто тим чи іншим конкретним математиком; (б) математика може існувати наявністю особливого соціального інституту — наукових співтовариств; (в) винайдений результат стає фактом науки тільки внаслідок його прийняття науковим співтовариством; (р) процес прийняття нового результату включає у собі обміну інформацією про практичний зміст нового результату різні види експертних оценок.

С організаційної погляду наукова спільнота є дуже складно освітою з розгалуженою ієрархією і многокомпонентными відносинами приналежності. У нього входять окремі вчені, творчі колективи, дослідницькі інститути, навчальними закладами, наукові журнали, органи з присудженню учених ступенів, національні академії, міжнародні комітети. Вочевидь, що необхідним (і, можливо, достатнім) умовою функціонування такої системи є інформаційному обміну про між її елементами. Насправді він дуже інтенсивно здійснюється з допомогою публікацій, конференцій, семінарів, системи Інтернет, і т.д.

Коль незабаром у реальному науковому світ об'єктивно існує важливе явище — інформаційному обміну про результатами особистої діяльності - він повинен у тому чи іншій формі відбиватися у процесі викладання. Проілюструємо можливість такого відображення з допомогою завдань тієї ж ідейної спрямованості й того рівня складності, як і завдання 1.

Задание 2. Розгляньте функції , , , , і знайдіть їх загальне властивість, та був обчислите їх похідні. Яку гіпотезу ви можете сформулювати? (Тут дельта-функция визначається рівністю .).

Задание 3. Розгляньте функції , , , , і знайдіть їх загальне властивість, та був обчислите їх похідні. Яку гіпотезу ви можете сформулювати? (Тут — це функция-константа, а — це подрібнена частина числа .).

Нетрудно помітити, що це функції з завдання 2 є парними, які похідні - непарними, що призводить студентів до спільної гіпотезі про зміну парності при дифференцировании. Аналогічно, всі функції з завдання 3 є періодичними, причому їх похідні також периодичны з тим самим самим періодом; так виникає загальна гіпотеза про інваріантності властивості періодичності по відношення до дифференцированию.

Данные спостереження підказують природний педагогічний прийом: розподілити завдання 1−3 між микрогруппами студентів із тим, щоб представник кожної їх повідомив своїм товаришам про результати решения.

Разумеется, методика роботи малими групами відома і поширена досить широко. Необхідність і доцільність організації інформаційного обміну між студентами можна вивести ринок із робіт Л. С. Выготского, П. Я. Гальперина, В. В. Давыдова, В. А. Лекторского, А. Н. Леонтьева, Я. А. Пономарева, Н. Ф. Талызиной і ін. з філософії, психології та педагогіці. (Наприклад, короткий огляд першоджерел під певним кутом зору обгрунтування даного виведення можна знайти у роботах автора [7, 8].) Ми ще хочемо підкреслити, що обмін інформацією між малими групами чи окремими студентами не просто вдалим методичним прийомом, як добре обгрунтований з погляду психології, але зачіпає істота математики — її личностно-социальный дуалізм, і з цього в певному сенсі обов’язковим для процесу преподавания.

Обратимся до пропедевтическому компоненту завдань 2 і трьох. Прямі обчислення показують, що і , якщо . Останнє рівність можна переписати у різних видах, наприклад, чи . Дані рівності можна трактувати з різних точок зору. По-перше, ми ще один приклад елементарної функції , первообразная якої не елементарна. По-друге, бачимо, що деякі випадках функцію, задану словесно, можна поставити аналітично. Такі, наприклад, функції , і , які спочатку задаються словесно і потім набувають своє аналітичне вираз. По-третє, функції і мають парадоксальними властивостями: їх похідні рівні, проте функції немає друг від друга на аддитивную константу, оскільки . Дане спостереження перебуває у начебто суперечності з умовами сталості функції і наслідком потім із нього [4, з. 268]. Студентам корисно з’ясувати, що протиріччя насправді немає, оскільки похідні обох функцій визначено не так на проміжку, як цього потребує теорема, але в об'єднанні промежутков.

Вернемся до розгляду дуалістичних властивостей математики.

Математике притаманний индуктивно-дедуктивный дуалізм. Це означає, що природа умовиводи у математиці є це й індуктивної, і дедуктивної. Інтуїція, джерело якої в індуктивних умовиводах, служить засобом первинного отримання результату, а логіка, джерело якої в дедукції, служить засобом його суворого обоснования.

О співвідношенні індукції і дедукції, інтуїції і надзвичайно логіки писали такі видатні математики, як Ж. Адамар, Г. Вейль, Ф. Клейн і ще. Як багато уваги приділяє цьому А. Пуанкаре [3, з. 8, 11−21, 159−169, 309−320]. Наведене вище твердження про индуктивно-дедуктивном дуалізмі математики є лише коротким вираженням думок її творців. Нам зараз важливіше обставина, що з класиків науки міркування природі розумових дій у сфері математики виявляються тісно пов’язані з питаннями її викладання. Говорячи про інтуїції, А. Пуанкаре пише, що «без неї молоді уми могли б перейнятися розумінням математики; де вони навчилися б її любити дітей і побачили у ній лише порожній сперечання; без неї особливо їх ніколи не стали б здатними застосовувати її» [3 з, 165]. Ключова думку А. Пуанкаре свідчить про подібність розумових процесів дослідника, і студента: «Нам потрібна здатність, яка б бачити мета видали, а ця здатність є інтуїція. Вона необхідна досліднику у виборі шляху, вона менш необхідна у тому, що йде з його гарячих слідах і знати, що він вибрав його» [3, з. 166].

В сформованих умовах, коли индуктивная природа математичного творчості недостатньо розкривається у процесі викладання, коли абсолютна більшість підручників написано дедуктивним методом, а задачники значною мірою орієнтовані вироблення математичної техніки, викладачам слід акцентувати індуктивне початок математики витримувати цей акцент до тих пір, поки студентському співтоваристві не сформується стійке уявлення про рівноправність обох компонентів математики. Завдання 1−3 ілюструють можливість такого акцентування у межах державних освітніх стандартів (до речі, зовсім на високих). Справді, з одного боку, у яких використовується традиційний шкільний матеріал, з другого боку, завдання носять явно індуктивний характер.

Краткий огляд поглядів класиків математики на індуктивну природу математичного творчості міститься, наприклад, в [7, 8].

Математике притаманний эмпирико-теоретичекий дуалізм джерел його розвитку. Це означає, що існує два типу рушійних ідей сучасної математики: ідеї природничонаукового, емпіричного походження і теоретичні ідеї, що з’явилися всередині математики.

Дж. фон Нейман [2] називає два розділу математики, ідеї яких мають явно емпіричне походження — геометрію і математичний аналіз. Це саме її розділи, яких якнайкраще застосовно назва «чиста математика». Понад те, створення математичного аналізу «більшою мірою, ніж або інше, знаменує народження сучасної математики». До розділах другого типу, винайденим для внутрішнього, математичного споживання, Дж. фон Нейман відносить абстрактну алгебру, топологію, теорію множин. Двома дивовижними прикладами служать диференційна геометрія і теорія груп, оскільки спочатку їх вважали абстрактними, неприкладними дисциплінами і тільки потім вони знайшли широке використання у фізиці. Але й понині вони розвиваються переважно у абстрактному дусі, далекому від додатків. Коротко кажучи, «двоякий образ — справжнє обличчя математики, і це не вірю, що природу математичного мислення можна було б розцінювати із якоюсь єдиної спрощеної погляду, не приносячи причому у жертву сутність» [2].

Эмпирический компонент джерел розвитку досить добре відбито у практиці викладання. Справді, вивчення математичного аналізу традиційно починається з розгляду фізичних завдань, що призводять до поняттям похідною, інтеграла, диференціального рівняння. Розвиток теорії, зазвичай, завершується її додатками, наприклад, обчисленням площ, обсягів, довжин дуг, моментів інерції і т.д.

Иначе ситуація з теоретичним компонентом джерел розвитку. Наприклад, більшість підручників, а з їх занепадом більшість викладачів, не вважають необхідним розгляд завдань, що призводять до поняттям групи, кільця, поля, векторного простору тощо. Тим більше що звернення до них міг би зіграти серйозну мотивуючу роль вивченні студентами такий абстрактної математичної дисципліни, якою є алгебра. На думку автора, певне неуважність до мотивуванням пояснюється виключно традиціями викладання й неможливо пов’язано ні із дикою природою математики, ні з труднощами розгляду мотивуючих завдань. Наприклад, необхідність вивчення систем лінійних рівнянь міг би бути проілюстрована фізичної завданням про розрахунку електричної ланцюга, економічної завданням про визначення вартості товару, аналітичної завданням про відновленні багаточлена з кількох точкам його графіка. Було б доцільно мати повний перелік завдань, що призводять до основним поняттям абстрактної алгебры.

В висновок відзначимо, що дуалістичні властивості математики висловлюють її суттєві властивості, які, саме у силу їх важливості, би мало бути усвідомлені у її вивчення. І тому викладач повинен розташовувати великим набором завдань із всім тем досліджуваних курсів, які формують студентам уявлення про дуалістичних властивості математики. Питання їх оптимальному використанні слід вирішувати в експериментальному порядке.

Список литературы

Мордкович О.Г., Мухін А.Є. Збірник завдань із запровадження в аналіз політики та диференціальному підрахунку функцій однієї перемінної. — М.: Просвітництво, 1985.

Нейман Дж. фон. Математик // Природа. — 1983. — № 2. — З. 88−95.

Пуанкаре А. Про науку. — М.: Наука, 1983.

Фихтенгольц Г. М. Курс диференціального і інтегрального обчислення.

Т. I. — М.: Наука, 1966.

Фихтенгольц Г. М. Курс диференціального і інтегрального обчислення.

Т. II. — М.: Наука, 1966.

Холодная М.А. Психологія інтелекту: парадокси дослідження. — Томськ: Вид-во Том. ун-ту. Москва: Вид-во «Барс». — 1997.

Ястребов А. В. Про процес формулювання однієї дослідницької завдання // Ярославський педагогічний вісник. — № 1−2. — 1999. — З. 66−73.

Ястребов А. В. Про процес формулювання однієї дослідницької завдання: закінчення // Ярославський педагогічний вісник. — № 3−4. — 1999. — З. 62−69.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.