Числові та степеневі ряди (реферат)

Реферат на тему:

Числові та степеневі ряди

ПЛАН.

1. Числові ряди.

2. Степеневі ряди.

1. Числові ряди У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.

Наприклад, для суми S=1−1+1−1+1−1+… згідно з асоціативним законом маємо S=(1−1)+(1−1)+… та S=1-(1−1)-(1−1)-…. Отже, для нескінченних сум асоціативний (сполучний) закон додавання не виконується.

Означення. Нехай задано нескінчену послідовність {an}=a1,a2,…, an,… .

Тоді вираз a1+a2+…+an+…= $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_i$$.

називають числовим рядом, а доданок an — загальним членом цього ряду.

Розглянемо часткові суми числового ряду:

S1=a1 ;

S2=a1+a2 ;

…

Sn=a1+a2+…+an ;

…

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду.

$$S=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}{S}_n=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}\underset{i=1}{\overset{n}{}}{a}_i$$ (9.1).

Приклади.

1. 1.Ряд $$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{2^n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ є збіжним. Його сума дорівнює 1, оскільки згідно з формулою суми геометричної прогресії $$S=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{1}{2^n}=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{1}{2}\frac{1-(\frac{1}{2}{)}^n}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1$$ .

2. 2.Ряд $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ є розбіжним, оскільки можна довести, що для будь-якого числа A знайдеться такий номер N, що $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{N}>A$$ .

3. 3.Нехай у деякій закритій економіці частка національного продукту, яку витрачають на споживання, становить b, а частка, яку вкладають в інвестування 1-b. Нехай початкові інвестиції дорівнюють I. Тоді згідно з теорією Кейнса споживання спричинить нові інвестиції у розмірі b На наступному етапі матимемо інвестиції в розмірі b2і так далі. В перспективі національний доход становитиме Y=I+bI+b2I+…= $$I\frac{1}{1-b}$$. Коефіцієнт $$\frac{1}{1-b}$$ називають мультиплікатором.

Властивості збіжних рядів.

Теорема 1 (необхідна умова збіжності рядів). Якщо ряд $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_i$$ збігається, то його загальний член прямує до нуля ($$\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ i->\mathrm{}\end{array}{a}_i=0$$).

Теорема 2. Якщо ряд $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_i$$ збігається, то для будь-якого значення mзбігається ряд $$\underset{i=m}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_i$$ і навпаки.

Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.

Достатні ознаки збіжності рядів.

Теорема 3. Нехай задано два ряди з додатними членами (знакододатні, знакосталі ряди) $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_i$$ та $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{b}_i$$. Нехай для всіх значень індексу i виконується ai. Тоді із збіжності ряду $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_i$$ випливає збіжність ряду $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{b}_i$$ .

Теорема 4 (ознака Д’Аламбера). Нехай для ряду з додатними членами $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_i$$ існує границя $$\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{a_{n+1}}{a_n}$$ .Тоді при l<1 ряд збігається, а при l>1 розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n=\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{n}{4^n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Знаходимо границю $$\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}\left(\frac{n+1}{4^{n+1}}\mathrm{:}\frac{n}{4^n}\right)=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{n+1}{n}\frac{1}{4}=$$.

$$=\frac{1}{4}\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{4}<1$$. Ряд збігається.

Теорема 5 (ознака Лейбніца). Нехай задано знакозмінний ряд $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_i$$ (кожні два сусідні члени ряду мають інший знак). Тоді якщо $$\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}{a}_n=0$$, то ряд є збіжним.

Приклад. Ряд $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ збігається, бо $$\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{1}{n}=0$$ .

Для обчислення цього ряду, наприклад, з точністю до 0.01 потрібно, щоб $$|a_n|<=\mathrm{0,}\text{01}$$, тобто $$\frac{1}{n}<\mathrm{0,}\text{01}$$, звідки $$n>\frac{1}{\mathrm{0,}\text{01}}=\text{100}$$. Отже, потрібно взяти 100 членів ряду.

Абсолютна збіжність рядів.

Означення. Ряд $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_i$$ називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}|a_i|$$, та умовно збіжним, якщо збігається ряд $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_i$$, а ряд $$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{}}{}}|a_i|$$ розбігається.

Приклади.

1. 1.Ряд $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ є умовно збіжним, оскільки ряд $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ розбігається.

2. 2.Ряд $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ є абсолютно збіжним.

2. Степеневі ряди Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду.

c0+c1x+c2x2+…+cnxn+…

Приклади.

1. Степеневий ряд 1+x+x2+…+xn+… Тут усі cn=1.

2. Степеневий ряд 1−2x+3×2−4×3+5×4-… Тут cn = (-1)n1).

Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших — розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень |x|<R степеневий ряд є збіжним).

Приклад.

1. 1.Знайти область збіжності степеневого ряду.

$$x-\frac{x^3}{2^2}+\frac{x^5}{2^4}-\frac{x^7}{2^6}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Згідно з ознакою Д’Аламбера $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{x^{2n-1}}{2^{2n-2}}\mathrm{:}\frac{x^{2n-3}}{2^{2n-4}}=\frac{x^2}{2^2}$$ .

Очевидно, що при -2<x<2 $$\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{4}{x}^2<1$$. Отже, радіус збіжності нашого степеневого ряду R=2. При -2<x<2 степеневий ряд збігається. При x>2 та x<-2 цей ряд розбігається. Випадки x=2 та x=-2 потрібно досліджувати окремо.

Теорема (без доведення). Степеневий ряд в області його збіжності можна почленно диференціювати та інтегрувати.

Одним із найважливіших результатів математичного аналізу є розклад функцій у ряди.

Теорема. Нехай у деякому околі точки x0 функція f (x) є (n+1) разів диференційовною. Тоді в цьому околі функція f (x) розкладається в такий ряд.

$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\text{'}}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\text{'}\text{'}}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+$$.

$$+\frac{f^{(n+1)}()}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{(n+1)}$$, (9.2).

де точка алежить околу точки x0 .

Цю формулу називають формулою Тейлора. Очевидно, що коли (n+1)-а похідна f (n+1)(x) обмежена, то залишковий член ряду прямує до нуля при x Отже,.

$$f(x)f(x_0)+\frac{f^{\text{'}}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\text{'}\text{'}}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$ .

При x0=0 формула Тейлора перетворюється у формулу Маклорена.

$$f(x)f(0)+\frac{f^{\text{'}}(0)}{1!}x+\frac{f^{\text{'}\text{'}}(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\text{'}\text{'}\text{'}}(0)}{3!}{x}^3+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\text{.}\text{.}\text{.}$$ (9.3).

Легко бачити, що формула Маклорена є степеневим рядом. Таким чином елементарні (шкільні) функції, всі які є багато разів диференційовними, можна розкладасти в степеневі ряди.

Приклади.

1. 1.Розкласти в степеневий ряд функцію f (x)=ex.

Маємо f (x)=f =f =…=f (n)(x) =…=ex. Далі f (0)=f=f=…

…=f (n)(0) =…=e0=1. Отже,.

$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{x^n}{n!}+\text{.}\text{.}\text{.}(-\mathrm{}<x\text{<+}\mathrm{})$$.

2. $$e^{-x}=1+\frac{(-x)}{1!}+\frac{(-x{)}^2}{2!}+\frac{(-x{)}^3}{3!}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{(-x{)}^n}{n!}+\text{.}\text{.}\text{.}=1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Згідно з ознакою Лейбніца ($$\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}|\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}|=0$$) ряд збігається при будь-якому значенні x.

1. 2.Оскільки (sinx)sx, (sinx)inx, (sinx)=-cosx, (sinx)IV=sinx, то.

$$\text{sin}x=\text{sin}0+\frac{\text{cos}0}{1!}x-\frac{\text{sin}0}{2!}{x}^2-\frac{\text{cos}0}{3!}{x}^3+\frac{\text{sin}0}{4!}{x}^4+\frac{\text{cos}0}{5!}{x}^5-$$ …=.

$$=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\text{.}\text{.}\text{.}(-\mathrm{}<x\text{<+}\mathrm{})$$.

4. Оскільки $$l{n}^{\text{'}}(1+x)=\frac{1}{1+x},l{n}^{\text{'}\text{'}}(1+x)=-\frac{1}{(1+x{)}^2},l{n}^{\text{'}\text{'}\text{'}}(1+x)=\frac{2}{(1+x{)}^3},\text{.}\text{.}\text{.}$$.

і далі ln 1, ln -1!, ln1 = 2!,.

то $$\text{ln}(1+x)=\text{ln}1+\frac{l{n}^{\text{'}}1}{1!}x+\frac{l{n}^{\text{'}\text{'}}1}{2!}{x}^2+\frac{l{n}^{\text{'}\text{'}\text{'}}1}{3!}{x}^3+\text{.}\text{.}\text{.}=$$ $$\frac{x}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\text{.}\text{.}\text{.}(-1<x<=1)$$.

Радіус збіжності визначаємо відповідно до ознаки Д’Аламбера:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=x\frac{n}{n+1}->x$$, звідки умова |x|<1. Отже, R=1.

Формула Тейлора справджується і для функцій від багатьох змінних. Зокрема, для функції від двох змінних f (x, y) в околі точки (0−0):

$$f(x-y)=f(0-0)+\frac{f(0-0)}{x}x+\frac{f(0-0)}{y}y+$$.

$$+\frac{{}^{2}f(0-0)}{x^2}\frac{x^2}{2!}+2\frac{{}^{2}f(0-0)}{xy}\frac{xy}{2!}+\frac{{}^{2}f(0-0)}{x^2}\frac{x^2}{2!}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ (9.4).