Преподавание алгебраического матеріалу у початковій школе

Содержание Введение 2 Глава I. Загальнотеоретичні аспекти вивчення алгебраического матеріалу в початковій школі 7 1.1 Досвід запровадження елементів алгебри у початковій школі 7 1.2 Психологічні основи запровадження алгебраїчних понять у початковій школі 12 1.3 Проблема походження алгебраїчних понять і його значення для побудови навчального предмета 20 Глава II. Методичні рекомендації до вивчення алгебраического матеріалу в початковій школі 33 2.1 Навчання у початковій школу із погляду потреб середньої школи 33 2.1 Порівняння (протиставлення) понять під час уроків математики 38 2.3 Спільне вивчення складання і вирахування, множення і розподілу 48 Глава III. Практика вивчення алгебраического матеріалу під час уроків математики у перших класах середньої школи № 4 р. Рыльска 55 3.1 Обгрунтування використання інноваційних технологій (технології укрупнення дидактичних одиниць) 55 3.2 Про досвіді ознайомлення з алгебраїчними поняттями у І класі 61 3.3 Навчання рішенню завдань, що з рухом тіл 72 Укладання 76 Бібліографічний список 79.

У будь-якій сучасної системі загальної освіти математика займає одна з центральних місць, що, безсумнівно свідчить про унікальності цієї області знаний.

Що таке сучасна математика? Навіщо вона непотрібна нікому? Ці та аналогічні питання часто задають вчителям діти. І завжди відповідь буде різним залежно від рівня розвитку та її освітніх потребностей.

Часто кажуть, що математика — це мову сучасної науки. Проте, представляється, що це висловлювання має суттєвий дефект. Мова математики поширений так широко й дуже часто виявляється ефективним саме оскільки математика до нього сводится.

Видатний вітчизняний математик О. Н. Колмогоров писав: «Математика непросто одне із мов. Математика — це мову плюс міркування, це як б язик і логіка разом. Математика — знаряддя на роздуми. У ньому сконцентровані результати точного мислення багатьох. З допомогою математики можна зв’язати одне міркування з іншим. … Очевидні складності природи з її дивними законів і правилами, кожна з яких допускає окреме дуже докладний пояснення, насправді тісно пов’язані. Проте, коли ви не хочете користуватися математикою, то цьому величезному різноманітті фактів ви побачите, що логіка дозволяє переходити від одного до іншого «([12], з. 44).

Отже, математика дозволяє сформувати певні форми мислення, необхідних вивчення навколишнього нас мира.

Нині дедалі більше істотною стає диспропорція між ступенем наших пізнань природи й розумінням людини, її психіку, процесів мислення. У. У. Сойєр у книзі «Прелюдія до математики «([20], з. 7) зазначає: «Можна навчити учнів вирішувати досить багато типів завдань, але справжнє задоволення прийде буде лише тоді, ми зуміємо передати нашим вихованцям непросто знання, а гнучкість розуму », яка надала вони мають можливість у подальшому як самостійно розв’язувати, а й ставити собі нові задачи.

Звісно, тут є певні кордону, про які не можна забувати: багато визначається уродженими здібностями, талантом. Проте, можна назвати повний набір чинників, залежать від освіти і традиції виховання. Це надзвичайно важливою правильну оцінку величезних невикористаних ще можливостей освіти загалом і математичної освіти частности.

Останніми роками намітилася стала тенденція проникнення математичних методів у таких наук як історія, філологія, а про лінгвістиці і психології. Тому коло осіб, що у своїй наступної професійної діяльності можливо, будуть застосовувати математику, расширяется.

Наша система освіти стоїть, що школа дає єдину у житті можливість прилучитися до математичної культурі, опанувати цінностями, в’язнями математике.

Яке ж вплив математики загалом і шкільної математики частковості виховання творчу особистість? Навчання під час уроків математики мистецтву виконувати завдання доставляє нам виключно сприятливу змога формування в учнів певного гатунку розуму. Необхідність дослідницької діяльності розвиває інтерес до закономірностям, вчить бачити красу та гармонію людській думці. Усе є на наш погляд найважливішим елементом загальної культури. Важливе впливає курс математики формування різної форми мислення: логічного, пространственно-геометрического, алгоритмічного. Будь-який творчий процес починається з формулювання гіпотези. Математика за відповідного організації навчання, будучи хорошою школою побудови та гіпотез, вчить порівнювати різні гіпотези, знаходити оптимальний варіант, ставити нові завдання, шукати шляхи їхнього розв’язання. Крім іншого, вона виробляє що й звичку до методичної роботі, без якої мислимо ні один творчий процес. Максимально розкриваючи можливості людського мислення, математика є найвищим досягненням. Вона допомагає людині в усвідомленні себе та формування свого характера.

Це те мало з великого списку причин, через які математичні знання мають стати невід'ємною частиною загальної культури та обов’язковим елементом вчених і навчанні ребенка.

Курс математики (без геометрії) з нашого 10-річній школі фактично розбитий втричі основні частини: на арифметику (I — V класи), алгебру (VI — VIII класи) і елементи аналізу (IX — Х класи). Що служить основою такого подразделения?

Звісно, кожна цю частину має власну особливу «технологію ». Так було в арифметиці воно пов’язане, наприклад, з обчисленнями, виробленими над багатозначними числами, в алгебрі - з тотожними перетвореннями, логарифмированием, в аналізі - з дифференцированием тощо. Але є більш глибокі підстави, пов’язані з понятійною змістом кожної части?

Наступне питання стосується підстав щодо розрізнення шкільної арифметики і алгебри (тобто. першої та другої частини курсу). У арифметику включають вивчення натуральних чисел (цілих позитивних) і дробів (і десяткових). Проте спеціальний аналіз показує, що поєднання цих видів чисел щодо одного шкільному навчальному предметі неправомерно.

Річ у тім, що це числа мають різні функції: перші пов’язані з рахунком предметів, другі - з виміром величин. Ця обставина дуже важливо задля розуміння факту, що дробные (раціональні) числа є лише окремим випадком дійсних чисел.

З погляду виміру величин, як зазначав О. Н. Колмогоров, «немає настільки глибокого різницю між раціональні ірраціональними дійсними числами. З педагогічних міркувань надовго затримуються на раціональних числах, бо їх легко записати у вигляді дробів; але те вживання, яку їм від початку надається, мала б відразу призвести до дійсним числам в усій їхньої спільності «([12]), стор. 9).

О.Н. Колмогоров вважав виправданим і з погляду розвитку математики, і сутнісно пропозицію А. Лебега переходити у навчанні після натуральних чисел відразу до походження і логічного природі дійсних чисел. У цьому, як зазначав О. Н. Колмогоров, «підхід до побудові раціональних і дійсних чисел з погляду виміру величин анітрохи щонайменше навчений, ніж, наприклад, запровадження раціональних чисел як «пар ». Для школи ж має безсумнівну перевагу «([12], стор. 10).

Отже, є можливість з урахуванням натуральних (цілих) чисел відразу формувати «саме загальне поняття числа «(за висловом А. Лебега), поняття дійсного числа. Та з боку побудови програми це трохи більше щонайменше, як ліквідацію арифметики дробів у її шкільної інтерпретації. Перехід аж від чисел до дійсним — це перехід від арифметики до «алгебрі «, до створення фундаменту для анализа.

Ці ідеї, висловлені більш 20 років тому вони, актуальні і сьогодні. Чи можлива зміна структури навчання математики початковій школі в цьому напрямі? Які чесноти та вади «алгебраизации» початкового навчання математики? Мета цієї роботи — спробувати відповісти на поставлені вопросы.

Реалізація поставленої мети вимагає розв’язання наступних завдань:. розгляд загальнотеоретичних аспектів запровадження початковій школі алгебраїчних понять розміру й числа. Це завдання ставлять першому розділі роботи;. вивчення конкретної методики навчання цим поняттям у початковій школе.

Тут, зокрема, передбачається розглянути так звану теорію укрупнення дидактичних одиниць (ВЖЕ), промову про яку йтиме нижче;. показати практичну придатність аналізованих положень на шкільних уроках математики початковій школі (уроки проводилися автором у неповній середній школі № 4 р. Рыльска). Цьому присвячена третя глава работы.

Що стосується бібліографії, присвячувалася даному питання, можна зазначити таке. Попри те що, що у останнім часом загальна кількість виданій методичної літератури з математиці дуже мала, дефіцит інформації під час написання роботи спостерігався. Справді, з 1960 (час постановки проблеми) по 1990 рр. нашій країні вийшло величезне число навчальної, наукової й методичною літератури, у тому чи іншою мірою торкається проблеми запровадження алгебраїчних понять знає математики для початковій школи. З іншого боку, опікується цими питаннями регулярно висвітлюються й у спеціалізованої періодиці. Так, під час написання роботи у значною мірою використовувалися публікації у журналах «Педагогіка», «Викладання математики у шкільництві» і «Початкова школа».

Глава I. Загальнотеоретичні аспекти вивчення алгебраического матеріалу у початковій школе.

1.1 Досвід запровадження елементів алгебри у початковій школе.

Зміст навчального предмета, як відомо, залежить від багатьох чинників — від вимог життя — до знанням учнів, від рівня відповідних наук, від психічних і фізичних вікових можливостей дітей тощо. Правильний облік цих факторів є важливим умовою найефективнішого навчання школярів, розширення ЄС їх пізнавальних можливостей. Але часом ця умова за тими або іншим суб'єктам причин порушується. І тут викладання це не дає належного ефекту як щодо засвоєння дітьми кола необхідних знань, і у відношенні розвитку з їх интеллекта.

Звісно ж, що на даний час програми викладання деяких навчальних предметів, зокрема математики, відповідають новим вимогам життя, рівню розвитку сучасних наук (наприклад, математики) і новим даним вікової з психології та логіки. Ця обставина диктує необхідність всебічної теоретичної й експериментальної перевірки можливих проектів нового змісту навчальних предметов.

Фундамент математичних знань закладається у початковій школі. Але, до жалю, як самі математики, і методисти і психологи приділяють дуже мале увагу саме змісту початковій математики. Варто сказати, що ваша програма з математики у початковій школі (I — IV класи) в основних своїх рисах склалася ще 50 — 60 років і відбиває, природно, систему математичних, методичних і психологічних уявлень того времени.

Розглянемо характерні риси державного стандарту по математиці у початковій школі. Основним її змістом є цілі числа і дії з них, студійовані у певному послідовності. Спочатку вивчаються чотири дії межі 10 і 20, потім — усні обчислення в межі 100, усні і письмові обчислення в межі 1000 і, нарешті, в межі мільйонів і мільярдів. У IV класі вивчаються деякі залежності між даними і результатами арифметичних дій, і навіть найпростіші дробу. Поруч із програма передбачає вивчення метричних заходів та дійових заходів часу, оволодіння умінням користуватися ними для виміру, знання деяких елементів наочної геометрії - креслення прямокутника і квадрата, вимір відрізків, площ прямокутника і квадрата, обчислення объемов.

Отримані знання і набутий навички учні повинні застосовувати вирішення завдань і до виконання найпростіших розрахунків. Протягом усього курсу вирішення завдань проводиться паралельно вивченню чисел і безкомпромісність дій — при цьому відводиться половина відповідного часу. Рішення завдань допомагає учням зрозуміти конкретного змісту дій, усвідомити різні випадки їх застосування, встановити залежність між величинами, отримати елементарні навички аналізу та синтезу. З І за IV клас діти вирішують такі основні типи завдань (і складових): на перебування суми і залишку, твори приватного, збільшення і зменшення даних чисел, на разностное і кратну порівняння, на просте потрійне правило, на пропорційне розподіл, на перебування невідомого з двох разностям, на обчислення середнього арифметичного та інших види задач.

З різними типами залежностей величин діти зіштовхуються під час вирішення завдань. Але дуже характерне — учні розпочинають завданням опісля й принаймні вивчення чисел; головне, що потрібно під час вирішення — це знайти числової відповідь. Діти з великими труднощами виявляють властивості кількісних взаємин у конкретних, приватних ситуаціях, які прийнято вважати арифметичними завданнями. Практика показує, що маніпулювання числами часто заміняє дійсний аналіз умов завдання з погляду залежностей реальних величин. Завдання, запроваджувані до підручників, уявити не можуть при цьому системи, в якій понад «складні «ситуації було б пов’язані із більш «глибокими «пластами кількісних відносин. Завдання одному й тому ж труднощі можна зустріти і на початку, і наприкінці підручника. Вони змінюються від розподілу до поділу і зажадав від класу до класу по заплутаності сюжету (зростає кількість дій), по рангу чисел (від десяти до мільярда), за складністю фізичних залежностей (від завдань щодо розподілу до завдань на рух) й на інших параметрами. Лише одна параметр — поглиблення до системи власне математичних закономірностей — у яких проявляється слабко, непевний. Тому дуже складно з’ясувати критерій математичної труднощі тій чи іншій завдання. Чому завдання на перебування невідомого з двох разностям і з’ясування середнього арифметичного (III клас) важче завдань на разностное і кратну порівняння (II клас)? Методика це не дає це питання переконливої і логічного ответа.

Отже, учні початкових класів не отримують адекватних, повноцінних знання залежностях величин і спільних властивості кількості ні щодо елементів теорії чисел, оскільки вони в шкільному курсі пов’язані по перевазі з технікою обчислень, ні за рішенні завдань, бо останні не мають відповідної формою не мають необхідної системи. Спроби методистів вдосконалити прийоми викладання хоч і призводять до приватним успіхам, проте змінюють загального стану справи, оскільки вони заздалегідь обмежені рамками прийнятого содержания.

Звісно ж, що у основі критичного аналізу прийнятої програми з математики повинні лежати такі становища:. поняття числа не тотожне поняттю про кількісної характеристиці об'єктів;. число перестав бути вихідної формою висловлювання кількісних отношений.

Наведемо обгрунтування цих положений.

Загальновідомо, сучасна математика (зокрема, алгебра) вивчає такі моменти кількісних відносин, які мають числової оболонки. Також ж добре відомо, деякі кількісні відносини цілком выразимы без чисел і по чисел, наприклад, в відтинках, обсягах, і т.д. (ставлення «більше », «менше », «одно »). Переказ вихідних общематематических понять у сприйнятті сучасних інструкціях ввозяться такий символіці, яка припускає обов’язкового висловлювання об'єктів числами. Так було в книзі О. Г. Гонина «Теоретична арифметика «основні математичні об'єкти від початку позначаються літерами і особливими знаками ([4], стор. 12 — 15). Характерно, що ті чи інші види чисел і числові залежності наводяться лише як приклади, ілюстрації властивостей множин, ніж як їх єдино із можливих єдино існуюча форма висловлювання. Далі, примітно, що чимало ілюстрації окремих математичних визначень вони дають у графічної формі, через співвідношення відрізків, площ ([4], стор. 14−19). Усі основні властивості множин і величин можна вивести і просить обгрунтувати без залучення числових систем; більш того, останні самі отримують обгрунтування з урахуванням общематематических понятий.

Натомість численні спостереження психологів і сучасних педагогів показують, що кількісні уявлення виникають в дітей віком набагато раніше появи в них знання числах і прийомах оперування ними. Щоправда, є тенденція відносити ці уявлення до категорії «доматематических утворень «(що що природно традиційних методик, що ототожнюють кількісну характеристику об'єкта із кількістю), але це не змінює істотною їх функції у спільній цінній вказівці дитини на властивості речей. І часом може бути, що глибина цих нібито «доматематических утворень «більш істотна у розвиток власне математичного мислення дитини, ніж знання тонкощів обчислювальної техніки й уміння знаходити суто числові залежності. Примітно, що акад. О. Н. Колмогоров, характеризуючи особливості математичного творчості, спеціально зазначає таку обставину: «У основі більшості математичних відкриттів лежить якась проста ідея: наочне геометричне побудова, нове елементарне нерівність тощо. Потрібно лише застосувати належно своїх цю ідею до вирішення завдання, що з першого погляду здається недоступною «([12], стор. 17).

Нині доцільні найрізноманітніші ідеї щодо структури та способів побудови нової програми. До роботи з її конструювання необхідно залучити математиків, психологів, логіків, методистів. Однак у всіх своїх конкретних варіантах вона, можна вважати, має відповідати наступним основним вимогам:. долати існуючий розрив змістом математики початковій і середній школі;. давати систему знань про основних закономірності кількісних відносин об'єктивного світу; у своїй властивості чисел, як особливої форми висловлювання кількості, мають стати спеціальним, але з основним розділом програми;. прищеплювати дітям прийоми математичного мислення, Не тільки навички обчислень: це означатиме побудова такої системи завдань, основу якої лежить поглиблення до сфери залежностей реальних величин (зв'язок математики з фізикою, хімією, біологією та інші науками, вивчають конкретні величини);. рішуче спрощувати всю техніку обчислення, зводячи до мінімуму роботу, яку можна виконати без відповідних таблиць, довідників та інших підсобних (зокрема, електронних) средств.

Зміст вимог ясний: у початковій школі цілком імовірно викладати математику як науку про закономірності кількісних відносин, про залежностях величин; техніка обчислень і елементи теорії чисел мають стати особливим і приватним розділом программы.

Досвід конструювання нової програми з математики й її експериментальна перевірка, проведена починаючи з кінця 60-х років, дозволяють вже у час говорити про можливість запровадження школу починаючи з I класу систематичного курсу математики, що дає знання про кількісних відносинах і залежностях величин в алгебраїчній форме.

1.2 Психологічні основи запровадження алгебраїчних понять у початковій школе.

Останнім часом при модернізації програм особливе значення надають підбиттю теоретико-множественного фундаменту під шкільний курс (ця тенденція чітко виявляється і ми, за кордоном). Реалізація цієї тенденції в викладанні (особливо у початкових класах, як і спостерігається, наприклад, ув американській школі [19]) неминуче поставить ряд важких запитань перед дитячої та педагогічної психологією і для дидактикою, бо зараз майже немає досліджень, які розкривають особливості засвоєння дитиною сенсу поняття безлічі (на відміну засвоєння рахунки і числа, яке досліджувалося дуже многосторонне).

Логічні і психологічні дослідження останніх (особливо роботи Ж. Піаже) розкрили зв’язок деяких «механізмів «дитячого мислення з общематематическими поняттями. Нижче спеціально розглядається особливості цьому зв’язку й їх значення для побудови математики як навчального предмета (у своїй йдеться про теоретичної боці справи, та не якомусь приватному варіанті программы).

Натуральне число є фундаментальним поняттям математики по всьому протязі її історії; дуже істотну роль він грає у всіх галузях виробництва, техніки, повсякденні. Це дозволяє математикамтеоретикам відводити йому особливу увагу серед інших понять математики. У виявляється по-різному висловлюються положення про те, що правове поняття натурального числа — вихідна щабель математичної абстракції, що є підвалинами побудови більшості математичних дисциплин.

Вибір початкових елементів математики як навчального предмета сутнісно реалізує ці загальних положень. Передбачається, що, знайомлячись із числом, дитина одночасно розкриває собі вихідні особливості кількісних відносин. Рахунок і кількість — основа усієї подальшої засвоєння математики школе.

Однак є підстави думати, що це становища, справедливо виділяючи особливе і фундаментальне значення числа, водночас неадекватно висловлюють його зв’язку з іншими математичними поняттями, неточно оцінюють місце і роль вересня процесі засвоєння математики. Через це обставини, в частковості виникають істотні недоліки прийнятих програм, методик і підручників з математики. Необхідно спеціально розглянути справжню зв’язок поняття про кількість коїться з іншими понятиями.

Багато общематематические поняття, і зокрема поняття співвідношення еквівалентності і близько, систематично розглядаються у математиці незалежно від числової форми. Ці поняття не втрачають свого незалежного характеру з їхньої основі можна описувати і вивчати приватний предмет — різні числові системи, поняття про які власними силами не покривають смислу і значення вихідних визначень. Причому історії математичної науки загальні поняття розвивалися саме мері, як і «алгебраїчні операції «, відомий приклад яких доставляють чотири дії арифметики, стали застосовуватися до елементам не «числового «характера.

Останнім часом робляться спроби розгорнути в викладанні етап запровадження дитини на математику. Ця тенденція знаходить своє вираження в методичних інструкціях, соціальній та деяких експериментальних підручниках. Так було в одному американському підручнику, призначений на навчання дітей 6 — 7 років ([19]), на сторінках вводяться завдання й вправи, спеціально тренирующие дітей у встановленні тотожності предметних груп. Дітям показується прийом сполуки множин, — у своїй вводиться відповідна математична символіка. Фундаментальна обізнаність із числами спирається на елементарні інформацію про множествах.

Можна по-різному оцінювати зміст конкретних спроб реалізації цієї тенденції, але само собою воно, з погляду, цілком правомірна і перспективна.

На погляд поняття «ставлення », «структура », «закони композиції «та інших., мають складні математичні визначення, неможливо знайти пов’язані з формуванням математичних уявлень у дітей. Звісно, весь справжній і відвернений суть цих понять та його місце у аксіоматичному побудові математики як науки є об'єкт засвоєння якого добре розвинутою була і «натренованої «у математиці голови. Утім, деякі властивості речей, фиксируемые цими поняттями, однак проступають для дитини вже порівняно рано: цього є конкретні психологічні данные.

Передусім слід пам’ятати, що з народженням до 7 — 10 років в дитини з’являються і формуються найскладніші системи загальних уявлень про світ і закладаються фундаменти змістовнопредметного мислення. Причому на порівняно вузькому емпіричному матеріалі діти виділяють загальні схеми орієнтації в просторово-часових і причиннослідчих залежностях речей. Ці схеми служать своєрідним каркасом тієї «системи координат », усередині якої дитина починає на всі глибше опановувати різними властивостями різноманітного світу. Звісно, ці загальні схеми мало усвідомлені й у малою мірою можуть бути виражені самим дитиною у вигляді відстороненого судження. Вони, кажучи образно, є інтуїтивної формою організації поведінки дитини (хоча, звісно, дедалі більш відбиваються й у суждениях).

Останніми десятиліттями з особливою інтенсивністю питання формування інтелекту дітей та механізм виникнення вони загальних поглядів на дійсності, часу й просторі вивчалися відомим швейцарським психологом Ж. Піаже і його працівниками. Деякі його роботи мають пряме ставлення до проблем розвитку математичного мислення дитини, і тому для нас важлива розглянути їх стосовно питань конструювання навчальної программы.

У одній із останніх книжок ([17]) Ж. Піаже наводить експериментальні даних про генезисі та формування в дітей віком (до 12 — 14 років) таких елементарних логічних структур, як класифікація і сериация. Класифікація передбачає виконання операції включення (наприклад, А + А «= У) та проведення операції, їй зворотної (У — А «= А). Сериация — це впорядкування предметів в систематичні ряди (так, палички різною довжини можна розмістити до кількох, всі члени якого найбільше попередніх і від всіх последующих).

Аналізуючи становлення класифікації, Ж. Пиаже показують, як від неї вихідної форми, від створення «фігурного сукупності «, заснованої тільки просторової близькості об'єктів, діти переходять до класифікації, заснованої вже в відношенні подібності («нефигурные сукупності «), та був до найскладнішої формі - до включення класів, зумовленого зв’язком між обсягом і змістом поняття. Автор спеціально розглядає питання формуванні класифікації як за одним, а й у двом-трьом ознаками, формування в дітей віком вміння змінювати підставу класифікації при додаванні нових елементів. Аналогічні стадії автори знаходять і на процес становлення сериации.

Ці дослідження переслідували цілком певну мета — виявити закономірності формування операторных структур потужні мізки і передусім такого їх конституирующего властивості як оборотність, тобто. здібності розуму рухатися у прямому, і напрямку. Оборотність має місце тоді, коли «операції, і дії можуть розгортатися у двох напрямах, і розуміння однієї з цих напрямів викликає ipso facto [з самого факту] розуміння іншого «([17], стор. 15).

Оборотність, відповідно до Ж. Піаже, представляє фундаментальний закон композиції, властивий розуму. Вона має дві взаємодоповнюють і незвідні форми: звернення (інверсія чи заперечення) і взаємність. Звернення має місце, наприклад, у разі, коли просторове переміщення предмета з На У можна анулювати, переводячи назад предмет з У в Хіба у результаті еквівалентно нульового перетворенню (твір операції у зворотний є тотожна операція, чи нульовий преобразование).

Взаємність (чи компенсація) передбачає випадок, коли, наприклад, при переміщенні предмета з На У предмет продовжує залишатися в У, але дитина сам переміщається з На У і відтворює початкове положення, коли предмет перебував проти його тіла. Рух предмета не анульоване, але це компенсувалося шляхом cоответствующего перемешения власного тіла — і це вже інша форма перетворення, ніж звернення ([17], стор. 16).

У працях Ж. Піаже показав, що це перетворення виникають спочатку у формі сенсо-моторных схем (з десятьма — 12 міс.). Поступова координація чувственно-двигательных схем, функціональна символіка і мовне відображення призводять до того, що за ряд етапів звернення української й взаємність стають властивостями інтелектуальних дій (операцій) і синтезуються у єдиній операторной структурі (період із 7 до 11 і з 12 до 15 років). Тепер вона може координувати все переміщення за одну з двох системам відліку відразу — одна мобільний, інша неподвижная.

Ж. Піаже вважає, що психологічне дослідження розвитку арифметичних і геометричних операцій на свідомості дитини (особливо ж тих логічних операцій, які проводять у яких попередні) дозволяє точно співвіднести операторные структури мислення зі структурами алгебраїчними, структурами порядку й топологическими ([17], стор. 13). Так, алгебраїчна структура («група ») відповідає операторным механізмам розуму, підпорядковувалося одній з форм оборотності - інверсії (заперечення). Група має чотири елементарних властивості: твір двох елементів групи також дає елемент групи; прямий операції відповідає сама й лише одне зворотна; існує операція тотожності; послідовні композиції асоціативні. Мовою інтелектуальних дій це:. координація двох систем дії становить нову схему, присоединяемую до попередніх;. операція може повинна розвиватися у двох напрямах;. при поверненні до точки ми бачимо її незмінною;. лише до й тієї точці можна прийти різними шляхами, причому сама точка залишається неизменной.

Факти «самостійного «розвитку (тобто. розвитку, незалежного від прямого впливу шкільного навчання) показують невідповідність порядку етапів геометрії і етапів формування геометричних понять в дитини. Останні наближаються порядок наступності основних груп, де топологія є першою. У, за даними Ж. Піаже, спочатку складається інтуїція топологічна, та був він орієнтується в напрямі проективних і метричних структур. Тому, зокрема, як зазначає Ж. Піаже, за першого спробах малювання не розрізняє квадратів, окружностей, трикутників та інших метричних постатей, але чудово розрізняє постаті відкриті й закриті, становище «поза «чи «всередині «стосовно кордоні, розведення економіки і сусідство (не розрізняючи до часу відстані) тощо. ([17], стор. 23).

Розглянемо основні тези, сформульовані Ж. Піаже, стосовно питань побудови навчальної програми. Насамперед, дослідження Ж. Піаже показують, що під час дошкільного і шкільного дитинства в дитини формуються такі операторные структури мислення, які дозволяють їй оцінювати фундаментальні характеристики класів об'єктів і їхніх стосунків. Причому на стадії конкретних операцій (із сьомої - 8 років) інтелект дитини набуває властивість оборотності, що тільки важливо розуміння теоретичного змісту навчальних предметів, зокрема математики.

Ці дані свідчать, що традиційна психологія і педагогіка не враховували в достатній мірі складного й ємного характеру тих стадій розумового розвитку, пов’язані з періодом від 2 доі від 7 до 11 лет.

Розгляд результатів, отриманих Ж. Піаже, дозволяє зробити низку істотних висновків стосовно конструювання навчальної програми з математиці. Насамперед фактичні даних про формуванні інтелекту дитину поруч із 2 до 11 років свідчать, що він тим часом як не «чужі «властивості об'єктів, описувані у вигляді математичних понять «ставлення — структура «але останні самі органічно входить у мислення ребенка.

Традиційні програми не враховують цієї обставини. Тому не реалізують багатьох можливостей, прихованих у процесі інтелектуального розвитку ребенка.

Матеріали, що у сучасної дитячої психології, дозволяють позитивно оцінювати загальну ідею побудови такого навчального предмета, в основі якої лежали б понять вихідних математичних структурах. Звісно, цьому шляху виникають великі труднощі, бо ще немає досвіду побудови такого навчального предмета. Зокрема, одне з них пов’язані з визначенням вікового «порога », від якого можна здійснити навчання за нової програмі. Якщо з Ж. Піаже, то, певне, за цими програмами можна вчити буде лише тоді, коли в дітей вже цілком сформувалися операторные структури (з 14-ма — 15 років). Але якщо припустити, що реальний математичне мислення дитини формується, як раз всередині процесу, який позначається Ж. Піаже як процес формування операторных структур, то ці програми можна вводити набагато швидше (наприклад, із сьомої - 8 років), коли в дітей починають формуватися конкретні операції із вищою рівнем оборотності. У «природних «умовах, під час навчання по традиційним програмам формальні операції, можливо, тільки і складаються до 13 — 15 років. Не доводиться це чи «прискорити «їх формування шляхом більш раннього запровадження такого навчального матеріалу, засвоєння що вимагає прямого аналізу математичних структур?

Звісно ж, такі можливості є. До 7 — 8 років в дітей віком вже в достатній мірі розвинений план розумових дій, і шляхом навчання з відповідної програмі, у якій властивості математичних структур дано «явно «і їхнім дітям даються кошти їх аналізу, би якнайшвидше підвести дітей до рівню «формальних «операцій, ніж у ті терміни, у яких це при «самостійному «відкритті цих свойств.

У цьому важливо враховувати таку обставину. Є також підстави думати, що особливості мислення лише на рівні конкретних операцій, приуроченого Ж. Піаже до 7 — 11 років, самі нерозривно пов’язані з формами організації навчання, властивими традиційної початковій школі. Це навчання (і ми, за кордоном) ведеться з урахуванням гранично емпіричного змісту, найчастіше взагалі що з понятійною (теоретичним) ставленням об'єкта. Таке навчання підтримує і закріплює в дітей віком мислення, що спирається на зовнішні, прямим сприйняттям вловимі ознаки вещей.

Отже, нині є фактичні дані, що дають тісний зв’язок структур дитячого мислення та общеалгебраических структур, хоча «механізм «цьому разі далеко ще не ясний та майже досліджений. Наявність цьому разі відкриває принципові можливості (поки що лише можливості!) для побудови навчального предмета, развертывающегося за схемою «від простих структур — до складним сполученням ». Однією з умов цих можливостей вивчення початку опосередкованого мисленню та її вікових нормативів. Зазначений спосіб побудови математики як навчального предмета сам то, можливо потужним важелем формування в дітей такого мислення, який спирається досить міцний поняттєвий фундамент.

1.3 Проблема походження алгебраїчних понять і його значення для побудови навчального предмета.

Поділ шкільного курсу математики на алгебру і арифметику, звісно ж, умовно. Перехід від однієї до іншого відбувається поступово. У шкільній практиці зміст цього переходу маскується тим, що вивчення дробів фактично не викликає розгорнутої опертя вимір величин — дробу даються як стосунки пар чисел (хоча формально важливість виміру величин в методичних інструкціях визнається). Розгорнуте запровадження дробових чисел з урахуванням виміру величин неминуче призводить до поняттю дійсного числа. Але останнього саме зазвичай і відбувається, оскільки учнів довго тримають на працювати з раціональними числами, а цим затримують їх перехід до «алгебрі «.

Інакше кажучи, шкільна алгебра розпочинається саме тоді, коли створюються умови до переходу аж від до дійсним числам, до вираженню результату виміру дробом (простий і десяткової - кінцевої, а потім бесконечной).

Причому вихідним то, можливо ознайомлення з операцією виміру, отримання кінцевих десяткових дробів вивчення дій з них. Якщо учні вже володіють такий формою записи результату виміру, це служить передумовою для «закидання «ідеї у тому, що кількість може виражатись і безкінечною дробом. І це передумову доцільно створювати вже у межах початковій школы.

Якщо поняття дробового (раціонального) числа викинути з компетенції шкільної арифметики, то межа між нею і «алгеброю «пройде за лінії різницю між цілим і дійсним числами. І воно «рубає «курс математики на частини. Тут непроста відмінність, а принциповий «дуалізм «джерел — рахунки і измерения.

Наслідуючи ідеї Лебега щодо «загального поняття числа », можна забезпечити повне єдність викладання математики, але лише з моменту і після ознайомлення дітей із рахунком й цілим (натуральним) числом. Звісно, терміни цього попереднього ознайомлення можуть бути різними (в традиційних програмах для початковій школи вони явно затягнуті), в курс початковій арифметики можна навіть вносити елементи практичних вимірів (що відбувається у програмі), — проте не всі це знімає відмінності підстав у арифметики і «алгебри «як навчальних предметів. «Дуалізм «вихідних пунктів перешкоджає й інші, щоб у курсі арифметики посправжньому «приживалися «розділи, пов’язані з виміром величин і переходом до справжнім дробям. Автори програм, тож методисти прагнуть зберегти стійкість і «чистоту «арифметики як шкільного навчального предмета. Зазначене відмінність джерел є причиною викладання математики за схемою — спочатку арифметика (ціла кількість), потім «алгебра «(дійсне число).

Ця схема видається цілком природною та непорушною, при цьому вона виправдовується багаторічної практикою викладання математики. Але є обставини, що з логико-психологической погляду вимагають більш докладного аналізу правомірності цієї жорсткої схеми преподавания.

Річ у тім, що з всім відмінності цих видів чисел це стосується саме до числам, тобто. до особливої формі відображення кількісних відносин. Належність цілого і дійсного чисел до «числам «служить підставою для припущення генетичної производности та тіла відмінностей рахунки і виміру: вони мають особливий і єдині джерело, відповідний самій формі числа. Знання особливостей цієї єдиної основи рахунки й вимірювання дозволить чіткіше уявити умови їхнього походження, з одного боку, і взаємозв'язок — з другой.

До чого звернутися, щоб намацати спільне коріння гіллястого дерева чисел? Звісно ж, що передусім необхідно проаналізувати зміст поняття величина. Щоправда, з цим терміном відразу пов’язується інший — вимір. Проте правомірність подібного сполуки виключає певної самостійності сенсу «величини ». Розгляд цієї аспекти дозволяє робити висновків, зближуючі, з одного боку, вимір зі рахунком, з іншого — оперування числами з декотрими общематематическими відносинами і закономерностями.

Отже, що таке «величина «і наскільки вона становить для побудови початкових розділів шкільної математики?

Загалом вживанні термін «величина «пов'язані з поняттями «одно », «більше », «менше », які описують найрізноманітніші якості (довжину, і щільність, температуру і білизну). В. Ф. Каган порушує питання тому, якими загальними властивостями ці поняття мають. Він показує, що вони відносяться до совокупностям — безлічам однорідних предметів, зіставлення елементів яких дозволяє застосувати терміни «більше », «одно », «менше «(наприклад, до совокупностям всіх прямолінійних відрізків, терезів, швидкостей і т.д.).

Безліч предметів тільки тоді ми перетворюється в величину, коли встановлюються критерії, дозволяють встановити щодо будь-яких його елементів Проте й У, було б, А одно У, більше У менше У. У цьому для будь-яких двох елементів Проте й У має місце те й лише з співвідношень: А=В, А>В, АВ, АВ і В>С, то А>С.

6) Якщо ААn, то А1>Аn.

VI. Якщо А1С. Оскільки при а>b існує з, що а=b+с, можна знайти різницю чи b (аb=с), тощо. Всі ці перетворення можна виконати на фізичних тілах і інших об'єктах, встановивши критерії порівняння та відповідність виділених відносин постулатам сравнения.

Наведені вище матеріали дозволяють укласти, як і натуральні, і справжні числа однаково міцно пов’язані з величинами і деякими їх суттєвими особливостями. Чи не можна й інші властивості зробити предметом спеціального вивчення дитини ще до його того, як вводиться числова форма описи відносини величин? Вони можуть бути передумовами для наступного розгорнутого запровадження числа та її різних видів, зокрема для пропедевтики дробів, понять координат, функції та інших понять вже у молодших классах.

Що може бути змістом цього початкового розділу? Це ознайомлення з фізичними об'єктами, критеріями їх порівняння, що виділяють величину, як предмет математичного розгляду, ознайомлення зі способами порівняння і знаковими засобами фіксації її результатів, з прийомами аналізу загальних властивостей величин. Це зміст потрібно розгорнути у досить докладну програму викладання й, головне, зв’язати її з тими діями дитини, з яких може цим змістом опанувати (звісно, в відповідної формі). Разом про те потрібно експериментальним, дослідним шляхом встановити, чи можуть діти 7 років засвоїти цю програму, та яка доцільність її запровадження на подальше викладання математики початкових класах у бік зближення арифметики і початковій алгебры.

До цього часу наші міркування носили теоретичний характері і були спрямовані на з’ясування математичних передумов побудови такого початкового розділу курсу, який знайомив б дітей із основними алгебраїчними поняттями (до спеціального запровадження числа).

Вище були описані основні властивості, що характеризують величини. Природно, що дітям 7 років безглуздо читати «лекції «стосовно цих властивостей. І було знайти такій формі роботи дітей із дидактичні матеріалом, з якої вони змогли б, з одного боку, виявити в що оточують їх речах ці якості, з іншого — навчилися б фіксувати їх певної символікою і проводити елементарний математичний аналіз виділених отношений.

У цьому плані програма повинна містити, по-перше, вказівку тих властивостей предмета, які підлягають освоєння, по-друге, опис дидактичних матеріалів, по-третє, — і це з погляду головне — характеристики тих дій, з яких дитина виділяє певних властивостей предмети й освоює їх. Ці «складові «утворюють програму викладання у звичному значенні цього слова.

Конкретні особливості цієї гіпотетичної програми її «складових «можна буде викладати в описах процесу самого навчання дітей і її результатів. Тут представляється схема даної програми її вузлові темы.

Тема I. Зрівнювання і комплектування об'єктів (за довжиною, обсягу, вазі, складу частин 17-ї та іншим параметрам).

Практичні завдання на зрівнювання і комплектування. Виділення ознак (критеріїв), якими одні й самі об'єкти може бути зрівняні чи укомплектовані. Словесне позначення цих ознак («за довжиною », по вазі «і т.д.).

Ці завдання вирішуються на процесі роботи з дидактичні матеріалом (планками, вантажами тощо.) путем:

— вибору «такої ж «предмета,.

— відтворення (побудови) «такої ж «предмета щодо виділеного (зазначеному) параметру.

Тема II. Порівняння об'єктів і фіксація її результатів формулою равенства-неравенства.

1. Завдання на порівняння об'єктів і знакове позначення результатів цього действия.

2. Словесна фіксація результатів порівняння (терміни «більше », «менше », «одно »). Письмові знаки «> «, «Б, то ББ, якщо АВ, а БB; тo АВ, а В=С; дізнатися ставлення між Проте й С).

Тема IV. Операція складання (вычитания).

1. Спостереження за змінами об'єктів у тій чи того параметра (по обсягу, на вагу, за тривалістю тощо.). Зображення збільшення і зменшення знаками «+ «і «- «(плюс і минус).

2. Порушення раніше встановленого рівності за відповідного зміні тій чи іншій її боку. Перехід від рівності до нерівності. Запис формул типу: якщо А=Б, якщо А=Б, то А+К>Б; то А-КБ, але А+К=Б+К.

4. Рішення різноманітних завдань, що потребує операції складання (вирахування) під час переходу від рівності до нерівності і обратно.

Тема V. Перехід від нерівності типу АВ і М=D, і К>Е, і Б=Г, тo A+M=Б+D; то А+К>В+E; то А±Б>В±Г.

2. Можливість уявлення значення величини сумою кількох значень. Підстановка типа:

А=Б,.

Б=Е+К+М,.

А=E+К+М.

3. Рішення різноманітних завдань, потребують обліку властивостей відносин, з якими діти познайомилися своєю практикою (багато завдань вимагають одночасного обліку кількох властивостей, кмітливості в оцінці сенсу формул; опис завдань і рішення наведено ниже).

Така програма, розрахована на 3,5 — 4 міс. першого півріччя. Як свідчить практика експериментального навчання, за умови правильного плануванні уроків, під час удосконалення методик викладання і вдалому виборі дидактичних посібників весь викладений у програмі матеріал то, можливо повноцінно засвоєно дітьми за термін (за 3 месяца).

Як будується нашу програму далі? Насамперед діти знайомляться зі способом отримання числа, выражающим ставлення будь-якого об'єкта як цілого (тієї ж величини, представленої безперервним чи дискретним об'єктом) для її частини. Саме цей показник та її конкретне значення змальовується формулою А/К=n, де n — будь-яке ціла кількість, найчастіше лист про стосунки із точністю до «одиниці «(лише за спеціальному доборі матеріалу або за сосчитывании лише «якісно «окремих речей можна отримати абсолютно точне ціла кількість). Діти від початку «змушені «пам'ятати, що з вимірі чи сосчитывании може й залишок, наявність потрібно спеціально обмовляти. Це перше сходинка до наступної працювати з дробовим числом.

Під час такої формі отримання числа неважко підвести дітей до опису об'єкта формулою типу А=5k (якщо ставлення було одно «5 »). Разом з першого формулою вона відкриває змогу спеціального вивчення залежностей між об'єктом, підставою (мірою) і результатом рахунки (виміру), що також є пропедевтикою до переходу до дробовим числам (зокрема, для розуміння основного властивості дроби).

Інша лінія розгортання програми, реалізована вже у I класі, — це перенесення на числа (цілі) основних властивостей величини (диз'юнкції равенства-неравенства, транзитивності, оборотності) та проведення операції складання (коммутативности, асоціативності, монотонності, можливості вирахування). У частковості, працюючи на числовому промені, діти можуть швидко втілити послідовність чисел в величину (наприклад, чітко оцінювати їх транзитивность, виконуючи записи типу 3.