Похідна суми, добутку та частки з наведеними прикладами (реферат)

Коломийське впу № 17.

Реферат на тему: «Похідна суми, добутку та частки з наведеними прикладами» .

Виконав: учень гр. № 2.

Коломийського ВПУ Гачинський Михайло.

2001 р.

Теорема: Якщо функції u (x) і мають похідні у всіх точках інтервалу ]ab[, то.

(u (x))' = u'(x)'(x).

для любого х є ]ab[. Кортше,.

(u)' = u'.

Доведення: Суму функцій u (x)+, де х є ]ab[, яка представляє собою нову функцію, позначим через f (x) і найдем похідну цієї функції,.

Нехай х0 — деяка точка інтервала ]ab[.

Тоді $$\begin{array}{c}f\text{'}(x_0)=\text{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x->x_0}{\text{lim}}\frac{(u(x)+(x))-(u(x_0)+(x_0))}{x->x_0}=\\ \underset{x->x_0}{\text{lim}}\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+\underset{x->x_0}{\text{lim}}\frac{(x)-(x_0)}{x->x_0}=u\text{'}(x_0)+\text{'}(x_0)\text{.}\end{array}$$ $$$$.

Також, $$f\text{'}(x_0)=u\text{'}(x_0)+\text{'}(x_0)\text{.}$$.

Так як х0 — допустима точка інтервала ]ab[, то маєм:

$$f\text{'}(x)=(u(x)+(x))\text{'}=u\text{'}(x)+\text{'}(x)\text{.}$$.

Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.

Наприклад,.

а) $$(x^2+x+5)\text{'}=(x^2)\text{'}+(x-5)\text{'}=2x+1-$$.

б) $$(x^3+\sqrt{x)\text{'}=(x^3)\text{'}+(\sqrt{x)\text{'}}}=3x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}-$$.

в) $$(x^2+4x+\text{15})\text{'}=(x^2)\text{'}+(4x+\text{15})\text{'}=2x+4\text{.}$$.

Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених.

Теорема. Якщо функції u (x) і мають похідні у всіх точках інтервала ]ab[, то.

$$[u(x)(x]\text{'}=u\text{'}(x)(x)+u(x)\text{'}(x)$$.

для любого х є ]ab[. Коротше,.

$$(\mathit{u})\text{'}=u\text{'}+\mathit{u}\text{'}\text{.}$$.

Доведення. Позначим похідні $$u(x)(x)$$ через $$f(x),$$ х є ]ab[, і найдем похідну цієї функції, виходячи із опреділення.

Нехай х0 — деяка точка інтервала ]ab[. Тоді.

$$\begin{array}{c}f\text{'}(x_0)=\underset{x->x_0}{\text{lim}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\\ =\underset{x->x_0}{\text{lim}}\frac{u(x)(x)-u(x_0)(x_0)}{x-x_0}\end{array}$$.

Навіть так як.

$$\begin{array}{c}u(x)(x)-u(x_0)(x_0)=(u(x)-u(x_0))(x)+\\ +u(x_0)((x)-(x_0)),\end{array}$$.

то.

$$f\text{'}(x_0)=\underset{x->x_0}{\text{lim}}$$ $$(\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}(x)+u(x_0)\frac{(x)-(x_0)}{x-x_0})$$.

$$f\text{'}(x_0)=(x_0)u\text{'}(x_0)+u(x_0)\text{'}(x_0)\text{.}$$.

Так як х0 — вільна точка інтервала ]ab[, то маєм.

$$f\text{'}(x)=(u(x)(x))\text{'}=u\text{'}(x)(x)+\text{'}(x)u(x)\text{.}$$.

Теорема доведена.

Приклад,.

а) $$\begin{array}{c}((x+5)(x-8))\text{'}=(x+5)\text{'}(x-8)+(x-8)\text{'}(x+5)=\\ 1(x-8)+1(x+5)=2x-3-\end{array}$$ $$$$ $$$$.

б) $$(x^2(2x-7))\text{'}=(x^2)\text{'}(2x-7)+x^2(2x-7)\text{'}=$$.

$$=2x(2x-7)+x^{2}2=6x^2-\text{14}x-$$.

в) $$\begin{array}{c}(\sqrt{x}(5-3x))\text{'}=(\sqrt{x})\text{'}(5-3x)+\sqrt{x}(5-3x)\text{'}=\\ \frac{1}{2\sqrt{x}}(5-3x)+\sqrt{x}(-3)=\frac{5-3x-6x}{2\sqrt{x}}=\frac{5-9}{2\sqrt{x}}\text{.}\end{array}$$.

Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

$$(\text{af}(x))\text{'}=\text{af}\text{'}(x)\text{.}$$.

Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де, а — число, отримаєм.

$$(\text{af}(x))\text{'}=(a)\text{'}f(x)+\text{af}\text{'}(x)=\text{af}(x)+\text{af}\text{'}(x)=\text{af}\text{'}(x)\text{.}$$.

Приклади.

а) $$(\frac{x^2}{3})\text{'}=\frac{1}{3}(x^2)\text{'}=\frac{2}{3}x-$$.

б) $$(\frac{x^3}{3}+5x)\text{'}=(\frac{x^3}{3})\text{'}+(5x)\text{'}=\frac{1}{3}(x^3)\text{'}+5(x)\text{'}=x^2+5\text{.}$$.

Похідна частки двох функцій .

Теорема. Якщо функції $$u(x)\mathit{і}(x)$$ мають похідні у всіх точках інтервалу ]ab[, причому $$(ч)/=0$$ для любого х є ]ab[, то.

$$(\frac{u(x)}{(x)})\text{'}=\frac{u\text{'}(x)(x)-u(x)\text{'}(x)}{{}^2(x)}$$.

для любого х є ]ab[.

$$(\frac{u}{})\text{'}=\frac{\mathit{}\text{'}-\mathit{u}\text{'}}{{}^2}$$.

Доведення. Позначим тимчасово $$\frac{u(x)}{(x)}$$ через $$f(x)u$$ найдем $$f\text{'}(x),$$ використовуючи опреділення похідної.

Нехай х0 — деяка точка інтервала ]ab[.

Тоді,.

$$\begin{array}{c}f\text{'}(x_0)=\underset{x->x_0}{\text{lim}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x->x_0}{\text{lim}}\frac{u(x)(x_0)-u(x_0)(x)}{(x)(x_0)(x-x_0)}=\\ \frac{1}{{}^2(x_0)}\underset{x->x_0}{\text{lim}}\frac{u(x)(x_0)-u(x_0)(x)}{x-x_0}\text{.}\end{array}$$.

Навіть, так як.

$$u(x)(x_0)-u(x_0)(x)=(u(x)-u(x_0))(x_0)+u(x_0)((x_0)-(x)),$$ то.

$$f\text{'}(x_0)=\frac{1}{{}^2(x_0)}\underset{x->x_0}{\text{lim}}(\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}(x_0)-u(x_0)\frac{(x)-(x_0)}{x-x_0}$$.

і послідовно.

$$f\text{'}(x_0)=\frac{(x_0)u\text{'}(x_0)-u(x_0)\text{'}(x_0)}{{}^2(x_0)}$$.

Так як х0 — вільна точка інтервалу ]ab[, то в послідній формулі х0 можна замінити на х. Теорема доведена.

Приклади.

а) $$\begin{array}{c}(\frac{1+9x}{x+1})\text{'}=\frac{(x+1)(1+9x)\text{'}-(1+9x)1}{(x+1{)}^2}=\\ \frac{(x+1)9-(1+9x)1}{(x+1{)}^2}=\frac{8}{(x+1{)}^2}-\end{array}$$.

б) $$\begin{array}{c}(\frac{x^3}{4-x})\text{'}=\frac{(4-x)(x^3)\text{'}-x^3(4-x\text{'})}{(4-x{)}^2}=\\ \frac{(4-x)3x^2-x^3(-1)}{(4-x{)}^2}=\frac{\text{12}{x}^2-2x^3}{(4-x{)}^2}\text{.}\end{array}$$.

Формули (3) (стор 20) [2] Д. М. Роматовський «Збірник задач з ТМ» .

Літ [4] табл.6 стор 323 А. М. Кменжова і В. А. Малов «Довідник з ТМ» т.І.