Умовні ймовірності, незалежні випадкові події (реферат)

Реферат на тему:

Умовні ймовірності, незалежні випадкові події.

Умовна ймовірність. Нехай (Р) мовірнісний простір. ростір елементарних подій, лгебра підмножин лгебра випадкових подій), Р (мовірність, яка визначена лгебрі підмножин Р (В) > 0, В Умовною ймовірністю події А (А при умові, що відбулася подія В, називається величина $$P(A/B)=\frac{P(\mathit{ACB})}{P(B)}$$ .

Формула множення ймовірностей.Якщо Р (В) > 0, то.

Р (А) = Р (В) Р (А).

Незалежні випадкові події. Випадкові події А та В (А В називаються незалежними, якщо Р (А) = Р (В) (А).

Незалежні в сукупності випадкові події. Випадкові події А1, А2, …, Аn (Аi = 1, 2, …, n) називається незалежними в сукупності, якщо.

$$P(A_{i_1}{\mathit{CKCA}}_{i_k})=P(A_{i_1})\mathit{KP}(A_{i_k})$$.

при будь-яких k=1, 2, …, n та і1 і2 …іk Якщо ці рівності виконуються при к=2, то події А1, А2,., Аn називаються попарно незалежні.

Задача 1. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни підряд виймають дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.

Розв’язування. Позначемо: Апоява двох білих куль.

Подія, А є добутком двох подій А= А1 2 ,.

де А1 -поява білої кулі при першому вийманні,.

А2- поява білої кулі при другому вийманні.

По теоремі множення ймовірностей.

Р (А)= Р (А1) Р (А2/ А1)= $$\frac{2}{5}\text{.}\frac{1}{4}=$$ 0,1.

Задача 2. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни виймають дві кулі, але після першого виймання куля повертається в урну, і кулі в урні перемішуються, після чого виймається друга куля. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.

Розв’язування. В даному випадку події А1 та А2 незалежні і.

Р (А)= Р (А1) Р (А2)= $$\frac{2}{5}\text{.}\frac{2}{5}$$ =0,16.

Задача 3. Серед усіх родин з двома дітьми обрано одну. Описати простір елементарних подій і випадкові події: А= { в родині є хлопчик і дівчинка },.

В={ в родині не більше однієї дівчинки}. Всі елементарні події однаково ймовірні. Обчислити Р (А), Р (В), Р (А) і довести, що події А та В незалежні.

Задача 4. Пристрій, який працює на прорязі часу t, складається з трьох вузлів, кожен з яких, незалежно один від одного, може на протязі часу t відмовити.

(вийти зі строю). Відмова хоча б одного вузла приводить до відмови прибору в цілому. За час t надійність (ймовірність безвідмовної роботи) першого вузла дорівнює р1=О, 8- другого р2=О, 9- третього р3=О, 7- Знайти надійність прибора в цілому.

Розв’язування. Позначемо:

Абезвідмовна робота прибора,.

А1- безвідмовна робота першого вузла,.

А2- безвідмовна робота другого вузла,.

А3 — безвідмовна робота третьго вузла, маємо: А= А1 3 ,.

звідки по теоремі для незалежних подій Р (А)=Р (А1)Р (А2)Р (А3)=р1р2 р3= 0,504.

Задача5. Скільки треба взяти гральних кубиків, щоб з ймовірністю, меньшій.

чим 0,3, можна було чекати, що ні на жодній грані яка випаде не з’явиться шість очок?

Розв’язування. Нехай, А подіяні на жодній грані яка випаде не з’явиться шість очокподії Аі - на і-тій грані кубика, яка випала не з’явиться шість очок (і=1,2,…, n). Тоді А= $$\underset{r=1}{\overset{n}{}}{A}_r$$, Р (Аі)= $$\frac{5}{6}$$. Події Аі (і=1,2,…, n) незалежні в сукупності, тому застосовується теорема множення.

Р (А)=Р (А1 $$$$ А2 $$$$ … $$$$ Аn) =P (А1) P (А2)… P (An)= ($$\frac{5}{6}$$)n.

При умові, ($$\frac{5}{6}$$

)n $$$$ $$$$ 0,3. Таким чином, n log (.

$$\frac{5}{6}$$

) $$$$ log 0,3. Звідки n $$$$ 6, 6. Таким чином, шукане число підкидань грального кубика n $$$$ 7.

.

Задача 6 (приклад Берштейна). На площину кидають тетраедр, три грані якого окрашені відповідно в червоний, зелений, блакитний кольори, а на четверту грань нанесені всі три кольори. Нехай подія Ч полягає в тому, що при підкиданні тетраедра на площину випала грань окрашена червоним кольором і нехай аналогічно визначені події З та Б. Оскільки кожний з трьох кольорів нанесений на дві грані, то.

Р (Ч)= Р (З)=Р (Б)= $$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$ .

Далі Р (Ч=Р (Ч=Р (З= $$\frac{1}{4}$$ ,.

і, таким чином, події Ч, З, Б попарно незалежні. Але ці події не є незалежні в сукупності, тому що Р (Ч= $$\frac{1}{4}$$ /= Р (Ч)Р (З) Р (Б)= $$\frac{1}{8}$$ .

Задача 7. Підкидають два гральних кубика. Розглянемо випадкові події:

A 1- на першому кубику випало парне число очок;

A 2- на другому кубику випало непарне число очок ;

A 3- сума очок на кубиках непарна. Довести, що події A 1, A 2, A 3 попарно незалежні, але не є незалежними в сукупності.

Задача 8. Довести, що якщоА та В незалежні, то $$\stackrel{-}{A}$$ й В, А й $$\stackrel{-}{B}$$, $$\stackrel{-}{A}$$ й $$\stackrel{-}{B}$$ — теж.

незалежні (спадкова властивість незалежності).

Задача 9 Події А та В1 й, А та В2 — незалежні, причому В1 та В2 несумісні. Довести, що події А та В12 -незалежні.

Задача 10. З множини всіх родин, які мають двох дітей обрано одну родину. Всі елементарні події одинаково ймовірні. Яка ймовірність того що: a) в цій родині два хлопчики, якщо відомо, що в ній є один хлопчик? б) в родині два хлопчики, якщо відомо, що старша дитина хлопчик ?

Задача 11. Відомо, що 5% чоловіків і 0,25% всіх жінокдальтоники. Навмання обрана особадальтоник. Яка ймовірність того, що це чоловік? (Вважати, що чоловіків і жінок одинакова кількість) (Вказівка. Розглянути випадкові події:

A-обрана особа є чоловікВ-Обрана особа є жінкоюС-обрана особа дальтоник. Відповідь р= $$\frac{\text{20}}{\text{21}}$$).

Задача12. В цеху працюють сім чоловіків та три жінки. По табельним номерам навмання відібрані три чоловіка. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи виявляться чоловіками.

Розв’язування. Нехай подія А-першим відібраний чоловікB- другим відібраний.

чоловікС — третім відібраний чоловік. Р (А)= $$\frac{7}{\text{10}}$$

— Р (В/А)= $$\frac{6}{9}$$ = $$\frac{2}{3}$$ — ймовірність.

.

того, що другим був відібраним чоловік, при умові, що першим вже був відібраний чоловік — Р (С/ A $$$$ B)= $$\frac{5}{8}$$ — ймовірність того, що третім був відібраним чоловік, при умові, що вже відібрані два чоловіка.

Шукана ймовірність того, що всі три вибрані особи будуть чоловіками,.

Р (А $$$$ В $$$$ С)= P (A) Р (B/A) P (C/A $$$$ B)= $$\frac{7}{\text{10}}\frac{2}{3}\frac{5}{8}=\frac{7}{\text{24}}$$ .

Задача 13. Довести, що.

Р (А1 $$$$ А2 $$$$ … $$$$ Аn)=P (А1) $$$$ $$\underset{k=1}{\overset{n-1}{}}$$ P (Ak+1 / A1 $$$$ … $$$$ Ak).

(Вказівка. Скористатися методом математичної індукції).

Задача 14. Події А1, А2, …, Аn незалежні в сукупності і Р (Ак)=рк. Яка ймовірнсть того, що відбудеться принаймі одна з подій А1, А2 ,…, Аn.

Задача 15. При одному циклі огляду раділокаційної станції, що стежить за космічним об'єктом, об'єкт буде виявлено з ймовірністю р. Виявлення об'єкта в кожному циклі відбудеться незалежно від інших. Проведено n циклів огляду. Яка ймовірність того, що об'єкт буде виявлено?

Відповідь. р=1-(1-р)n.