Формування математичного поняття дробі на уроках математики

Дипломна робота

Формування математичного поняття дробі на уроках математики

Зміст

Введення Розділ 1. Теоретико-методологічні основи формування математичного поняття дробі на уроках математики

1.1 Процес формування математичних понять на уроках математики

1.2 Методика введення математичних понять на уроках математики

1.3 Поняття дробі

1.4 Введення й формування математичного поняття дробі на уроках математики Висновки по 1 главі

Розділ 2. Практичне дослідження введення й формування математичного поняття дробі на уроках математики

2.1 Зміст і хід експерименту

2.2 Аналіз отриманих результатів Висновки по 2 главі

Список літератури Додаток 1

Додаток 2

Додаток 3

Додаток 4

Введення

Більшість застосувань математики пов’язане з виміром величин. Однак для цих цілей натуральних чисел недостатньо; не завжди одиниця величини укладається ціле число раз у вимірюваній величині. Щоб у такій ситуації точно виразити результат виміру, необхідно розширити запас чисел, увівши числа, відмінні від натуральних. До цього висновку люди прийшли ще в далекій давнині: вимір довжин, площ, мас і інших величин привело спочатку до виникнення дробових чисел — одержали раціональні числа, а в V в. до н.е. математиками школи Піфагора було встановлено, що існують відрізки, довжину яких при обраній одиниці довжини не можна виразити раціональним числом. Пізніше, у зв’язку з рішенням цієї проблеми, з’явилися числа ірраціональні. Раціональні й ірраціональні числа назвали дійсними.

Дійсні числа — не останні в ряді різних чисел. Процес, що почався з розширення множини натуральних чисел, триває й сьогодні - цього вимагає розвиток різних наук і самої математики.

Знайомство учнів із дробовими числами відбувається, як правило, у початкових класах. Потім поняття дробі уточнюється й розширюється в середній школі. У зв’язку із цим учителеві необхідно володіти поняттям дробі й раціонального числа, знати правила виконання дій над раціональними числами, властивості цих дій. Все це потрібно не тільки для того щоб математично грамотно ввести поняття дробі й навчати молодших школярів виконувати з ними дії, але й, що не менш важливо, бачити взаємозв'язку множин раціональних і дійсних чисел із множиною натуральних чисел. Без їхнього розуміння не можна вирішити проблему наступності в навчанні математиці в початкових і наступних класах школи.

Виходячи з актуальності даної проблеми ми вибрали темою нашого дослідження «Формування математичних понять» (Дробі. 5 клас).

Об'єкт дослідження — процес формування поняття дробі.

Предмет дослідження — прийоми введення й формування математичних понять на уроках математики.

Ціль дослідження — розробити прийоми введення й формування математичних понять на уроках математики.

Відповідно до мети в основу дослідження була покладена гіпотеза, що поняття дробі буде сформовано в учнів 5 класів при систематичній і цілеспрямованій роботі, спрямованої на формування поняття дробі як раціонального числа.

Відповідно до мети й гіпотезою були поставлені наступні задачі:

— проаналізувати методико-математичну й психолого-педагогічну літературу й виявити теоретичні положення, пов’язані з поняттям дробі;

— проаналізувати методико-математичну літературу й виявити прийоми введення й формування поняття дробі на уроках математики, розглянути різні підходи до введення поняття дробі;

— відібрати й апробувати вправи, спрямовані на формування дроби як раціонального числа;

— розробити методичні рекомендації із прийомів введення й формування дробі як раціонального числа.

Для рішення поставлених задач використані методи дослідження: спостереження, педагогічний експеримент, аналіз продуктів діяльності учнів, тестування.

Дослідження проводилися в три етапи:

1 етап — пошуково-теоретичний. У процесі аналізу психолого-педагогічної й методичної літератури були забезпечені методологія, методика дослідження, його понятійний апарат, проблема, об'єкт, предмет, задачі, методи й гіпотеза дослідження.

2 етап — дослідно-експериментальний. На цьому етапі розроблені й проведені уроки математики з використанням завдань творчого характеру, здійснювалася перевірка робочої гіпотези; проводилася обробка отриманих результатів.

3 етап — Заключний. Цей етап включав обробку й систематизацію матеріалу, апробацію й впровадження результатів у практику.

Всі 3 етапи відображені в нашій роботі.

Структура роботи: Дипломна робота складається із введення, двох глав, висновку, списку літератури, додатків.

Випробувані - учні 5 «А» класу в кількості 14 учнів і учні паралельного 5 «Б» класу в кількості 14 учнів.

Практична значимість дослідження складається у формуванні математичного поняття дробі як раціонального числа, підборі завдань, спрямованих на формування дробі як раціонального числа.

Розділ 1. Теоретико-методологічні основи формування математичного поняття дробі на уроках математики

1.1 Процес формування математичних понять на уроках математики

Ми відрізняємо один об'єкт (явище) від іншого, користуючись різними якостями, ознаками або особливостями об'єктів (і явищ). Серед різних властивостей досліджуваних об'єктів можна виділити: 1) одиничні (індивідуальні) властивості; 2) загальні властивості.

Для одиничних властивостей деякого об'єкта характерно те, що вони є його відмітними властивостями. Наприклад: а) Сама більша ріка в Європі - Волга; б) рівняння другого ступеня з одне змінної - квадратне рівняння.

Загальні властивості деякого об'єкта можуть бути як відмітними, так і невідмітними його властивостями. Наприклад, люди — хребетні істоти (невідмітна властивість). Загальна властивість об'єкта може бути його відмітною властивістю, якщо воно виражає так звані істотні властивості цього об'єкта, властивості, які є його ознаками, що виділяють його із множини інших об'єктів. Наприклад, люди — істоти зі членороздільною мовою. У процесі відбиття в мозку людини цих властивостей об'єктів виникає особлива форма мислення називана поняттям.

Що ж є характерним для такої форми мислення, як поняття?

По-перше, те, що поняття є продукт високоорганізованої матерії; по-друге, те, що поняття відбиває матеріальний світ; по-третє, те, що поняття з’являється в пізнанні як засіб узагальнення; по-четверте, те, що поняття означає специфічно людську діяльність; в-п'ятих, те, що формування поняття у свідомості людини невіддільно від його вираження за допомогою мови, запису або символу.

Процес формування деякого поняття — поступовий процес, у якому можна доглянути кілька послідовних стадій. Спробуємо проілюструвати цей процес на найпростішому прикладі - формуванні в дітей поняття про число 3.

1) На першому щаблі пізнання діти знайомляться з різними конкретними множинами, такими, наприклад, які зображені на малюнку 1. Вони не тільки бачать кожне із цих множин, але й можуть сприймати дотиком (поторкати) ті предмети, з яких ці множини складаються. На цій стадії процесу пізнання вони можуть звертати увагу (убачати) найрізноманітніші конкретні властивості як самих предметів, так і множин, для яких ці предмети є елементами.

Цей процес «бачення» створює у свідомості учня особливу форму відбиття реальної дійсності, що називається сприйняттям (відчуттям). Почуттєве сприйняття об'єкта є початковий, найпростіший щабель у його пізнанні - перший щабель у формуванні відповідні йому поняття. Сприйняття існує у свідомості людини тільки в той час, коли які-небудь об'єкти або явища впливають на його органи почуттів; у той же час воно не зникає безвісти.

2) Заберемо об'єкти, і запропонуємо дітям забути про те, які були ці об'єкти. Чи було щось загальне, що характеризує кожне із цих множин? У свідомості дітей повинне було запам’ятатися число предметів у кожній множині, те, що всюди було по «трьох». Якщо це так, то у свідомості дітей створилася нова форма уявлення про число «три».

3) Дотепер діти мали справу із множинами предметів, у кожному з яких було по 3 предмети. На основі уявного експерименту на наступному щаблі пізнання діти повинні доглянути, що властивість, виражена в слові «три», характеризує будь-яку множину будь-яких елементів виду (а, b, с). Тим самим виділена істотна загальна особливість таких множин — «мати три елементи». Тепер можна сказати, що у свідомості дітей сформоване поняття про число 3.

Зрозуміло, що наведена нами ілюстративна схема є лише грубим наближенням до реального процесу мислення. Разом з тим навіть із цього найпростішого ілюстративного приклада видно, що поняття утворяться шляхом операції узагальнення, що нерозривно пов’язана з абстрагуванням.

Відзначимо, що відомо кілька видів узагальнення. Один з них будується на основі виділення загальних ознак об'єктів, відкиданні тих, котрими вони відрізняються. Так, наприклад, розглядаючи такі поняття, як «трикутник АВС», «трикутник» і «багатокутник», неважко встановити, що основне розходження між ними складається саме в ступені узагальненості: поняття «трикутник» ширше, ніж поняття «трикутник АВС», а поняття «багатокутник» ширше, ніж «трикутник». Зростання узагальненості понять відбувається в міру того, як відкидаються ті властивості-ознаки, які відрізняють одні об'єкти від інших. Так, у понятті «багатокутник» виділені лише загальні ознаки, властивим всім багатокутникам, ті ж, які відрізняють один вид багатокутника від іншого, відкинуті.

У науковому пізнанні такого роду поняття, називані абстрактними, мають істотне значення, дозволяючи класифікувати об'єкти, порівнювати їх між собою, ототожнювати або розрізняти й т.д.

Узагальнення об'єктів і явищ за допомогою поняття збільшує пізнавальну цінність мислення, по-перше, тому, що більше загальні поняття дають можливість подумки оглянути й вивчити більше велику множину об'єктів, а по-друге, тому, що, відкидаючи індивідуальні ознаки об'єкта, ми тим самим виявляємо загальні, більше стійкі ознаки, які раніше в рамках більше вузьких понять залишалися нерозкритими.

Інший спосіб узагальнення дозволяє утворювати так звані конкретні поняття. Особливість його полягає в тому, що узагальнення тут відбувається не тільки шляхом виділення загальних властивостей об'єктів, але й шляхом збереження в понятті його особливих і одиничних ознак.

Так, наприклад, у математичному понятті «похідна» звичайно виступає необхідність поряд з виділенням загальних властивостей, властивим всім видам похідній, указати й специфічні властивості цього поняття: похідна безперервної функції, похідна трансцендентної функції й т.п.

Таким чином, на відміну від сприйняття й уявлення, поняття фіксує в нашій свідомості тільки істотні для цього випадку ознаки й властивості (ознаки цього поняття).

Отже, поняття — це форма мислення, у якій відбиті істотні (відмітні) властивості об'єктів вивчення.

Поняття вважається правильним, якщо воно вірно відбиває реально існуючі об'єкти.

Кожне поняття може бути розглянуте по змісту й по об'єму. Зміст поняття — це множина всіх істотних ознак даного поняття. Об'єм поняття — множина об'єктів, до яких застосовне дане поняття.

Так, для поняття «паралелограм» зміст буде представлений такими, наприклад, властивостями: 1) протилежні сторони конгруентні; 2) протилежні кути конгруентні, 3) діагоналі в крапці перетинання діляться навпіл і т.д.

Об'єм поняття «паралелограм» представлений множиною таких чотирикутників, як: 1) властиво паралелограми; 2) ромби; 3) прямокутники; 4) квадрати Наведений приклад показує, що зміст поняття — це множина ознак поняття, з яких кожний необхідний, а все разом достатнє для встановлення поняття.

Зміст поняття жорстко визначає його об'єм, і, навпаки, об'єм поняття цілком визначає його зміст. Таким чином, зміна в змісті поняття спричиняє зміна в його об'ємі, і навпаки. Між змістом і об'ємом поняття існує в деякому змісті зворотна залежність. Так, наприклад, якщо збільшити зміст поняття паралелограм (діагоналі взаємно перпендикулярні), те відразу зменшиться його об'єм (залишаються лише ромб і квадрат); якщо зменшити зміст цього поняття (зажадати паралельності тільки двох протилежних сторін), збільшиться його об'єм (до названих чотирикутників додасться трапеція).

Якщо, наприклад, збільшити об'єм поняття «скорочення дробі», включивши його в поняття «тотожні перетворення» (розкладання на множники або що складаються, скорочення дробі й т.д.), то зміст цього поняття зменшиться (можливість ділення компонентів вираження на те саме число зникає для більшості тотожних перетворень).

У процесі узагальнення об'єм поняття стає ширше, а його зміст — більше вузьким.

У процесі спеціалізації поняття — навпаки: звужується об'єм поняття, але розширюється його зміст. Варто помітити, що розглянута залежність між змістом і об'ємом деякого поняття має місце лише тоді, коли в процесі зміни змісту об'єм одного поняття є підмножиною об'єму іншого поняття.

Більша роль у процесі формування понять належить мовному й символічному їхньому вираженню. Слово називають носієм поняття. Слово, що позначає строго певне поняття якої-небудь галузі науки або техніки, називається науковим терміном. Наприклад, слово «ромб» — математичний термін. При цьому необхідно, щоб символіка й мова (і зокрема, термін) виражали дане поняття однозначно. У якості контр прикладу можна привести слова, називані омонімами. Одне з них — відомий шкільний термін «корінь», якому можна розуміти в різних змістах (корінь рівняння, корінь рослини, корінь квадратний із числа, «корінь зла»). У цьому випадку слово відіграє негативну роль: поняття не виражається їм однозначно.

З іншого боку, існують різні терміни, що виражають те саме поняття, причому зовсім однозначно (слова-синоніми). Наприклад, термін «квадрат» можна замінити термінами «правильний чотирикутник», «ромб із прямим кутом» і т.д. У цьому випадку роль слова позитивна: воно уточнює поняття.

Процес розкриття змісту поняття складається в перерахуванні його ознак. Перерахування необхідних і достатніх ознак поняття, зведених у зв’язну пропозицію (мовне 7 або символічне), є визначення поняття (математичного об'єкта). Кожний з ознак, що входять у визначення, повинен бути необхідний, а всі разом — достатні для встановлення даного поняття. У визначенні повинне розкриватися основний зміст поняття. У ньому не повинне втримуватися зайвих слів; не повинне бути й пропусків. От приклад правильного визначення поняття паралелограма: «Паралелограм — чотирикутник, у якого дві протилежні сторони попарно рівні й паралельні»; а от контр приклади визначень поняття «квадрат»: 1) квадрат — паралелограм, у якого всі кути прямі (недостатнє); 2) квадрат — ромб із прямим кутом (правильне); 3) квадрат — паралелограм з рівними сторонами й із чотирма прямими кутами (надлишкове).

Необхідно, щоб учні розуміли, що ніякі визначення не доводяться. Разом з тим у процесі навчання математику можна (і корисно) мотивувати те або інше визначення поняття. Хоча визначення поняття — суть умовна угода, але воно вибирається розумно, виходячи з реальних властивостей того або іншого поняття або відповідно до тих або інших вимог (при введенні нового поняття). Для деяких понять їхнього визначення і їхні терміни, що виражають, виглядають цілком природними (трикутник — багатокутник із трьома внутрішніми кутами); для інших необхідні мотивування або — пояснення.

Деякі первісні математичні поняття не визначаються (або побічно визначаються через аксіоми). Наприклад, поняття множина — невизначуване поняття.

Визначення кожного поняття можна було б розглядати в динаміку, тобто у вигляді процесу відомості одного поняття до іншого. Послідовність кроків тут кінцева, тому що, продовжуючи цей процес, ми неминуче прийдемо до понять, що вважається первісними.

У послідовності понять, отриманої в результаті процесу визначення деякого поняття, кожне поняття (починаючи із другого) є родовим поняттям для попереднього поняття, тобто об'єми цих понять перебувають між собою в послідовному відношенні включення: vl v2 v3… vn.

Наприклад: квадрат є особливий ромб; ромб — особливий паралелограм; паралелограм — особливий чотирикутник; чотирикутник — особливий багатокутник; багатокутник — особлива геометрична фігура; геометрична фігура — крапкова множина.

Таким чином, ми дійшли до первісних понять: крапка й множина.

У процесі навчання такі поняття повинні бути особливо виділені, а прийняття їх у якості основних мотивовано.

Поняття може бути правильно визначено різними способами.

1. Через найближчий рід і видову відмінність. Наприклад: квадрат — прямокутник з рівними сторонами; ромб-паралелограм, у якого діагоналі взаємно перпендикулярні.

Мовою теорії множин і математичної логіки сутність цього способу визначення поняття полягає в наступному:

Якщо в множині А є елементи х, що володіють деякою властивістю Р (х), і елементи, що не володіють цією властивістю, то дана властивість Р (х) розбиває множина, А на дві підмножини:

причому ці дві множини такі:

Тут множина, А є множина об'єктів, що належать родовому поняттю, а властивість Р є видова ознака (видова відмінність) даного поняття. У визначенні «квадрат — прямокутник з рівними сторонами» множиною, А є множина всіх прямокутників, а властивістю Р (видовою відмінністю поняття «квадрат») є властивість «мати «не сторони».

2. Генетично (способом, що вказує на походження поняття). Наприклад, окружність — множина всіх крапок площини, що перебувають на даній відстані від даної крапки, що лежить у цій площині.

3. Індуктивне. Наприклад, рівність an = a n-1 + d визначає арифметичну прогресію.

4. Через абстракцію. Наприклад, натуральне число — характеристика класу еквівалентних кінцевих множин.

Процес з’ясування об'єму поняття називається класифікацією поняття. Таким чином, під класифікацією розуміється поділ множини об'єктів, що становлять об'єм родового поняття, на види. Цей поділ заснований на подібності об'єктів одного виду й відмінності їх від об'єктів інших видів в істотних ознаках.

Наприклад, класифікацію поняття натурального числа можна провести так, як показано на наступній схемі (мал.1).

Мал.1.

Правильна класифікація припускає дотримання певних умов, які можуть бути проілюстровані вищенаведеною схемою класифікації натуральних чисел:

1. Класифікація повинна проводитися по певній ознаці, що залишається незмінним у процесі класифікації. У наведеному прикладі такою ознакою є число простих дільників даного натурального числа.

2. Поняття, що виходять у результаті класифікації, повинні бути взаємно незалежними. У наведеному прикладі це виражається тим, що перетинання множин простих, складних чисел і одиниці порожньо.

3. Сума об'ємів понять, що виходить при класифікації, повинна рівнятися об'єму вихідного поняття. У наведеному прикладі числа прості, тридцятилітні й одиниця вичерпують всю множину натуральних чисел.

4. У процесі класифікації необхідно переходити до найближчого в даному родовому понятті виду.

У наведеному прикладі, проводячи класифікацію натуральних чисел, було б невірним підрозділити множина натуральних чисел на прості числа, числа, що мають три різних дільники, і одиницю. У цьому випадку відбувся б так званий «стрибок у класифікації», тому що колись варто було б виділити складені числа, а лише потім підрозділити складені числа на числа, що мають три різних дільники, чотири різних дільники й т.д.

Справді, на першому етапі класифікації деякого поняття виділяється деяка властивість — ознака Pi (x). У результаті дослідження деякої множини об'єктів, А ми виділяємо із цієї множини дві підмножини А1 і А2:

Тим самим ми одержали розбивку множини, А на два класи, що задовольняють вищенаведеним умовам класифікації.

Бажаючи продовжити процес класифікації даного поняття, ми виділяємо нову властивість Р2 (х) і одержуємо розбивку множини Ai на дві підмножини В) і В2 і т.д.

У результаті послідовно проведених розбивок множини об'єктів, що становлять об'єм деякого поняття, і виникає певна класифікація даного поняття. Так, наприклад, одна з можливих класифікаційних схем поняття «опуклий багатокутник» буде виглядати так.

Помітимо, що в сучасному шкільному курсі геометрії прийнята класифікація чотирикутників, що відрізняється від даної.

У процесі визначення й класифікації понять даної науки утвориться система понять цієї науки.

1.2 Методика введення математичних понять на уроках математики

Відомий французький математик Фреше справедливо зауважує: «Якщо що-небудь дійсно необхідно, так це знищення догматичного методу; не давати ніяких визначень, не вказавши, як вони виникли, для чого вони потрібні, як вони застосовуються». При введенні математичних понять у шкільному навчанні корисно керуватися наступною схемою, що, однак, повинна бути динамічної, скорочуватися або доповнюватися залежно від об'єктивно мінливих умов навчання (складу класу, характеру математичних понять і т.п.).

При введенні понять органічно пов’язаних із уже відомими учнем поняттями можна застосувати інший шлях, називаний дедуктивною-дедуктивним-абстрактно-дедуктивним.

Так, наприклад, поняття квадратного рівняння можна ввести в такий спосіб:

1. Дати визначення нового поняття (рівняння виду ах2 + bх + з = 0, де a?0 називається квадратним), мотивуючи його термін, що позначає (найбільший показник ступеня невідомого дорівнює двом; рівняння містить квадрат невідомого).

2. Розглянути частки (і особливі) випадки вираження цього поняття (х2+ рх + з = 0, ах2 + з = 0, ах2 + bх = 0, ах = 0), провівши своєрідну класифікацію цього поняття.

Привести деякі контр приклади цього поняття (запитати, наприклад, учнів, чи буде рівняння виду bх + з = 0 неповним квадратним рівнянням).

3. Ілюструвати уведене поняття конкретними прикладами (х2 — 5х + 6 = 0, Зх2 — 27 = 0 і т.д.), щораз перевіряючи, чи задовольняє кожне з конкретних проявів цього поняття його визначенню.

4. Привести конкретні приклади додатка цього поняття (наприклад, відому формулу S=qt2/2 можна розглядати як квадратне рівняння qt2 — 2S = 0; використовувати квадратне рівняння при рішенні текстових задач).

Індуктивний метод знаходить більше застосування в молодших класах; у старших класах частіше застосовують абстрактно-дедуктивний метод.

Засвоєння учнями деякого математичного поняття припускає, поряд із чітким уявленням про його об'єм і зміст, уміння застосовувати це поняття в процесі своєї математичної діяльності, а також здатність до актуалізації основних факторів, що ставляться до даного поняття.

Застосовуючи те або інше математичне поняття при доказі яких-небудь теорем і рішенні задач, важливо вміти виявляти дане поняття в тих випадках, де воно виступає в більш-менш схованій формі.

Зокрема, при засвоєнні багатьох геометричних понять велике значення має вміння «дізнаватися» це поняття в більше складному або незвично розташованому кресленні.

У зв’язку із цим досить корисні вправи «по готових кресленнях». Так, наприклад, після ознайомлення з поняттям «рівнобедрений трикутник» учнем можна запропонувати наступну серію вправ:

1. За допомогою окомірної оцінки (а потім, підтвердивши цю оцінку виміром) установити, які із трикутників, зображених на малюнку 5.

2. Назвіть і покажіть у кожному рівнобедреному трикутнику підстава й бічні сторони.

3. Назвіть і покажіть у кожному з них кути при підставі й кут при вершині.

На етапі актуалізації знань при вивченні деякого поняття доцільно виділити серію ситуацій, наявність яких досить для виникнення даного поняття.

Так, наприклад, вивчивши в курсі математики 5 — 6 класів поняття про рівність величин кутів, варто звернути увагу учнів на те, що величини кутів рівні, якщо:

а) кути симетричні відносно прямій;

б) кути виходять один з іншого паралельним переносом на даний відрізок;

в) дані кути є кутами при підставі рівнобедреного трикутника або кутами рівностороннього трикутника;

г) кути виходять один з іншого поворотом навколо даної крапки на даний кут і т.д.

Цю роботу варто проводити планомірно протягом усього року (а може бути, і декількох років) навчання; список таких ситуацій, пов’язаних з основними поняттями, може й повинен бути продовжений.

При оволодінні поняттями в учнів нерідко виникають різні утруднення й помилки.

Почнемо з розгляду помилок, які можуть з’явитися при визначенні понять, і вкажемо деякі причини їхнього виникнення.

Насамперед, варто чітко показати учнем розходження, пов’язане з використанням тих або інших понять у визначенні деякого нового поняття. Поняття, що відповідає обумовленому об'єкту, називається обумовленим; поняття, за допомогою якого розкривається зміст обумовленого об'єкта, називається визначальної. Так, наприклад, у визначенні «Множина, що складається із двох різних крапок і всіх крапок, що лежать між ними, називається відрізком», поняття «відрізок» — обумовлене поняття, а поняття «множина крапок» — одне з визначальних понять.

Якщо це розходження не усвідомлюється учнями, то визначення понять часто дається ними стилістично неправильно.

Основні помилки учнів при формулюванні визначень викликані недотриманням сталих у логіку «правил визначення», при виконанні яких це розходження також відіграє більшу роль. Перелічимо найважливіші із цих «правил».

1) Усяке визначення повинне бути розмірним, тобто об'єм обумовленого поняття повинен бути дорівнює об'єму визначального поняття.

Наприклад, визначення «Ромб є паралелограм, у якого дві суміжні сторони рівні між собою» відповідно до, тому що об'єм поняття «ромб» дорівнює об'єму поняття «паралелограм із двома рівними суміжними сторонами» (множини, що визначають об'єми цих понять, збігаються).

Порушення цього правила веде до помилок двоякого роду:

а) Об'єм визначального поняття ширше об'єму обумовленого поняття. У цьому випадку обумовлене поняття ставиться до визначального, як вид до роду. Наприклад: «Діаметр окружності є відрізок прямій, що з'єднує дві крапки окружності». Тут по суті визначена хорда — більше широке поняття, чим діаметр (в об'єм визначального поняття входять всі хорди окружності).

Ця помилка у визначенні даного поняття виникає тому, що ознака видової відмінності («з'єднувати дві крапки окружності») належить не тільки діаметрам, але й всім хордам взагалі, а тому за допомогою його не можна відрізнити діаметри від інших відрізків прямих, що з'єднують крапки окружності.

Таке визначення в логіку називається занадто широким.

Щоб учні зрозуміли цю помилку, бажано розглянути з ними динамічний малюнок або діафільм «Окружність і коло»

б) Об'єм визначального поняття вже об'єму обумовленого поняття. Останнє ставиться до першого як рід до виду.

Як приклад розглянемо наступне визначення: «Ромбом називається прямокутнику двома конгруентними суміжними сторонами». Тут по суті визначений квадрат (більше вузьке поняття, чим ромб). Ця помилка у визначенні даного поняття виникає тому, що зазначена видова ознака (прямокутник — паралелограмі двома конгруентними суміжними сторонами) належить лише підмножині множини ромбів, квадратам, тобто є відмітним лише для частини множини ромбів. Таке визначення в логіку називається занадто вузьким.

2) Визначення не повинне містити в собі «порочного кола», тобто не можна будувати визначення так, щоб обумовлене поняття визначалося (схованим або явно) за допомогою того ж самого обумовленого поняття.

Порушення цього правила також веде до помилок двоякого роду:

а) Обумовлене поняття характеризується таким визначальним поняттям, зміст якого стає ясним лише за допомогою самого обумовленого поняття.

Так, наприклад, визначення «додавання є дія знаходження суми» і «сумою називається результат додавання» містять у собі такий «порочне коло». Визначальне поняття суми в цьому випадку не може бути визначене незалежно від обумовленого поняття — поняття додавання.

б) Обумовлене й визначальне поняття по змісту тотожні, хоча можуть бути виражені в різних словах.

Таке визначення зветься тавтології.

Наприклад, «прямий кут — це кут в 90°», або «Прямим кутом називається кут, сторони якого перпендикулярні».

Отже, у цих помилкових визначеннях сутність обумовленого об'єкта не розкривається; у визначальному понятті повторюється те, що вже відомо про обумовлене поняття.

3) Визначення по можливості не повинне бути негативним. Це означає, що варто уникати таких визначень, яких видова відмінність виступає як негативне поняття.

Іноді в математику все-таки використовують «негативні» визначення, зокрема, якщо в них вказуються ознаки, що не належать певному поняттю.

Однак у процесі навчання математику такі визначення небажані, оскільки вони майже не розкривають змісти поняття, його істотних властивостей, а вказують лише на ті властивості, які не повинні мати обумовлені поняття.

Якщо при введенні нового поняття обмежитися тільки формулюванням його визначення й ілюстрацією цього поняття тільки одним прикладом, узятим з підручника, не показуючи його наочні моделі, то учні нерідко засвоюють такі поняття неправильно. В учнів це найчастіше проявляється в спробі незаконних узагальнень поняття (узагальнень по несуттєвих ознаках) і змішанні істотних ознак з несуттєвими. Типовою помилкою такого роду є, наприклад, не дізнавання учнями знайомої геометричної фігури, якщо та має незвичну форму або положення на площині.

Зокрема, учні не «довідаються» рівнобедрений трикутник, даний у положенні, зазначеному на малюнку 6, а зазнають більших труднощів у встановленні пар подібних трикутників у ситуації, зображеної на малюнку 6, б и т. п.

Велике значення для свідомого засвоєння учнями найважливіших математичних понять має система цілеспрямованих усних питань і вправ, наприклад, таких:

1. Знайдіть помилку в наступних визначеннях (уточните кожне із цих визначень):

а) рівносильними рівняннями називаються такі два рівняння, коли корінь першого рівняння є коріннями другого;

б) пряма, що ділить сторону трикутника навпіл, називається медіаною;

в) відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника й рівний половині третьої сторони, називається середньою лінією трикутника.

2. Приведіть приклади, що вказують на недостатність наступних визначень:

а) дотичній до кривої називається пряма, що має із кривій тільки одну загальну крапку.

б) якщо відстань від будь-якої крапки однієї лінії L1 до інший L2 усюди однаково, те такі лінії називаються паралельними і т.д.

Отже, у процесі введення й вивчення в школі математичних понять корисно:

1) не вводити нових понять формально; детально конкретизувати нові абстрактні поняття; по можливості застосовувати конкретно-індуктивний метод;

2) уводити поняття найбільш природним для учнів шляхом; по можливості, варто частіше залучати учнів до самостійного вивчення й визначення розглянутого поняття;

3) мотивувати поняття, терміни, визначення; не допускати в уявленні довільність введення нових понять;

4) у процесі вивчення нових понять корисно виявити зв’язки нового поняття із уже відомими поняттями; указувати на аналогію в характеристиці нових понять і понять відомих;

5) на кожному уроці корисно повторювати визначення відомих учнем найважливіших математичних понять, пов’язаних з поняттями, розглянутими на даному уроці, вимагаючи в той же час не стільки запам’ятовування визначень понять напам’ять, скільки правильної передачі сутності визначення даного поняття;

6) при оволодінні учнями тими або іншими математичними поняттями строго стежити за мовою учнів, вимагати чіткості, стислості й строгості у формулюваннях визначень. Варто мати на увазі, що «профілактика» помилок ефективніше їхнього виправлення. Займатися такою профілактикою вчителеві потрібно постійно.

1.3 Поняття дробі

Нехай потрібно виміряти довжину відрізка х за допомогою одиничного відрізка е. При вимірі виявилося, що відрізок х складається із трьох відрізків, е, і відрізка, що коротше відрізка е. У цьому випадку довжина відрізка х не може бути виражена натуральним числом. Однак, якщо відрізок е розбити на 4 частині, то відрізок х виявиться складається з 14 відрізків, рівних четвертої частини відрізка е. І тоді, говорячи про дину відрізка х, ми повинні вказати два числа 4 і 14: четверта частина відрізка е укладається у відрізку точно 14 разів. Тому вмовилися довжину відрізка х записувати у вигляді Е, де Е — довжина одиничного відрізка е, а символ називають дробом.

У загальному виді поняття дробі визначають так. Нехай дані відрізок х і одиничний відрізок е, довжина якого Е. Якщо відрізок х складається з m відрізків, рівних n-ой частини відрізка е, те довжина відрізка х може бути представлена у вигляді, де символ називають дробом.

До запису дробі числа m і n — натуральні, m — називається чисельником, n — знаменником дробі.

Дріб називається правильної, якщо її чисельник менше знаменника, і неправильної, якщо її чисельник більше знаменника або дорівнює йому.

Повернемося до мал., де показано, що четверта частина відрізка е уклалася у відрізку х точно 14 разів. Очевидно, це не єдиний варіант вибору такої частини відрізка е, що укладається у відрізку х ціле число раз. Можна взяти восьму частину відрізка е, тоді відрізок х буде складатися з 28 таких частин і довжина його буде виражатися дробом. Можна взяти шістнадцяту частину відрізка е, тоді відрізок х буде складатися з 56 таких частин і його довжина буде виражатися дробом .

Взагалі довжина того самого відрізка х при заданому одиничному відрізку е може виражатися різними дробами, причому, якщо довжина виражена дробом, то вона може бути виражена й будь-яким дробом виду, де до — натуральне число.

Теорема. Для того щоб дроби й виражали довжину того самого відрізка, необхідно й досить, щоб виконувалася рівність mg = np

Визначення: Два дроби й називаються рівними, якщо mg = np. Якщо дробі рівні, то пишуть = .

Наприклад =, тому що 17×21 = 119×3 = 357, а ?, тому що 17×27 = 459,19×23 = 437 і 459? 437.

Зі сформульованих вище теореми й визначення треба, що два дроби рівні тоді й тільки тоді, коли вони виражають довжину й той же відрізок.

Нам відомо, що відношення рівності дробів рефлексивно, симетрично й транзитивне, тобто є відношенням еквівалентності. Тепер, використовуючи визначення рівних дробів, це можна довести.

Теорема. Рівність дробів є відношенням еквівалентності.

Доказ: Дійсно, рівність дробів рефлексивно: =, тому що рівність mn = mn справедливо для будь-яких натуральних числі m і n.

Рівність дробів симетрично: =, те =, тому що з mg = np треба, що pn = mg (m, n, p, g е N).

Воно транзитивне: якщо

= і =, те = .

Справді, тому що =, те mg = np, тому що =, те ps = gr. Помноживши обидві частини рівності mg = np на s, а рівність ps = gr на n, одержимо mgs = nps і nps = grs. Звідки mgs = grs або ms = nr. Остання рівність означає, що =. Отже, рівність дробів рефлексивно, симетрично й транзитивне, отже воно є відношенням еквівалентності.

З визначення рівних дробів випливає основна властивість дробі:

Якщо чисельник і знаменник дробі помножити або розділити на те саме натуральне число, то вийде дріб, рівна даної.

На цій властивості заснованого скорочення дробів і приведення дробів до загального знаменника.

Скорочення дробів — це заміна даного дробі інший, рівної даної, але з позбавимо чисельником і знаменником.

Якщо чисельник і знаменник дробі одночасно діляться тільки на одиницю, то дріб називають нескоротною. Наприклад, — нескоротний дріб, тому що її чисельник і знаменник діляться одночасно тільки на одиницю, тобто В (5; 17) = 1.

Приведення дробів до загального знаменника — це заміна даних дробів, рівними їм дробами, що мають однакові знаменники. Загальним знаменником двох дробів = є загальне кратне чисел n і g, а найменшим загальним знаменником — їх найменше.

дріб урок математика

1.4 Введення й формування математичного поняття дробі на уроках математики

Усяке поняття, у тому числі математичне, є абстракцією від множини конкретних об'єктів, які описуються ім. У понятті відбиваються стійкі властивості досліджуваних об'єктів, явищ. Ці властивості повторюються у всіх об'єктів, які поєднуються поняттям. Але кожний реальний об'єкт має деякі інші властивості, властиві тільки йому. Розходження в несуттєвих властивостях тільки підкреслює істотні.

Формування математичних абстракцій може привести до формалізму в знаннях учнів, якщо оперування ними буде беззмістовно, якщо за кожною абстракцією учень не побачить наочної уявної картини, тобто образа. Ігнорування практичної діяльності учнів з матеріальними або матеріалізованими об'єктами, які несуть наочне знання й формують образи, приводить до появи поверхневих знань, а іноді й до відсутності їх.

Звичайний дріб є, по суті, першою глибокою математичною абстракцією, що зустрічається в шкільному курсі. Зневага вчителем змістовною стороною досліджуваних понять, швидкий перехід до формального оперування дробами без досить надійної опори на наочність приводять до того, що слабкі, а те й середні учні не розуміють досліджуваного матеріалу. Часом за позначенням 3/5 учень не бачить ніякого образа. Для такого учня й операції над дробами перетворюються в серію незрозумілих процедур, послідовність яких йому доводиться просто запам’ятовувати.

Формуванню вірного уявлення про поняття «звичайний дріб» і вмінню користуватися ним сприяють практичні роботи з матеріалізованими об'єктами. Нижче наведені деякі з матеріалів, по яких доцільно проводити таку роботу.

Освоюючи поняття «звичайний дріб», учень повинен тренуватися в підрахунку числа рівних часток, на які розділене ціле, і числа взятих часток. Дробі є числа, тому вже на першому етапі потрібно дати учневі можливість порівнювати, користуючись тільки наочністю, отримані дроби із цілими числами, наприклад з 1, і дріб із дробом.

Кожний учень одержує свою картку, що відрізняється від карток в інших хлопців. Це спонукує учня діяти самостійно, а не просто спостерігати маніпуляції вчителя з моделями, до яких найчастіше зводиться «наочність» при вивченні дробів.

Учню потрібно заповнити таблицю, указуючи кожну частину, якщо це підказується малюнком, у вигляді «різних» дробів (½ = 3/6). Своєрідною підказкою є жирні лінії, що ділять фігури. Виконуючи запропоновані вправи, учень освоює поняття дробі, помічає основну властивість, підраховує доповнення дробі до одиниці. Уже на цьому етапі він зустрічається в неявному виді з додаванням дробів, із приведенням дробі до нового знаменника.

По картці учнем доводиться відповідати на наступні питання:

Яка частина фігури (усього в кожній картці по 8 фігур найрізноманітніших обрисів) зафарбована штрихуванням певного виду?

Яка частина фігури зафарбована штрихуваннями обох видів? (Це питання підводить учнів до додавання дробів, наприклад потрібно скласти 6/18 і 3/18 часток фігури Е) Яка частина фігури залишилася без штрихування? (Тут фактично потрібно відняти правильний дріб з 1, наприклад знайти, яка частина фігури С. залишилася без штрихування, якщо заштриховано її 5/10 частин) Косим штрихуванням зафарбовані 4/12 частки фігури, а прямим штрихуванням — 2/12 частки тієї ж фігури. Яке штрихування займає більше часток фігури G? На скільки часток більше займає у фігурі G косе штрихування, чим пряма? Рівняння дробів один з одним і вирахування дробів. На скільки частин жирні лінії ділять фігуру В? Скільки в кожній із цих частин утримується 12-х часток даної фігури?

Розглянете фігуру F, виділите в ній ¼ частку. Виразите дріб ¼ іншими дробами, керуючись фігурою F.

Основна властивість дробі закріплюється по картці № 2. Вона розділена на дві частини, у кожній з яких демонструються три способи ділення одного «відрізка» на рівні частини: на 4 частині, на 8 частин і на 16 частин (на 3 частині, на 6 частин і на 12 частин). Учні повинні записати відсутні чисельники у двох із трьох рівних дробів. Для цього їм доведеться проробити наступні дії: виділити на малюнку перший відрізок, заданий однієї із трьох дробів (тієї, у якої відомі й чисельник і знаменник); знайти другий відрізок, рівний першому (він розділений на те число частин, що зазначено знаменником іншого дробі); підрахувати число частин у другому відрізку й записати його в чисельнику другого дробі; подумки розділити один з відрізків на те число частин, що зазначено знаменником третьої дробі, і повідомити, скільки буде потрібно набрати таких частин для третього відрізка такої ж довжини, що й перші два. Як бачимо, такий процес спонукує учнів самостійно оперувати наочним матеріалом і поступово в ході цього виробляти формальне правило.

Вправи представляють новий аспект освоєння поняття дробі. Виконання запропонованих вправ супроводжується моторними діями, які краще запам’ятовуються учнями з кинестетичним типом мислення.

Відзначимо, що в картці № 3 вихідні фігури навмисно ускладнені. Таким чином, забезпечується закріплення у свідомості учнів не геометричного образа, а послідовності арифметичних дій над числом, що виходить у результаті підрахунку рівних елементів фігури. Аналогічно й у картці № 4 у відповідях не виходить «гарний» прямокутник. Учнем доводиться поступово переходити від маніпуляцій з геометричними об'єктами до арифметичних дій. Так, якщо перше завдання учні можуть виконати чисто геометрично (приставивши до фігури, що позначає дріб ½, ще точно таку ж фігуру), те у випадку із дробом 2/5 так надійти вже не можна. Доводиться спочатку поділити дану фігуру на 2 частині. У наступному завданні (дріб ¾) таке ділення не вдається здійснити «безболісно», тобто наочним образом. Доводиться починати з підрахунку числа рівних квадратиків даної фігури.

Для засвоєння способів знаходження дробі від числа й числа по його дробі учням знову пропонується завдання по наочному матеріалі, тобто по картках № 5 і 6. Виконуючи ці завдання, хлопці звертаються до малюнків. При цьому вони чітко усвідомлюють суть операцій знаходження дробі від числа й числа по його дробі, оскільки із цими операціями зв’язуються наочні картини — образи. Важливо лише в завданнях запропонувати учням достатня кількість образних варіацій, не одну-дві, як часто буває на уроках, а п’ять-шість. На індивідуальній картці такі завдання пред’явити легко, оскільки учень працює один, не знижував темп вивчення матеріалу всім класом. Звичайно, практика оперування дробами не повинна обмежуватися наведеними вправами з наочним матеріалом. Учитель повинен використовувати й звичайні завдання з навчальних посібників. Робити це він може диференційовано, затримував одних на картках і стимулюючи інших більше складними вправами.

При вивченні додавання дробів учнем необхідно надати можливість попрацювати з наочним матеріалом, що відбиває властивості дробів. У цьому випадку використовуються завдання, схожі з тими, що наведено в картці № 7. Тут тонкі лінії допомагають зрозуміти, яким буде найменший загальний знаменник і що він наочно означає. Підказується й те, який буде дріб, наведена до нового знаменника. Тренуюся у виконанні таких вправ, учень зможе наочно оцінювати результат додавання двох дробів, роблячи необхідні прикидки. Для слабкого учня така робота повна змісту: опираючись на неї, можна вводити алгоритм додавання дробів з різними знаменниками, що тепер не буде представлятися учню незрозумілою процедурою. Паралельно з додаванням на наочному рівні вивчається й операція вирахування дробів. По картці № 7 Доцільно запропонувати школярам знайти різницю дробів:

і т.д.

Майже традиційно правило множення звичайних дробів пояснюють на прикладі знаходження площі прямокутника, довжини сторін якого виражаються даними дробами. Одержавши з одного приклада «заповітне» правило, починають експлуатувати його, знаходячи добутку дробів. Поспішність і формалізм проявляються потім на якості знань.

Для того щоб учень усвідомив правило множення дробів, зв’язав його з наочним образом, корисно запропонувати йому наступні вправи:

Одиничні квадрати розбиті на рівні прямокутники. Знайдіть, яку частину від одиничного становить маленький прямокутник. Знайдіть, яку частину від одиничного квадрата А, В, З, Д, Е, F становить прямокутник, виділений жирною лінією.

Знайдіть, яку частину прямокутника, виділеного в кожній з фігур А, В, З, Д, E, F становить маленький прямокутник.

По малюнках А, В, С, Д Е, F. з картки № 8 поясните зміст множення дробів, записаних під кожною з фігур.

Увага учнів варто звернути на те, що у квадраті Е жирними лініями виділені прямокутники, що містять по трьох маленьких прямокутника. Таких, прямокутників у квадраті Е 14, а в заштрихованій Фігурі - 5. Дріб яка є значенням добутку вийшла із дробі після скорочення на 3, про що говорить ціле число прямокутників 3×1 виділених жирними лініями.

Для слабких і середніх учнів виявляться корисними вправи на запис у вигляді неправильного дробі числа, що має цілу й дробову частини, вправи на ділення дробі на ціле число.

Таким чином, наведені картки дозволяють при вивченні математики звертатися до природи речей, знаходити можливість включення учня в практичну діяльність, у процесі якої в нього формуються образи, що допомагають освоювати досліджувані абстракції.

Висновки по 1 главі

1. Поняття — форма мислення, у якій відбиті істотні властивості об'єктів. Кожне поняття може бути розглянуте по змісту й по об'єму. Зміст поняття — це множина всіх істотних ознак даного поняття. Об'єм поняття — множина об'єктів, до яких застосовне дане поняття.

Більша роль у процесі формування понять належить мовному й символічному їхньому вираженню.

2. Засвоєння учнями деякого математичного поняття припускає поряд із чітким уявленням про його об'єм і зміст, уміння застосовувати це поняття в процесі своєї математичної діяльності, а також здатність до актуалізації основних факторів, що ставляться до даного поняття.

3. Освоюючи поняття «звичайний дріб», учень повинен тренуватися в підрахунку числа рівних часток, на які розділене ціле, і числа взятих часток. Дробі є числа, тому вже на першому етапі потрібно дати учневі можливість порівнювати, користуючись тільки наочністю, отримані дроби із цілими числами, наприклад, з 1, і дріб із дробом.

4. При вивченні додавання дробів учнем необхідно надати можливість попрацювати з наочним матеріалом, що відбиває властивості дробів.

Для слабких і середніх учнів виявиться корисними вправами на запис у вигляді неправильного дробі числа.

5. Наочний матеріал дозволяє при вивченні математики звертатися до природи речей, знаходити можливість включення учня в практичну діяльність, у процесі якої в нього формуються образи, що допомагають освоювати досліджувані абстракції.

Розділ 2. Практичне дослідження введення й формування математичного поняття дробі на уроках математики

2.1 Зміст і хід експерименту

В експерименті брали участь учні 5 «А» класу в кількості 14 чоловік і учні паралельного 5 «Б» класу в кількості 14 чоловік. Експеримент включав 3 етапи:

констатуючий;

формуючий;

контрольний.

На етапі експерименту, що констатує, нашою метою є з’ясування вихідного стану проведення уроків математики. До початку проведення уроків по проблемі нашого дослідження на етапі експерименту, що констатує, ми провели самостійну роботу на перевірку вмінь обчислювальних навичок в обох класах.

На етапі експерименту, що констатує, ми виявили рівень знань, з якими учні підійшли до вивчення звичайного дробі. Для цього експерименту були запропоновані діагностичні тести Т.Д. Гончарової. Навчання на основі технології повного засвоєння, що включають завдання, що опираються на знання учнями оперування одиницями виміру, виконання логічних завдань, обчислювальні прийоми, вправи на освоєння поняття частки числа за допомогою штрихування фігур, задачі на знаходження частки числа, числа по частки, завдання, виконання яких вимагає вмінь учнів робити дії із числами, використовуючи координатний промені, знаходити місце числі на координатному промені, що сприяють проведенню порівняльної роботи дробі як числа із цілими числами.

Порівняльна характеристика рівня успішності при виконанні завдань, складених на етапі експерименту, що констатує, відбита на діаграмі.

Отримані результати експерименту, що констатує, свідчить про те, що знання двох класів, що вчиться, перебувають на одному рівні.

На етапі формуючого експерименту нашою метою є проведення практичного дослідження введення й формування математичного поняття дробі на уроках математики.

У ході формуючого експерименту пропонувалися різноманітні завдання, що опираються на формування дроби як раціонального числа. При рішенні задач на знаходження дробі від числа й числа по його дробі опиралися на зміст поняття дробі, проводилася порівняльна робота. Уводили завдання на зображення дробі на координатному промені, пропонувалися завдання, що опираються на орієнтування одиницями величини, завдання на визначення поняття частки числа за допомогою штрихування фігур, підбиралися завдання творчого характеру, завдання на порівняння дробів, корисними були вправи на запис у вигляді неправильного дробі числа.

Пропонувалися завдання на зображення дробі на координатному промені:

— Прийміть за одиничний відрізок 12 кліток зошита й відзначте на координатному промені крапки В (), З (), Е (), Р (), R ().

— Зобразимо на координатному промені одиничний відрізок ОЕ й поділимо його на 6 рівних частин. Яку частку відрізка становить кожна частина? Яку частину відрізка становлять 4 частки?

— Одиничний відрізок дорівнює довжині 6 кліток зошита. Відзначте на координатному промені крапки з координатами, ,,. Яка із цих крапок лівіше всіх розташована на промені, а яка — правіше всіх?

— Відзначте на координатному промені крапки: А (), В (), З (), Д (), Е (), К (). Є чи серед них співпадаючі?

— Довжина відрізка АВ дорівнює 8 див. Накреслите відрізок, довжина якого дорівнює довжини відрізка АВ.

Пропонувалися завдання, що опираються на оперуванні одиницями величин:

— Як називається:

а) одна сота частка метра;

б) одна тисячна частка тонни;

в) одна шістдесята частка години;

г) одна двадцять четверта доби;

д) одна мільйонна частка кубічного метра;

е) одна мільйонна частка квадратного метра.

— Скільки хвилин: а) у третині години;

б) у чверті години;

в) у половині години;

г) у десятої частки години;

д) у дванадцятій частці години;

е) у шостій частці половини години?

— Скільки секунд:

а) в 5 хвилинах;

б) у чверті години;

в) в одній годині;

г) у чверті хвилини;

д) у третині хвилини;

е) у половині хвилини?

— Яку частку становлять: а) доба від року;

б) доба від тижня;

в) дециметр від метра;

г) 1 см³ від літра?

— Яку частину тижня становлять: а) п’ять доби;

б) шість доби?

— Скільки хвилин у годині? Яку частину становлять 1 хв., 7 хв., 15 хв.

— Скільки хвилин у ч.; у ч.; у ч.; у ч.; у ч.

Були включені завдання на визначення поняття частки числа за допомогою штрихування фігур, а саме, визначення заштрихованої й не заштрихованої частини фігури.

Підбиралися завдання творчого характеру:

— Зобразите квадрат зі стороною 4 див і розділите його на 4 частки 3 різними способами.

— Накреслите відрізок довжиною 8 див. Відзначте кольоровим олівцем відрізка. Яка частина відрізка залишилася невідміченої?