Наближення сплайнами третього ступеня (реферат)

Реферат на тему:

Наближення сплайнами третього степеня

Відомо, що інтерполяція по вузлах, що співпадають з нулями многочлена Чебишева практично не відрізняється від найкращого рівномірного наближення многочленами такого ж порядку. Але цей факт дозволяє проілюструвати суттєве обмеження апроксимації многочленами: якщо функція, яку ми наближуємо, має особливості в деяких точках на інтервалі інтерполяції, то вона погано наближатиметься на всьому інтервалі. Крім того при роботі з многочленами в процесі обчислень швидко накопичуються похибки заокруглень. Вони вже великі для $$n\text{20}$$. При використанні многочленів високих степенів їх графіки, як правило, мають осциляції. Цієї загальної залежності можна запобігти, якщо використовувати кусково апроксимуючі функції. При цьому необхідно ставити умови достатньої гладкості спряження графіків многочленів. Під цим розуміють вимогу, щоб в точці з'єднання сусідніх ділянок многочлени, які належать лівій та правій ділянкам і похідні від них до певного порядку співпадали.

Цю задачу добре розв’язують так звані поліноміальні сплайни. Нагадаємо визначення сплайна. На відрізку $$\left[a,b\right]$$ введемо сітку.

$$D_n=\left\{x_i\mathrm{:}a=x_0<x_1<\text{.}\text{.}\text{.}<x_{n-1}<x_n=b\right\}$$. (1).

Функцію $$S_m(x)=S_{m,k}(x,D_n)$$ називають поліноміальним сплайном степеня m дефекту гладкості k $$\left(0<=k<=m\right)$$ на [a, b], якщо виконуються умови:

1. $$S_m(x)$$ має на [a, b] неперервні похідні до порядку m-k включно;

2. На кожному відрізку $$\left[x_j,x_{j+1}\right]\left(j=\stackrel{}{\mathrm{0,}n-1}\right)$$ $$S_m(x)-$$ многочлен степеня не вище m. Точки $$x_j\left(j=\stackrel{}{\mathrm{0,}n}\right)$$ називаються вузлами сплайна $$S_m(x)$$ .

Простим прикладом сплайна є залишковий член інтерполяції.

Нехай функція u (x) визначена на відрізку $$\left[a,b\right]$$ і нехай на ньому взято n+1 вузол $$t_i\left(i=\stackrel{}{\mathrm{0,}n}\right)$$. Якщо в точках $$t_i$$ виконуються умови $$S_m(t_i)=u_i=u(t_i)$$ $$\left(i=\stackrel{}{\mathrm{0,}n}\right)$$, то $$S_m(x)$$ називають інтерполяційним сплайном для функції u (x), а вузли $$t_i$$ — вузлами інтерполяції.

Лінійний інтерполяційний сплайн записують у вигляді.

$$S_i(x)=f_{i-1}\frac{x_i-x}{h_i}+f_i\frac{x-x_{i-1}}{h_i}={\mathit{wf}}_{i-1}+(1-w)f_i$$, (2).

$$0<=w<=\mathrm{1,}{x}_{i-1}<=x<=x_i$$ ,.

де.

$$w=\frac{x_i-x}{h_i},h_i=x_i-x_{i-1}$$ ,.

а кубічний (дефекту 1) у вигляді.

$$S_3(x)={\mathit{wf}}_{i-1}+(1-w)f_i+$$.

(3).

$$+h_i^2\left\{\left(w^3-w\right)s_{i-1}+\left[{\left(1-w\right)}^3-\left(1-w\right)\right]s_i\right\}{6}^{-1}$$.

$$x_{i-1}<=x<=x_i$$ .

В (2) і (3) вузли сплайна і вузли інтерполяції співпадають.

Перші два доданки кубічного сплайна відповідають лінійному сплайну, а кубічна поправка забезпечує додаткову гладкість. Із зображення (3) випливає властивість інтерполяції незалежно від вибору $$s$$. Через те, що $$S_{3^{\mathrm{^2}}}(x)$$ — лінійна функція, то з (3) одержуємо.

$$s_i=S_{3^{\mathrm{^2}}}(x_i)$$, $$s_{i-1}=S_{3^{\mathrm{^2}}}(x_{i-1})$$. (4).

Для визначення $$s$$ через значення f (x) у вузлах $$x_i$$ скористаємося умовою неперервності перших похідних сплайна в точках розбиття.

Обчислення $$S_3(x)$$ в граничній точці $$x_i$$ відрізків $$\left[x_{i-1},x_i\right],\left[x_i,x_{1+1}\right]$$ дає.

$$S_{3^c}(x_{i-0})=\frac{f_i-f_{i-1}}{h_i}+\frac{h_i}{6}\left(2s_i-s_{i-1}\right),i=\stackrel{}{\mathrm{0,}n}$$, (4`).

$$S_{3^c}(x_{i+0})=\frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}-\frac{h_{i+1}}{6}\left(2s_i-s_{i+1}\right),i=\stackrel{}{\mathrm{0,}n-1}$$. (4``).

Умова гладкості $$S_{3^c}(x_{i-0})=$$ $$S_{3^c}(x_{i+0})$$ приводить до співвідношень.

$$h_i{s}_{i-1}+2\left(h_i+h_{i+1}\right)s_i+h_{i+1}{s}_{i+1}=6\left[\frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}-\frac{f_i-f_{i-1}}{h_i}\right],i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n-1}\text{.}$$ (5).

Це система n-1 лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих $$s_i\left(i=\stackrel{}{\mathrm{0,}n}\right)$$. Тому задаються ще дві умови, а потім розв’язують методом прогонки відповідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Якщо в процесі роботи зі сплайнами значення $$f_i$$ змінюються, то систему рівнянь ми змушені розв’язувати заново. Тому зручнішими для цього виявляються інтерполянти локального характеру. Перепишемо систему для визначення $$s_i$$ у вигляді.

$$s_i+{\left(\frac{h^2}{6}{s}_{\stackrel{}{x}}\right)}_{\widehat{x},i}=f_{\stackrel{}{x}\widehat{x},i},i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n-1},$$ (6).

де введені такі позначення для різницевих похідних на нерівномірній сітці.

$$s_{\stackrel{}{x},i}=\frac{s_i-s_{i-1}}{h_i},s_{\widehat{x},i}=\frac{s_{i+1}-s_i}{h_i},h_i=\frac{h_i+h_{i+1}}{2}\text{.}$$.

Із (6) випливають наближені формули.

$$s_i^{(1)}{f}_{\stackrel{}{x}\widehat{x},i}$$, (7).

$$s_i^{(2)}{f}_{\stackrel{}{x}\widehat{x},i}-\frac{1}{6}{\left(h^2{f}_{\stackrel{}{x}\widehat{x}}\right)}_{\stackrel{}{x}\widehat{x},i}$$. (8).

Із (7) і (8) випливає, що без розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна наближено обчислити параметри сплайна. Якщо використовується (7), то одержуємо так званий локальний дискретний кубічний сплайн, а якщо (8) — більш точний.

Слід відзначити, що при цьому для обчислення $$s_0$$, $$s_1$$, $$s_{n-1}$$, $$s_n$$ треба знати зовні відрізка [a, b] значення f-2, f-1, fn+1, fn+2, які визначаються кубічною інтерполяцією з використанням умов.

$$f_{\stackrel{}{x}\widehat{x}\stackrel{}{x}\widehat{x},i}=\mathrm{0,}i=\mathrm{0,1,}n,n+1\text{.}$$ (9).

На користь локальної інтерполяції вказує і та обставина, що значення $$f(x_i)$$ відомі, як правило, з деякою похибкою.

Іноді зручно використовувати таку форму запису кубічного сплайна.

$$S_3(x)=f_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i{)}^2+d_i(x-x_i{)}^3,x_i<=x<=x_{i+1}\text{.}$$ (10).

Тут $$b_i=f_{x,i}-\frac{h_{i+1}}{6}\left(s_{i+1}+2s_i\right),c_i=\frac{1}{2}{s}_i,d_i=\frac{1}{6}{s}_{x,i}\text{.}$$.

При побудові кубічного інтерполяційного сплайна дефекту 1 попутно знаходяться значення похідних першого та другого порядків.

$$f^{\text{'}}(x_i)p_i,f^{\text{'}\text{'}}(x_i)s_i,i=\stackrel{}{\mathrm{0,}n},$$.

де $$s_i$$ одержується при розв’язуванні системи (6), а $$p_i=S^{\text{'}}(x_i)$$ визначаються формулами (4), (4`).

Кубічні сплайни мають дуже важливу властивість, яка обумовлює високу ефективність сплайн-інтерполяції. Виявляється, що серед всіх функцій $$f(x){\mathit{^IW}}_2^2[a,b]$$, які інтерполюють функцію, кубічний сплайн $$S_3(x)$$ з крайовими умовами.

$$S_3^{\text{'}\text{'}}(a)=S_3^{\text{'}\text{'}}(b)=0$$ (11).

мінімізує функціонал.

$$J(f)=\underset{a}{\overset{b}{}}{\left(f^{\text{'}\text{'}}(x)\right)}^2\text{dx}$$. (12).

Цей факт дає змогу по іншому визначити кубічний інтерполяційний сплайн: це така функція із класу $$W_2^2[a,b]$$, яка у вузлах сітки приймає значення $$u_i$$ і мінімізує функціонал (12).

Якщо $$f^{\text{'}\text{'}}(a)\mathrm{^10,}{f}^{\text{'}\text{'}}(b)\mathrm{^10,}$$ то при використанні умов (12) при побудові сплайна погіршується точність наближених формул поблизу границі. Коли $$f^{\text{'}\text{'}}(a)$$ та $$f^{\text{'}\text{'}}(b)$$ відомі, то слід покласти $$s_0=$$ $$f^{\text{'}\text{'}}(a)$$, $$s_n=$$ $$f^{\text{'}\text{'}}(b)$$. Якщо в кінцевих точках відрізка відома перша похідна, то додаткові співвідношення можна одержати, використовуючи (4`), (4``).

Так поклавши в (4``) i=0 та прирівнявши одержаний вираз до $$f^{\text{'}}(a)$$, маємо.

$$f^{\text{'}}(a)=\frac{f_1-f_0}{h_1}-\frac{h_1}{6}\left(2s_0-s_1\right)\text{.}$$ (13).

Якщо ж $$f^{\text{'}}(a)$$ невідоме, то можна діяти таким чином. Будується інтерполяційний поліном 3-го степеня $$p_3(x)$$ для $$f(x)$$ за точками x0, x1, x2, x3. Значення $$f^{\text{'}}(a)$$ апроксимується виразом $$p_3^{\text{'}}(a)$$ і покладається.

$$p_3^{\text{'}}(a)=\frac{f_1-f_0}{h_1}-\frac{h_1}{6}\left(2s_0-s_1\right)\text{.}$$ (14).

Для знаходження параметрів $$s_i,(i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n})$$ одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з трьохдіагональною матрицею. Матриця системи симетрична з діагональним переважанням і, отже, з визначником відмінним від нуля.

Розглянемо ще один підхід до побудови інтерполяційних сплайнів. Сплайн $$S_3(x)$$ для $$\mathit{x^I}\left[x_k,x_{k+1}\right]$$ візьмемо у вигляді.

$$S_3(x)=\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k}\left[f_k+\underset{x_k}{\overset{x}{}}j(t)\left(x_k-t\right)\text{dt}\right]+$$.

(15).

$$+\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}\left[f_{k+1}+\underset{x_{k+1}}{\overset{x}{}}j(t)\left(x_{k+1}-t\right)\text{dt}\right]$$ ,.

де $$j(x)=S_3^{\text{'}\text{'}}(x),S_3(x_k)=f(x_k)=f_k$$. Перепишемо (15) у вигляді.

$$S_3(x)=S_1(x)+{}_k(x)\underset{x_k}{\overset{x}{}}j(t)\left(x_k-t\right)\text{dt}+$$.

(16).

$$+{}_k(x)\underset{x_{k+1}}{\overset{x}{}}j(t)\left(x_{k+1}-t\right)\text{dt}$$ ,.

де $${}_k(x)$$ $$=\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k}$$, $${}_k(x)$$ = $$\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}$$, $${}_k(x)$$ + $${}_k(x)$$ +1,.

$$S_1(x)=$$ $${}_k(x)$$ $$f_k$$ + $${}_k(x)$$ $$f_{k+1}$$ — сплайн 1-го степеня.

Знайдемо залишковий член інтерполяції для $$S_1(x)$$ .

$$R_1(x)$$ $$=f(x)-S_1(x)$$ .

Скориставшись інтегральним зображенням для функції $$f(x)$$ :

$$f(x)$$ = $${}_k(x)$$ $$f_k$$ + $${}_k(x)$$ $$f_{k+1}$$ $$+{}_k(x)\underset{x_k}{\overset{x}{}}{f}^{\text{'}\text{'}}(t)\left(x_k-t\right)\text{dt}+$$.

(17).

+ $${}_k(x)\underset{x_{k+1}}{\overset{x}{}}{f}^{\text{'}\text{'}}(t)\left(x_{k+1}-t\right)\text{dt}$$.

одержимо.

$$R_1(x)$$ $$={}_k(x)\underset{x_k}{\overset{x}{}}{f}^{\text{'}\text{'}}(t)\left(x_k-t\right)\text{dt}+$$ $${}_k(x)\underset{x_{k+1}}{\overset{x}{}}{f}^{\text{'}\text{'}}(t)\left(x_{k+1}-t\right)\text{dt}$$ =.

= $${}_k(x)\frac{{\left(x_k-x\right)}^2}{2}{f}^{\text{'}\text{'}}(x_1)+{}_k(x)\frac{{\left(x_{r+1}-x\right)}^2}{2}{f}^{\text{'}\text{'}}(x_2)$$ .

Звідки.

$$|R_1(x)|<=\frac{M_2}{2}\left[{}_k(x){\left(x_k-x\right)}^2+{}_k(x){\left(x_{k+1}-x\right)}^2\right]<=\frac{M_2{h}^2}{8}$$ ,.

де.

$$M_2=\underset{x_k<=x<=x_{k+1}}{\text{max}}|f^{\text{'}\text{'}}(x)|$$ .

$$\underset{x_k<=x<=x_{k+1}}{\text{max}}$$ $$\left[{}_k(x){\left(x_k-x\right)}^2+{}_k(x){\left(x_{k+1}-x\right)}^2\right]=$$.

$$=\underset{x_k<=x<=x_{k+1}}{\text{max}}$$ $$\left[\left(x_{k+1}-x\right)\left(x-x_k\right)\right]={\left(\frac{h}{2}\right)}^2$$ ,.

бо $${}_k(x){\left(x_k-x\right)}^2+{}_k(x){\left(x_{k+1}-x\right)}^2=$$ $$\left(x_{k+1}-x\right)\left(x-x_k\right)$$ .

Для кубічного сплайна $$S_3(x)$$.

$$R_3(x)$$ $$=f(x)-S_3(x)$$ .

Тут крім (17) використаємо ще інтегральне зображення для другої похідної від функції $$f(x)$$.

$$f^{\text{'}\text{'}}(x)$$ = $${}_k(x)$$ $$f_k^{\text{'}\text{'}}$$ + $${}_k(x)$$ $$f_{k+1}^{\text{'}\text{'}}$$ $$+{}_k(x)\underset{x_k}{\overset{x}{}}{f}^{(4)}(t)\left(x_k-t\right)\text{dt}+$$.

(18).

+ $${}_k(x)\underset{x_{k+1}}{\overset{x}{}}{f}^{(4)}(t)\left(x_{k+1}-t\right)\text{dt}$$ .

Тому.

$$R_3(x)$$ $$=f(x)-S_3(x)$$ = $$f(x)$$ $$-S_1(x)-{}_k(x)\underset{x_k}{\overset{x}{}}j(t)\left(x_k-t\right)\text{dt}-$$ $$-{}_k(x)\underset{x_{k+1}}{\overset{x}{}}j(t)\left(x_{k+1}-t\right)\text{dt}=$$ $${}_k(x)\underset{x_k}{\overset{x}{}}[f^{\text{'}\text{'}}(t)-j(t)]\left(x_k-t\right)\text{dt}+$$.

$$+{}_k(x)\underset{x_{k+1}}{\overset{x}{}}[f^{\text{'}\text{'}}(t)-j(t)]\left(x_{k+1}-t\right)\text{dt}$$. (19).

Позначимо $$e(x)=f^{\text{'}\text{'}}(x)-j(x)$$ і скористаємося теоремою про середнє. Тоді.

$$\underset{x_k<=x<=x_{k+1}}{\text{max}}$$ $$|f(x)-S_3(x)|<=$$ $$\underset{x_k<=x<=x_{k+1}}{\text{max}}$$ $$|e(x)|$$ $${}_k(x)$$ $$\frac{(x_k-x{)}^2}{2}+$$.

(20).

+ $${}_k(x)$$ $$\frac{(x_{k+1}-x{)}^2}{2}]$$ $$e(x)\frac{h^2}{8}$$ .

Якщо в рівності $$j(x)=S_3^{\text{'}\text{'}}(x)$$ за $$j(x)$$ взяти лінійну комбінацію.

$$j(x)={}_k(x)f_{\text{xx},k}+{}_k(x)f_{\text{xx},k+1}$$ ,.

то тоді.

$$e(x)=f^{\text{'}\text{'}}(x)-$$ $${}_k(x)f_{\stackrel{}{x}\widehat{x},k}-{}_k(x)f_{\stackrel{}{x}\widehat{x},k+1}=$$ $$e_2(x)$$ ,.

де.

$$e_1(x)=$$ $$f^{\text{'}\text{'}}(x)$$ — $${}_k(x)$$ $$f_k^{\text{'}\text{'}}$$ — $${}_k(x)$$ $$f_{k+1}^{\text{'}\text{'}}$$ ,.

$$e_2(x)$$ $$={}_k(x)[f^{\text{'}\text{'}}(x_k)-f_{\stackrel{}{x}\widehat{x},k}]+{}_k(x)[f^{\text{'}\text{'}}(x_{k+1})-f_{\stackrel{}{x}\widehat{x},k+1}]$$ .

Для перетворення $$e_1(x)$$ скористаємося інтегральним зображенням для $$f^{\text{'}\text{'}}(x)$$ і теоремою про середнє. Одержимо.

$$e_1(x)=$$ $${}_k(x)$$ $$f^{(4)}(x_1)$$ $$\frac{(x_k-x{)}^2}{2}+$$ $${}_k(x)$$ $$f^{(4)}(x_2)$$ $$\frac{(x_{k+1}-x{)}^2}{2}$$ .

Звідси одержуємо.

$$e_1(x)\begin{array}{c}\\ c\end{array}<=\frac{h^2{M}_4}{8}$$, де $$M_4=f^{(4)}(x)\begin{array}{c}\\ c\end{array}$$ .

Аналогічно для $$e_2(x)$$ маємо.

$$e_2(x)\begin{array}{c}\\ c\end{array}<=\frac{h^2{M}_4}{\text{12}}$$ ($${}_k(x)$$ + $${}_k(x)$$)= $$\frac{h^2{M}_4}{\text{12}}$$ .

Використовуючи нерівність трикутника, одержуємо.

$$e(x)\begin{array}{c}\\ c\end{array}<=$$ $$e_1(x)\begin{array}{c}\\ c\end{array}+$$ $$e_2(x)\begin{array}{c}\\ c\end{array}<=\left(\frac{h^2}{8}+\frac{h^2}{\text{12}}\right)M_4=\frac{5h^2}{\text{24}}{M}_4$$ .

Остаточно маємо.

$$f(x)-S_3(x)\begin{array}{c}\\ c\end{array}<=$$ $$e(x)\begin{array}{c}\\ c\end{array}\frac{h^2}{8}=\frac{5h^4}{\text{192}}{M}_4$$. (21).

Зазначимо, що в [4, ст.115] одержана оцінка для класичного сплайна.

$$f(x)-S_3(x)\begin{array}{c}\\ c\end{array}<=$$ $$\frac{5h^4}{\text{384}}{M}_4$$ .

Вона вдвічі менша за (21). Але в нашому випадку ми можемо, не розв’язуючи систему, зразу записати сплайн.

$$S_3(x)$$ = $$S_1(x)+[{}_k(x)\underset{x_k}{\overset{x}{}}{}_k(t)\left(x_k-t\right)\text{dt}+$$ $$+{}_k(x)\underset{x_{k+1}}{\overset{x}{}}{}_k(t)\left(x_{k+1}-t\right)\text{dt}]f_{\stackrel{}{x}\widehat{x},k}+$$.

$$+[{}_k(x)\underset{x_k}{\overset{x}{}}{}_k(t)\left(x_k-t\right)\text{dt}+$$ $$+{}_k(x)\underset{x_{k+1}}{\overset{x}{}}{}_k(t)\left(x_{k+1}-t\right)\text{dt}]f_{\stackrel{}{x}\widehat{x},k+1}=$$.

$$=S_1(x)+\frac{\left(x_k-x\right)\left(x_{k+1}-x\right)}{6{\mathit{Dx}}_k}$$ $$[\left({\mathit{Dx}}_k+\left(x_{k+1}-x\right)\right)f_{\stackrel{}{x}\widehat{x},k}+$$ $$+\left({\mathit{Dx}}_k+\left(x-x_k\right)\right)f_{\stackrel{}{x}\widehat{x},k+1}]=$$.

$$=S_1(x)+\frac{\left(x-x_k\right)\left(x_{k+1}-x\right)}{6}$$ $$[\left(1+{}_k\left(x\right)\right)f_{\stackrel{}{x}\widehat{x},k}+$$ $$\left(1+{}_k\left(x\right)\right)f_{\stackrel{}{x}\widehat{x},k+1}]$$ .

При цьому точність по порядку збігається.

Якщо значення функції $$f_i\left(i=\stackrel{}{\mathrm{0,}n}\right)$$ визначаються експериментально, то вони включають в себе похибку експерименту. Може виявитися, що $$f(x)$$ сильно змінюється на окремих ділянках. В цьому випадку апроксимуючу функцію $$P(x)$$ слід будувати таким чином, щоб похибка експерименту не впливала б суттєво на кінцевий результат і апроксимуюча функцію $$P(x)$$ була б більш гладкою. Розглянемо задачу про побудову такої функції.

Серед функцій $$g(x){\mathit{^IW}}_2^2[a,b]$$ знайти таку, яка б мінімізувала функціонал.

$$I(u)=\underset{a}{\overset{b}{}}{\left[u^{\text{'}\text{'}}(x)\right]}^2\text{dx}+\underset{k=0}{\overset{n}{}}{p}_k^{-1}{\left[u(x_k)-f_k\right]}^2$$, (22).

де $$p_k$$ — деякі додатні числа (вагові коефіцієнти). Чим менші вагові коефіцієнти $$p_k$$, тим більший вклад у функціонал вносять інтегральні умови, тим ближче до заданих значень проходить згладжувальна функція.

Виявляється, що розв’язком варіаційної задачі (22) є кубічний сплайн, тобто функція $$S(x)$$, яка задовольняє умовам:

1. 1. $$S(x){\mathit{^IC}}_2[a,b]-$$.

2. 2. $$S(x)=S_k(x)=\underset{i=0}{\overset{3}{}}{a}_i^{(k)}(x_k-x{)}^i,\mathit{x^I}\left[x_{k-1},x_k\right],k=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}-$$.

3. 3. $$S^{\text{'}\text{'}}(a)=S^{\text{'}\text{'}}(b)=0\text{.}$$.

Для побудови зладжувального сплайна як і для інтерполяційного застосовуємо моментний метод. Необхідна умова мінімуму функціонала записується у такому вигляді.

$$m_o={\tilde{f}}_o-p_o{s}_{x,o}$$ ,.

$$m_i={\tilde{f}}_i-p_i{\mathit{hs}}_{\stackrel{}{x}\widehat{x},i},i=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n-\mathrm{1,}$$ (23).

$$m_n={\tilde{f}}_n-p_n{s}_{\stackrel{}{x},n}$$ .

Із умови неперервності перших похідних при стикуванні кусково-кубічних функцій одержимо крайову задачу.

$$s_i+{\left(\frac{h^2}{6}{s}_{\stackrel{}{x}}\right)}_{\widehat{x},i}=m_{\stackrel{}{x}\widehat{x},i},i=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n-\mathrm{1,}$$ (24).

$$s_0=s_n=0$$ .

Після виключення $$m_i$$ із системи (23), (24) приходимо до крайової задачі відносно $$s_i$$ при заданих $$p_i$$.

$$h_1{\left[s+{\left(\frac{h^2}{6}{s}_{\stackrel{}{x}}\right)}_{\widehat{x}}-\frac{p}{h_0}{s}_{\stackrel{}{x}\widehat{x}}\right]}_1+\frac{p_0}{h_0^2}{s}_1+{\left(\text{ph}{s}_{\stackrel{}{x}\widehat{x}}\right)}_{x\mathrm{,\; 1}}=h_1{\tilde{f}}_{\stackrel{}{x}\widehat{x}\mathrm{,\; 1}}$$ ,.

$$h_i{\left[s+{\left(\frac{h^2}{6}{s}_{\stackrel{}{x}}\right)}_{\widehat{x}}+(\text{ph}{s}_{\stackrel{}{x}\widehat{x}}{)}_{\stackrel{}{x}\widehat{x}}\right]}_i=h_i{\tilde{f}}_{\stackrel{}{x}\widehat{x},i},i=\mathrm{2,}\text{.}\text{.}\text{.},n-\mathrm{2,}$$ (25).

$$h_{n-1}{\left[s+{\left(\frac{h^2}{6}{s}_{\stackrel{}{x}}\right)}_{\widehat{x}}-\frac{p}{h}{s}_{\stackrel{}{x}\widehat{x}}\right]}_{n-1}+$$ $$+\frac{p_n}{h_{n-1}^2}{s}_1-{\left({\mathit{phs}}_{\stackrel{}{x}\widehat{x}}\right)}_{\stackrel{}{x},n-1}=h_{n-1}{\tilde{f}}_{\stackrel{}{x}\widehat{x},n-1},$$.

$$s_0=s_n=0$$ .

Використовуючи формули підсумовування частинами, можна показати, що оператор задачі (25) самоспряжений та додатньо визначений. Тому ця задача має єдиний розв’язок.

Після того як $$s_i$$ будуть знайдені, значення сплайна $$m_i$$ визначимо за формулами (23), а потім можемо обчислити сплайн, використовуючи зображення.

$$S(x)=\left(m_{i-1}-\frac{h_i^2}{6}{s}_{i-1}\right)\frac{x_i-x}{h_i}+$$ $$\left(m_i-\frac{h_i^2}{6}{s}_i\right)\frac{x-x_{i-1}}{h_i}+$$.

$$+\frac{s_{i-1}}{6h_i}{\left(x_i-x\right)}^3$$ $$+\frac{s_i}{6h_i}{\left(x-x_{i-1}\right)}^3,\mathit{x^I}\left[x_{i-1},x_i\right]\text{.}$$.

Дуже важливим моментом при побудові згладжувального сплайна є вибір вагових множників $$p_i$$. Зрозуміло, що коли всі $$p_i$$ =0, то $$m_i=f_i,i=\stackrel{}{\mathrm{0,}n}$$ і згладжувальний сплайн перетворюється в інтерполяційний. З цього випливає, що чим точніше задані $$f_i$$ у вузлах сітки тим меншими повинні бути вагові коефіцієнти $$p_i$$. Якщо треба закріпити деяку точку з номером 1, то треба покласти $$p_1$$ =0. В практичних задачах, як правило, відомі похибки у визначенні величини $$f_i$$, тобто.

$$|{\tilde{f}}_i-f_i|<=d_i$$ ,.

де $$f_i$$ — точні значення. В такій ситуації природно вимагати, щоб згладжувальний сплайн $$S(x)$$ задовольняв умовам.

$$|m_i-f_i|<=d_i,i=\stackrel{}{\mathrm{0,}n}$$. (26).

Побудуємо алгоритм знаходження таких вагових множників $$p_i$$ і відповідних їм $$s_i$$, для яких виконувались би умови (26).

Введемо позначення.

$$e_i=|m_i-f_i|$$. (27).

Перепишемо системи (23) та (25) у вигляді.

$$m_i={\tilde{f}}_i-p_i{D}_i{s}_i,i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n,$$.

(28).

$$L(p_i)s_i=h_i{\tilde{f}}_{\stackrel{}{x}\widehat{x},i},i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n-1\text{.}$$.

Умову (26) запишемо у вигляді.

$$p_i<=\frac{d_i}{|D_i{s}_i|},i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n\text{.}$$ (29).

Для знаходження $$s_i$$, $$p_i$$ використаємо ітераційний процес.

$$p_i^{(k+1)}=\{\begin{array}{c}\frac{d_i}{|D_i{s}_i^{(k)}|},D_i{s}_i^{(k)}\mathrm{^10,}\\ \begin{array}{c}\\ \mathrm{0,}{D}_i{s}_i^{(k)}=0\end{array},\end{array}$$ $$k=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.}-i=\stackrel{}{\mathrm{0,}n,}$$.

(30).

$$L(p_{i^{(k)}})s_{i^{(k)}}=h_i{\tilde{f}}_{\stackrel{}{x}\widehat{x},i},i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n,}k=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Тут $$k$$ — номер ітерації, а початкове наближення $$s^{(0)}$$ — це розв’язок задачі.

$$s_i+{\left(\frac{h^2}{6}{s}_{\stackrel{}{x}}\right)}_{\widehat{x},i}={\tilde{f}}_{\stackrel{}{x}\widehat{x},i},i=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n-\mathrm{1,}$$.

$$s_0=s_n=0$$ .

Із (30), враховуючи, що $$e_i^{(k)}=|m_i^{(k)}-{\tilde{f}}_i|=p_i^{(k)}|D_i{s}_i^{(k)}|$$, маємо.

$$p_i^{(k+1)}=p_i^{(k)}\frac{d_i}{e_i^{(k)}}$$ .

Нехай на $$k$$ — тій ітерації в точці $$x_i$$ умова (26) порушується, тобто $$e_i>d_i$$. Тоді $$p_i^{(k+1)}<p_i^{(k)}$$, що сприяє зменшенню $$|m_i-{\tilde{f}}_i|$$. З другого боку, якщо $$e_i<d_i$$, то $$p_i^{(k+1)}>p_i^{(k)}$$ і нерівність (26) не виконується ($$e_i>d_i$$, то $$p_i^{(k+1)}<p_i^{(k)}$$, що сприяє повнішому використанню нерівності $$|m_i^{(k)}-{\tilde{f}}_i|<=d_i$$ із міркувань більшої гладкості. Це свідчить на користь вибраного ітераційного процесу.

Ітераційний процес продовжується до тих пір, поки значення сплайна $$m_i^{(k)}$$ не попадуть у вказаний коридор.

Як приклад розглянемо застосування базисних сплайнів для наближеного обчислення похідних та при побудові різницевих схем високого порядку апроксимації. Базисні сплайни першої та другої степені відповідно мають вигляд.

$$\begin{array}{c}\\ \begin{array}{c}\frac{x-x_{i-1}}{h},\mathit{x^I}\left[x_{i-1},x_i\right],\\ \frac{x_{i+1}-x}{h},\mathit{x^I}\left[x_i,x_{i+1}\right],\\ \begin{array}{c}\\ \mathrm{0,}\mathit{x"\; I}\left[x_{i-1},x_{i+1}\right],\end{array}\end{array}\\ \\ B_1^{(i)}(x)=\\ \end{array}$$.

$$B_3^{(i)}(x)=\{\begin{array}{c}{\left(\frac{x-x_{i-2}}{h}\right)}^3,\mathit{x^I}\left[x_{i-2},x_{i-1}\right],\\ \begin{array}{c}-3{\left(\frac{x-x_{i-1}}{h}\right)}^3+3{\left(\frac{x-x_{i-1}}{h}\right)}^2+3\frac{x-x_{i-1}}{h},\mathit{x^I}\left[x_{i-1},x_i\right],\\ 3{\left(\frac{x-x_{i+1}}{h}\right)}^3+3{\left(\frac{x-x_{i+1}}{h}\right)}^2-3\frac{x-x_{i+1}}{h},\mathit{x^I}\left[x_i,x_{i+1}\right],\end{array}\\ -{\left(\frac{x-x_{i+2}}{h}\right)}^3,\mathit{x^I}\left[x_{i+1},x_{i+2}\right],\\ \\ \mathrm{0,}\mathit{x"\; I}\left[x_{i-2},x_{i+2}\right]\text{.}\end{array}$$.