Послідовність. 
Використання техніки дисконтування в економічних задачах (реферат)

Реферат на тему:

Послідовність. Використання техніки дисконтування в економічних задачах Обчислення за формулою (3.4) та аналогічними формулами називають дискотуванням. Техніка дисконтування дуже поширена у фінансових розрахунках.

Наведемо кілька прикладів.

Приклад. Банк приймає внески під складні відсотки у розмірі 6% (r=0,06) річних. Кожного року клієнт під ці відсотки кладе однакову суму грошей, не знімаючи їх. Якими повинні бути ці щорічні внески, щоб через три роки на рахунку стало 5000 грн.

Позначимо шукані шорічні внески через p.

Спочатку на рахунку маємо S1 = p грн.

Через один рік на цьому рахунку вже буде S2=[p+p (1+r)] грн.

(новий внесок p та p (1+r), яка отримали з попереднього внеску).

Через два роки ;

S3 = p+p (1+r)+p (1+r)2 = p[1+(1+r)+(1+r)2] грн.

І, нарешті, через t років матимемо загальний рахунок у розмірі.

St+1 = p[1+(1+r)+…+(1+r)t] грн.

Зокрема, через три роки.

p[1+(1+r)+…+(1+r)3] = 5000 грн.

Згідно з формулою (3.1).

$$p\frac{1-\mathrm{1,}{\text{06}}^3}{1-\mathrm{1,}\text{06}}=\text{5000}$$ ,.

Отже, $$p=\text{5000}\frac{\mathrm{0,}\text{06}}{\mathrm{1,}{\text{06}}^3-1}\text{1570},\text{55}$$ грн.

Цей же результат отримуємо, використавши фінансову функцію ППЛАТ (0,06−3-0—5000) системи EXCEL.

Приклад. Скільки грошей потрібно покласти під складні відсотки у розмірі r = 7%, щоби протягом чотирьох років знімати по 1200 грн. Після цих чотирьох років на рахунку не повинно бути нічого.

Для того, щоб через один рік мати змогу зняти з рахунку 1200 грн., (тобто щоб мати майбутню вартість FV1=1200), потрібно сьогодні покласти на цей рахунок внесок (теперішню вартість PV1) у розмірі.

$${\text{PV}}_1=\frac{{\text{FV}}_1}{1+r}=\frac{\text{1200}}{1+\mathrm{0,}\text{07}}=\text{1121}\mathrm{,\; 5}$$ грн.

Щоб мати змогу зняти з рахунку FV2=1200 грн. через два роки, потрібно сьогодні покласти на цей рахунок.

$${\text{PV}}_2=\frac{{\text{FV}}_2}{(1+r{)}^2}=\frac{\text{1200}}{(1+\mathrm{0,}\text{07}{)}^2}=\text{1048}\mathrm{,\; 1}$$ грн.

Аналогічно, для забезпечення можливості знімання по 1200 грн. у кінці третього та четвертого років потрібно на початку мати на рахунку, відповідно,.

$${\text{PV}}_3=\frac{{\text{FV}}_3}{(1+r{)}^3}=\frac{\text{1200}}{(1+\mathrm{0,}\text{07}{)}^3}=\text{979}\mathrm{,\; 6}$$ та $${\text{PV}}_4=\frac{{\text{FV}}_4}{(1+r{)}^4}=\frac{\text{1200}}{(1+\mathrm{0,}\text{07}{)}^4}=\text{915}\mathrm{,\; 4}$$ грн.

Отже, всього потрібно вкласти.

$$\text{PV}=\underset{i=1}{\overset{4}{}}{\text{PV}}_i=\text{FV}\left[\frac{1}{(1+r)}+\frac{1}{(1+r{)}^2}+\frac{1}{(1+r{)}^3}+\frac{1}{(1+r{)}^4}\right]=$$.

$$=\text{FV}\frac{1}{1+r}\frac{1-(1+r{)}^{-4}}{1-(1+r{)}^{-1}}=\text{1200}\frac{1-\mathrm{1,}{\text{07}}^{-4}}{\mathrm{0,}\text{07}}\text{4064}\mathrm{,\; 6}\text{грн}\text{.}$$.

(тут використані формули (3.1) та (3.4)).

Функція ПЗ (0,07−4—1200−0) дає результат PV = 4064,65 грн.

Приклад. Яким повинен бути теперішній внесок під 12% річних (складні відсотки), щоб мати змогу щороку (безконечно) знімати з рахунку по 1000 грн.

У нашому прикладі.

FV1 = FV2 = FV3 = … = FVn = …= 1000 грн.

Кожну з цих майбутніх вартостей потрібно забезпечити відповідною теперішньою вартістю PV1, PV2, PV3,. .. , PVn,,. .

Теперішній внесок PV, очевидно, повинен дорівнювати сумі всіх цих теперішніх вартостей.

З використанням формули (3.4) отримуємо.

$$\text{PV}={\text{PV}}_1+{\text{PV}}_2+\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{{\text{FV}}_1}{1+r}+\frac{{\text{FV}}_2}{(1+r{)}^2}+\frac{{\text{FV}}_3}{(1+r{)}^3}\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{\text{1000}}{\mathrm{1,}\text{12}}+\frac{\text{1000}}{\mathrm{1,}{\text{12}}^2}+\frac{\text{1000}}{\mathrm{1,}{\text{12}}^3}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Використавши тепер формулу (3.2) для суми нескінченно спадної геометричної прогресії, одержимо.

$$\text{PV}=\frac{\text{1000}}{\mathrm{1,}\text{12}}\frac{1}{1-\frac{1}{\mathrm{1,}\text{12}}}=\frac{\text{1000}}{\mathrm{0,}\text{12}}=\text{8333},\text{33}$$ грн.

Приклад (оцінка інвестиційного проекту). Нехай деякий проект потребує за перший рік вкладення 300 умовних одиниць інвестиційза другий рік — теж 300 умовних одиниць і за третій — 200 умовних одиниць. Починаючи з третього року проект даватиме доход: 100 умовних одиниць за третій рік- 300 умовних одиниць — за четвертий- 400 — за п’ятий та 500 за шостий. Надалі доходу не буде. З’ясувати, чи вигідно вкладати інвестиції в цей проект (вважаючи, що ризику нема). Передбачено щорічну інфляцію у розмірі 20%.

Задамо вхідні дані задачі такою таблицею:

Перерахуємо як інвестиції, так і доходи майбутніх років на теперішню вартість (тобто, звиконаємо дисконтування).

$$\text{PV}(\text{інвестицій})=\text{300}+\frac{\text{300}}{\mathrm{1,2}}+\frac{\text{200}}{{\mathrm{1,2}}^2}=\text{689}$$ (у.о),.

$$\text{PV}(\text{доходів})=\frac{\text{100}}{{\mathrm{1,2}}^2}+\frac{\text{300}}{{\mathrm{1,2}}^3}+\frac{\text{400}}{{\mathrm{1,2}}^4}+\frac{\text{500}}{{\mathrm{1,2}}^5}=\text{637}$$ (у.о).

Отже, інвестувати цей проект невигідно.

Приклад (погашення кредитів). Нехай клієнтові надано кредит у розмірі K=50 000 грн. на t = 10 років. Визначити розмір R щорічного внеску клієнта (вважають, що цей внесок повинен бути однаковим продовж усіх 10 років). Нараховують складні відсотки у розмірі r = 10% річних.

Розглядаючи K як теперішню вартість, маємо.

$$K=\text{PV}={\text{PV}}_1+\text{.}\text{.}\text{.}+{\text{PV}}_{\text{10}}=\frac{{\text{FV}}_1}{(1+r)}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{{\text{FV}}_{\text{10}}}{(1+r{)}^{\text{10}}}=R\left[\frac{1}{1+r}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{(1+r{)}^{\text{10}}}\right]=R\frac{1-(1+r{)}^{-\text{10}}}{r}$$ ,.

звідки $$R=K\frac{r(1+r{)}^{-\text{10}}}{(1+r{)}^{\text{10}}-1}=\text{50\hspace{0.17em}000}\frac{{\mathrm{1,1}}^{\text{10}}\mathrm{0,1}}{{\mathrm{1,1}}^{\text{10}}-1}=\text{8137},\text{25}$$ грн.

Отже, клієнт упродовж 10 років повинен сплачувати по 8137,25 грн.