Алгоритм оптимізації багатомірного модального регулятора на прикладі коливної системи (реферат)

Реферат на тему:

Алгоритм оптимізації багатомірного модального регулятора на прикладі коливної системи

Розглядається задача оптимального вибору структури розподілу керуючого сигналу в лінійній системі з метою мінімізації норми матриці коефіцієнтів підсилення в зворотному зв’язку закону модального регулювання.

Розглянемо коливну систему з трьох мас, які з'єднані між собою пружинами (мал. 4.1).

m1 m2 m3.

Мал. 1.

Коливання центрів мас такої системи описується наступними рівняннями.

$$\frac{\mathit{dx}}{\text{dt}}=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{k_1+k_2}{m_1}& 0& \frac{k_2}{m_1}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ \frac{k_2}{m_2}& 0& -\frac{k_1+k_2}{m_2}& 0& \frac{k_3}{m_2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& \frac{k_3}{m_3}& 0& -\frac{k_3+k_4}{m_3}& 0\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ \frac{1}{m_1}& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& \frac{1}{m_1}\end{array}\right)u$$

(4.1).

.

де вектор стану системи коливання має вигляд $$x^T=(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_6)$$, $$x_1,x_2,x_3$$ — координати положень центрів мас $$m_1,m_2,m_3$$ відповідно, $$k_1,k_2,k_3$$ — коефіцієнти пружності відповідних пружин. Керуючі сили для системи (4.1) прикладені до мас $$m_1$$ та $$m_3$$.

$$u=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{\text{11}}& c_{\text{12}}& c_{\text{13}}& c_{\text{14}}& c_{\text{15}}& c_{\text{16}}\\ c_{\text{21}}& c_{\text{22}}& c_{\text{23}}& c_{\text{24}}& c_{\text{25}}& c_{\text{26}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6\end{array}\right)$$

.

.

Замкнутій системі (4.1) необхідно забезпечити наступні власні значення.

$${}_1=-0\text{.}\text{25}+0\text{.}1i,{}_2=-0\text{.}\text{25}-0\text{.}1i$$, $${}_3=-0\text{.}2+0\text{.}1i,{}_4=-0\text{.}2-0\text{.}1i$$ ,.

$${}_5=-0\text{.}1+0\text{.}1i,{}_6=-0\text{.}1-0\text{.}1i$$

.

.

які забезпечують замкнутій системі асимптотичну стійкість з мінімальною по нормі матрицею підсилення. Маси та коефіцієнти пружності були вибрані наступні $$m_1=\text{12},m_2=\text{25},m_3=8$$ $$k_1=0\text{.}\text{14},k_2=0\text{.}\mathrm{9,}{k}_3=0\text{.}\mathrm{7,}{k}_4=0\text{.}\text{12}$$ .

Модальний регулятор для системи (4.1) будемо будувати за умови оптимізації [10].

$$I(C)=\underset{c{}_j{\mathrm{}}_c(j),j=\stackrel{}{\mathrm{1,}m}}{\text{min}}\underset{j=1}{\overset{m}{}}{c_j}^2+{p(m)-a}^2\text{.}$$.

Тут компоненти вектора $$p^T=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$$ є коефіцієнтами характеристичного рівняння розімкнутої системи (4.1).

$$\text{det}(E_n-A)={}^n+p_1{}^{n-1}+\dots +p_n$$

.

.

Для розв’язання сформульованої задачі скористаємося результатами попереднього параграфа. Запишемо чисельну процедуру знаходження матриці $$C$$. З цією метою запишемо функцію Гамільтона для сформульованої оптимізаційної задачі (4.1, 4.2).

$$H(p(k),A(k),(k+1),(k+1),k)=-{c_{k+1}}^2+$$.

$$+{}^T(k+1)\left[p(k)-P(k)S^T(b{}_{k+1},A(k))c_{k+1}\right]+\text{tr}\left[{}^T(k+1)(A(k)+b_{k+1}{c}_{k+1}^T)\right]$$

.

.

Спряжені змінні $$(k),(k)$$ задовольняють наступним системам рівнянь.

$$(k)={\text{grad}}_{p(k)}H()=$$.

$$=\left[E_n-\left(\begin{array}{ccccc}0& c_{k+1}^T{b}_{k+1}& c_{k+1}^{T}A(k)b_{k+1}& \dots & c_{k+1}^T{A}^{n-2}(k)b_{k+1}\\ 0& 0& c_{k+1}^T{b}_{k+1}& \dots & c_{k+1}^T{A}^{n-3}(k)b_{k+1}\\ & & & & \\ 0& 0& 0& & c_{k+1}^T{b}_{k+1}\\ 0& 0& 0& & 0\end{array}\right)\right](k+1)$$

.

.

$$(m)=\frac{}{p(m)}(p(m)-a{)}^T(p(m)-a)=2(p(m)-a),k=m-1,\dots ,0,$$.

$$(k)=\text{grad}{}_{A(k)}H()=$$.

$$=(k+1)-\left(c_{k+1},A^T(k)c_{k+1},\dots ,A^{n-2^T}(k)c_{k+1}\right)$$.

$$\left({\stackrel{}{E}}_2{P}^T(k)(k+1),{\stackrel{}{E}}_3{P}^T(k)(k+1),\dots ,{\stackrel{}{E}}_n{P}^T(k)(k+1)\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{k+1}^T\\ b_{k+1}^T{A}^T(k)\\ \\ b_{k+1}^T{A}^{n-2^T}(k)\end{array}\right)$$

.

.

$$(m)=0,k=m-1,\dots ,0\text{.}$$.

Матриці $${\stackrel{}{E}}_i,i=\stackrel{}{\mathrm{2,}n}$$ розмірності мають наступну структуру.

$${\stackrel{}{E}}_2=\left(\begin{array}{c}{e}_2^T\\ e_3^T\\ \\ e_n^T\end{array}\right),{\stackrel{}{E}}_3=\left(\begin{array}{c}{e}_3^T\\ e_4^T\\ \\ 0\end{array}\right),\dots ,{\stackrel{}{E}}_n=\left(\begin{array}{c}{e}_n^T\\ 0\\ \\ 0\end{array}\right),$$.

де $$e_i-i=\stackrel{}{\mathrm{2,}n}$$ одиничні орти розмірності n. Тоді.

$$\text{grad}{}_{c{}_{i+1}}I(C)=-\text{grad}{}_{c{}_{i+1}}H()=$$.

$$=2c_{i+1}+S(b_{i+1},A(i))P^T(i)(i+1)-{}^T(i+1)b_{i+1}$$ .

для градієнтних обчислювальних процедур

$$\stackrel{}{c_j}=c{}_j-{}_j\text{grad}{}_{c{}_j}I(C),j=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots ,m\text{.}$$.

В результаті проведення чисельного експерименту для коливальної системи (4.1) отримана наступна оптимальна матриця модального керування.

$$C_{\text{опт}}=\left(\begin{array}{cccccc}-0\text{.}\text{5467}& -1\text{.}\text{0999}& -5\text{.}\text{7125}& -1\text{.}\text{7209}& 0\text{.}\text{1374}& -0\text{.}\text{3789}\\ 0\text{.}\text{4998}& 0\text{.}\text{0114}& 1\text{.}\text{2698}& -0\text{.}\text{4802}& 0\text{.}\text{2817}& -0\text{.}\text{0001}\end{array}\right)$$.

На мал. 4.2 зображене коливання мас системи без керуючих впливів.

Мал. 4.2.

На мал. 4.3 зображене коливання центрів мас замкнутої системи з оптимальним модальним керуванням.

Мал. 4.3.

На мал. 4.4 відображений процес збігання норми матриці модального регулятора до його оптимального значення.

Мал. 4.4.