Вирішення задач загальної фізики

Міністерство освіти і науки України

Контрольна робота з дисципліни «Фізика»

1. Задача 3.7

Матеріальна точка масою m = 20 г здійснює гармонічні коливання за законом x = 0,1cos (4рt+ р/4). Визначити повну енергію W цієї точки.

Розв’язання

Повна енергія Е точки складається з кінетичної та потенціальної енергії:

Е= Т+П Загальне рівняння руху точки:

x = А•соs (щ0•t + ц),

де: х — координата точки, А — амплітуда, щ0 — кутова швидкість, ц — початкова фаза. А = 0,1 м, щ0 = 4р.

Для знаходження швидкості точки візьмемо першу похідну по часу від х:

V = - щ0•А•sin (щ0•t+ ц), V = - 0,4•р•sin (4рt+р/4).

Кінетична енергія тоді:

Потенціальна енергія:

З цих рівнянь знаходимо повну енергію точки:

.

2. Задача 3.11

Написати рівняння коливання, яке отримане в результаті додавання двох гармонічних коливань одного напрямку

x1 = 3cos (2рt)см і

x2 = 4cos (2рt+р/2)см.

Розв’язання

Маємо:

x1 = А1cos (щt+ц1)

x2 = А2cos (щt+ц2)

щ=2р

А1=3 см

А2=4 см

ц1=0;

ц2=р/2

Дц = ц1-ц2 = р/2

Шукане рівняння:

x = Аcos (щt+ц)

; ц=arctg (4/3); ц? р/3

Амплітуда результуючого коливання:

Рівняння коливання, яке отримане в результаті додавання двох даних гармонічних коливань, запишеться так:

х = 5cos (2рt+р/3) см

3. Задача 3.28

Математичний маятник довжиною l=25см здійснює згасаючі гармонічні коливання з логарифмічним декрементом згасання д=0,5. За який час t повна енергія маятника зменшиться у 10 разів?

Розв’язання

Для згасаючих коливань маємо:

або (1)

Період коливань математичного маятника:

(2)

Підставляючи (2) в (1), отримаємо:

(3)

Повна енергія коливань

і за умовою

W0/W1 = k (k=10)

Тоді

або з врахуванням (3):

(4)

Прологарифмуємо (4):

Звідки час, за який коливань зменшиться в k разів:

(5)

Підставляючи в (5) значення логарифмічного декрементому затухання:

4. Задача 3.34

Соленоїд індуктивністю L=0,2Гн і опором R=90 Ом підключений до джерела з напругою U=170sin100рt B.

Визначити амплітудне значення сили струму, який тече крізь соленоїд.

Розв’язання

Маємо коло змінного струму з індуктивністю та активним опором.

Амплітудне значення сили струму, який тече крізь соленоїд, можна знайти із формули:

З рівняння U = 170sin100рt маємо:

U0 = 170 В; t=100рt; =100р

Тоді:

5. Задача 3.47

Дві точки знаходяться на відстані Дx = 50 см одна від одної на прямій, вздовж якої поширюється хвиля зі швидкістю V=50 м/с. Період Т коливань дорівнює 0,05 с. Визначити різницю фаз коливань Д?.

Розв’язання

Різниця фаз коливань двох точок хвилі зв’язана з відстанню х між цими точками співвідношенням

= (2/)x =(2/)(x2 — x1).

Довжина хвилі дорівнює відстані, яку хвиля проходить за один період, і може бути знайдена зі співвідношення

= VT = 50· 0,05=2,5 м.

Підставивши значення величин

х1 — х2 = Дx

і обчисливши, одержимо:

= (6,28/2,5) · 0,5 = 1,26 рад, або = 72о.

6. Задача 3.51

Прожектор випромінює пучок світла у вигляді конуса, кут розхилу якого 2и = 30є. Світловий потік Ф прожектора розподілений усередині конуса рівномірно і становить 80 клм. Визначити силу світла І прожектора.

Розв’язання

Сила світла І визначається відношенням світлового потоку dЦ до тілесного кута dщ, у межах якого укладений і рівномірно розподілений цей потік:

При рівномірному розподілі світлового потоку усередині конуса:

Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса з кутом розхилу б дорівнює

Щ=2р (1?cosб/2).

7. Задача 3.68

Плоско-опукла лінза з радіусом кривизни R=40см і показником заломлення n=1,5 дає зображення предмета збільшене вдвічі (k=2). Визначити відстані а1 та а2 предмета і зображення від лінзи. Надати рисунок.

Розв’язання

Для тонкої лінзи, яка поміщена в однорідну середу

де а1 і а2 — відстані предмета і зображення від лінзи, п— показник заломлення матеріала лінзи,

R1 и R2 — радіуси кривизни лінзи.

Лінійне збільшення лінзи визначається формулою:

де y1 — висота предмета і y2 — висота зображення.

Звідси

Тоді

8. Задача 3.74

В досліді з інтерферометром Майкельсона для зміщення інтерференційної картини на Дm =500 смуг дзеркало переміщують на відстань Дl =0,161 мм. Визначити довжину хвилі світла.

Розв’язання

Переміщення L дзеркала на відстань л/2 відповідає зміні різниці хода на л, тобто зміщенню інтерференційної картини на одну смугу. Таким чином,

енергія маятник лінза фотон

де k — число смуг, які пройшли в поле зору, звідки

.

9. Задача 3.87

Визначити кутову дисперсію Dц дифракційної ґратки для довжини хвилі л = 650нм, якщо кут дифракції =15.

Розв’язання

Дифракційна ґратка представляє собою сукупність великого числа N однакових по ширині паралельних щілин, які розділені непрозорими проміжками, також однаковими по вбираючій лінзі, яка встановлена за перешкодою.

b — ширина щілини;

а — ширина непрозорої ділянки;

d = a + b — період або постійна ґратки.

Якщо ґратку освітлювати монохроматичним білим світлом, то всі максимуми, крім центрального (k = 0) розкладуться в спектр — сукупність кольорів, причому фіолетові лінії будуть ближче до центру, а червоні дальше (т.як лф < лкр, то цф < цкр).

Умова головних максимумів:

Диференціюючи, отримаємо

Або

Dц =

Знаходимо:

cosц = cos15 = 0,966, sin15= 0,259 і для k = 1 (спектру 1-го порядку):

10. Задача 3.91

Промінь світла відбивається від дна скляної посудини, заповненої водою. При якому куті падіння променя на поверхню води відбите світло є максимально поляризованим? (nв=1,33, nск=1,57).

Розв’язання

При куті падіння, який дорівнює куту Брюстера іБр:

— відбитий від межі розділу двох діелектриків промінь буде повністю поляризованим в площині, перпендикулярній площині падіння.

— тангенс кута Брюстера дорівнює відносному показнику заломлення:

(1) — закон Брюстера.

n1, n2 — показаники заломлення 1-го та 2-го середовищ.

Звідки:

і1 = 49,7

За законом заломлення

де nск, nпов — показники заломлення скла та повітря, nпов = 1

Тоді:

(2)

Розраховуємо:

Тобто, б90

11. Задача 4.7

Температура абсолютно чорного джерела теплового випромінювання Т1 = 2500 К. Визначити температуру другого джерела, якщо відомо, що довжина хвилі, яка відповідає максимуму його спектральної випромінювальної здатності на Дл=0,6 мкм більша, ніж у першого джерела.

Розв’язання

За законом зміщення Віна:

лmax = b/T,

де b = 2,89· 10−3 м· К.

Звідки:

лmax1 = b/T1 і лmax2 = b/T2

Віднімаючи від другої рівності першу, отримаємо: лmax2 — лmax1 = b/T2 — b/T1, або:

Звідки:

Обчислюємо:

12. Задача 4.11

Червона межа фотоефекту для калію складає л0= 0,62 мкм. Визначити 1) величину гальмівного потенціалу Uг при дії на калій випромінювання з довжиною хвилі 3,1· 10−7м; 2) роботу виходу електронів з калію.

Розв’язання

Записуємо рівняння Ейнштейна для фотоефекту у вигляді:

де с — швидкість світла

m = 9.11•10−31 кг — маса електрона Оскільки навіть найбільш швидкі електрони затримуються електричним полем після проходження в ньому відстані, яка відповідає різниці потенціалів Uг, то їх кінетична енергія безпосередньо після виходу з металу пов’язана з величиною Uг співвідношенням Червона межа фотоефекту дорівнює:

h = 6.62•10−34 Дж•с — стала Планка Звідки знаходимо роботу виходу електронів з калію:

13. Задача 4.28

Знайти кінетичну енергію та швидкість а) протона, б) електрона, якщо їх імпульс р = 3?10−22 кг? м/с. Яку з цих частинок у даному випадку можна вважати нерелятивістською?

Розв’язання

Знаючи імпульси протона та електрона, знайдемо їх швидкості.

р = mV;

Маса спокою електрона:

mе = 9.11•10−31 кг Маса спокою протона:

mр = 1.67•10−27 кг Знаходимо: швидкість протона швидкість електрона Швидкість протона далека від швидкості світла с = 3•108 м/c, а швидкість електрона дуже близька до неї.

Тому вважати нерелятивістською частинкою можна тільки протон.

Оскільки швидкість електрона порівнянна зі швидкістю світла, то необхідно враховувати, що маса електрона буде релятивістською:

(1),

Де

m — маса електрона, що рухається.

2. У релятивістській механіці кінетична енергія частинки визначається як різниця між повною енергією Е и енергією спокою Е0 цієї частинки:

T = Е — Е0 (2), де .

Підставивши останні рівняння в формулу (2), отримаємо для протона:

Використаємо зв’язок між енергією та імпульсом релятивістської частинки:

находимо кінетичну енергію електрона:

Оскільки знайдемо швидкість електрона звідси:

14. Задача 4.34

При ефекті Комптона фотон з енергією е1 = 0,51МеВ був розсіяний на кут и = 140.

Визначити енергію е2 розсіяного фотона.

Розв’язання

Для визначення енергії розсіяного фотона скористаємося формулою Комптона

Дл (1)

де л2, л1 — довжини падаючої та розсіяної хвиль випромінювання.

Виразимо довжини хвиль л2 і л1 через енергії е1 і е2 відповідних фотонів, скориставшись формулою

.

Одночасно помножимо чисельник і знаменник правої частини формули (1) на швидкість світла с:

Скорочуємо на hc і виражаємо з отриманої формули шукану енергію:

де E0=m0c = 0,51МеВ — енергія спокою електрона в мегаелектрон-вольтах.

Обчислення дає:

15. Задача 4.47

Визначити швидкість протона з довжиною хвилі де Бройля 2пм.

Розв’язання

Формула де Бройля має вигляд:

(1),

де p — імпульс тіла

h = 6.62•10−34 Дж•с — стала Планка

Вважаючи протон класичною частинкою, отримаємо:

Звідси

і (2)

Маса протона: m0 = 1.67•10−27 кг

За рівністю (2) знаходимо:

16. Задача 4.51

Електронний пучок прискорюється потенціалом U = 1кВ. Звісно, що невизначеність швидкості утворює 0,1% від її значення. Знайти невизначеність координати електрона.

Розв’язання

Із співвідношення невизначеностей Гейзенберга:

Дx Др? h (1)

h = 6,63· 10−34 Дж· с — стала Планка

Др — невизначеність у знаходженні імпульсу.

Кінетична енергія електронів, які пройшли прискорюючу різницю потенціалів U:

T = eU = 1кеВ,

тобто електрон при даних умовах не є релятивістською частинкою і імпульс електрона:

.

m0 = 9.11•10−31 кг — маса електрона

e = 1.6•10−19 Кл — заряд електрона Шукана невизначеність координати з виразу (1):

Знайдемо швидкість електронів:

Знаходимо невизначеність координати електрона:

17. Задача 4.68

Записати спектроскопічні позначення станів атому гідрогену, в яких може знаходитися електрон з головним квантовим числом n = 4.

Розв’язання

Найпростіший атом — атом гідрогену — складається з ядра та електрона.

Для головного квантового числа n = 4 можна записати спектроскопічні позначення станів атому гідрогену: 4s, 4p, 4d і 4f.

18. Задача 4.74

Вказати склад ядра берклію 247Bk та оцінити його радіус.

Розв’язання

Використаємо співвідношення:

Заряд ядра атома = Порядковому номеру = Числу протонів = Числу електронів Число нейтронів = Атомна масса (Ar) — Порядковий номер Для берклію 247Bk:

N (порядковий номер) — 97

Атомна маса = Ar (B) = 247

Кількість електронів e-=97

Кількість протонів p+=97

Число нейтронів:

n0= 247 — 97 = 150

19. Задача 4.87

Скільки атомів з 1 млн. атомів полонію (21084Po) розпадаються за добу?

Розв’язання

Число атомів радіоактивної речовини, які розпадаються за час Дt, визначається формулою

|ДN|= —лN0 Дt (1)

Застосовувати цю формулу для кінцевого проміжку часу Дt можна тільки у випадку, якщо число атомів N, які ми маємо, можна вважати за час Дt незмінним, тобто. коли проміжок часу Дt значно менше періоду напіврозпаду Т½. В нашому випадку періоду напіврозпаду полонія Т½ = 138 діб; тому ми можемо число атомів полонію, що розпадаються за час Дt = 1 доба зайти за формулою (1):

з урахуванням значення

|ДN|= —лN0 Дt = (2)

За законом радіоактивного розпаду:

число ядер, які розпалися

Тоді шуканий час розпаду

Відповідь: |ДN|=

20. Задача 4.91

Активність деякого радіоактивного ізотопу дорівнює 100Бк. Знайти його активність через час, який дорівнює половині від його періоду напіврозпаду.

Розв’язання

Активність радіоактивного ізотопу характеризує швидкість розпаду:

(1)

Для початкової активності t = 0 і отримаємо:

де А0 — активність ізотопу в початковий момент часу.

Звідки:

і при t=0,5T½

Список використаної літератури

Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П. П. Загальний курс фізики. Т. 1. Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка. — К, 1999. — 532 с.

Савельев И. В. Курс общей физики. Оптика. М.: Астрель — АСТ, 2006.

Фирганг Е. В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. — М, «Высшая школа», 1977.