Застосування функцій багатьох змінних, визначеного інтегралу, диференціальних рівнянь в економіці (реферат)

Реферат на тему:

Застосування функцій багатьох змінних, визначеного інтегралу, диференціальних рівнянь в економіці

Застосування функцій багатьох змінних в економіці

Одним із базових понять економічної теорії є функція корисності, що виражає корисність придбання т різновидностей товарів. Часто вона використовується у формах:

$$U=\underset{i=1}{\overset{m}{}}{a}_i\text{ln}(x_i-c_i),$$ $$a_i>\mathrm{0,}$$ $$x_i-c_i>\mathrm{0,}$$ $$c_i>=0$$ — логарифмічна функція;

$$U=\underset{i=1}{\overset{m}{}}{a}_i(x_i-c_i{)}^{1-b_i}/(1-b_i),$$ $$a_i>\mathrm{0,}$$ $$0<b_i<\mathrm{1,}$$ $$x_i-c_i>\mathrm{0,}$$ $$c_i>=0$$.

— функція постійної еластичності.

Функція Кобба — Дугласа — виробнича функція, яка характеризує залежність об'єму випуску продукції Q від затрат капіталу К і трудових ресурсів. Для випадку двох змінних вона має вигляд.

$$Q={\text{AK}}^{}{L}^{1-}$$.

де А>0 — параметр продуктивності конкретно взятої технології, 0<1 — доля капіталу в доході. Наведемо кілька прикладів: і) Знайти швидкість зміни об'єму продукції Q при зміні одного з факторів: витрат капіталу К чи величини трудових ресурсів L за функцією Кобба — Дугласа. Частинні похідні функції Q=А L1-ають розв’язок цієї задачі.

QK' = А QL' = А (1-.

У функції Кобба — Дугласа показники 1-коефіцієнтами еластичності EK (Q) і EL (Q) за кожним із аргументів.

2) За функцією Кобба — Дугласа встановити на яку величину треба змінити об'єм вкладення капіталу К, щоб при зміні трудових ресурсів на L, випуск продукції не змінився.

Розв’язання. Оскільки Q = const за умовою, то dQ = 0, або.

$$\frac{Q}{K}\mathit{}+\frac{Q}{L}\mathit{}=0\text{.}$$.

Звідки $$\mathit{}=-\mathit{}\frac{\frac{Q}{L}}{\frac{Q}{K}},$$ або $$\mathit{}=-\frac{1-}{}\frac{K}{L}\mathit{}\text{.}$$.

Для відносних величин отримується таке відношення еластичностей.

$$\frac{\mathit{}}{K}=-\frac{1-}{}\frac{\mathit{}}{L}\text{.}$$.

Звідси видно, що для компенсації зміни ресурсу праці на 1% потрібно змінити ресурс капіталу на $$\frac{-1}{}$$ відсотків. Формула для містить важливе економічне поняття — гранична норма зміни трудових ресурсів L капіталом К.

Розглянемо деякі типові задачі знаходження екстремуму функції кількох змінних, які часто зустрічаються в економіці.

Прибуток від виробництва товарів різних видів .

Нехай х1, х2…, хт кількості вироблених т різновидів товарів, які реалізуються за цінами p1, р2, …рт (pі - сталі) відповідно. Нехай затрати на виробництво цих товарів задаються функцією.

C=S (x1, x2, …, xm).

Тоді функція прибутку П = р1×1 + р2×2 + …+ртхт — S (x1, x2, …, хт).

Максимум функції прибутку, при $$x_i>=0$$, шукаємо із умови локального екстремуму.

$$\frac{П}{{х}_{і}}=\mathrm{0,}і=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},т\text{.}$$.

Ці умови ведуть до розв’язування системи рівнянь.

$${Р}_{і}-\frac{S}{x_i}=\mathrm{0,}i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},m\text{.}$$.

Система (1) реалізує відоме правило економіки: гранична вартість (ціна) товару рівна граничним затратам на виробництво цього товару.

Розв’язавши систему (1) треба переконатись чи отриманий розв’язок є дійсно точкою максимуму.

Прикладі. Нехай виготовляються два види товарів х та у. Їх ціни відповідно рівні p1=8, р2=10 у.о., а функція витрат С= х2+ху+уг. Знайти максимум прибутку.

Функція прибутку П (х, у) = 8x+10y — х2 — ху — у2.

Із умови локального екстремуму, отримуємо систему рівнянь.

$$\begin{array}{c}2x+y=8\\ x+2y=\text{10}\\ ,\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

розв’язок якої є точка М (2−4). Оскільки А<0 а АС-В2>0 в точці М, тому в ній функція досягає максимуму, який рівний Пmax = П (2−4)=28у.о.

Задача цінової дискримінації

Необхідно розподілити однорідний товар на різні ринки з різним попитом, щоб максимізувати загальний прибуток.

Оскільки, еластичність попиту на різних ринках неоднакова, то на товар встановлюються різні ціни, що веде до так званої цінової дискримінації.

Загальна постановка задачі. Нехай x1, x2…, xт кількості однорідного товару який продається на т ринках за цінами рі.(хі), тобто ціна на кожному ринку залежить від кількості пропонованого товару. Припустимо, що функція затрат залежить від загальної кількості товару С = S (x1 + х2+…+хт).

Тоді загальний прибуток П = х1 р1+х2 р2+…+xт рm — S (x1+x2 +…+xт) (2).

Умова екстремуму

$$\frac{П}{{х}_{і}}=\mathrm{0,}і=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}т$$.

веде до системи рівнянь, для визначення стаціонарних точок за умови хі>0, і=1,2,…, т рі (хі)+хі.р'і.(хі)-S'(х1+х2+…+хт) = 0, і=1,2,…, т. (3).

Проаналізуємо дохід Ri = хi рi (хi) на кожному ринку. Граничний дохід.

$$R_i^{\text{'}}=p_i+x_i{p}_i^{\text{'}}=p_i\left(1+p_i\frac{x_i}{p_i}\right)=p_i\left(1+\frac{1}{E_i}\right),$$.

де Еi — еластичність попиту на і-тому ринку. Так як Еi — звичайно від'ємна величина, останню рівність можна переписати в зручній формі.

$$R_i^{\text{'}}=p_i\left(1-\frac{1}{|E|}\right)\text{.}$$.

Якщо $$|E_i|<1$$, то R'і<0, ринок не еластичний. Якщо S'> 0, то умова (3) вимагає вибору ринку з додатнім граничним доходом, або з еластичним попитом, т.т. $$|E_i|>1$$. Із рівняння (3), маємо.

$$P_1(1-1/|E_i|)=P_2(1-1/|E_2|)=\text{.}\text{.}\text{.}=P_m(1-1/|E_m|)=S\text{'}\text{.}$$.

Звідки і виводиться умова «цінової дискримінації»: чим менша за абсолютною величиною еластичність даного ринку, при даній кількості товару, тим вища має бути ціна на товар на цьому ринку за умови максимального прибутку.

Приклад 2. Нехай маємо три ринки з кількістю товару для продажу х1, х2, х3 з цінами на товар відповідно рі =аі - bi хi, так що дохід Ri = хi (аi — bi хi). Нехай функція затрат виражається формулою П = x1 (a1 — b1 x1) + х2(а2 — b2х2) + х3(а3 — b3х3) — А — В (x1+ х2 + х3).

Умова локального екстремуму має вигляд: $$a_i-2b_i{x}_i-B=\mathrm{0,}i=\mathrm{1,2,3}\text{.}$$.

З цієї системи знаходимо стаціонарну точку: $$x_i=\frac{a_i-B}{2b_i},i=\mathrm{1,2,3}\text{.}$$.

Гессіан функції прибутку рівний.

$$H_3=|\begin{array}{ccc}-2b_1& 0& 0\\ 0& -2b_1& 0\\ 0& 0& -2b_1\end{array}|\text{.}$$.

Оскільки bi> 0, то за критерієм Сільвестра (проходить зміна знаку в головних мінорах, починаючи з мінуса) отримана точка є точкою мінімуму. Для конкретизації, візьмемо:

а1 =25, а2 =45, а3 =85, b1 =5, b2=4, b3= 10, А=10, В=5.

Отримаємо розподіл товарів за ринками х1 =2, х2=5, х3=А при цінах відповідно р1=15, р2=25, р3=45.

Неважко бачити, що відповідні еластичності $$\begin{array}{ccc}|E_1|=1\text{.}5-& |E_2|=1\text{.}\text{25}-& |E_3|=1\text{.}\text{125}\end{array}$$ задовольняють принцип «цінової дискримінації»: чим менша величина $$|E_i|$$.

Просте застосування визначеного інтегралу в економіці

В економічних задачах змінні, як правило, змінюються дискретно. Застосування визначеного інтегралу вимагає ідеалізувати математичну модель задачі, вважаючи, що незалежні змінні і функція змінюються неперервно. Наведемо два прості приклади застосування визначеного інтегралу.

Приклад 1. Знайти денний виробіток Р за робочий день тривалістю 8годин, якщо продуктивність праці протягом дня змінюється за емпіричною формулою.

$$P=f(t)=P_0\left(\frac{-0\text{.}2t^2}{t_0^2}+\frac{1\text{.}6t}{t_0+3}\right),$$.

де t — час (год), Р0 — розмірність продуктивності (одиниця продукції за год.), t0 — розмірність часу (год). Ця формула відображає реальний процес роботи (мал.).

Розв’язання. Продуктивність спочатку зростає, досягаючи максимального значення всередині робочого дня, при t=4, а потім спадає.

мал.

Денний виробіток становитиме.

$$P=P_0{t}_0\underset{0}{\overset{8}{}}(-0\text{.}2t^2/t_0^2+1\text{.}6t/t_0+3)\text{dt}=\text{41}\text{.}\text{07}{P}_0{t}_0=\text{41}\text{.}\text{07}{a}_0\text{.}$$.

де множник й0 має розмірність одиниці продукції.

Приклад 2. Виробництво деякого обладнання характеризується темпом росту його випуску.

$$K=\frac{\mathit{}}{\mathit{}}\frac{1}{y},$$.

де приріст випуску цього обладнання за час, а y — рівень його виробництва за одиницю часу на момент t. Знайти загальну кількість обладнання, виготовленого до моменту часу t, вважаючи що К — відома постійна величина, одиниця часу — рік, а в початковий момент часу t=0 рівень річного виробництва обладнання був у0.

Розв’язання. Вважаючи, що у — неперервна функція від t, знайдемо границю.

$$k=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\mathit{}}{\mathit{}}\frac{1}{y}=\frac{y\text{'}}{y}=(\text{ln}y)\text{'}\text{.}$$.

Інтегруючи останній вираз в межах від 0 до t, маємо.

$$\text{ln}\frac{y}{y_0}=\text{kt},$$ або $$y=y_0{e}^{\text{kt}}\text{.}$$.

Сумарна кількість обладнання, виготовленого за час t, буде рівна.

$$\begin{array}{c}Y(t)\underset{0}{\overset{t}{}}y(t)\text{dt}=\frac{1}{k}{y}_0{e}^{\text{kt}}\\ \begin{array}{c}|t\\ |0\end{array}=\frac{1}{k}{y}_0\left(e^{\text{kt}}-1\right)\text{.}\end{array}$$.

Тоді, наприклад, при к=0.05 (5% щорічний темп росту) загальна кількість обладнання, виготовленого за 10 років.

$$Y(\text{10})=\text{20}{y}_0(e^{0\text{.}5}-1)\text{13}{y}_0$$.

причому рівень виробництва за вказаний період збільшився майже на 65%.

Часто для визначення економічної ефективності капіталовкладень зустрічаються так звані задачі дисконтування: визначення початкової суми S через час t за її кінцевою величиною S при відсотковій ставці р.

Застосування апарату диференціальних рівнянь в економіці.

Розглянемо деякі приклади застосування теорії диференціальних рівнянь в неперервних моделях економіки, де незалежною змінною є час t. Такі моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних систем на довгих інтервалах часу. Вони і є предметом дослідження економічної динаміки.

Модель природного росту випуску продукції

Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною Р, Q (t) — кількість продукції реалізованої на момент t. Тоді дохід складає PQ (t). Нехай частина доходу реалізується на інвестиції у виробництво реалізованої продукції, т.т.

J (t) = mPQ (t), (1).

де m — норма інвестиції, стале число (0<т<1).

Якщо вважати, що ринок ненаситний (повна реалізація продукції), то в результаті розширеного виробництва отримаємо приріст доходу, частина якого знову піде на розширення випуску продукції. Це приведе до росту швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску продукції пропорційна збільшенню інвестицій.

Q' = LJ (t) (2).

де 1/Lнорма акселерації. Підставляючи (2) в (1), отримаємо.

Q' = kQ, (k = LmP). (3).

Диференціальне рівняння (3) є рівнянням з розділеними змінними, яке має загальний розв’язок Q = С ekt, С — довільна стала.

Якщо в початковий момент часу t = t0, задано об'єм випуску продукції Q0, то Q0 = С exp (kt0), звідки С =Q0exp (-kt0). Тому частинний розв’язок.

$$Q=Q_0{e}^{k(t-t_0)}$$ (4).

Зауважимо, що ця математична модель є загальною. Так процес розмноження бактерій, в результаті біологічних дослідів, також описується рівнянням (3). Процес радіоактивного розпаду підпорядковується закономірності (4).

Ріст випуску продукції в умовах конкуренції

Будемо тут вважати, що ринок ненаситний. Нехай Р = P (Q) — спадна функція, тобто збільшення Q — об'єму випуску продукції веде до спадання її ціни, тому $$\frac{\text{dP}}{\text{dQ}}<0\text{.}$$.

Тепер із формул (1) — (3), отримуємо нелінійне ДР першого порядку з розділеними змінними.

Q' =) Q, m. (5).

Поскільки всі множники в правій частині (5) додатні, то Q' > 0, тобто Q (t) — зростаюча функція. Характер зростаючої функції визначається її другою похідною. Із (5), маємо.

$$\begin{array}{c}Q\text{=t (Q'P (Q) +Q { { ital}\mathit{dP}\text{} over { ital}\mathit{DQ}\text{} } Q' right)=eft (P+ { { ital}\mathit{dP}\text{} over { ital}\mathit{dQ}\text{} } Q right)}\mathrm{.}\text{} {}\\ \end{array}$$.

Ввівши еластичність попиту $$E(p)=\frac{\text{dQ}}{\text{dP}}\frac{P}{Q},$$, ця рівність має вигляд.

$$\begin{array}{c}Q\text{=left (1 — { { ital}\mathit{dP}\text{} over { ital}\mathit{dQ}\text{} } { {Q} over {P} } right)}\mathrm{.}\text{} {}\\ \end{array}$$ Так як $$\frac{\text{dP}}{\text{dQ}}<0$$, а значить Е < 0, отримаємо:

$$\begin{array}{c}Q\text{=left (1 — { {1} over { lline E rline } } right)}\mathrm{.}\text{} {}\\ \end{array}$$ (6).

Із рівняння (6) випливає, що при еластичному попиті, тобто коли |Е| > 1, Q" > 0 і графік функції Q (t) опуклий вниз, що означає прогресивний ріст.

При нееластичному попиті |Е| < 1, Q" < 0 — графік функції Q (t) випуклий вверх, це вказує на сповільнений ріст (насичення ринку).

Для простоти залежність P (Q) візьмемо лінійною (рис.1).

$$P(Q)=a-\text{bQ},a>\mathrm{0,}b>0\text{.}$$ (7).

рис. 1. рис. 2.

Тоді рівняння (5) набирає вигляду.

Q' = - bQ) Q. (8).

Звідки.

Q" = (a —2bQ). (9).

Із співвідношень (8) і (9), отримаємо Q' = 0, при Q = 0 і при $$Q=\frac{a}{b}-$$ причому Q" >0, при $$Q<\frac{a}{2b}$$ i Q" <0, при $$Q>\frac{a}{2b}\text{.}$$.

Отже, $$Q=\frac{a}{2b}$$ — точка перегину графіка функції Q=Q (t).

Інтегральна крива (рис.2) носить назву логістична крива.

Аналогічні криві характеризують і інші процеси. Наприклад, розмноження бактерій в обмеженому середовищі, динаміка епідемій всередині обмеженої системи біологічних організмів та ін.

Динамічна модель Кейнса

Розглянемо найпростішу балансову модель, яка включає в себе основні компоненти динаміки витратної і дохідної частин економіки. Нехай Y (t), E (t), S (t), J (t) — відповідно:

Y (t) — національний дохід;

E (t) — державні витрати;

S (t) — споживання;

J (t) — інвестиції.

Всі ці величини розглядають як функції часу. Тоді справедливі співвідношення:

$$\begin{array}{c}Y(t)=S(t)+J(t)+E(t)\\ S(t)=a(t)Y(t)+b(t)\\ J(t)=k(t)Y\text{'}(t)\\ ,\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

де a (t) — коефіцієнт схильності до споживання.

b (t) — автономне (залишкове) споживання;

k (t) — норма акселерації.

Всі функції, що входять в (10), вважаються додатніми. Пояснимо зміст цих рівнянь. Сума всіх витрат має бути рівна національному доходу — 1-е рівняння. Загальне споживання складається із внутрішнього споживання частини національного доходу в народному господарстві плюс залишкове споживання — 2-е рівняння. Розмір інвестицій не може бути довільним. Він визначається добутком норми акселерації (величина якою характеризується рівень технології і інфраструктури даної держави) на граничний національний дохід.

Будемо вважати, що функції a (t), b (t), k (t), E (t) задані, вони виражають функціонування і еволюцію даної держави. Потрібно знайти динаміку національного доходу Y (t).

Підставивши 2-е і 3-є рівняння системи (10) в перше, отримаємо неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку.

$$Y\text{'}(t)=\frac{1-a(t)}{k(t)}Y(t)-\frac{b(t)+E(t)}{k(t)}\text{.}$$ (11).

Якщо взяти a, b, kсталими, то рівняння (11) спрощується до випадку лінійного диференціального рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами.

$$Y\text{'}(t)=\frac{1-a}{k}Y-\frac{b+E}{k}\text{.}$$ (12).

Частинний розв’язок рівняння (12) (так званий рівноважний розв’язок, коли Y'=0) такий.

$$Y_p=\frac{b+E}{1-a}\text{.}$$ (13).

Тоді загальний розв’язок рівняння (12).

$$Y(t)=c{e}^{\frac{1-a_1}{k}}+\frac{b+E}{1-a}\text{.}$$ (14).

Інтегральні криві (14) зображені на рис. 3.

рис. 3.

Інтегральні криві (рис.3) характеризують еволюцію національного доходу.

Якщо в початковий момент часу Y0<Y, то C=Y0 — Yp < 0 і криві йдуть вниз від рівноважного розв’язку, то національний дохід з часом спадає.

Якщо ж Y0 > Y, то С > 0 і інтегральні криві йдуть вверх від рівноважної прямої Y = Yp, то національних дохід з часом зростає.