Математика змінних величин ХVII — XIX століття

Друга криза в методологічних осно­вах математики У нових соціально-економічних умовах розвивалася математика з кінця XVI ст. Буржуазія, яка за­кладала основи промислового ви­робництва, потребувала створення різних технічних пристроїв i машин. При цьому виникали задачі, які часто уже не вдавалося роз­в'язати методами елементарної ма­тематики, що оперувала тільки числами, величинами і геометрич­ними фігурами. У математику входить змінна, а з нею — й ідея руху.

XVII ст. унікальне за кількістю геніальних вчених. Кеплер, Р. Декарт, П. Ферма, Дж Валліс, В. Паскаль, Х. Гюйгенс здійснили героїчний штурм численних, ще не взятих фортець математики, прокладаючи шлях до найбільшого математичного тріумфу. XVII ст. — це створення Ньютоном i Лебніцем надзвичайного потужного й універсального методу розв’язування задач природознавства, техніки й самої математики — диференціального й інтегрального числення. Нове числення здійснило глибокий переворот у самій математиці та її застосуваннях. Задачі, які раніше були доступні лише окремим математи­кам, тепер розв’язувалися як тренувальні вправи. Але все-таки новий метод не був достатньо обгрунтований. У математиці ще не були сформовані такі фундаментальні поняття, як границя, похідна, неперервність, збіжність нескінченного ряду, диференціал, інтеграл та ін. Тому поряд з блис­кучими результатами вчених час від часу підстерігали й парадокси. Кількість таких парадоксів збіль­шувалась, i вчені не могли встановити їх причини. Це дало привід прихильникам елементарної математики оголосити нове числення логічно суперечливим.

Виявлені парадокси спричинили другу кризу в методологічних осно­вах математики, i вченим довелось вдруге зайнятися перебудовою i зміцненням логічних основ своєї науки. Це робота зайняла майже півтора століття й була завершена на початку XIX ст., коли видатний французький математик О. Коші побудував теорію границь, яка відповідала новим, вищим вимогам логічного обгрунтування математики.

Одночастно розвивався цілий компекс математичних галузей, першість між якими міцно тримав математичний аналiз. Дехто навіть називав XVII-XVIII ст. епохою математичного аналізу. I це не випадково. здавалося, що нарешті знайдено справді чарівний математичний ключ, за допомогою яко­го буде розв’язано будь-яку технічну задачу, розкрито всі закони природи.

Брати Йоганн i Якоб Бернуллі, Л. Ейлер, Ж. Лагранж, П. С. Лаплас О. Коші, Ж. Фур'є, С. Пуассон, М. В. Остроградський i ixшi матема­тики гідно продовжили справу своїх попередників. Вони справді перетворили математичний аналіз у потужне знаряддя інженерів i природодослідників, збагатили ма­тематику новими теоремами, мето­дами розв’язування задач.

Основні закони фізики й механіки були написані рівняннями, в які входили не тільки сталі величини i функцiї, а й їх похідні. Такі рівняння називаютыя диференціальними. 3розуміло, що надзвичайно важливою для математики i її застосувань стала проблема розв’язування (інтегрування) диференціальних рівнянь. Вони про­будили від Тисячолітнього сну царство рiвнянь, незмірно розширили сферу застосувань математики, зміцнили її методи. У цей багатий досягненнями період склалися майже всі галузі математики, класична основа сучасної математики — математичний аналiз, аналiтична геометрія, диференціальна геометрiя, теорiя диференціальних рівнянь — звичайних i в частинних похідних, теорiя рядiв, варіацiйне числення, теорiя імовірностей, проективна геометрія. Кожна з цих математичних дисциплін власними мето­дами i системою понять вивчала математичні моделі різних явищ навколишнього світу.