Послідовність Фібоначчі і теорія чисел

Подільність чисел послідовності

Розглядаючи подільність чисел Фібоначчі варто зазначити головну їх властивість: число un ділиться на um тоді і тільки тоді, коли n ділиться на m. У зв’язку з чим про подільність чисел Фібоначчі можна визначати, розглядаючи подільність їх номерів.

Знайдемо декілька ознак подільності чисел Фібоначчі Під ознакою подільності тут розуміється ознака, по якій можна визначати, ділиться чи ні, те чи інше число Фібоначчі на деяке дане число.

Число Фібоначчі парне тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 3.

Число Фібоначчі ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 4.

Число Фібоначчі ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 6.

Число Фібоначчі ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 5.

Число Фібоначчі ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 8.

Число Фібоначчі ділиться на 16 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 12.

Кожне два сусідні числа Фібоначчі взаємно прості, а найбільший спільний дільник двох чисел Фібоначчі рівний числу Фібоначчі з номером, що є найбільшим спільним дільником.

Прості числа Фібоначчі

Питання, чи містить дана нескінченна послідовність, визначена навіть нескладним способом, нескінченно багать простих чисел, в принципі кажучи, досить складно. Те саме можна сказати і про послідовність Фібоначчі.

Доведено, що простими є числа Фібоначчі з номерами n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47. Інших простих чисел Фібоначчі ми поки не знаємо. Найбільш відомим простим числом un є число u47 = 2 971 215 073, що має 10 цифр. Можна довести, що якщо n? 4 і число un є простим, то число n повинно бути простим, але не обов’язково навпаки, так як наприклад, u2 = 1, u19 = 4181 = 37•113, u31 = 1 346 269 = 557•2417.

Ми не знаємо, чи є серед чисел up, де p — просте число, нескінченно багато простих.