Определение законів розподілу випадкових величин та його числових характеристик з урахуванням досвідчених даних. 
Перевірка статистичних гипотез

Самарський державний аерокосмічний университет.

їм. академіка С. П. Королева.

Кафедра прикладної математики.

Расчетно-графическая робіт з курсу «Теорія ймовірностей і математична статистика».

Тема роботи: «Визначення законів розподілу випадкових величин та його числових характеристик з урахуванням досвідчених даних. Перевірка статистичних гипотез».

Варіант № 15.

Виконав студент групи №.

Євген У. Репекто.

Самара — 2002.

Завдання расчетно-графическую работу.

Дан протокол у якому 120 пронумерованих значень: |№ | |№ | |№ | |№ | | |1 |4 |31 |10 |61 |20 |91 |44 | |2 |19 |32 |25 |62 |16 |92 |12 | |3 |25 |33 |38 |63 |15 |93 |16 | |4 |-4 |34 |1 |64 |32 |94 |9 | |5 |58 |35 |19 |65 |52 |95 |12 | |6 |34 |36 |55 |66 |-5 |96 |40 | |7 |32 |37 |9 |67 |21 |97 |17 | |8 |36 |38 |11 |68 |30 |98 |10 | |9 |37 |39 |6 |69 |27 |99 |31 | |10 |4 |40 |31 |70 |12 |100 |49 | |11 |24 |41 |17 |71 |19 |101 |25 | |12 |3 |42 |-6 |72 |1 |102 |33 | |13 |48 |43 |14 |73 |23 |103 |26 | |14 |36 |44 |9 |74 |7 |104 |19 | |15 |27 |45 |13 |75 |4 |105 |25 | |16 |20 |46 |25 |76 |16 |106 |34 | |17 |1 |47 |11 |77 |38 |107 |10 | |18 |39 |48 |18 |78 |40 |108 |24 | |19 |11 |49 |2 |79 |30 |109 |2 | |20 |16 |50 |29 |80 |14 |110 |38 | |21 |49 |51 |20 |81 |51 |111 |30 | |22 |25 |52 |48 |82 |17 |112 |10 | |23 |26 |53 |16 |83 |25 |113 |39 | |24 |30 |54 |29 |84 |34 |114 |1 | |25 |19 |55 |12 |85 |23 |115 |40 | |26 |32 |56 |-3 |86 |20 |116 |7 | |27 |3 |57 |16 |87 |9 |117 |26 | |28 |40 |58 |41 |88 |29 |118 |36 | |29 |45 |59 |19 |89 |18 |119 |22 | |30 |35 |60 |0 |90 |46 |120 |28 |.

Всі ці протокольні значення вважаються значеннями выборки.

[pic] деякою випадкової величини [pic], а 60 їх, мають непарні номери — значеннями выборки.

[pic] інший випадкової величини [pic] Потрібна: 1. Побудувати вариационные ряди для випадкових величин [pic] і [pic]. 2. Провівши угруповання елементів кожної вибірки (використовуючи формулу.

Стерджеса) побудувати статистичні ряди розподілу випадкових величин [pic] і [pic]. Зразок заповнення таблиці для статистичного низки. |№ |Кордони |Середина |Кількість |Частота для | |пр-ка|промежутка |проміжку |елементів выборки|промежутка | | |[pic] |[pic] |між тим |[pic] | | | | |[pic] | | |1 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |2 | | | | | |… |… |… |… |… | |[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |.

3. Побудувати гистограммы розподілу випадкових величин [pic] і [pic]. 4. Знайти вибіркове середнє [pic], [pic] і виправлені вибіркові дисперсії: [pic], [pic] випадкових величин [pic] і [pic]. 5. Перевірити, використовуючи метод [pic] гіпотезу про нормальному розподілі, кожної з випадкових величин [pic] і [pic] за 23−24-відсоткового рівня значимості [pic]. 6. Побудувати графік функції щільності розподілу [pic] випадкової величини [pic] лише у системі координат з гистограммой.([pic] взявши у ролі математичного очікування їх статистичні оцінки [pic] и.

[pic]) і зрозумівши значення функції [pic] в точках: [pic], [pic], соціальній та точці лівіше першого заступника й правіше правого проміжку угруповання. 7. Виконати завдання 6 для випадкової величини [pic]. 8. Знайти довірчі інтервали для математичних чекань й дисперсій випадкових величин [pic] і [pic], відповідні довірчій ймовірності [pic]. 9. Перевірити статистичну гіпотезу [pic] при альтернативної гипотезе.

[pic] лише на рівні значимості [pic]. 10. Перевірити статистичну гіпотезу [pic] при альтернативної гипотезе.

[pic] лише на рівні значимості [pic].

Решение.

1. Побудувати вариационные ряди для випадкових величин [pic] і [pic]. Вариационный ряд величини [pic] |-6 |12 |22 |33 | |-5 |12 |23 |34 | |-4 |12 |23 |34 | |-3 |12 |24 |34 | |0 |13 |24 |35 | |1 |14 |25 |36 | |1 |14 |25 |36 | |1 |15 |25 |36 | |1 |16 |25 |37 | |2 |16 |25 |38 | |2 |16 |25 |38 | |3 |16 |25 |38 | |3 |16 |26 |39 | |4 |16 |26 |39 | |4 |17 |26 |40 | |4 |17 |27 |40 | |6 |17 |27 |40 | |7 |18 |28 |40 | |7 |18 |29 |41 | |9 |19 |29 |44 | |9 |19 |29 |45 | |9 |19 |30 |46 | |9 |19 |30 |48 | |10 |19 |30 |48 | |10 |19 |30 |49 | |10 |20 |31 |49 | |10 |20 |31 |51 | |11 |20 |32 |52 | |11 |20 |32 |55 | |11 |21 |32 |58 |.

Вариационный ряд величини [pic] |1 |21 | |2 |22 | |2 |23 | |3 |23 | |4 |24 | |4 |25 | |6 |25 | |9 |25 | |9 |25 | |10 |26 | |10 |26 | |11 |26 | |11 |27 | |12 |27 | |12 |30 | |13 |30 | |14 |31 | |15 |32 | |16 |37 | |16 |38 | |16 |38 | |17 |39 | |17 |40 | |18 |44 | |19 |45 | |19 |48 | |19 |49 | |19 |51 | |20 |52 | |20 |58 |.

2. Провівши угруповання елементів кожної вибірки (використовуючи формулу.

Стерджеса) побудувати статистичні ряди розподілу випадкових величин [pic] і [pic]. Знайдемо кількість елементів вибірок після угруповання елементів Розмір [pic]: [pic] Розмір [pic]: [pic] Згрупувавши елементи одержимо статистичний ряд розподілу випадкової величини [pic].

|№ |Кордони |Середина |Кількість |Частота для | |пр-ка|промежутка |проміжку |елементів выборки|промежутка | | |[pic] |[pic] |між тим |[pic] | | | | |[pic] | | |1 |-8; 0 |-4 |4 |0.0333 | |2 |-0; 8 |4 |15 |0.1250 | |3 |8; 16 |12 |19 |0.1583 | |4 |16; 24 |20 |25 |0.2083 | |5 |24; 32 |28 |24 |0.2000 | |6 |32; 40 |36 |17 |0.1417 | |7 |40; 48 |44 |8 |0.0667 | |8 |48; 56 |52 |8 |0.0667 |.

Згрупувавши елементи одержимо статистичний ряд розподілу випадкової величини [pic] |№ |Кордони |Середина |Кількість |Частота для | |пр-ка|промежутка |проміжку |елементів выборки|промежутка | | |[pic] |[pic] |між тим |[pic] | | | | |[pic] | | |1 |0; 9 |4,5 |7 |0.1167 | |2 |9; 18 |13,5 |16 |0.2667 | |3 |18; 27 |22,5 |19 |0.3167 | |4 |27; 36 |31,5 |6 |0.1000 | |5 |36; 45 |40,5 |6 |0.1000 | |6 |45; 54 |49,5 |5 |0.0833 | |7 |54; 63 |58,5 |1 |0.0167 |.

3. Побудувати гистограммы розподілу випадкових величин [pic] і [pic]. Гистограммы розподілу наведено на графіках з теоретичними функціями распределения.

4. Знайти вибіркове середнє [pic], [pic] і виправлені вибіркові среднеквадратические відхилення: [pic], [pic] випадкових величин [pic] і [pic]. Вибіркове середнє [pic] випадкової величини [pic] равно.

[pic] Вибіркове среднее[pic] випадково величини [pic] равно.

[pic] Знайдемо виправлене среднеквадратическое відхилення [pic] випадкової величини [pic]:

[pic]=14.3632.

Знайдемо виправлене среднеквадратическое відхилення [pic] випадкової величини [pic]:

[pic]=13.5727.

5. Перевірити, використовуючи метод [pic] гіпотезу про нормальному розподілі, кожної з випадкових величин [pic] і [pic] за 23−24-відсоткового рівня значимості [pic]. Перевіримо гіпотезу про нормальному розподілі випадкової величини [pic]. Використовуючи гаданий закон розподілу, обчислимо теоретичні частоти за такою формулою [pic], де [pic] - обсяг вибірки, [pic] - крок (різницю між двома сусідніми варіантами, [pic], [pic].

Побудуємо допоміжну таблицю: |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |1 |4 |-1.9169 | 4.2461 |0.0606 |0.014 | |2 |15 |-1.3600 |10.5760 |19.572 |1.850 | |3 |19 |-0.8030 |19.3161 |0.0999 |0.005 | |4 |25 |-0.2460 |25.8695 |0.7561 |0.0292 | |5 |24 |0.3110 |25.4056 |1.9757 |0.0778 | |6 |17 |0.8680 |18.2954 |1.6780 |0.0917 | |7 |8 |1.4249 |9.6610 |2.7590 |0.2856 | |8 |8 |1.9819 |3.7409 |18.139 |4.8491 |.

У результаті одержимо [pic]= 7,2035 По таблиці критичних точок розподілу [pic] ([1], стор. 465), по рівню значимості [pic]=0,05 і числу ступенів свободи 8−3=5 находим.

[pic].

Т.к. [pic], експериментальні дані не суперечать гіпотезі і нормальному розподілі випадкової величини [pic].

Для випадкової величини [pic]:

Використовуючи гаданий закон розподілу, обчислимо теоретичні частоти за такою формулою [pic], де [pic] - обсяг вибірки, [pic] - крок (різницю між двома сусідніми варіантами, [pic], [pic].

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |1 |7 |-1.4036 |5.9274 |1.1504 |0.1941 | |2 |16 |-0.7405 |12.0665 |15.4725 |1.2823 | |3 |19 |-0.0774 |15.8248 |10.0820 |0.6371 | |4 |6 |0.5857 |13.3702 |54.3197 |4.0627 | |5 |6 |1.2488 |7.2775 |1.6319 |0.2242 | |6 |5 |1.9119 |2.5519 |5.9932 |2.3485 | |7 |1 |2.5750 |0.5765 |0.1794 |0.3111 |.

У результаті одержимо [pic]= 8.1783 По таблиці критичних точок розподілу [pic] ([1], стор. 465), по рівню значимості [pic]=0,05 і числу ступенів свободи 7 — 3=4 находим.

[pic] Т.к. [pic], експериментальні дані не суперечать гіпотезі і нормальному розподілі випадкової величини [pic].

6. Побудувати графік функції щільності розподілу [pic] випадкової величини [pic] лише у системі координат з гистограммой.([pic] взявши у ролі математичного очікування й дисперсії їх статистичні оценки.

[pic] і [pic]) і зрозумівши значення функції [pic] в точках: [pic],.

[pic], соціальній та точці лівіше першого заступника та правіше правого проміжку группировки.

7. Виконати завдання 6 для випадкової величини [pic].

8. Знайти довірчі інтервали для математичних чекань й дисперсій випадкових величин [pic] і [pic], відповідні довірчій ймовірності [pic]. Знайдемо довірчий інтервал для математичного очікування [pic]: Розглянемо статистику [pic], має розподіл Стъюдента з [pic] ступенями свободи. Тоді необхідний довірчий інтервал визначиться нерівністю [pic]. І довірчий інтервал для [pic] виглядає наступним образом:

[pic] Знайдемо [pic]по таблицям ([2], стор. 391). По [pic]=0,95 і [pic]=120 знаходимо: [pic]=1,980. Тоді необхідний довірчий інтервал прийме вид:

[pic] Тобто: (20,93 721;26,12 946).

Знайдемо довірчий інтервал для математичного очікування [pic]: Розглянемо статистику [pic], має розподіл Стъюдента з [pic] ступенями свободи. Тоді необхідний довірчий інтервал визначиться нерівністю [pic]. І довірчий інтервал для [pic] виглядає наступним образом:

[pic] Знайдемо [pic]по таблицям ([2], стор. 391). По [pic]=0,95 і [pic]=60 знаходимо: [pic]=2,001. Тоді необхідний довірчий інтервал прийме вид:

[pic] Тобто: (20,043;27,056).

Відомо, що й математичне очікування невідомо, то довірчий інтервал для дисперсії при довірчій ймовірності [pic] має вид.

[pic] Для випадкової величини [pic] найдем:

[pic].

[pic].

[pic] Отже, маємо довірчий інтервал: [pic] (162,8696; 273,8515). Для випадкової величини [pic] найдем.

[pic].

[pic].

[pic] Отже, маємо довірчий інтервал: [pic](134,82; 277,8554). (Квантили розподілу [pic] знайдено за таблицею [3], стор. 413).

9. Перевірити статистичну гіпотезу [pic] при альтернативної гипотезе.

[pic] лише на рівні значимості [pic]. Розглянемо статистику.

[pic], где.

[pic], має розподіл Стъюдента [pic], Тоді область прийняття гіпотези [pic]. pic] Знайдемо s:

[pic] Знайдемо значення статистики [pic]:

[pic] По таблиці квантилей розподілу Стъюдента ([2], стор. 391).

[pic] Т. до. [pic], то гіпотеза [pic] приймається. Припущення про рівність математичних очікувань [pic] який суперечить результатам наблюдений.

10. Перевірити статистичну гіпотезу [pic] при альтернативної гипотезе.

[pic] лише на рівні значимости[pic]. Розглянемо статистику [pic], де [pic], [pic]т.к. [pic]. Ця статистика має розподіл Фішера [pic]. Область прийняття гіпотези [pic].

[pic] Знайдемо значення статистики [pic]:

[pic] По таблицям знайдемо [pic]. Т.к. [pic], то гіпотеза [pic] приймається. Припущення [pic] який суперечить результатам наблюдений.

Бібліографічний список.

1. Збірник завдань із математиці для втузів. Ч. 3. Теорія ймовірностей і математична статистика: Учеб. посібник для втузів / Під. ред. А.В.

Єфімова. — 2-ге вид., перераб. і доп. — М.: Наука. Гол. ред. физ.-мат. літ., 1990. — 428 с.

2. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення завдань з теорії ймовірностей і математичної статистиці: Учеб. посібник для студентів вузів. Вид. 4- е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. — 400 з.: ил.

3. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. Учеб. посібник для втузів. Вид. 5-те, перераб. і доп. М., «Высш. школа»,.

1977.

4. Вентцель Е. С. Теорія ймовірностей. — М.: 1969, 576 з. ———————————;

5. [pic].

[pic].