Знаходження похідної функції

ТЕМА УРОКУ: Похідні елементарних функцій

МЕТА УРОКУ: формування знань учнів про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником, тригонометричних функцій.

І Перевірка домашнього завдання

1. Три учні відтворюють розв’язування вправ № 1 (1,2), 2.

1) ==

2)

Рівняння шуканої дотичної у — у₀ =. Оскільки х₀ = 1, у = х², то і

Отже, у — 1 = 2 (х -1) або у = 2х — 1.

2. Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 11 — 17 із Запитання і завдання до розділу VII.

II. Сприймання і усвідомлення знань про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником

На попередньому уроці ми довели, що похідна лінійної функції у = дорівнює, тобто .

Якщо покласти, де С — довільна постійна, то одержимо, що тобто похідна постійної функції дорівнює 0.

Якщо у формулі покласти, то одержимо

Нам уже відомо, що. А як знайти похідну функції у = х⁵, у = х²⁰ тощо? Розглянемо функцію у= хⁿ, де n — .

Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х₀ і надамо йому приросту, тоді:

1)

2)

(Скориставшись формулою

3)

Звідси

Розглянемо функцію у = х^n-1, де .

Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х₀ і надамо йому приросту, тоді

1)

2)

3) =

Отже,, де .

Таким чином виконується рівність: .

Виконання вправ

1. Знайдіть похідну функції:

а) у = х⁶; б) у = х⁸; в) у = х²; г) .

Відповідь: а) 6х⁵; б) 8х⁷; в) 7х⁶; г) 6х⁵.

2. Знайдіть похідні функцій:

а) у = х^-10; б) у = х²; в); г).

Відповідь: а) -10х^-11; б) -3х^-4; в) -6х^-7; г) -6х^-7.

ІІІ. Сприймання і усвідомлення знань про похідну тригонометричних функцій

Знайдемо похідну функції у=. Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту, тоді:

1)

2)

3)

.

Отже

Аналогічно можна довести, що

Знайдемо похідну функції .

Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту, тоді:

.

.

Отже,

Аналогічно можна довести, що

Виконання вправ № 1 (3), 5 із підручника.

VI. Підведення підсумків уроку

Провести підведення підсумків уроку з використанням таблиці 4 похідних.

Таблиця

Таблиця похідних

V. Домашнє завдання

Розділ VІІ § 3. запитання і завдання для повторення розділу VІІ № 19 — 22. вправа № 4 (2, 4).

ТЕМА УРОКУ: Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

МЕТА УРОКУ: Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходження похідних.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Усне розв’язування вправ.

1) Знайдіть похідні функцій а) у — х¹⁰; б); в); г) .

Відповідь: а) 10х⁹; б) -9х^-10; в) -4х^-5;ё г) 3х².

2) Знайдіть похідні функцій:

а) в точці; б) в точці ;

в) в точці; г) в точці .

Відповідь: а) 0; б); в) 4; г) -1.

2. Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.

ІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції

Теорема: Якщо функції f (x) і g (x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і

або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.

Доведення

Розглянемо функцію у = f (x) + g (x).

Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту. Тоді

.

Отже, .

Наслідки

а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних.

Нехай у (х) = f (x) — g (x), тоді f (x) = у (х) + g (x) і, звідси.

б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто

.

Приклад. Знайдіть похідну функцій

а) ;

б) ;

в) .

Розв’язання а) ;

б) .

в).

Відповідь: а); б) в) =.

Виконання вправ

1. Знайдіть похідні функцій:

а) у = х³ + х — х⁴; б) ;

в); г) .

Відповідь: а); б); в) ;

г) .

2. Знайдіть значення похідної функції f (x) в точці х₀:

а) ;

б) ;

в) .

Відповідь: а) 1; б) ; в)-1.

3. При яких значеннях х значення похідної функції f (x) дорівнює 0:

а); б); в) .

Відповідь: а) ; б) ; в) .

ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку

Теорема. Якщо функції f (x) і g (x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також — диференційована функція в цій точці і, або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції

Доведення. Розглянемо функцію. Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту, тоді

1)

Оскільки, , то

.

2)

.

Отже, .

Наслідки

а) Постійний множник можна винести за знак похідної: .

Дійсно,.

б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:

.

Приклад. Знайдіть похідні функцій:

а) ;

б) ;

в) .

Розв’язування

а) ;

б)

;

в)

.

Виконання вправ.

1. Знайдіть похідну функцій:

а); б) ;

в) ; г) .

Відповідь: а) 6х-5; б) ;

в) ; г) .

2. Знайдіть похідні функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Знайдіть похідні функцій:

а) ; б) .

Відповідь: а) ; б) .

IV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій

Теорема. Якщо функції f (x) і g (x) диференційовані в точці х і g (x), то функція диференційована в цій точці і .

Доведення

Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.

Нехай, тоді f (x)=у (х). Знайдемо похідну функції f (x), скориставшись теоремою про похідну добутку,. Виразимо з цієї формули

і підставимо замість у (х) значення, тоді будемо мати:

.

Отже, .

Приклад: Знайдіть похідні функцій

а) ; б) .

Розв’язання

а) .

б) .

Виконання вправ

1. Знайдіть похідні функцій:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Знайдіть похідні функцій:

а) ; б) ; в) ; г)

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) .

V. Домашнє завдання

Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23 — 27. вправа № 10 (1 -5, 7 — 8).

ТЕМА УРОКУ: Похідна складеної функції

Мета уроку: Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.

І. Перевірка домашнього завдання

1) ;

2)

;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

2. Самостійна робота.

Варіант 1.

1. Знайдіть значення похідної функції f (x) при заданому значенні аргументу х₀:

а) , х₀=-1. (2 бали)

б) . (2 бали)

2. Знайдіть похідну функцій:

а) . (2 бали)

б) . (2 бали)

в) . 42 бали)

Варіант 2.

1. Знайдіть значення похідної функції f (x) при заданому значенні аргумента х₀:

а) , х₀=-1. (2 бали)

б) . (2 бали)

2. Знайдіть похідну функцій:

а) . (2 бали)

б) . (2 бали)

в) . 42 бали)

Відповідь: В-1. 1. а); б) -1

2. а); б); в)

В-2. 1. а); б) 1

2. а); б); в) .

ІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню х значення функції у, яка задана формулою .

Для цього спочатку треба обчислити за даним значенням х значення u=, а потім за значенням u обчислити у=.

Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f — числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функції g і f, і пишуть .

Функцію g (х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f (u) — зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f (u).

Приклад 2. Розглянемо функцію . Вона є складною із функцій, де — внутрішня функція, — зовнішня функція.

Приклад 3. Запишіть складні функції і, якщо

Розв’язання

Виконання вправ.

1. Задайте формулою елементарні функції і, із яких побудована складна функція :

а) б)

в) г)

Відповіді: а)

б) ;

в)

г) .

2. Дано функції:. Побудуйте функції:

а); в); в) ;

г); в); є) .

Відповідь: а); б) ;

в); г) ;

д) є)

У складній функції присутня проміжна змінна. Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

— похідна функції у по аргументі х;

— похідна функції у по аргументі u;

— похідна функції u по аргументі х;

Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою, де, або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція має похідну в точці х₀, а функція має похідну в точці u₀=, тобто існують границі, і .

Нехай, аргументу х₀ надано приросту, тоді змінна u набуде приросту. Поскільки одержала приріст, то функція у одержить також приріст. Приріст зумовив виникнення приросту і .

Подамо. Перейдемо до границі при (при цьому).

або .

Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х³-1)⁵.

Розв’язання

у = (3х³-1)⁵ — складена функція, де u =3х³-1, тоді, .

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u⁵ на похідну від функції 3х³-1:

.

Приклад 2.Знайдіть похідні функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Розв’язання

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Виконання вправ.

1. знайдіть похідні функцій:

а) у = (3х+2)⁵⁰; б) (6−7х)¹⁰;

в) ; г) .

Відповідь: а); б) ;

в); г) .

2. Знайдіть похідні функцій:

а); б) ;

в); г) .

Відповідь: а); б) ;

в); г) .

ІІІ. Підведення підсумків уроку

При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.

Таблиця диференціювання

IV. Домашнє завдання

Розділ VII § 4. запитання і завдання для повторення до розділу VII № 23−28. вправа № 10 (6, 10, 14, 22).

ТЕМА УРОКУ: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій

Мета уроку: Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції(з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні похідних функцій.

І. Перевірка домашнього завдання

1.Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці.

6) ;

10) ;

11) ;

22) .

2. Виконання усних вправ.

Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці.

Таблиця

ІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції

Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=а^х проходить через точку (0; 1). Нехай — величина кута, утвореного дотичною до графіка функції у = а^х в точці (0; 1) з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при, а = 2 величина кута приблизно дорівнює 34⁰(рис.29), а при, а = 2, =47⁰.

у у = е^х якщо основа, а показникової функції у = а^х зростає від 2 до 3, то величина кута зростає і приймає значення від 34⁰ до 47⁰. Отже, існує таке значення, при якому дотична, проведена до графіка функції у = а^х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 45⁰ (рис.31). Таке значення прийнято позначати буквою е, е — число ірраціональне, е = 2,718 281 828 459… 0

Таким чином, дотична до графіка функції у = е^х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 45⁰.

У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції в точці х₀ дорівнює =1. Отже, .

Знайдемо тепер формулу похідної функції .

Нехай аргумент х₀ одержав приріст, тоді:

1)

2)

3) .

Таким чином, похідна функції е^х дорівнює самій функції:

Знайдемо похідну функції, скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:

.

Отже,

Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а) у = 5^х; б) у = е^3−2х; в); г) .

Розв’язання

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Виконання вправ.

№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), № 2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).

ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції

Розглянемо функцію. За основною логарифмічною тотожністю: для всіх додатних х.

Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо:, або .

Звідси .

Отже,

Знайдемо похідну функції. Так як, то

.

Отже,

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а); б) ;

в); г) .

а) ;

б) ;

в) ;

г)

=.

Виконання вправ.

№ 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х).

IV. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції , де

Ми довели, що для .

Розглянемо функцію, де .

Знайдемо похідну цієї функції:

.

Отже, для всіх .

ТЕМА УРОКУ: Розв’язування вправ

Мета уроку: Формування умінь учнів знаходити похідні функцій.

І. Перевірка домашнього завдання

1 перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом порівняння відповідей.

№ 2. 3) -е^-х; 5); 7); 9); 11)

13); 15); 17) .

№ 8. 1) 100х⁹⁹; 3); 5); 7) -20х¹⁹; 9) ;

11) .

2. Усне розв’язування вправ.

Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.

ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій

1) Виконання вправ № 10 (12; 11; 13; 17; 19) розділу VІІ підручника.

2) Виконання вправ № 2 (23; 24; 31; 34; 35; 36) розділу Х підручника.

3) Знайдіть похідну функції та обчисліть її значення, якщо .

.

.

Відповідь: 4.

4) Тіло рухається за законом .

Знайдіть швидкість точки через 2 секунди після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах).

Розв’язання

;

.

Відповідь: .

ІІІ. Домашнє завдання

Підготуватися до контрольної роботи. Вправи; 10 (15; 16; 20; 25) розділу VІІ; № 2 (22; 26; 38; 42), 8 (14; 18) розділу Х.

ТЕМА УРОКУ: Тематична контрольна робота № 1

Мета уроку: Перевірити навчальні досягнення учнів з теми «Границя, неперервність та похідна функцій».

Варіант 1

1. Знайдіть похідну функції:

а). (2 бали)

б). (2 бали)

в). (2 бали)

г). (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо. (2 бали)

3. Точка рухається за законом. Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)

Варіант 2

1. Знайдіть похідну функції:

а). (2 бали)

б). (2 бали)

в). (2 бали)

г). (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо. (2 бали)

3. Точка рухається за законом. Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)

Варіант 3

1. Знайдіть похідну функції:

а). (2 бали)

б). (2 бали)

в). (2 бали)

г). (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо. (2 бали)

3. Точка рухається за законом. Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=5 с (s вимірюється в метрах). (2бали)

Варіант 4

1. Знайдіть похідну функції:

а). (2 бали)

б). (2 бали)

в). (2 бали)

г). (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо. (2 бали)

3. обертання тіла навколо осі здійснюється за законом. Знайдіть кутову швидкість точки при t=4 с (вимірюється в радіанах). (2бали)

Відповідь: В-1. 1. а); б) ;

в) ,; г) .

2., .

3. 10

В-2 1. а); б) ;

в) ,; г) .

2., .

3. 9

В-3. 1. а); б) ;

в) ,; г) .

2., .

3. 35

В-4. 1. а); б) ;

в) ,; г) .

2., .

3. 20