Век 17: від Кеплера до Ньютона

Век 17: від Кеплера до Ньютона

Принято вважати, що все сучасна наука оформилася в 17 столітті. Справді, наприкінці цього століття утворилися перші академії і було створено наукова картина світу, об'єднала механіку з астрономією. Основу такого синтезу першим вгадав Галілей, заявивши близько 1630 року: Природа промовляє до нас мовою математики! Точніше, що природа звертається до нас відразу на багатьох діалектах єдиного математичного мови. Ми називаємо ці діалекти арифметикою, геометрією, алгеброю чи математичним аналізом, але завжди відчуваємо їх єдність, а багатьох діалектів ми ще знаємо. Тому будь-якої миті часу наше уявлення про закони природи не повно, і часто воно суперечливо.

Устранение кожного протиріччя потребує серйозного перебудови у системі математичних понять. Щось звичне змушені відкинути, як оману; інші знайомі слова набувають нового змісту. Починаючи з 17 століття, це «понятійний землетрус «зробилося у науці звичним явищем: все щодо нього звикли і терплять його, а багато радіють такий неспокійною життя. Але ввійти у цей режим роботи нелегко навіть у наші дні; наскільки ж важче було першопрохідникам! Тож не дивно, що з джерела нової науки зібралися котрі мають вигадливими характерами. Усіх їх представити об'єднувало безмежну цікавість, безоглядне працьовитість і бурхлива фантазія.

Первым у тому ряду богатирів виявився німець Йоганн Кеплер (1571−1630) — невтомний спостерігач і невгамовний обчислювач. Він ввійшов у велику науку в 1600 року — коли імператорський астроном Тихо Бразі прийняв його за роботу у Празьку обсерваторію. Старанно спостерігаючи руху планет серед зірок за тридцяти років, Бразі нагромадив величезний запас точних даних — але з міг призвести в єдину систему. Він швидко відкинув давню геоцентричну модель Птолемея і недавню геліоцентричну модель Коперника (у якій збереглася система епіциклів, запроваджених Гиппархом). Але є істинні траєкторії польоту планет в просторі «У якій режимі вони рухаються за цими кривим «Бразі доручив Кеплеру дати раду русі Марса: він більш всього суперечить здоровому глузду, бо часом Марс раптом зупиняється серед планет і задкує тому.

Кеплер відразу здогадався: якщо орбіта Марса може бути окружністю, то, швидше за все, вона — еліпс. Позірна рух Марса назад можна пояснити просто: Сонце перебуває у центрі еліпса, а зрушено кудись убік. Куди «Швидше всього, в фокус еліпса — саму чудову точку, пов’язану з цим кривою. Але що не режимі рухається Марс зі свого еліпсу — це можна зробити з’ясувати лише шляхом громіздких розрахунків. Ця робота посіла у Кеплера 8 років; то відчув і відкинув близько 20 різних гіпотез, доки знайшов (в 1609 року) справжню: за рівні відтинки часу вектор, котрий поєднує Сонці із Марсом, замітає у площині їх спільного прямування сектори рівної площі.

Чтобы справитися з величезним обсягом обчислень, Кеплеру довелося зробити два чудових винаходи. По-перше, він навчився заміняти множення багатозначних чисел складанням їх логарифмів. По-друге, Кеплер навчився вираховуватимуть шлях, пройдений планетою за тепер, відомою (перемінної) швидкості планети.

Переход від чисел до логарифмам і навпаки вимагає громіздких і точних таблиць. Спочатку Кеплер становив їх собі сама; але у 1614 року з’явилися докладні таблиці логарифмів Чарльза Непира. За 20 років копіткої праці цей шотландець розрахував як логарифми чисел, а й логарифми значень всіх тригонометрических функцій: вони постійно зустрічаються в астрономічних розрахунках. Таблиці Непира відкрили шлях до автоматизації всіх арифметичних обчислень; першим кроком у цьому напрямі стала звична нам логарифмічна лінійка.

Ее винайшов в 1622 року англієць Вільям Оутред. Заодно він використовував десяткові логарифми: вони змогли зручні під час розрахунків, ніж натуральні логарифми, із якими працював Непир. Подальші кроки в автоматизації обчислень зробили француз Блез Паскаль (в 1642 року) і німець Вільгельм Ляйбніц (в 1671 року). Паскаль побудував перший механічний арифмометр, виконує складання і віднімання багатозначних чисел. Арифмометр Лейбніца дозволив також множити і ділити багатозначні числа. Такий важливий крок у розвитку обчислювальної техніки було зроблено лише у 20 столітті - коли фізики дозволило створити електронні обчислювальні машини (комп'ютери).

Успехи Кеплера у розрахунку пройденого планетою шляху відомою швидкості її руху стали першим кроком у нової науці - інтегральному обчисленні. Сам Кеплер сприймав його просто: як засіб обчислення площі постаті, обмеженою пласкою кривою, або обсягу тіла, обмеженого даної поверхнею. У 1615 року Кеплер опублікував книжку з дивною назвою: «Нова стереометрія винних бочок, переважно — австрійських ». То був перший збірник завдань на обчислення з дитинства інтегралів; він мав близько ста різних прикладів з докладними рішеннями. У частковості, площа криволінійної трапеції, обмеженою графіком (у = x.), віссю (Х) і відрізками (х=а) і (х=в), дорівнює (в…-а…)/(к+1) — якщо = -1. Якщо до = -1, ця площа дорівнює різниці логарифмів ln (в) — ln (а).

Таким чином, одна рядок в таблиці з дитинства інтегралів від функцій відповідає величезної таблиці логарифмів чисел. На цьому видно, що з майбутньої математики літочислення функцій набагато важливіше звичної арифметики і алгебри чисел. У кодексі світі функцій, крім арифметики і алгебри, діють особливі операції. Перші дві їх — проведення дотичній прямий до цієї кривою і обчислення площі, яку обмежує крива — вгадав ще Архімед. Тепер Кеплер розробив зручну техніку розв’язання другої завдання. Але вести криві як і це й невимушено, як числа, Кеплер не вмів. Революцію у тому ремеслі зробив у 1637 року інший великий математик — француз Рене Декарт (1596−1650).

В на відміну від Кеплера, Декарт не любив довгих розрахунків. Він вважав за краще наглядно-геометрические міркування й хотів би працювати цим методом із будь-якими складними кривими — Не тільки з прямими і окружностями, як робив Евклид. Для цієї роботи корисно вміти складати, вичитати і множити криві між собою — як і, як ми робимо з числами. Чи можливе «.

Декарт винайшов такий спосіб, помітивши, що чимало криві на площині задаються простими рівняннями — по тому, як ми введемо на площині координати, зобразивши кожну точку ПАРОЮ чисел (х, у). Наприклад, параболу можна поставити рівнянням (у = x.), чи (x = у.).

Окружность задається рівнянням (x. + у. = а.), а еліпс — схожим рівнянням (х./а. + у./в. = 1).

Уравнение гіперболи може мати вид (ху = 1), чи (х./а. — у./в. = 1). І взагалі: кожне рівняння з цими двома невідомими F (x, y) = 0 задає на координатної площині якусь криву! Але над рівняннями легко проробляти будь-які арифметичні операції. Усі вони набувають геометричний сенс, ми креслимо чи подумки уявляємо криву, яка відповідає певному рівнянню.

Таким чином, плоскі криві можна описувати одному з двох еквівалентних мов: наглядно-геометрическом, чи аналітичному (через формули). Двосторонній «словник », переводить фрази однієї з мов в рівнозначні фрази іншої мови, Декарт назвав аналітичної геометрією.

Он зауважив, що методи цієї науки неважко перенести й у простір. І тому досить зобразити будь-який пункт простору ТРІЙКОЮ чисел (х, у, z). Після цього будь-яке рівняння із трьома невідомими F (x, y, z) = 0 задає у просторі якусь поверхню, а те що двох поверхонь задає криву у просторі. Щоправда, незрозуміло: будь-яку чи криву у просторі можна поставити системою з цих двох рівнянь із трьома невідомими «.

Положительный у відповідь це запитання математики отримали лише у 20 столітті. І тому знадобилися складні розрахунки та введення багатьох новопонять, які надходила розумну голову Декарта. Сам він обмежився класифікацією тих кривих на площині, які задаються многочленами ступеня 2. Виявилося, що нових кривих у цьому класі немає: лише еліпс, парабола і гіпербола. Класифікувати все плоскі криві ступеня 3 Декарт полінувався: це вимагало складних обчислень, які згодом виконав Ньютон.

Декарт стане всерйоз розвивати аналітичну геометрію тривимірного простору: не міг вгадати, які завдання виявляться там найцікавіші корисними. І, звісно, Декарт ані слова не обмовився чотиривимірному чи багатомірному просторі, точки якого зображуються наборами з чотирьох або як чисел: (x, y, z, t,…). Аналітичний підхід найзручніша на дослідження багатомірних просторів; але у середині 17 століття будь-яке нагадування про такої можливості було розцінено як нісенітниця чи як єресь. Декарт любив життєві зручності і хотів розділити долю Галілея, засудженого церквою за занадто сміливі думку про науковому пізнанні природи.

Еще спокійніше прожила своє життя великий сучасник і співвітчизник Декарта — П'єр Ферма з Тулузи (1601−1665). По основний професії він був юрист, а математикою займався у вільний час — читаючи книжки класиків чи сучасників і розмірковуючи про те завданнях, що ті помітили або зуміли так вирішити. Зрозуміло, що за такого способі роботи Ферма в жодній галузі ні першим. У математичний аналіз він ввійшов за Архімедом і Кеплером, в аналітичну геометрію — за Декартом, в теорію ймовірностей — за Паскалем, в теорію чисел — за Диофантом. Однак у кожній оказії Ферма додавав у вже готову або тільки рождающуюся науку настільки важливі відкриття, що перевершити його результати могли лише генії - часом багато десятиліть через.

Например, Ферма зацікавився простий завданням: за яких умов функція сягає мінімуму чи максимуму у цій точці «Виявилося, що необхідно просте умова: похідна від функції у цій точці мусить бути дорівнює нулю. Нині цей факт відомий кожному старшокласнику: він допомагає будувати графіки досить складних функцій. Але Ферма спробував поширити свій відкриття на функції, залежать від багатьох змінних — і отримав чудовому фізичному відкриттю. Виявилося, що світло рухається за таку траєкторії, де похідна за часом дорівнює нулю. Отже, час руху світла вздовж цієї траєкторії - мінімальне! Лише років через П'єр Мопертюи і Леонард Эйлер відкрили аналог принципу Ферма в механіці; ця зустріч стала першим кроком до об'єднання механіки з оптикою у межах квантової теорії.

Теорию чисел Ферма будував досить самотньо: із усіх його сучасників лише англієць Джон Валлис цікавився нею. Але Ферма мав важливе перевагу над Валлисом і для своїм античним попередником — Диофантом. Він знав аналітичну геометрію і оперував рівняннями як і вільно, як числами. І він легко довів «малу теориму Ферма «й довідався, що існують кінцеві поля відрахувань — системи чисел, влаштовані (себто арифметики) ще зручніше, ніж безліч цілих чисел.

Развивая цей успіх, Ферма зацікавився пифагоровыми трійками чисел — цілими рішеннями рівняння (x. + у. = z.). Чи є цілі рішення рівнянь (x. + у. = z.) при n>2 «Диофант не знайшов жодного рішення n=3; Ферма довів, що таких рішень може бути. Залишалося узагальнити метод Ферма для інших простих показників: 5, 7, 11… На жаль, Ферма стане здійснювати таких випадках докладні розрахунки — і тому зауважив дивних алгебраїчних перешкод своєму шляху. Наприклад, при n=5 необхідно використовувати комплексні числа: це першим помітив у кінці 18 століття Адриен Лежандр, а Ферма все життя сумнівався в корисності таких чисел! Далі, при n=23 доказ «великий теореми Ферма «наштовхнулося на неоднозначне розкладання комплексних чисел певного виду на прості множники. Цю нову революцію у алгебрі викликав Ернст Куммер у середині 19 століття…

В цілому, діяльність Ферма (як і діяльність Архімеда) можна порівняти з роботою повноцінної Академії Наук. Та ба — за життя Ферма таких академій не було! І наукових журналів для публікації нових відкриттів. Тому всі великі вчені Європи впізнавали то досягненнях своїх колег із взаємної листування. Деякі любителі математики (як абат Мерсенн у Парижі) зробили таку листування своєю головною внеском до науки. Вони регулярно повідомляли усім своїм кореспондентам у тому, які факти відкрили їх далекі колеги. Якщо новий факт приваблював чиєсь увагу, або від автора вимагали письмового докази. У іншому разі повідомлення повисало повітря. Згодом Осип із багатьма оголошеннями Ферма теоретично чисел; від того дві його помилки у цій галузі (з рівнянням x. + у. = z. і з простими числами виду 2…+1) залишилися непоміченими.

Такой «аматорський «стиль колективної роботи у науці було уникнути і навіть зручний, поки я під всій Європі одночасно працювали два-три десятки великих учених. Щойно їх побільшало — спільну працю довелося організувати з допомогою наукових закладів. Цей перелом стався у 1660-е роки. У 1662 року оголосило про своє народження Королівське Суспільство у Лондоні, а 1666 року за його зразком виникла Паризька Академія наук. Обидва ці співдружності вчених відразу почали публікувати звіти про своє зборах і про тих відкриттях, які тоді обговорювалися. Відтоді науковий інтернаціонал європейців почав розвиватися швидко і нестримно. У рік смерті Ферма до науки ввійшов самий прославлений учений 17 століття — Ісаак Ньютон…

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.