Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості (пошукова робота)

Пошукова робота на тему:

Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості.

План.

• охідна за напрямком.

• радієнт функції.

• сновні властивості.

1. Похідна функції за напрямком і градієнт.

Нехай — функція, означена в області. Розглянемо деяку точку і деякий напрямок, визначений напрямними косинусами і (тобто і - косинуси кутів, утворених вектором з додатними напрямками осей координат і). При переміщенні в заданому напрямку (рис. 7.10) точки в точку функція одержує приріст.

(7.46).

який називається приростом функції в заданому напрямку .

Якщо є величина переміщення точки, то із прямокутного трикутника одержуємо, , отже,.

. (7.47).

Означення. Похідною функції в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля, тобто.

. (7.48).

З цієї точки зору похідні і можна розглядати як похідні функції в додатних напрямках осей координат і. Похідна визначає швидкість зміни функції в напрямку .

Виведемо формулу для похідної, вважаючи, що функція диференційована. Із означення диференціала функції випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала функції на вищий порядок малості відносно приросту незалежних змінних. Тому.

.

де і при і. Звідси в силу співвідношень (7.47) одержуємо.

.

Отже,.

.

Переходячи до границі в останній формулі при, тобто при і, одержимо формулу для похідної функції в заданому напрямку:

. (7.49).

Приклад. Обчислити в точці похідну функції в напрямку, що складає кут з віссю .

Р о з в ' я з о к.

.

Зауваження. Для функції її похідна в напрямку дорівнює.

(7.50).

Рис. 7.10 Рис. 7.11.

При вивчені поведінки функції в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції .

Означення. Градієнтом функції в точці в даній точці називається вектор, розміщений в площині аргументів і, який має своїм початком цю точку і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції в цій точці :

(7.51).

Тут — орти координатних осей і .

Теорема. Градієнт диференційованої функції в кожній точці за значенням і напрямком дає найбільшу швидкість зміни функції в цій точці.

Д о в е д е н н я. Запишемо вираз (6.71) похідної як скалярний добуток двох векторів:

.

Перший із співмножників є .

Звідси буде мати найбільше додатне значення лише в тому випадку, якщо напрямки векторів і збігаютьсяце найбільше значення дорівнює модулю, тобто числу.

.

Теорема доведена.

Напрямок, протилежний градієнту, є напрямком найвищого спадання .

Приклад. Знайти напрямок найшвидшого зростання функції в точці і обчислити значення похідної в цьому напрямку.

Р о з в ' я з о к. Обчислюємо градієнт функції в точці :

.

Отже, шуканий напрямок складає кут з віссю .

Похідна .

Нехай точка лежить на лінії рівня в точці з рівнянням. Кутовий коефіцієнт дотичної до в точці (рис. 7.11) дорівнює (7.61)). Кутовий коефіцієнт градієнта в точці дорівнює .

Порівнюючи ці два кутові коефіцієнти, виводимо: градієнт функції в точці напрямлений за нормаллю до лінії рівня, яка проходить через точку .

Зауваження. Градієнт функції в точці запишеться так:

(7.52).

де — орти координатних осей.