Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. 
Правило Лопіталя. 
Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних (пошукова робота)

Пошукова робота на тему:

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних.

План.

• сновні теореми диференціального числення.

• еорема Ролля.

• еорема Лагранжа.

• еорема Коші.

• равило Лопіталя.

• ормула Тейлора для многочлена.

• ормула Тейлора для довільної функції.

• ормула Тейлора для функції двох змінних.

6.12. Основні теореми диференціального числення.

У курсі математичного аналізу одне з центральних місць займають так звані теореми про середнє значення, до яких належать теореми Ролля, Лагранжа і Коші. В цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами про середнє.

6.12. 1. Теорема Ролля.

Теорема. Нехай функція задовольняє умовам:

1) визначена і неперервна на відрізку :

2) диференційована в інтервалі ;

3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .

Тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка в якій .

Д о в е д е н н я.

Випадок 1. Функція на відрізку є сталою:

.

Тоді, тобто в кожній точці похідна дорівнює нулю, а тому за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справедлива.

Випадок 2. Функція не є тотожною сталою на відрізку. Оскільки за умовою теореми не є неперервною, то вона на відрізку набуває найбільшого і найменшого значень. Позначимо найбільше значення через, а найменше — через. Зрозуміло, що в розглянутому випадку .

Через те, що, то хоча б одне з чисел або досягається функцією всередині інтервалу. Нехай, наприклад, число досягається функцією всередині інтервалу, тобто існує хоча б одна точка, позначимо її, в якій.

.

Покажемо, що .

Справді, оскільки є найменше значення функції на відрізку, то це число буде найменшим і серед значень функції, які вона набуває для всіх з деякого досить малого околу точки. Позначимо цей окіл через .

Тоді для всіх справджуватимуться нерівності.

при ,.

при .

Розглянемо відношення, для якого справедливі нерівності.

при ,.

при ,.

причому .

Перейдемо в цих нерівностях до границі, коли. Тоді границя відношення, яке стоїть в лівій частині нерівностей, існує і дорівнює похідній, тому.

.

Звідси випливає, що. Теорему доведено.

З’ясуємо геометричний зміст теореми Ролля (рис. 6.9):

1) графік функції є суцільна лінія (- неперервна на відрізку);

2) крива, що є графіком функції, є гладкою кривою (крива називається гладкою, якщо в кожній її точці можна провести дотичну);

3) крайні точки графіка знаходяться на однаковій висоті від .

6.12. 2. Теорема Лагранжа.

Теорема. Якщо функція: 1) задана і неперервна на відрізку — 2) диференційована в інтервалі, то тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка, в якій справджуються рівність.

. (6.73).

Д о в е д е н н я. Розглянемо функцію.

.

що задовольняє всім умовам теореми Ролля. Справді, на відрізку є неперервною (як різниця двох неперервних функцій), а всередині інтервалу має похідну.

;

.

Отже, існує точка в якій або, що саме,.

звідси.

Теорему доведено.

Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа. Нехай графік функції зображено на рис. 6.10. Відношення є кутовий коефіцієнт січної, а — кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою. Обидва кутові коефіцієнти однакові. Отже, дотична і січна паралельні. Тому висновок теореми Лагранжа можна сформулювати так: на дузі знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до кривої паралельна хорді .

Оскільки, то можемо записати:

.

Рис. 6.19 Рис. 6.10.

Отже, рівність (6.73) можна записати в такому вигляді:

.

або.

.

Зокрема, покладемо, одержимо рівність.

.

Вираз, який стоїть у лівій частині останньої рівності, є не що інше, як приріст функції в точці. Отже, дістаємо формулу.

. (6.74).

Формула (6.74) виражає точне значення приросту функції.

в точці за будь-якого скінченого значення приросту аргументу і має назву формули скінчених приростів.

Наслідок 1. Якщо функція на проміжку має похідні і за будь-якого, то на даному проміжку є сталою.

Д о в е д е н н я. Візьмемо в проміжку дві довільні точки Тоді функція на відрізку задовольняє умовам теореми Лагранжа і справедливою є рівність.

.

Проте при будь-якому, зокрема і при, дорівнює нулю. Тоді з попередньої нерівності випливає, або .

Оскільки і - довільні точки проміжку і функція у цих точках набуває однакових значень, то є сталою.

Тепер ми можемо сформулювати такий критерій сталості диференційованої функції на заданому проміжку: для того, щоб диференційована на проміжку функція була сталою, необхідно і достатньо, щоб в кожній точці цього проміжку дорівнювала нулю.

Наслідок 2. Якщо функції і на проміжку мають похідні, і за будь-якого, то різниця між цими функціями є величина стала.

Д о в е д е н н я. Позначимо різницю через: .

Тоді функція на проміжку має похідну :

.

Проте, тому. Звідси випливає, що або, що те саме, .

6.12.3. Теорема Коші.

Теорема. Нехай: 1) функції і задані і неперервні на відрізку — 2) диференційовані в інтервалі - 3) похідна всередині інтервалу не дорівнює нулю. Тоді всередині інтегралу знайдеться така точка, що має місце рівність.

. (6.75).

6.13. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.

Розглянемо невизначеність виду .

Теорема 1. Нехай для функцій і виконуються умови:

1) функції визначені на півінтервалі і.

;

2) в інтервалі диференційовані, причому для всіх ;

3) існує (скінчена або нескінченна) границя.

.

Тоді існує границя відношення при і ця границя дорівнює теж числу, тобто.

.

Висновок цієї теореми читають ще так: границя відношення функції дорівнює границі відношення похідних від цих функцій.

Наведену теорему називають першим правилом Лопіталя.

Зауваження 1. Може статися, що поряд з рівностями виконуються рівності.

Нехай.

тоді, застосовуючи двічі доведену теорему, дістаємо таку рівність:

Взагалі цей спосіб можна застосовувати доти, поки не прийдемо до відношення яке має при певну границю. Тоді.

У цьому випадку кажуть, що правило Лопіталя використовується разів.

Зауваження 2. Теорема 1 при виконанні її умов справджується і тоді, коли точка є невласною, тобто. У цьому випадку.

Справді, застосувавши підстановку, маємо.

Сформулюємо другу теорему Лопіталя, яка стосується розкриття невизначеності виду.

Теорема 2. Нехай для функцій і виконуються умови:

1) функції визначені на півінтервалі і при цьому.

2) функції диференційовані в інтервалі причому.

3) існує (скінчена або нескінченна) границя.

Тоді.

.

Зауваження 3. Крім невизначеностей є ще й інші невизначеності: Проте всі вони зводяться до невизначеності або.

Справді, нехай, наприклад, маємо невизначеність Інакше кажучи, нехай маємо функції і такі, що Тоді добуток можна зобразити у вигляді частки:

Отже, у правій частині ми маємо невизначеність виду.

Якщо маємо невизначеність, тобто і то різницю можна записати:

отже, в правій частині маємо невизначеність виду.

Якщо маємо степінь і тобто невизначеність виду, то її розкривають так.

Припускаючи, що, вираз має вигляд.

У показнику при маємо невизначеність виду, яка (це було показано вище) зводиться до невизначеності. Аналогічно невизначеності розкриваються невизначеності, .

Приклади. Користуючись теоремами Лопіталя, знайти границі функцій:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

Р о з в ' я з о к. Перевіримо виконання умов теорем Лопіталя для першого прикладу. Для прикладів пропонуємо умови теорем перевірити самостійно.

1. Нехай. Розглядатимемо пів інтервал, де — довільне число. Тоді. Знаходимо похідні за будь-якого, а потім.

.

Отже, виконуються всі три умови першої теореми Лопіталя. Тому.

.

2. Маємо невизначеність виду. Використавши першу теорему Лопіталя, одержимо.

.

3. Маємо невизначеність виду, тому використовуємо другу теорему Лопіталя:

.

4. Маємо невизначеність виду. Зводимо її до невизначеності. Для цього запишемо у вигляді.

.

Отже, дістали невизначеність. Тому.

.

5. Маємо невизначеність. Запишемо добуток.

так:. Дістали невизначеність. Тому.

Під знаком границі в правій частині останньої рівності знову маємо випадок, коли чисельник і знаменник прямують до, тобто маємо ту саму невизначеність. Застосувавши раз друге правило Лопіталя, дістаємо.

6. Маємо невизначеність. Тоді.

Знайдемо границю показника:

тому.

7.Маємо невизначеність виду. Запишемо даний вираз:

. Дістали невизначеність .

Отже,.

.

8. Маємо невизначеність виду. Запишемо даний вираз:

.

Знайдемо границю показника:

.

Отже,.

6.14. Формула Тейлора.

6.14.1. Формула Тейлора для многочлена.

Нехай задано многочлен.

де — довільні дійсні числа, які називаються коефіцієнтами многочлена.

Виразимо коефіцієнти даного многочлена через значення многочлена та його похідні.

З цією метою будемо послідовно диференціювати многочлен. Матимемо.

.. .. .. .. .. .. .. .. ... .

Підставляючи в ці рівності, дістаємо.

.. .. .. ... .

Тоді многочлен набуде вигляду.

(6.76).

Може трапитися, що многочлен буде записаний за степенями різниці, де — довільне дійсне число:

— дійсні числа. Тоді многочлен можна записати так:

(6.77).

Формулу (6.77) називають формулою Тейлора для многочлена.

6.14.2. Формула Тейлора для довільної функції.

Візьмемо довільну функцію, яка в околі деякої точки і в самій точці має похідні дого порядку включно.

Тоді для такої функції можна побудувати многочлен.

(6.78).

Цей многочлен називається многочленом Тейлора для функції.

Розглянемо таку різницю:

Оскільки залежить від то й залежить від.

Тоді.

або.

(6.79).

Формула (6.79) називається формулою Тейлора для функції а функція — залишковим членом формули Тейлора.

Отже, формула Тейлора (6.79) відрізняється від формули Тейлора (6.77) для многочлена тим, що вона містить залишковий член Виразимо через похіднуго порядку від функції.

Теорема. Якщо в деякому околі, наприклад, на відрізку точки має неперервні похідні дого порядку включно, то залишковий член у формулі Тейлора можна записати у вигляді.

(6.80).

де.

Формула (6.79) записується тепер у вигляді.

(6.81).

і справедлива для будь-якого.

Формула (6.81) називається формулою Тейлора із залишковим членом виду Лагранжа. Якщо в цій формулі покласти, то матимемо так звану формулу Маклорена.

(6.82).

Враховуючи вирази для диференціалів різних порядків функції можна записати формулу (6.81) в диференціальній формі:

(6.83).

6.14.3. Формула Тейлора для функції двох змінних.

Нехай функція має в околі точки неперервні частинні похідні дого порядку включно. Формулу Тейлора зручно записати в диференціальній формі:

(6.84).

де.

Аналогічний вигляд має формула Тейлора для функції більшого числа змінних.