Формування умінь молодших школярів розв"язувати складені задачі

Дипломна робота на тему:

«Формування умінь молодших школярів розв'язувати складені задачі»

Зміст

Вступ Розділ 1. Проблема формування умінь розв’язувати задачі у теорії та практиці

1.1 Математичні задачі у математиці початкової школи як педагогічний засіб

1.2. Психолого-педагогічні передумови використання задач у початковій школі

1.3 Стан досліджуваної проблеми у теорії і практиці навчання математики Розділ 2. Методика навчання молодших школярів розв’язуванню складених задач

2.1 Методичні підходи до опрацювання складених задач

2.2 Організація експериментального дослідження та його результати Висновки Список використаних джерел

Вступ

В епоху науково-технічної революції поширення математичних знань стає загальною потребою. Застосовувати математичні методи і знання після закінчення школи будуть всі. Тому вже в процесі навчання математика повинна виступати перед учнями не тільки як система логічних правил і дедуктивних доведень, а й як метод пізнання, як засіб розв’язування питань практичного характеру. Вивчення математики в початковій школі повинно забезпечити оволодіння учнями математичними знаннями, уміннями і навичками, розвиток дітей, необхідний для подальшого вивчення предмета. Ця освітня галузь сприяє розвитку пізнавальних здібностей молодших школярів — пам’яті, логічного і творчого мислення уяви, математичного мовлення.

З розвитком науки, культури і техніки значення математики зростає як в науково-практичній діяльності людства, так і в навчанні та вихованні молоді. Значення математики як науки і навчального предмета підкреслювали генії людства. «Ніякі людські дослідження не можна назвати справжньою наукою, якщо вони не пройшли через математичні доведення», — говорив Леонардо да Вінчі.

Щоб навчитися плавати, потрібно лізти у воду. Щоб знати математику, потрібно постійно розв’язувати задачі. Цим і досягається дві корисні і потрібні речі: виробляється вміння логічно і чітко мислити і усвідомлено застосовувати здобуті знання.

Одним із найскладніших математичних умінь є вміння розв’язувати текстові задачі. Термін «задача» вживається в різних значеннях. У найширшому плані можна сказати, що задача передбачає необхідність свідомого пошуку відповідних засобів для досягнення мети, яку добре видно, але яка безпосередньо недосяжна.

Особливо велику роль відіграють задачі в навчанні математики в початкових класах. Ця роль визначається, з одного боку, тим, що учні мають оволодіти методами розв’язування певної системи математичних задач; з другого боку, вона визначається й тим, що повноцінне досягнення цілей навчання можливе лише за допомогою розв’язування учнями тієї чи іншої системи задач.

Таким чином, розв’язування математичних задач є метою і засобом навчання. Задачі є тим конкретним матеріалом, за допомогою якого в дітей формуються нові знання і закріплюються в процесі застосування вже здобуті знання.

Сам процес розв’язування задач за певної методики позитивно впливає на розумовий розвиток школярів, оскільки він потребує виконання розумових операцій: аналізу і синтезу, конкретизації і абстрагування, порівняння, узагальнення.

Нині вже ні в кого не викликає сумніву той факт, що в методиці навчання не може бути готових рецептів, не може бути в принципі таких порад, вказівок щодо різноманітних окремих питань, які виникають у процесі навчання розв’язування складених задач, що були б придатні для всіх без винятку вчителів і учнів. Щоб учні успішно засвоїли процес розв’язування складених задач, вчителю потрібно подати навчальний матеріал так, щоб в усіх дітей не виникало жодних запитань до способу розв’язування задач. Саме тому вчитель має обрати правильну методику для пояснення цього матеріалу, оскільки він закладає своєрідний фундамент у вивченні математики. Вміння розв’язувати складені задачі ляже в основу подальшого вивчення математики як в початковій школі, так і в старшій.

Як говорить російське прислів'я, «Повторение — мать учения», так і у процесі розв’язування складених задач, ми маємо кожен раз повторювати раніше засвоєні знання і на основі цих повторень вивчати новий матеріал, оскільки вміння розв’язувати складену задачу буде тим критерієм, за яким визначиться успішність учнів у подальшому вивченні математики в цілому. Адже, на основі задач будується основна частина даного предмету.

У цій дипломній роботі досліджено проблему — підвищення продуктивності навчання учнів розв’язувати складені задачі на уроках математики у початковій школі. Проблема дослідження переростає у його мету, оскільки полягає в тому, щоб розв’язати дану проблему. Отже, метою дослідження є: вивчення ефективності традиційних підходів до ознайомлення учнів зі складеними задачами та впровадження оптимальних шляхів навчання учнів цих задач. Об'єкт дослідження — навчання учнів розв’язувати складені задачі. Предметом дослідження є шляхи удосконалення методів і прийомів ознайомлення учнів з новим видом складеної задачі.

Завдання дослідження з даної теми є такими:

а) вивчити історичні аспектів досліджуваної проблеми та процесу її розвитку;

б) проаналізувати теоретичний матеріал з питань навчання учнів розв’язувати складені задачі;

в) узагальнити практику навчання розв’язувати складені задачі;

г) Експериментально перевірити добірку завдань для формування вмінь розв’язувати складені задачі.;

В залежності від завдань, які поставлені перед нами для розкриття даної проблеми, потрібно добрати і методи дослідження. Вибір методів обумовлюється специфікою досліджуваного матеріалу та завданнями етапу дослідження. Використано такі методи: розповідь, бесіда, Також використовувався метод спостереження, порівняння, експеримент.

Використовувався метод вивчення та узагальнення педагогічного досвіду, вивчення шкільної документації. Перевірка концепції дослідження здійснювалася шляхом педагогічного експерименту.

Система ключових слів: задача, складена задача, схематичний малюнок, типова задача.

Розділ 1. Проблема формування умінь розв’язувати задачі у теорії та практиці

1.1 Математичні задачі у початковій школі як педагогічний засіб

У навколишньому житті виникає безліч таких життєвих ситуацій, які пов’язані з числами і потребують виконання арифметичних дій над ними. Це задачі. Під математичною задачею розуміють будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, що стосується кількісних відношень і просторових форм, створених людським розумом на основі знань про навколишній світ.

Арифметичною задачею називають вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших величин і існує залежність, яка пов’язує ці величини як між собою, так і з шуканою.

Задача 1. Дітям для посадки виділили 15 саджанців яблуні і 10 саджанців сливи. Скільки всього саджанців виділили дітям?.

Задача 2. Легкова машина була в дорозі 4 год і їхала зі швидкістю 56 км за годину. Яку відстань проїхала машина?

Задача 3. У магазині продали два сувої ситцю. За перший сувій виручили 18грн, а за другий у 2 рази більше. Скільки грошей виручили за другий сувій?

Ось зразки задач, які розв’язують діти в початковій школі. Що спільного в цих задачах?

Насамперед кожна задача включає числа відомі і шукані. Числа в задачі характеризують чисельності множин або значення величин, виражають відношення або є абстрактними числами.

Кожна задача має умову і запитання. В умові задачі зазначають зв’язки між даними числами, а також між даними і шуканим, ці зв’язки і визначають вибір відповідних арифметичних дій. Запитання визначає, яке число є шуканим.

Розв’язати задачу — означає розкрити зв’язки між даними і шуканим, задані умовою задачі, на основі чого вибрати, а потім виконати арифметичні дії і дати відповіді на запитання задачі.

У системі навчання учнів початкових класів загальноосвітньої школи переважають арифметичні задачі. Задачі на побудову, найпростіші доведення, а також завдання логічного порядку займають порівняно незначне місце.

Задачі мають як і навчальні, так і виховні та розвиваючі функції.

Навчальні функції задач спрямовані на формування системи математичних знань, умінь та навичок на різних етапах її засвоєння. Початкове розкриття змісту арифметичних дій здійснюється за допомогою відповідних операцій над множинами. Засобом переходу від операцій над множинами предметів до дій над натуральними числами є задачі. Розв’язуючи задачі, учні спираються на уявлення про предмети, які згадуються в умові, але оперують уже числами.

Текстові задачі, що відображають конкретні ситуації, використовуються для ознайомлення учнів з певними математичними поняттями та закономірностями, для з’ясування взаємозв'язків між словом і символом. У деяких випадках формування теоретичних знань через задачі може бути організоване у вигляді проблемної форми навчання.

Навчальні функції задач виявляються також в процесі контролю знань і математичного розвитку учнів. Самостійне розв’язування учнями задач як засіб оберненого зв’язку (учень — учитель) дає змогу виявляти вміння правильно обирати і виконувати арифметичні дії, робити висновок про розвиток мислення школярів.

Виховні функції задач дають змогу пов’язати навчання з життям, ознайомити учнів з пізнавально важливими фактами, виховують у дітей свідоме ставлення до навчання, любов до Батьківщини, бажання зробити власний внесок у загальну справу.

Під розвивальними розуміють функції задач, спрямовані на формування в учнів науково-теоретичного, зокрема функціонального, стилю мислення, на оволодіння ними прийомами розумової діяльності. У процесі розв’язування задач учні виконують різні розумові операції (аналіз, синтез, конкретизація і абстрагування, порівняння, узагальнення), висловлюють судження і міркування.

Усі арифметичні задачі за кількістю дій, які треба виконати, щоб їх розв’язати, поділяють на прості і складені. Задачу, для розв’язування якої треба виконати одну арифметичну дію, називають простою.

Задачу, для розв’язання якої потрібно виконати дві чи більше пов’язаних між

собою арифметичних дій, називають складеною.

Розв’язування задачі - це процес перетворення її умови, який здійснюється на основі знань з тієї галузі, до якої належить задача, певних загальнологічних правил. У найбільш загальному плані можна сказати, що цей процес складається з таких етапів: ознайомлення із змістом задачі; аналіз задачі і пошук плану розв’язування; здійснення знайденого плану розв’язування (розв'язування); з’ясування, що здобутий результат задовольняє умову задачі (перевірка розв’язування); аналіз розв’язування (обґрунтування прийомів розв’язування, розгляд інших способів розв’язування). Для початкової школи здебільшого виділяють такі етапи: ознайомлення із змістом задачі; відшукання способу розв’язування; розв’язування задачі; перевірка розв’язування і відповідь.

Ознайомлення із змістом задачі. Усвідомлення змісту задачі - необхідна умова її розв’язання. Учень не повинен приступати до розв’язування задачі, не зрозумівши її. Тому ознайомлення із задачею містить і опанування її змісту, і перевірку усвідомлення його дітьми.

Учень ознайомлюється із змістом задачі зі слів учителя або самостійно. При фронтальному ознайомленні вчитель читає задачу двічі. Першого разу читають з метою ознайомлення з її змістом у цілому. Другого разу задачу читають частинами і так, щоб кожна частина містила певну смислову «одиницю» тексту. Поділ задачі на частини здебільшого передбачає виділення окремих числових даних її. Під час другого читання нових задач доцільно на дошці виконувати їх короткий запис.

Учень зможе успішно розв’язати задачу, якщо розумітиме значення слів і виразів, з яких її побудовано.

Вибір ілюстрації до задачі, повнота її аналізу, ступінь самостійності учнів під час розв’язування залежить від новизни і складності самої задачі. При цьому треба мати на увазі, що основна навчальна мета — розвинути в учнів уміння самостійно розв’язувати текстові задачі - досягається тривалою практикою розв’язування задач і з використанням наочності, так і без неї.

Мета використання ілюстрації - виявити величини, про які йдеться в задачі, та з’ясувати зв’язки між ними. Поширеною формою ілюстрації задачі є короткий запис задачі (схематичний, табличний) чи малюнок, які фіксують у зручній для сприймання формі величини (дані і шукані), допомагають розкрити залежності між ними. Схематичне зображення якого-небудь виду задач не обов’язково повинно мати єдину форму. Варто показувати дітям різні форми короткого запису однієї і тієї самої задачі чи задач одного виду.

Задача. Дівчинка зірвала з одного дерева 5 груш, а з другого 4 груші. 7 груш вона віддала брату. Скільки груш в неї залишилося?

Зірвала — 5 г. і 4 г.

Віддала — 7 г.

Залишилося — ?

Задача. На столі лежало 4 зелених олівців і кілька червоних. Всього було 8 олівців. Скільки червоних олівців лежало на столі?

Червоних — ?

Зелених — 4 8

Задача. З однієї яблуні зірвали 5 кошиків яблук, а з другої — на 2 кошики більше. Скільки кошиків яблук зірвали з другої яблуні?

Задача. З 14 м полотна пошили 7 наволочок. Скільки таких наволочок можна пошити з 8 м полотна?

Короткий запис задачі - це засіб навчання, а не складова частини програми з математики.

Аналіз задачі і відшукання способів її розв’язування. Пошук способу розв’язування задачі здебільшого здійснюється у процесі розбору задачі від числових даних до запитання (синтетичний) або від запитання до числових даних (аналітичний). Детальніше про ці способи відшукання результату йтиме мова пізніше. Скажемо кілька слів про негативні сторони цих способів розв’язання задачі. Спосіб розбору від числових даних до запитання для дітей легший, але застосування його може дати зайві проби. Спосіб розбору задачі від запитання до числових даних більш цілеспрямований щодо складання плану розв’язання задачі, тут треба мати на увазі не одну яку-небудь дію, а хід міркування в цілому. Однак для задач на три і більше дій він громіздкий.

Щоб навчити учнів користуватися цими способами, треба спочатку пояснити їх, навести зразки, виконати аналіз кількох задач, а потім зробити повторний аналіз задач після їх розв’язання.

Розв'язування задачі. Розв’язування складеної задачі - це виконання арифметичних дій відповідно до складеного плану.

Задачі розв’язують усно або письмово: усно — це без запису арифметик дій у зошит, письмово — із записом дій у зошитах. При усному розв’язанні учні здебільшого повідомляють тільки відповіді або коментують виконання кожної дії і повідомляють відповідь. Усне розв’язання задач часто проводять в умовах ігрової ситуації.

При письмовому розв’язанні учні розв’язують задачу з записом її у зошити і одночасним письмовим чи усним коментуванням пояснення до дії. З різними формами пояснення учитель ознайомлює учнів поступово. Обсяг письмових пояснень збільшується в міру оволодіння дітьми навички письма.

Перевірка розв’язання і відповідь. Перевірити розв’язок задачі - це з’ясувати, правильне воно чи ні. У початкових класах доцільно поступово запроваджувати такі прийоми перевірки: встановлення відповідності результату і умови; розв’язування задачі різними способами; складання і розв’язування обернених задач; порівняння відповіді з певним даним числом.

1.2 Психолого-педагогічні передумови використання задач у початковій школі

Урок математики це не просто урок, на якому вчаться рахувати, складати вирази і розв’язувати задачі, а це ще й потужний механізм, який розвиває у дитини такі психологічні показники як логічне мислення, пам’ять, уяву (фантазію), здібностей.

Мислення. Одним із важливих завдань математики у початкових класах є розвиток пізнавальних здібностей школярів, ведучу роль при цьому відіграє розвиток мислення дитини. Завдання полягає в тому, щоб навчити дітей спостерігати і порівнювати, виділяти риси відмінності та схожості в порівнювальних об'єктах.

Прийоми розумової діяльності відіграють важливу роль у навчанні учнів і зокрема у розв’язанні проблеми «вчити — вчитися». Розвиток розумових здібностей, в тому числі і розвиток мислення, є компонентом загальної задачі математичної освіти. Що розуміють під терміном «математичне мислення»? (Це процес опосередкованого узагальненого пізнання людиною предметів і явищ об'єктивної діяльності у їх суттєвих властивостях, зв’язках і відношеннях).

Часто стверджують, що уже саме вивчення математики розвиває мислення. Дійсно, більшість психологів, дидактів та вчителів-практиків визнають, що озброєння учнів знаннями та їх розумовий розвиток, включаючи розвиток мислення, здійснюється разом, оскільки формування і розвиток мислення проходять тільки в процесі засвоєння та застосування знань. Але С. В. Рубінштейн вказував, що не можна підпорядкувати проблему розвитку мислення проблемі засвоєння знань. Кожна із цих проблем має самостійне значення та свій шлях реалізації.

Під час навчання розв’язуванню складених задач у дітей формується мислення, оскільки потрібно подумати на скільки дій задача, якою арифметичною дією розв’язуватиметься, що потрібно записати в дужках. А всі ці операції і те саме мислення.

Мислення у процесі навчання здійснюється на двох рівнях — емпіричному та теоретичному. Основою емпіричного мислення являється шлях поступового узагальнення матеріалу з варіюванням частинних випадків. В основі теоретичного мислення лежить шлях узагальнення, пов’язаний з аналізом лише одного явища у ряді схожих явищ, і вищої форми аналізу — аналізу через синтез. С.Л. Рубінштейн показав керівну роль аналізу і синтезу у процесі мислення. В психології аналіз і синтез — це складові психічного процесу на різних рівнях відображення дійсності у мозку людини. А ось в методиці математики термінами «аналіз» і «синтез» традиційно називають два протилежні за ходом думки міркування, які застосовують при розв’язуванні задач. Розв’язання будь-якої задачі починається із її аналізу, із виділення того, що дано — умови, і того, що треба знайти — запитання задачі. Далі йде співвідношення умови та її розв’язання, тобто синтез.

Єдність аналізу і синтезу уже на рівні емпіричного мислення виразно виступає у порівняння.

Порівняння — це розумова дія, з допомогою якої у предметах виділяють окремі ознаки, знаходять загальні та відмінні їх властивості. Порівняння починається із співвіднесення або співставлення предметів і явищ, тобто із синтезу. К. Д. Ушинський вказував, що порівняння — основа всякого розуміння і мислення, а значить і всієї аналітико-синтетичної діяльності.

Узагальнення розкриває природу мислення та його склад. Воно використовується в різних видах навчально-пізнавальної діяльності при вивченні математики: при формуванні понять, виведенні певних властивостей арифметичних дій, розв’язуванні задач.

Уява (творча фантазія). Не менш важливою є уява (творча фантазія). Уява — це психічний процес, який є надзвичайно важливим для розвитку творчості, творчого мислення.

Творча уява вимальовує нові, оригінальні образи та ідеї. Саме вона доповнює творче мислення і взаємодіючи з ним, становить основу людської творчості.

Уява і фантазія розвиваються в нормі за звичайними законами розвитку вищих психічних функцій — від мимовільної уяви до довільної, від репродуктивної до творчої. Не виникає сумніву, що розвиткові творчої уяви сприяють казки, художня література, хороші фантастичні твори. Однак існують і безпосередні прийоми, вправи, виконання яких тренує уяву.

Уява і фантазія дуже важливі при розв’язуваннях задач, оскільки розв’язуючи задачу на рух, дитина вже раніше бачила, як рухається автомобіль чи велосипедист, але не кожен учень бачив як їде катер чи злітає вертоліт. Та все це він може собі уявити.

Здібності. Кожна людина від народження має якісь вроджені здібності до певного виду діяльності; поза діяльністю цю властивість людини не можна розпізнати, описати і охарактеризувати. Здібною до певної галузі діяльності (технічної, наукової, математичної) називаємо ту людину, яка легко освоює цю діяльність, швидко оволодіває необхідними для неї знаннями, вміннями і навичками, успішно справляється з вимогами, які їй поставлені.

Кожна здібність людини є складовою її властивістю. Являючи собою внутрішню можливість людини справитися з тими вимогами, що їх ставить певна діяльність, вона спирається на ряд інших її властивостей. До них треба віднести її життєвий досвід, надбані нею знання, вміння і навички. Але і при однакових приблизно знаннях, вміннях і навичках люди бувають неоднаковими щодо їх здібностей. Здібності є лише можливістю до набуття знань, умінь та навичок. А будуть чи не будуть здобуті ці знання та вміння залежить від таких умов:

ъ чи буде оточуюче середовище зацікавлене в тому, щоб дана особа володіла цими уміннями та знаннями;

ъ як особу будуть навчати, як буде організована трудова діяльність, в якій ці уміння і навички будуть закріплюватися.

Здібності - це індивідуально — психологічні особливості особистості, що являються умовами успішного виконання даної діяльності і виявляють відмінності в динаміці оволодіння необхідними для неї знаннями, уміннями та навиками.

Здібності до математики, як і всі здібності - продукт розвитку. Вони формуються і розвиваються у процесі навчання математики.

Математичні здібності - складне структурне психологічне утворення, своєрідний синтез властивостей, індивідуальна якість розуму, яка поєднує різноманітні його сторони і розвинута в процесі математичної діяльності. Вказана сукупність являє собою єдине ціле.

Задатки — обумовлені спадковими генами можливості розвитку анатомо-фізіологічних і деяких психічних властивостей, дійсний розвиток яких залежить від їх взаємодії з середовищем. Але слід пам’ятати, що задатки не виявляють у собі здібностей і не гарантують їх розвиток. Задатки — це тільки одна з умов формування здібностей.

Здібності дітей до певного виду діяльності вивчаються саме в цій діяльності. Математична діяльність учнів у процесі шкільного навчання є розв’язування різного роду задач. Щоб діяльність позитивно вплинула на розвиток здібностей, то вона повинна викликати у дитини сильні і стійкі позитивні емоції, задоволення, прагнення займатися нею; діяльність дитини повинна бути по можливості творчою, а не репродуктивною.

Найбільш природній шлях встановлення рівня здібностей — це порівняння тих, хто успішно, творчо виконує певну діяльність з тими, хто не успішно виконує цю діяльність. Основною діяльністю учнів є навчання. Отже, рівні здібностей учнів виявляються в успішності засвоєння знань, оволодіння вміннями і навичками.

У кожному класі можна умовно виділити три групи учнів — здібні до математики, середні і нездібні до математики учні. Виділяють ще такі-математично обдаровані, учні з підвищеними математичними здібностями, з нормальними віковими математичними здібностями, зі зниженими математичними здібностями і відстаючі.

1.3 Стан досліджуваної проблеми у теорії і практиці навчання математики

На сучасному етапі розбудови шкільної математичної освіти розв’язування задач у навчанні математики переслідує такі цілі: формування в учнів загального підходу, загальних умінь і здібностей розв’язання будь-яких задач; пізнання і більш глибоке оволодіння математичними поняттями, що визначаються, і деякими загальнонауковими поняттями; оволодіння поняттями моделі й моделювання і власне математичним моделюванням; розвиток мислення, кмітливості учнів, їх творчого потенціалу. Дослідженню цієї проблеми присвячені роботи М. Бантової, М. Богдановича, Г. Бевза, М. Бурди, Н. Істоміної, Ю. Колягіна, Є. Лященко, В. Мішина, С. Скворцової, Г. Саранцева, Т. Хмари та інших. Усі вчені що розробляли проблему навчання розв’язування сюжетних задач, одностайні в тому, що кінцевою метою такого навчання має бути формування в учнів загального вміння розв’язувати задачі. Між тим у методичній літературі не запропоновано відповідної цілісної методики. Є лише окремі поради щодо навчання учнів прийомів розв’язання задач.

Вчені, які працювали і працюють в даному напрямку, кажуть, що методика формування загального вміння розв’язувати задачі реалізується на матеріалі простих і складених задач, задач, що містять пропорційні величини, на знаходження суми або різниці чи кратне порівняння двох добутків або часток.

Теоретичною основою створення методики формування в молодших школярів загального вміння розв’язувати задачі є вимоги до процесу формування розумових дій, які забезпечують високу ефективність навчання навичок і вмінь, що сформульовані Л. Фрідманом, а також теорія поетапного формування розумових дій і понять П. Гальперіна, яка відповідає цим вимогам. «Формування загального вміння розв’язувати задачі базується на визначеному нами операційному складі загального вміння розв’язувати задачі та відбувається за етапами, які є загальноприйнятими у методичній науці «- каже С. Скворцова. До етапів належать такі: 1 етап — підготовча робота до введення поняття «задача» («складена задача»); 2 етап — ознайомлення з поняттям «задача» («складена задача»), його структурними елементами та етапами її розв’язання; 3 етап — формування загального вміння розв’язувати будь-які прості (складені) задачі.

«З метою попередження шаблонного й тому неадекватного підходу учнів до розв’язування окремих видів простих задач ми розширили коло питань підготовчого етапу: крім формування конкретного змісту арифметичних дій додавання і віднімання, ми пропонуємо дітям засвоїти конкретний зміст відношення різницевого порівняння та збільшення або зменшення числа на кілька одиниць, на різницеве порівняння, на знаходження невідомого доданка. Саме робота з п’ятьма видами простих задач ставить учнів в умови свідомого вибору арифметичної дії і виключає заучування способу розв’язання задач окремих видів. Необхідність вибору арифметичної дії визначає здійснення аналізу тексту задачі: виділення умови й запитання, числових даних і шуканого, зв’язків між ними, слів — ознак, на які слід спиратися при складанні схематичного рисунка (а пізніше для вибору виду математичного співвідношення) і вибору арифметичної дії для розв’язання задачі.» — коментує С. Скворцова.

При формуванні умінь розв’язувати складені задачі пропонують учням складені задачі різноманітних математичних структур і робота над задачею здійснюється за пам’яткою № 3.

Вчитель загальноосвітньої школи № 7 м. Бровари, Київської області, Бєлаш Ірина Василівна вважає, що «математика в курсі школи займає одне з головних місць серед інших предметів. Задачам в навчанні математики відведено особливу роль. З одного боку, вони становлять специфічний розділ програми, матеріали якого учні мають засвоїти, а з другого — виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів. Учні допускають чимало помилок при розв’язуванні текстових задач. Це зумовлюється тим, що не всі школярі мають чітке уявлення про структуру і механізм розв’язування задачі. Найбільшим недоліком є те, що діти не вміють їх аналізувати, уявляти відповідну життєву ситуацію, не бачать і не розуміють вказаних у задачі зв’язків між даними і шуканими, не мають навичок самоконтролю «.

Ірина Василівна вважає, що на уроці не слід «гнатися» за кількістю розв’язаних задач. Головне, щоб кожне завдання було глибоко усвідомлене учнями. Тільки тоді діти навчаться розв’язувати будь — яку задачу.

За її словами кожна нова задача не повинна виникати з нічого. Вона має спиратися на набуті вже знання і на повсякденний досвід, відповідати природній допитливості дитини.

Ось декілька прийомів, які використовує Ірина Василівна на своїх уроках:

Повторне розв’язання задач. Цей прийом відіграє певну роль під час формування і закріплення вмінь розв’язувати задачі.

Заміна запитання. Вимога щодо запитання до задачі здебільшого подається у двох формах: питальній (Скільки залишилося… Скільки стало… Яка довжина… Чому дорівнює…) та ініціативній (Знайти…, обчислити…, визначити…).

В підручниках з математики більшість задач містить слово «скільки». Тому в учнів виникає неправильне уявлення про запитання. Потрібно показувати учням — каже Ірина Василівна, — різні формулювання тієї самої вимоги. Для цього варто час від часу перебудовувати запитання. Наприклад, замість «Скільки витратили всього тканини?» можна сказати:

— Чому дорівнює загальна витрата тканини?

— Яка загальна витрата тканини?

— Знайти загальну витрату тканини.

— Обчислити загальну витрату тканини.

Цю роботу, за словами вчительки потрібно розпочинати з 1 класу. «Спочатку запитання без слова «скільки» пропоную я, а учні формулюють його, вводячи це слово. Згодом даю завдання: «Скажіть цю вимогу іншими словами», або — «Сформулюйте запитання, не змінюючи умову і розв’язання.»

Тетяна Дорофєєва, вчитель початкових класів школи № 6, м. Каховка, Херсонської області, має свою точку зору на питання — як навчити школярів розв’язувати задачі. Ось що вона радить:

" Насамперед слід навчити дитину складати короткий запис задачі, бо саме він допомагає відокремити шукане число від даних, встановити залежність між ними, правильно пояснити кожну дію, знайти правильний хід розв’язання. Форма короткого запису задачі залежить від умови, отже, учні повинні вміти вибирати опорні слова, орієнтуючись на головне слово в запитанні.

Так, у задачах на знаходження остачі діти, прочитавши запитання, швидко знаходять опорне слово залишилося. Спочатку можна практично показати, що це означає. Час від часу, слід пропонувати й такі умови, де є слово «залишилося», але задачу треба розв’язувати не відніманням, а додаванням. Так діти вчаться брати до уваги не тільки окремі слова, а весь зміст задачі." Ось, наприклад, такі задачі:

Задача 1. У Гната було 7 чистих зошитів. Три зошити він списав. Скільки чистих зошитів залишилося у Гната?

Задача 2. З минулого року в Олі залишилося 7 зошитів у клітинку і 3 зошити у лінійку. Скільки всього зошитів залишилося в Олі?

Відшукавши в запитанні другої задачі слово «залишилося», учні міркують і доходять висновку, що це слово не є головним, бо з величинами нічого не траплялося, вони як і були, так і залишилися. І знаходять інше головне слово — «всього». Отже, і опорні слова в цій задачі інші: зошити в лінійку і в клітинку.

«Щоб пояснити дію, учні мають знайти у короткому записі знак питання або два числа. Ця дія виконана, і провівши пальчиком вліво, прочитати слово. Якщо короткий запис зроблений у вигляді таблиці - відповідно вгору — вбік.

Щоб виділити у складеній задачі просту, числа, з'єднані в умові словами і, а (в значенні і), краще записувати поруч біля головного слова і негайно об'єднувати їх в одне число. Біля слова має стояти одне число. Якщо їх два — величина в задачі не відома, її треба знайти негайно.

Щоб навчити дітей складати числовий вираз до розв’язаної задачі, варто запропонувати їм такий алгоритм.

1. Знайдіть останню дію в задачі (підкресліть).

2. Подивіться на перше число останньої дії. Чи було воно в умові відоме? Так? Запишіть його.

3. Ні? Подивіться, як його одержали. Перепишіть той вираз (приклад), але без відповіді.

4. Перепишіть дію.

5. Аналогічно міркуйте над другим числом останньої дії."

Отже, аналіз короткого запису показує відношення величин і допомагає у виборі дії.

Розділ 2. Методика навчання молодших школярів розв’язуванню складених задач

2.1 Методичні підходи до опрацювання складених задач

Згідно з чинним законодавством в учнів початкової школи на уроках математики мають формуватися уміння розв’язувати прості і складені задачі різних видів. Шкільна практика свідчить про те, що найбільші труднощі викликають у дітей складені задачі.

У першому класі діти ознайомлюються з поняттям «задача», вчаться розв’язувати прості задачі; у другому класі вводять нові задачі, які розв’язуються двома діями — це перші складені задачі. До цього, розв’язуючи задачу, учні одразу відповідали на її запитання, виконавши лише одну арифметичну дію. Під час розв’язування складених задач для відповіді на запитання слід виконати кілька арифметичних дій Таким чином, потрібно спеціально готувати учнів до того, що не завжди, розв’язуючи задачу, можна одразу відповісти на ї запитання., тому що одне із числових значень поки що невідоме. З цього витікає необхідність ґрунтовної підготовчої роботи до введення задач на дві дії і продуманої методики вивчення поняття «складена задача» та подальшого формування у дітей умінь розв’язувати такі задачі.

Розв’язування складених задач — непростий за своєю структурою процес, що охоплює кілька елементарних дій:

ъ аналіз змісту задачі: виділення умови і запитання;

ъ до складання короткого запису і пояснення за ним даних задачі та запитання;

ъ проведення аналітичного (синтетичного) пошуку шляху розв’язання задачі, під час якого слід обирати числові дані;

ъ виділення на схемі аналізу (синтезу), а потім формулювання кожної простої задачі, що міститься в складеній;

ъ складання плану розв’язання задачі;

ъ запису розв’язку;

ъ запису відповіді.

Згідно з вимогами до формування умінь та навичок, сформульованими Л.М. Фрідманом, засвоюючи складну дію, формуючи відповідні уміння або навички, слід засвоювати окремо кожну з елементарних дій, з яких вона складається.

Розв’язуючи прості задачі, учні поступово опановують уміння аналізувати їх зміст — виділяти умову і запитання, пояснювати вибір арифметичної дії, якою вона розв’язується, записувати розв’язок, а також поступово формувати уміння:

ъ складати короткий запис задачі, пояснювати за ним дані задачі і запитання;

ъ міркувати від запитання задачі до числових даних (засвоюючи мовні конструкції: «Що потрібно знати, аби відповісти на запитання задачі?», «Потрібно знати два числових даних: 1-ше… та 2-ге…», «Яку арифметичну дію треба виконати, щоб відповісти на запитання задачі? Чому?», «Дію…»);

ъ записати відповідь задачі, починаючи з шуканого числа.

Під час підготовчої роботи пропонуємо ознайомити учнів з аналітичним способом розв’язування задач через створення певних ситуацій, які підкреслюють:

1. Необхідність визначення, про що можна дізнатися за певними числовими даними (ставлячи запитання до даної умови).

2. Неможливість відповіді на запитання задачі через недостатність числових даних (під час розв’язування задач з недостатньою кількістю числових даних).

3. Необхідність вибору числових значень для відповіді на перше запитання (під час розв’язування задач з зайвими числовими даними).

4. Неможливість відповіді на запитання, поставлене до даної умови, одразу (під час роботи з задачами з двома запитаннями).

5. Можливість складання задачі з двох простих, пов’язаних за змістом, виходячи із попереднього розв’язку цих задач і об'єднання схем аналізу (під час роботи над простими задачами, що пов’язані за змістом).

6. Можливість постановки додаткового запитання, яке вводить у процес розв’язування усі три числові дані, та будування схем аналізу, що складається з двох циклів (під час роботи над задачами з зайвими числовими даними; над двома послідовними простими задачами і над задачами з двома запитаннями).

Отже, підготовча робота до ознайомлення учнів зі складеною задачею полягає у розв’язанні наступних видів завдань:

ъ добір запитання до даної умови так, щоб задача розв’язувалася певною (іншою) дією;

ъ складання задач, які розв’язуються даним виразом;

ъ складання задач з числами, які розв’язуються даною арифметичною дією;

ъ розв’язування задач:

Ш з недостатньою кількістю числових даних;

Ш з зайвими числовими даними;

Ш з двома послідовними запитаннями;

Ш двох послідовних простих задач;

Ш двох послідовних простих задач, друга з яких — з недостатньою кількістю даних.

Першим з пунктів до цього виду роботи є добір запитання до даної умови метою якого є:

ъ навчити учнів ставити запитання до даної умови, на яке можна відповісти за числовими даними, що в ній міститься;

ъ закріпити мовні конструкції: «Для відповіді на запитання задачі потрібно знати два числових даних… На запитання задачі відповімо за допомогою арифметичної дії…»;

ъ вчити знаходити спільне і відмінне в текстових задачах.

Ось розглянемо для прикладу схему розбору задачі, в якій відсутнє запитання. Такі завдання подаються дітям для того, щоб вони досконало засвоїли структуру задачі.

Завдання 1. У гаражі було 11 машин. 8 машин поїхало.

— Це задача? Чому? (Це не задача, тому що тут немає запитання). Що треба зробити, щоб у нас вийшла задача? (Поставити запитання).

— Чи можна поставити таке запитання: «Скільки машин поїхало?» (Ні, тому що це вже відомо з умови). Чи можна поставити запитання: «Скільки червоних машин в гаражі?» (Ні, це запитання не пов’язане з умовою).

— Правильно, в задачі повинно бути таке запитання, відповісти на яке можна за числовими даними, поданими в умові. Які числові дані містяться в умові? (Число 11 — означає, скільки машин було в гаражі. Число 8 — означає, скільки машин поїхало.) Про що можна дізнатися за цими числовими даними? (Скільки машин залишилося в гаражі.)

— Складіть задачу з таким запитанням. Покажіть її опорну схему. Запишіть задачу коротко на дошці. Виділіть ключові слова:

Було — 11 м.

Поїхало — 8 м.

Залишилося —? м.

— Повторіть запитання задачі. Що треба знати, аби відповісти на запитання «Скільки машин залишилося в гаражі?» Два числових даних: 1-ше — скільки машин було — 11, та 2-ге — скільки машин поїхало — 8.)

— За допомогою якої арифметичної дії відповімо на запитання задачі? (Дії віднімання).

ск. машин залишилося ск. маш. було ск. машин поїхало

Прокоментуйте розв’язок задачі. (Від 11 відняти 8, отримаємо 3 машини.)

11 — 8 = 3 (м.)

Повторіть запитання та сформуйте відповідь. (Запитання: «Скільки машин залишилося в гаражі?», тому відповідь: 3 машини залишилося в гаражі.)

Завдання 2. У вазі було всього 11 троянд: із них 7 червоних, а решта — білі.

Методика роботи над завданням/.

— Це задача? Чому? Як треба доповнити текст, щоб отримати задачу? Яким повинно бути запитання? Сформулюйте задачу з цим запитанням. Покажіть її опорну схему. Визначте числові дані задачі та поясніть їх значення.

— Повторіть запитання задачі. Що треба знати, аби відповісти на нього? (Два числових даних: 1-ше — …та 2-ге — …) За допомогою якої арифметичної дії відповімо на запитання задачі? Чому?

— Прокоментуйте розв’язок задачі. Повторіть запитання. Скажіть відповідь. Чим схожі всі ці завдання? Чи можна ставити будь-яке запитання? Чому?

Завдання 7.У каструлі 5 л молока, а в бідоні 9 л молока.

Завдання 8. В їдальні на сніданок витратили 7 кг картоплі, а на обід 9 кг картоплі.

Методика роботи над завданнями 7,8.

— Виділіть числові дані. Про що можна дізнатися за ними? Складіть задачу, в якій це число буде шуканим.

— Про що ще можна дізнатися за цими числовими даними? Складіть задачу, в якій це число буде шуканим.

Чим схожі ці задачі? Чим вони відрізняються? Що треба знати, аби дізнатися «Скільки всього???»

— Що треба знати, аби дізнатися «На скільки більше (менше)???» Вчителю доцільно запитати учнів, що цікавого вони помітили.

Для відповіді на обидва запитання треба знати одні й ті самі числові дані, тому що в задачах однакові умови. Умови однакові, але запитання різні! Значить і розв’язки будуть різні! Чим вони відрізнятимуться? У таких випадках найдоречнішим методом є бесіда, оскільки учні самі приходять до бажаного результату.

— Чим схожі ці завдання на попередні, а чим відрізняються? (У попередніх завданнях до даної умови можна було поставити лише одне запитання, а тут — два запитання.)

— Всі ці завдання ми порівнювали між собою. Що означає «порівняти»?

Порівнюємо — зіставляємо, щоб знайти: однакове, спільне, відмінне.

У подальшій роботі учням пропонується під час порівняння розповісти, що треба робити.

Наступним кроком у роботі є «Складання задач з даними числами або виразами», метою якого є:

ъ розвивати варіативність мислення: учні впевнюються,

що однією й тією самою арифметичною дією над даними числами можна розв’язати багато задач, які відтворюють різноманітні життєві ситуації;

ъ вчаться визначати значення числових даних та підбирати запитання, відповідь на яке знаходять певною арифметичною дією;

ъ навчання порівнювання задач;

ъ закріплення мовних конструкцій: «Для відповіді на запитання задачі потрібно знати два числових даних. На запитання задачі відповімо за допомогою арифметичної дії…»

Завдання 1. З числами 10 і 6 складіть задачі на додавання.

При роботі з новим видом завдання доцільно вияснити в учнів, чи всі вони розуміють яке саме завдання перед ними поставлено. Саме тому запитуємо: що означає вислів «З числами 10 і 6 складіть задачу?» (Числа 10 і 6 будуть числовими даними цієї задачі.)

— Але в задачі, крім числових даних, ще є шукане число. Де міститься шукане число? При такому аналізі задачі набагато легше учням запам’ятати структуру самої задачі і безпомилково визначати яке число є даним, а яке шуканим.

Учні повинні придумати умову, яка міститиме числа 10 та 6, а також поставити до неї запитання. Умови в нас немає… Як визначити, яке запитання треба поставити?

Що вимагається зробити в завданні? (Скласти задачу на додавання.) Вислів: «Скласти задачу на додавання?» означає скласти таку задачу, яка розв’язується за допомогою дії додавання.

— Про що повинно запитуватися в задачі, аби вона розв’язувалася дією додавання? (В задачі може запитуватися «Скільки всього разом???»)

Покажіть опорну схему такої задачі. Прочитайте задачу. Поясніть значення числових даних. Яке число є шуканим? За допомогою якої арифметичної дії відповімо на запитання задачі? Чому?

— Прокоментуйте розв’язання задачі. Повторіть запитання та скажіть відповідь.

Можна запропонувати навести приклади запитань, які можна поставити для того, щоб задача розв’язувалася дією додавання?: «Скільки стало???», «Скільки було перед тим як витратили???»

Порівняйте ці задачі. Що означає «порівняти»? Як треба міркувати, щоб порівняти задачі?

Учням пропонується використовувати при розв’язуванні задач пам’ятку, яка пропонується учням для того, щоб у подальшій роботі не зупинялися на кожному запитанні і окремо його не розбирали, а розв’язували задачу відповідно до пунктів, які пропонує пам’ятка. Такі пам’ятки кожен учень має на парті і в перший час інтенсивно її використовує, а при подальшому розв’язанні задач школярі запам’ятовуєть послідовність у роботі під час розв’язання задач.

Щоб порівняти задачі, треба:

1. Виділити умову і запитання кожної задачі.

2. Зіставити умови задач: визначити спільне в умовах; відмінне в умовах.

3. Зіставити їх запитання: визначити спільне; відмінне.

4. Зіставити розв’язання: визначити спільне; відмінне.

5. Узагальнити результати порівняння (зробити висновок про спільне або відмінне в задачах).

У подальшій роботі, порівнюючи задачі, учні користуються пам’яткою: спочатку читають завдання, а потім на нього відповідають. Згодом вони запам’ятовують її зміст і виконують порівняння без опори на текст, промовляючи вголос завдання пам’ятки. Далі діти міркують за пам’яткою, не відтворюючи її запитання. Таким чином під час роботи над задачами формується розумова операція — порівняння.

— Що спільного в умовах цих задач? (У них містяться однакові числові дані.) А чим відрізняються задачі? (Зв'язками між числовими даними, що розкривають ситуації, описані в задачах.)

Завдання 2. З числами 12 і 7 складіть задачу на віднімання.

Знову ж таки вчителем пропонується запитання «Що означає вислів «З числами 12 і 7 складіть задачу?» (Це означає, що числа 12 і 7 будуть числовими даними цієї задачі.)

— Де містяться в задачі числові дані? (В умові.) Де міститься шукане число? (В запитанні задачі.)

Таким чином, ми повинні придумати умову, яка міститиме числа 12 та 7, а також поставити до неї запитання. Умови в нас немає… Як визначити, яке запитання треба поставити?

— Що означає вислів: «Скласти задачу на віднімання?» (Потрібно скласти таку задачу, яка розв’язується дією віднімання.) Як ми обираємо арифметичну дію, якою розв’язується задача? (Виходячи із запитання задачі.)

Про що має запитуватися в задачі, аби вона розв’язувалася за допомогою дії віднімання? (У задачі може запитуватися: «Скільки залишилося???». Тоді вона розв’язується за допомогою дії віднімання, тому що залишилося меншу, ніж було…)

— Покажіть опорну схему такої задачі. Сформулюйте задачу. Поясніть значення числових даних. Яке число є шуканим? Що треба знати, аби відповісти на запитання задачі? (Два числових даних: 1-ше -…, та 2-ге —)

За допомогою якої арифметичної дії відповімо на запитання задачі? Чому?

Прокоментуйте розв’язання задачі. Повторіть запитання та скажіть відповідь.

— При такій роботі над задачею учням зрозуміло всі операції, які виконуються в ході розв’язання задачі і таким чином їм легко запам’ятати алгоритм розв’язування задач. При розборі такої задачі доречно поставити перед учнями таке запитання: «Яке ще запитання можна поставити до цієї умови, щоб задача розв’язувалася дією віднімання?»

(«На скільки одиниць шукане число менше даного?»)

(«На скільки одне число більше (менше) даного?»)

(«Скільки витратили???»)

Отже, ми бачимо, що до даної умови можна поставити не лише одне запитання, а їх може бути декілька. Скільки задач на віднімання можна скласти?

Порівняйте ці задачі. (Зіставляємо умови: в них однакові числові дані, а відрізняються вони залежностями між числовими даними, що визначаються ситуаціями задач. Зіставляємо запитання: в них немає нічого спільного — запитання в кожній задачі різні. Зіставляємо розв’язки: розв’язки в усіх задачах однакові.)

Тут звертається увага дітей на розв’язки задачі з кожним із запропонованих запитань. Чому розв’язки однакові? (Тому що в задачах однакові числові дані і шукане число є меншим.)

— Порівняйте ці задачі за допомогою пам’ятки.

Наступне, з чим потрібно знайомити учнів, є «Задачі з недостатньою кількістю числових даних», метою якого є:

ъ сформувати уявлення про те, що не завжди можна відповісти на запитання задачі через відсутність числового даного;

ъ продовжувати формулювати мовні конструкції, які застосовуються під час пошуку розв’язку задач;

ъ вчити аналізувати, розвивати гнучкість розумових процесів.

Завдання 1. У класі 12 учнів. — хлопчики, решта дівчатка. Скільки в класі дівчаток?

Учитель ознайомлює дітей із задачею, а потім запитує: «Чи можна розв’язати цю задачу? Чому її не можна розв’язати? Що ще треба знати, аби знайти відповідь? Як потрібно доповнити задачу?»

Ось яку схему роботи над задачами з недостатньою кількістю числових даних доречно запропонувати для роботи в класі:

— Складіть умову. Виділіть числові дані. Сформулюйте запитання. Яке число є шуканим? Як називається шукане число мовою математики? (Доданок.)

— Повторіть запитання задачі. Що треба знати, аби відповісти на запитання задачі? (Два числових даних: 1-ше — скільки всього учнів у класі - суму — 12, та 2-ге — скільки із них хлопчиків — доданок — не відомо.) За допомогою якої арифметичної дії відповімо на запитання задачі? (За допомогою дії віднімання: якщо від суми двох чисел відняти один доданок, то залишиться другий доданок.) Чи можна одразу відповісти на запитання задачі? (Ні, ми не знаємо скільки в класі хлопчиків.)

Накресліть опорну схему до задачі, внесіть туди числові дані.

— Як вийти із ситуації, що склалася? (Можна підібрати це числове значення.)

— Нехай кожен з вас придумає числове значення, що означає кількість хлопчиків у класі.(Учні називають свої числа.) Чи може бути так, що хлопчиків було більше за 12? (Ні, тому що всього дітей — і хлопчиків, і дівчаток — 12 чоловік.)

— А скільки найбільше може бути хлопчиків? (11, тому що є ще й дівчатка.)

А найменше число хлопчиків? (1 — тому що в задачі говориться, що в класі є і хлопчики, і дівчатка.)

Сформулюйте свої задачі. Запишіть їх розв’язки та відповіді.

Учні швидко усвідомлюють, що в арифметичній задачі має бути не менше як два числа. Проте іноді вони забувають про це і намагаються розв’язати задачу тільки з одним числовим даним. Саме з цією метою корисно розглядати задачі такого плану. Як ми розв’язати задачу? (Ми не можемо одразу відповісти на запитання задачі, тому що нам бракує числового даного; число, якого не вистачало, ми знайшли за допомогою додаткової умови.)

— Прочитавши задачу, чи можете ви одразу сказати, що не вистачає числового даного? (Так, у задачі має бути щонайменше 2 числових даних.)

— Щоразу, коли виявляється, що не вистачає числового даного, можна задати своє числове дане, а можна одразу висувати додаткову умову. Уведемо в нашу задачу додаткову умову й отримаємо таку задачу: «У класі було 12 учнів. 5 — хлопчики, решта дівчатка. На скільки менше хлопчиків ніж дівчаток?» Ми отримали складену задачу.

— Чи можна одразу відповісти на запитання задачі? (Ні, тому що ми не знаємо, скільки було дівчаток.) Про що треба дізнатися спочатку? (Спочатку дізнаємося скільки було дівчаток, і лише потім — на скільки менше.)

Складені задачі відрізняються від простих тим, що на їх запитання ми не можемо відповісти одразу. На запитання простої задачі можна відповісти одразу, виконавши лише одну арифметичну дію.

Завдання 3. Господарка купила 12 кг картоплі. Після того, як вона витратила кілька кілограмів, у неї залишилося кг. Скільки кілограмів картоплі вона витратила?

Методика роботи над завданнями 3.

— Складіть умову. Сформулюйте запитання. Що цікавого ви помітили? (В умові не вистачає числового даного.) Залишилося (витратила) більше чи меншу, ніж було? (Менше.) Поставте додаткову умову: на скільки менше?

— Чи можна відповісти одразу на її запитання? Чому? Прокоментуйте її розв’язання за схемою: