Лінійна алгебра. 
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (реферат)

Реферат на тему:

Лінійна алгебра.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими.

$$\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$$ .

Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині. Позначимо основну матрицю цієї системи через $$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right)$$, а розширену матрицю ­ через $$B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right)$$ .

Можливі три такі випадки:

— ранг матриці r (A)=2. Вектори (a1-b1-c1) та (a2-b2-c2), отже, є лінійно незалежними і система має єдиний розв’язок (x0-y0). Геометрично маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;

— ранг розширеної матриці r (B)=2, а ранг основної r (A)=1. Вектори (a1-b1-c1) та (a2-b2-c2) є лінійно незалежними, а вектори (a1-b1) та (a2-b2) — лінійно залежними. Рівняння системи ­ це дві паралельні прямі., Отже, система не має розв’язків;

— ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці: r (A)=r (B)=1. Вектори (a1-b1-c1) та (a2-b2-c2) є лінійно залежними. Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч розв’язків.

Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими.

$$\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}$$ .

Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.

Можливі такі випадки:

• -.усі три площини перетинаються в одній точці (x0-y0-z0). Ранг r (A)=3. Система має єдиний розв’язок (x0-y0-z0);

• -.усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть збігатися). Ранг r (A)<3 та ранг r (B)<3. Система має безліч розв’язків;

• -.хоча б дві площини є паралельними між собою (r (A)<3 та r (B)=3). Система розв’язків не має.

Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими.

$$\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\end{array}$$.

Можливі лише такі випадки:

• -.дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг звичайної (основної) матриці r (A)=1, а ранг розширеної - r (B)=2. Система розв’язків не має;

• -.обидві площини співпадають. Вектори (a1-b1-c1-d1) та (a2-b2-c2-d2) лінійно залежні. Система має безліч розв’язків;

• -.площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r (A)=r (B)=2. Ці ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має безліч розв’язків.

Зазначимо, що множиною розв’язків у другому випадку є площина, а в третьому — пряма. Тому розв’язати систему двох рівнянь з трьома невідомими — означає описати аналітично множину всіх розв’язків.

Приклад. Розв’язати систему $$\{\begin{array}{c}x-2y-z=\text{15}\\ 2x-4y+2z=2\end{array}$$.

Перенесемо змінну x у праву частину: $$\{\begin{array}{c}-2y-z=\text{15}-x\\ -4y+2z=2-2x\end{array}$$ .

Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:

4z = -28.

Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:

— 8y = 32−4x.

Розв’язуючи отриману систему $$\{\begin{array}{c}4z=-\text{28}\\ -8y=\text{32}-4x\end{array}$$, знаходимо:

y = (½)x-4 — z = -7.

Отже, загальний розв’язок початкової системи має вигляд.

{(x- -4+0,5x-7)|x Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо конкретні розв’язки. Наприклад, при x=1 розв’язком є трійка чисел.

(1- -3,5- -7), при x=0 — (0- -4- -7), а при x=5 — (10- 1- -7). Трійку чисел (2- 2- 2) не можна отримати при жодному значенні параметра, отже, розв’язком системи вона не є.

Розглянемо методи розв’язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими.

$$\{\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{x}_1+a_{\text{12}}{x}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{1n}{x}_n=b_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{nn}}{x}_n=b_n\end{array}$$ .

Одним із способів є використання оберненої матриці:

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ b_n\end{array}\right)$$ .

Розглянемо також правило Крамера.

Нехай — визначник матриці $$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}\right)$$ .

Введемо позначення.

$${}_i=|\begin{array}{ccccccc}{a}_{\text{11}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{1,}i-1}& b_1& a_{i,i+1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{1n}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{nn}}\end{array}|$$ (i=1,…, n).

Виконується така теорема: Якщо 0, то система.

$$\{\begin{array}{c}{a}_{\text{11}}{x}_1+a_{\text{12}}{x}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{1n}{x}_n=b_1\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{nn}}{x}_n=b_n\end{array}$$ має єдиний розв’язок, який знаходиться за такими формулами (формулами Крамера):

$$x_1=\frac{{}_1}{}-x_2=\frac{{}_2}{}-\text{.}\text{.}\text{.}-x_n=\frac{{}_n}{}$$. (1.7).

Якщо і в множині {…,є ненульові елементи, то система рівнянь розв’язків не має. Якщо ж …, то система має безліч розв’язків.

Приклад.

$$\{\begin{array}{c}2x_1+x_2-5x_3+x_4=8\\ x_1-3x_2-6x_4=9\\ 2x_2-x_3+2x_4=-5\\ x_1+4x_2-7x_3+6x_4=0\end{array}$$ .

Тут $$=|\begin{array}{cccc}2& 1& -5& 1\\ 1& -3& 0& 6\\ 0& 2& -1& 2\\ 1& 4& -7& 6\end{array}|=\text{27}-{}_1=|\begin{array}{cccc}8& 1& -5& 1\\ 9& -3& 0& 6\\ -5& 2& -1& 2\\ 0& 4& -7& 6\end{array}|=\text{81}-$$.

$${}_2=|\begin{array}{cccc}2& 8& -5& 1\\ 1& 9& 0& 6\\ 0& -5& -1& 2\\ 1& 0& -7& 6\end{array}|=-\text{108}-{}_3=|\begin{array}{cccc}2& 1& 8& 1\\ 1& -3& 9& 6\\ 0& 2& -5& 2\\ 1& 4& 0& 6\end{array}|=-\text{27}-{}_4=|\begin{array}{cccc}2& 1& -5& 8\\ 1& -3& 0& 9\\ 0& 2& -1& -5\\ 1& 4& -7& 0\end{array}|=\text{27}$$.

Отже, x1=81/27=3- x2=(-108)/27=-4- x3=(-27)/27=-1- x4=27/27=1.

У шкільному курсі математики вивчають метод послідовного вилучення невідомих (метод Гауса). Ми наведемо модифікований метод вилучення невідомих — так званий метод Жордана-Гауса.

Розглянемо схему Жордана-Гауса на прикладі розв’язування конкретної системи $$\{\begin{array}{c}x+2y-3z=-6\\ 2x-y+z=-1\\ 3x+2y+z=4\end{array}$$ ,.

яку у матричному вигляді записують так: $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& -1& 1\\ 3& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -1\\ 4\end{array}\right)$$ .

Початкова таблиця має такий вигляд:

$$\begin{array}{cccc}1& 2& -3& -6|-2|-3\\ 2& -1& 1& -1\\ 3& 2& 1& 4\end{array}$$ .

Числа -2 та -3 — це елементи другого та третього рядка (взяті з протилежним знаком), які розташовані в тому стовпці, де в першому рядку є число 1.

Множимо перший рядок на числа -2 та -3 й отримуємо, відповідно, вектори (-2- -4- 6- 12) та (-3- -6- 9- 18). Додаємо ці вектори до другого і третього рядків:

$$\begin{array}{cccc}1& 2& -3& -6\\ 0& -5& 7& \text{11}|\mathrm{:}(-5)\\ 0& -4& \text{10}& \text{22}\end{array}$$ .

Ділимо всі елементи другого рядка на -5, роблячи діагональний елемент таблиці одиничним:

$$\begin{array}{cccc}1& 2& -3& -6\\ 0& 1& -7/5& -\text{11}/5|-2|4\\ 0& -4& \text{10}& \text{22}\end{array}$$ .

Розпочинаємо наступний етап методу. Множимо другий рядок на -2 та на 4 й отримуємо вектори (0- -2- 14/5- 22/5) і (0- 4—28/5—44/5). Додаємо ці вектори до першого та третього рядків:

$$\begin{array}{cccc}1& 0& -1/5& -8/5\\ 0& 1& -7/5& -\text{11}/5\\ 0& 0& \text{22}/5& \text{66}/5|\mathrm{:}(\text{22}/5)\end{array}$$ ,.

і робимо ще один діагональний елемент одиницею (ділимо на 22/5):

$$\begin{array}{cccc}1& 0& -1/5& -8/5\\ 0& 1& -7/5& -\text{11}/5\\ 0& 0& 1& 3|1/5|7/5\end{array}$$ .

На останньому кроці множимо третій рядок на 1/5 та 1/7 і додаємо утворені вектори (0−0-1/5−3/5) і (0−0-7/5−21/5) до першого та другого рядка:

$$\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}$$, тобто отримуємо систему рівнянь.

$$\{\begin{array}{c}1x_1+0x_2+0x_3=-1\\ 0x_1+1x_2+0x_3=2\\ 0x_1+0x_2+1x_3=3\end{array}$$, розв’язками якої є числа x1= -1- x2=2- x3=3.

Якщо під час обчислень у схемі Жордана-Гауса деякий рядок повністю стає нульовим (0 0 0 | 0), то це є ознакою того факту, що система має безліч розв’язків.

Якщо ж цей рядок стає нульовим за винятком вільного члена.

(0 0 0 | bi, то система розв’язків не має.

Приклад. Модель міжгалузевого балансу Леонтьєва.

Нехай у деякій державі є три галузі господарства: промисловість, сільське господарство та виготовлення ЕОМ. Нехай x1, x2, x3 — обсяги виробництва у цих галузях. Нехай також y1, y2 y3 — обсяги кінцевого виробництва (виробництва на продаж, виробництва без внутрішнього споживання) цих галузей (рис. 1.3).

a11×1 a22×2.

a12×2.

1 2 y2.

Промисловість с/г.

y1 x1 x2.

a21×1.

a31×1 a13×3 a23×3 a32×2.

Виготовлення.

ЕОМ.

x3 y3.

a33×3.

Рис. 1.3.

Нехай aij — кількість одиниць продукції i-ої галузі, яка йде на виробництво однієї одиниці продукції j-ої галузі. Зокрема, кожна одиниця продукції сільськогосподарської галузі (галузі номер 2) використовує a12 одиниць продукції промисловості (галузі номер 1) та a32 одиниць продукції галузі, яка виготовляє комп’ютери.

Тоді сільське господарство в цілому використовує для випуску своєї продукції a12×2 одиниць продукції промисловості та a32×2 одиниць продукції комп’ютерної галузі. Крім того, сільське господарство витрачає a22×2 одиниць власної продукції (наприклад, відгодівля худоби потребує певних затрат кормів).

Отже, для другої галузі маємо таке рівняння балансу:

x1 = a11×1 + a12×2 + a13×3 + y1.

Записавши аналогічні рівняння для кожної із галузей, отримуємо систему лінійних рівнянь:

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=a_{\text{11}}{x}_1+a_{\text{12}}{x}_2+a_{\text{13}}{x}_3+y_1\\ x_2=a_{\text{21}}{x}_1+a_{\text{22}}{x}_2+a_{\text{23}}{x}_3+y_2\\ x_3=a_{\text{31}}{x}_1+a_{\text{32}}{x}_2+a_{\text{33}}{x}_3+y_3\end{array}$$ .

Цю систему для випадку n змінних записують також у вигляді.

$$x_i=\underset{j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}{x}_j+y_i(i=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n)$$.

та в матричному вигляді.

$$\stackrel{}{X}=A\stackrel{}{X}+\stackrel{}{Y}$$ (1.8).

Побудована система міжгалузевого балансу (модель Леонтьєва) дає змогу за обсягами виробництва в окремих галузях контролювати їхній кінцевий продукт та навпаки.

Із формули (1.8) випливає, що вектор кінцевої продукції в моделі Леонтьєва визначається формулою.

$$\stackrel{}{Y}=(E-A)\stackrel{}{X}$$, (1.9).

а вектор загального випуску ;

$$\stackrel{}{X}=(E-A{)}^{-1}\stackrel{}{Y}$$. (1.10).