Синтез систем по оптимізації їх керованості (реферат)

Реферат на тему:

Синтез систем по оптимізації їх керованості

Розглянемо лінійну систему з дискретним аргументом.

$$x(k+1)=A(k)x(k)+b(k)u(k),$$ (6.1).

де u (k) — скалярні величини, x (k) — n — вимірні вектори. Тоді відомо [ 4, 6, 10 ], що у випадку відсутності властивості цілком керованості цією системою на множині аргументу $$\left\{k\mathrm{:}\mathrm{0,1,2,}K,N\right\}$$ має місце співвідношення.

$$\underset{u(k),k=\stackrel{}{\mathrm{0,}N}}{\text{min}}{x(N+1)-x_{(1)}}^2=x_{(1)}^T\left(E_n-W(N+1)W^{+}(N+1)\right)x_{(1)},$$ (6.2).

де $$W(N+1)=\underset{j=0}{\overset{N}{}}W(N+\mathrm{1,}j)W^T(N+\mathrm{1,}j),$$ $$W^{+}(N+1)-$$ псевдообернена матриця до матриці W (N+1) ,.

Складаючи систему рівнянь для W (N+1).

$$W(j+1)=A(j)W(j)A^T(j)+b(j)b^T(j),$$ (6.3).

$$W(1)=b(0)b^T(0),$$ (6.4).

і розглядаючи для множину значень $$\left\{x_{(1)}\mathrm{:}{f}_1,f_2,K,f_M\right\}$$ для системи (6.3), (6.4) складемо функціонал якості.

$$I(b(j),j=\stackrel{}{\mathrm{0,}N})=\underset{i=1}{\overset{M}{}}{x(n+1)-f_i}^2=$$.

$$=\underset{i=1}{\overset{M}{}}{f}_i^T\left(E_n-W(N+1)W^{+}(N+1)\right)f_i=$$.

$$=\text{tr}\left[\left(E_n-W(N+1)W^{+}(N+1)\right)F\right],$$ (6.5).

де $$F=\underset{j=1}{\overset{M}{}}{f}_j{f}_j^T$$. Тому що мінімізація функціоналу (6.5) еквівалентна максимізації функціоналу.

$$I(b(j),j=\stackrel{}{\mathrm{0,}N})=\text{tr}\left(W(N+1)W^{+}(N+1)F\right),$$.

то задачу оптимального синтезу системи (6.1) по максимізації її керованості будемо розглядати як задачу оптимального керування системою (6.3), (6.4) при.

$$I(b(j),j=\stackrel{}{\mathrm{0,}N})\text{.}$$.

Зокрема, якщо вектори $$f_1,f_2,K,f_M$$ при M=n є системою ортонормованих векторів, то.

$$I(b(j),j=\stackrel{}{\mathrm{0,}N})=\text{tr}\left(W(N+1)W^{+}(N+1)\right)\text{.}$$.

Дана постановка задачі дозволяє вибирати структуру керування для не цілком керованої системи по переводу її в задану множину фінальних точок так, щоб якнайближче наблизити кінцеві стани системи до заданої множини точок. Керування можна здійснювати як одною траєкторією, переводячи її в мінімальні околи заданих фінальних точок, так і пучком траєкторій. Наприклад, керування пучком частинок в лінійних прискорювачах з концентрацією пучка в кінці прискорюючого тракту.

Для розв’язання задачі оптимального керування (6.3), (6.4), (6.7) можна використовувати один із двох наступних підходів.

Перший підхід визначається явною залежністю функціонала (6.6) від вектора b (k) при фіксованих значеннях векторів $$b(j),j\mathrm{^1}k,j=\stackrel{}{\mathrm{0,}N}\text{.}$$.

Другий підхід складається в розв’язанні сформульованої задачі синтезу як задачі оптимального керування (6.3), (6.4), (6.5) з використанням функцій Гамільтона.

Відповідно до результатів роботи [ 7 ] явна залежність матриці $$W^{+}(N+1)$$ від b (k) має наступний вид.

$$\begin{array}{c}j\mathrm{^1}k\\ \underset{N}{}{}^{+}+F(N+\mathrm{1,}k,b(k)),\end{array}$$.

де.

$$\begin{array}{c}\frac{1}{r}{G}_1(N+1)+\frac{r_1}{r^2},{d^T(k)Z(W_k(N+1))}^2\mathrm{^10,}\\ -\frac{1}{r_1}{G}_2(N+1),{d^T(k)Z(W_k(N+1))}^2=\mathrm{0,}\\ \\ F(N+\mathrm{1,}k,b(k))=\begin{array}{c}\{\end{array}\\ \end{array}$$.

$$G_1(N+1)=-W_k^{+}(N+1)d(k)d^T(k)Z(W_k(N+1))-$$.

$$-Z(W_k(N+1))d(k)d^T(k)W_k^T(N+1),$$.

$$r=d^T(k)Z(W_k(N+1))d(k),$$.

$$r_1=1+d^T(k)W_k^{+}(N+1)d(k),d(k)=A(N)A(N-1)\mathit{KA}(k+1)b(k),$$.

$$G_2(N+1)=W_k^{+}(N+1)d(k)d^T(k)W_k^{+}(N+1),$$.

$$Z(W_k(N+1))=E_n-W_k^{+}(N+1)W_k(N+1),$$.

$$\begin{array}{c}j\mathrm{^1}k\\ \underset{N}{}\end{array}$$.

Тому що.

$$I(b(j),j=\stackrel{}{\mathrm{0,}N})=\text{tr}[\left(W_k(N+1)+W(N+\mathrm{1,}k)W^T(N+\mathrm{1,}k)\right)\text{'}$$.

$$\text{'}\left(W_k^{+}(N+1)+F(N+\mathrm{1,}k,b(k))\right)F],$$.

то для оптимальних $$b_0(j),j=\stackrel{}{\mathrm{0,}N},$$ для котрих.

$$I(b(j),j=\stackrel{}{\mathrm{0,}N})=I(b_0(j),j=\stackrel{}{\mathrm{0,}N}),$$.

виконується наступна необхідна умова оптимального синтезу (на відміну від принципу максимуму оптимізація проводиться по структурі системи керування).

$$\text{tr}[A(N)\mathit{KA}(k+1)b_0(k)b_0^T(k)A^T(k+1){\mathit{KA}}^T(N)\text{'}$$.

$$\text{'}\left(W_k^{+}(N+1)+F(N+\mathrm{1,}k,b_0(k))\right)F+$$.

$$+W_k(N+1)\left(W_k^{+}(N+1)+F(N+\mathrm{1,}k,b_0(k))\right)F]=$$.

$$=\underset{b(k)\mathrm{^I}{\mathrm{}}_b}{\text{max}}\text{tr}[A(N)\mathit{KA}(k+1)b(k)b^T(k)A^T(k+1){\mathit{KA}}^T(N)\text{'}$$.

$$\left(W_k^{+}(N+1)+(N+\mathrm{1,}k,b(k))\right)F+$$.

$$+W_k(N+1)\left(W_k^{+}(N+1)+(N+\mathrm{1,}k,b(k))\right)F]\text{.}$$.

Розглянемо задачу оптимального керування (2.3), (2.4), (2.7). Тут функція Гамільтона має вигляд.

$$H(W(j),F(j+1),b(j),j)=\text{tr}\left\{Y(j+1)\left[A(j)W(j)A^T(j)+b(j)b^T(j)\right]\right\}\text{.}$$.

Матриця $$Y(j)$$ визначається з системи матричних рівнянь.

$$Y(j)={\text{grad}}_{W(j)}H(W(j),Y(j+1),b(j))=A^T(j)Y(j+1)A(j),j=\stackrel{}{N+\mathrm{1,1}},$$

(6.11).

.

$$Y(N+1)=-{\text{grad}}_{W(N+1)}\text{tr}\left(W(N+1)W^{+}(N+1)F\right)\text{.}$$.

Для знаходження градіенту у формулі (6.12) від псевдооберненої матриці, скористаємося формулою рекурентного псевдообернення матриць [ 6 ]. З цією метою спочатку необхідно знайти градіенти по вектор-рядках матриці W (N+1) .Тоді матриця в кінцевій точці має вид.

$$Y(N+1)={\mathit{FW}}^{+}(N+1)+\left(\begin{array}{c}{g}_1^T\\ g_2^T\\ M\\ g_n^T\end{array}\right),$$.

$$\begin{array}{c}\mathrm{0,}{w}_{(k)}^T(N+1)Z(W_k(N+1))w_{(k)}>0\\ -w_{(k)}^T(N+1)W_k^{+}(N+1){\stackrel{}{F}}_{(k)}V-{\stackrel{}{d}}^T-f_k^{T}V,\\ w_{(k)}^T(N+1)Z(W_k(N+1))w_{(k)}=\mathrm{0,}\\ \\ g_k^T=\begin{array}{c}\{\{\end{array}\\ \end{array}$$.

$$V=\left(\begin{array}{c}{v}_1^T\\ v_2^T\\ M\\ v_n^T\end{array}\right),R(W_k(N+1))=W_k^{+}(N+1){\left(W_k^T(N+1)\right)}^T,$$.

$$\begin{array}{c}{\stackrel{}{d}}^T=\frac{1}{1+w_{(k)}^T(N+1)R(W_k(N+1))w_{(k)}(N+1)}x\\ \end{array}$$.

$$w_{(k)}^T(N+1)R^T(W_k(N+1))W(N+1){\stackrel{}{F}}_{(k)}^T,$$.

матриця W (N+1) без k — го вектора-рядка,.

$$w_{(k)}^T(N+1)$$ — k-й вектор-рядок матриці W (N+1) ,.

$$f_i-$$ i — й вектор-стовпчик матриці F,.

$${\stackrel{}{F}}_{(k)}=(f_{1(k)},f_{2(k)},K,f_{n(k)}),$$ де $$f_{i(k)}-$$ вектор $$f_i$$ без kой компоненти,.

$$v_i^T=\frac{w_{(i)}^T(N+1)R(W_k(N+1))(1+r_2)-2r_2{w}_{(k)}^T(N+1)R(W_k(N+1))}{{\left(1+r_2\right)}^2},$$.

$$r_2=w_{(k)}^T(N+1)R(W_k(N+1))w_{(k)}(N+1)\text{.}$$.

Тоді.

$${\text{grad}}_{b(i)}I()=-{\text{grad}}_{b(i)}H(W(i),Y(i+1),b(i),i)=$$.

$$=-{\text{grad}}_{b(i)}\text{tr}\left\{Y(i+1)\left[A(i)W(i)A^T(i)+b(i)b^T(i)\right]\right\}=$$.

$$=\left(Y^T(i+1)+Y(i+1)\right)b(i),i=\stackrel{}{\mathrm{0,}N}\text{.}$$.

А процедура градієнтного спуску має вигляд.

$$\stackrel{}{b}(i)=b(i)-{}_i{\text{grad}}_{b(i)}I(),i=\stackrel{}{\mathrm{0,}N}\text{.}$$.