Математическая міфологія і пангеометризм

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МІФОЛОГІЯ І ПАНГЕОМЕТРИЗМ.

«Відкрилося мені: законів точних числ, У бунтующей, мисленнєвої стихії ;

Не я, не я — благі иерархии.

Високий свій запам’ятали смысл.

Зірка… Вона — в непеременном блеске…

Але бігає летючий промінь звезды.

Діамантами по дзеркала воды.

І вражали креслить арабески". О. Білий. Дух (1914).

Как слушно зауважив ще О. Шпенглер [37], немає універсального стилю математичного мислення (універсальної математики), оскільки існує універсальної загальнолюдської культури. У різні епохи й у різних народів математика відрізнялася бо так, і нами, в певному сенсі, різні культурні феномени (наприклад, математика антична і математика нововременная). Інше важливе теза Шпенглера полягає у цьому, що є найтісніша взаємозв'язок між різноманітними сторонами життя даного культурного організму: антична математика найглибшим чином пов’язані з античними міфологією, релігією, мистецтвом, архітектурою, організацією громадського життя і т.д., а нововременная математика — з відповідними сторонами новотимчасовий культури. Ці дві шпенглеровских тези є основними для будь-якої соціокультурної філософії математики.

Желая простежити далі процес диференціації стилів, і придивляючись до математиці певного культурного організму, побачимо менші поділу. Наприклад, у разі сучасної європейської культури стало вже загальноприйнятим протиставляти математику «працюючих математиків» (working mathematicians) і математику математичних логіків і фахівців із підставах. Інший приклад: А. Н. Кричевец пропонує розрізняти у межах сучасної культури, по крайнього заходу, три математики — математику професійних математиків, математику інженерів, і математику фізиків [14, с.387−388]. Можна, очевидно, зробити та інші поділу сучасної математики. Для подальшого ми зможемо зручно кілька розвинути розрізнення А. Н. Кричевца: ми можемо розділяти математику через переважне потяг до певної суміжною галузі культури: то в нас з’являтимуться як математика фізиків чи інженерів, а й математика філософів, математика художників, математика поетів тощо. Особливе становище в такому розподілі займе математика професійних математиків. Вона не взаємодіє прямо пов’язана з іншими областями культури: таку взаємодію завжди опосередковано одній з «математик», перелічених нами вище. Описуване поділ зручно зобразити як наступній схеми (рис.1).

Рис. 1.

Преимущественная зв’язку з тій чи іншій областю культури, як і установка, яка полягає у избегании такого пов’язання, накладає певний відбиток на стиль математичного мислення, характерний даної «математики». Можна навіть оцінювати такий поділ математики як у розрізнення стилів мислення par excellence.

Очевидно, диференціацію стилів математичного мислення можна вести й далі, доки дійдемо до унікального стилю даного математика і навіть даного математичного тексту. Але вже виробленого вище розрізнення буде цілком достатньо наших целей.

Пока що ми проводили розділювальні лінії. Ми відокремлювали математику різних культур і епох, ми поділяли математику й у межах єдиної епохи й єдиної культури, залежно основної області додатків. Тепер потрібно сказати, що, ясна річ, в культурному організмі математика фізиків не відособлена від математики професійних математиків чи то з математики середньої школи, а складним чином взаємодіє зі ними. Та й між культурами немає все-таки непроникних перегородок: так антична математика і математика нововременная, попри всі свої відмінності, й усі ж ланцюгом «соціальних естафет» (М.А.Розов). Саме наявність цієї, хоча часом дуже тендітній зв’язку й дозволяє нас увесь ж таки на можливість розуміння, як і на виправданість розмови єдиного феномен математики (хоча минуло більше адекватним тут було б порівняння ні з єдиної життям, і з ланцюгом перевтілень, пов’язаної єдністю кармы).

Итак, хоча універсальної математики немає, але це означає безглуздості розмови про математиці взагалі. (Нижче мова йтиме не лише про певний стилі математичного мислення, а й розумінні математики взагалі, цим стилем провоцируемом). Досить зручним для роз’яснення те, що хочемо сказати, виявляється протиставлення понятия-емкости і понятия-типа, продуковане Р. Арнхеймом [2, с.34−39]. «Понятие-емкость — це сума властивостей, якими можна почути даний вид сутності. Тип — це структурна основа такого виду сутності» [2, с.35]. Ми думати намагатися надалі привести необхідний і (разом) достатній перелік чорт, визначальних математичне мислення. І такий перелік неможливо скласти (тут доречне згадати знамениті міркування Вітгенштейна поняття «гра»). Але це робить менш цікавою спробу вгадати якийсь образ, якусь структуру-гештальт, яка надавала нам відчуття прозріння в таємницю математического.

При цьому варто зрозуміло, що характер подібного «прозріння» буде залежати від обраного кута зору математику (у разі, поглядом її у з погляду її зв’язку переважно з цими областями культури як релігія, філософія, мистецтво, тобто. поглядом sub specie artis). Вибір іншого кута зору привела б до іншої картині, але обрання одного кута зору і передбачає заперечення правомірності інших, отже, ми бачимо не маємо в вказуванні на наявність інших можливих підходів вирішального аргументу проти права створюваної у цій роботі картини існувати. Понад те: ми непросто обираємо тут певний ракурс, але прагнемо зберігати його, поки що залишається можливість розвивати думку на вибраному напрямі. Це свідомий метод даної роботи. Її схема приблизно така (рис.2).

Рис. 2.

Начать природно з висловлювання «математична міфологія». Для роз’яснення те, що мають на увазі, доведеться звернутися до Платону.

1. Що таке математична мифология?

Платоновский Тімей каже: «…не дивуйся, Сократ, що ми, розглядаючи у багатьох відносинах багато речей, як-от боги народження Всесвіту, не досягнемо в міркуваннях повної точності й діють несуперечливості. Навпаки, ми повинні радіти, якщо наше міркування не буде менш правдоподібним, ніж будь-який інший, до того ж пам’ятати, що, що розводиться, і це, мої судді, лише люди, тому нам припадати задовольнятися у питаннях правдоподібним міфом, не вимагаючи більшого» [21, с.433; курсив мой].

Мифология «Тимея» насичена математичними елементами. Це не міф, але міф математичний. Тут і розмірковування про кулястості космосу, і поділ світової душі відповідно до певними арифметичними закономірностями, і всі вчення про чотирьох стихіях, у тому числі знамениті розмірковування про правильних многогранниках. Відповідно до Проклу, «Платон багато дивовижні вчення про богів викладає нам у вигляді математичних форм», і такий ж «весь спосіб Піфагора вчити про богів» [24, с.81].

В що ж сенс математичного міфу? У чому привабливість саме математичної міфології для античного мислителя? Відповідь ці запитання ми знаходимо в одного ж Платона, й у першу черга у діалозі «Государство».

Во-первых, тут дуже чітко бачимо, як міф працює у динаміці платонівської думки. Наприкінці VI книжки будуються взаємозалежні ієрархії буття й пізнавальних здібностей, а паралельно їм розвивається відповідна міфологічна конструкція, яка має остаточне завершення вже у VII книзі у знаменитій міф про печері. Фактично Платон паралельно будує дві тісно пов’язані собою конструкції - метафізичну і міфологічну. Їх взаємозв'язок організується у вигляді широко застосовуваного Платоном принципу пропорції чи аналогії (див. докладніше у А. Ф. Лосева [16, с.250−275]).

Приведем за приклад лише малий фрагмент цього побудови [21, с.253- 319]. Що Міститься в VI книзі вчення про Благо то, можливо представлено наступній пропорцией:

Числители виписаних дробів ставляться до області справжнього буття, а знаменатели — до області почуттєво сприйманого (зримого). Метафізичну зв’язок між мисленням, ідеями і Благом, пропонується розуміти за аналогією про те, як пов’язані між собою зір, видимі з його допомогою речі й, тільки і які роблять можливим існування зору видимого світу, Сонце та її світло. Наша душа, що зав’язла в чуттєвому світі, бо наше мову, пристосований переважно для вираження предметів і стосунків цього дивного світу, дозволяє нас із допомогою такий пропорції уявити, до певної міри, і сверхчувственное ставлення сверхчувственных предметів. У цьому полягає, очевидно, головний зміст, як наведеного побудови, і всього міфу печері, куди це побудова розростається в VII книге.

Во-вторых, у тих-таки книгах «Держави» ми бачимо відповідь як на питання функції платоновского міфу взагалі, а й специфічної привабливості саме математичного міфу. Є у вигляді знамените вчення про серединне положення математики, і яка витікає звідси виняткової ролі останньої, у процесі сходження душі у світі почуттєвого до світу справжньому. Як роз’яснюють нам Платон і Прокл, математичні конструкції ближчі один до світу справжньому, більш досконалі і більше стійкі, ніж текучі образи почуттєвого світу, проте повністю вільні матеріальності (hyle phantaston), що дозволяє будувати з їхньої основі міф, але міф більш вірогідний, адекватніший реаліям справжнього мира.

Ступень математична — проміжна щабель драбини, яку слід діалектика. Проте (чого часто вже не помічають!), перехід на щабель діалектики зовсім не від означає у Платона відмови від усе те, що було на щаблі математики. У цьому переході необхідно має відбуватися усвідомлення і осмислення тих передумов, які залишалися неусвідомленими і неосмисленими на попередньої щаблі, але математичні дисципліни зізнаються «помічниками і попутниками» (Платон) діалектичного методу, його «підмогою і абеткою» (Алкиной).

В ролі дуже виразного прикладу можна зазначити останній трактат «Эннеад» Греблю. Трактат «Про благо чи єдиному», за своєю тематиці, особливо яскраво виявляє двоїсте ставлення до математики (обумовлене промежуточностью її) притаманне платоников.

С одного боку, наставляючи тих, хто хоче філософствувати єдиного, Гребель вимагає «споглядати єдине, не приєднавши жодного почування і нічого від нього не приймаючи в нього, але споглядати найчистіше чистим розумом і тих, що запам’ятовуємо перше». «Отже, — продовжує Гребель, — коли розпочавши до споглядання ось такого уявляє в цій природи чи величину, чи постать, чи масу, не розум стає провідником то спогляданні, бо ні розуму прирождено бачити такі, але це — діяльність почування і думки, наступного за відчуванням» [22, с.219; курсив мій]. Отже, розпочинаючи розгляду єдиного, слід заперечити всякі образи (як власне почуттєві, і математичні), адже єдине безвидно, чуже будь-якого образу (aneideos).

С з іншого боку, читаючи трактат далі, ми виявляємо, що Гребель активно приваблює різні образи, особливо математичні, що саме щоб говорити (= мислити) єдиного. Тут виникають образи геометричній точки і арифметичній одиниці. Предмет розгляду трактату, каже Гребель, ми називаємо «єдиним і нероздільним негаразд, як ми називаємо крапку чи одиницю; бо ті, що суть єдине в такий спосіб, — початку кількості, який би не існувало, якби раніше від нього суті Доповнень і те, що колись сутності (тож, непотрібно вперять сюди думку); проте перші завжди подібні останнім в відповідностях (аналогічні - В.Ш.) за простотою і избеганию числа й розподілу» [22, с.221; курсив мой].

Далее ця думка розвивається. Розвитком (еманацією) образу точки виявляється образ кола, та був та сферою (сама ж точка виступає тепер як центр). Душа, пише Гребель, «знає, що її рух не прямолінійне, ну лиш тоді, якби воно зазнало відхилення, властиве ж за своєю природою порух такий, як рух щодо колу (1) не навколо чогось зовні, а навколо центру, центр ж — або від чого відбувається коло, вона рухатиметься навколо цього, від якого відбувається, і залежатиме від рівня цього, залучаючи себе на того самого, до якому годиться влечься всім душам. А цей хіба що центр душі чи є дані? Чи слід визнати щось інше, у яких всі країни ніби центри збігаються? І визнати, що це — „центр“ за аналогією з тутешнім колом? Не від того, що душа — коло оскільки постать, а й тому, що та її околицях давня природа, і вона походить від „такого“, та ще більш і оскільки душі відділені повністю. Нині ж, коли частина нас утримується тілом, коли б хтось тримав ноги у питній воді, іншим ж тілом здіймався, ми піднявшись догори тим-то, що ні притоплено тілом, це-те стикаємося у центрі себе із, як б центром всього як і, як центри найбільших кіл вбираються центром объемлющей сфери, і відпочиваємо. Та якщо б кола були тілесними, а чи не душевними, всі вони просторово стикалися б із центром і саме центр розташований десь, було б навколо неї; та якщо і держава сама душі умопостигаемы, і „то“ вища від розуму, має думати, що зіткнення завдяки іншим силам» [22, с.223; курсив мой].

Те ж геометричні образи Гребель використовує і далі: «Отож, тоді бачить не бачить, і розрізняє, і сподівається двох, а, як ставши іншим, він, і сам, і свій, належить туди, і, ставши „того“, він є єдине, хіба що поєднавши центр з центром. До того ж тут центри суть єдине, збігшись, і - двоица, що вони порізно. Ось і ми нині називаємо „то“ іншим. Тому й трудновыразимо видовище. Адже, як хтось міг би повідати про „тому“ як іншому, побачивши там, що він розглядав, не інше, а єдине з собою самим?» [22, с.225; курсив мой].

Что виходить? Гребель забув свої увещаниях? — Ні. Понад те, років він неодноразово повторює їх разом із наведеними вище міркуваннями, використовуючи образи одиниці, точки, кола, сфери (і його великих кіл). З іншого боку, й у самих цих міркувань він постійно робить застереження: «не потрібно вперять сюди думку», «хіба що центр», «„центр“ за аналогією», «не від того, що душа — коло, як постать» і ще. А весь ситуацію він у кінці трактату роз’яснює наступним порівнянням: прагне до розуміння єдиного «так само як хтось, який увійшов всередину святилища і залишив позаду статуї у храмі, які котра вийшла з святилища знову постають першими після видовища усередині якого і спілкування із статуєю не з чином, і з „самим“, і який, отже, виявляються наступними видовищами. А ці видовища — подоби; і тому мудрим з віщунів вони натякають, як і той бог зрится; мудрий ж жрець, зрозумів натяк, міг би, опинившись там в святилище, зробити споглядання істинним» [22, с.225].

Все ступає місця, коли ми починаємо розуміти, що з Плотіна є дві математики (як і два ставлення до почуттєво що приймається). На одній із них вона відкидає, тоді, як іншу сприймає. Це ті ж самі дві математики, які так настійно протиставляє Платон в «Державі» [21, с.304−315] - «торгашеская» математика і математика філософська, математика як така (і навіть орієнтована на технічні докладання й одержання мирської вигоди) і математика як «підмога і абетка» діалектики (як математична діалектика чи діалектична математика). Інакше кажучи, як Платон, і Гребель відкидають математичні образи як такі і вітають їх як елемента міфу. Справжня математика їм — це математичний міф, це ті статуї у храмі, які оточують святилище (2) .

Еще більш чітке вираз тих самих думок знаходимо в Миколи Кузанского, полагавшего, що став саме математика «найкраще допомагає в розумінні різноманітних Божественних істин». Міркує він так: «Очевидна воістину є образ невидимого», і Творця «помітні по творінню як у дзеркалі і подобі». Якщо ж «розвідку ведеться все-таки з подоб, потрібно, щоб у образі, йдучи від яку ми перенесемося до невідомому, був по крайнього заходу нічого двозначного; адже шлях до невідомому може йтися тільки через заздалегідь і, безсумнівно відоме. Але всі чуттєве досі у якійсь постійній хиткість через достатку у ньому матеріальної можливості. Найбільш надійними і найбільш нам безсумнівними виявляються тому сутності більш абстрактні, в що їх відволікаємося від чуттєвих речей, — сутності, що й не не мають матеріальних опор, без що їхні було б не можна уявити, і ні піддаються текучої можливості. Такі математичні предмети». Тому, «якщо розпочати Божественному нам дано лише крізь символи, то найзручніше скористатися математичними знаками через їх невиліковним достовірності» [18, с.64−66].

К математичної міфології можна віднести знамениті міркування Миколи Кузанского в «De docta ignorantia», використовують динамічні можливості геометричних постатей: кулю нескінченного радіуса, центр якого скрізь, а периферія — ніде; багатокутник, вписаний до кола, число кутів якого необмежено збільшується; збіг безкінечною прямий і окружності нескінченного радіуса і т.п.

Обратим увагу, що математичні конструкції, увійшовши міфу, починають особливої життям. Тут можуть бути, та й у дійсності виникають, міркування, які схожі цілком дивовижно в людини незвичного до такого стилю мислення. Досить вже згадані міркування Платона про правильних многогранниках, чи численні арґументів на користь досконалості декади в «Теологуменах арифметики», висхідні до Спевсиппу, а можливо, й до Филолаю і навіть раннім піфагорійцям [38, с.417−418].

Об особливостях відповідного погляду математику ми й поговоримо трохи нижче, і тепер розглянемо більш близькі і звичні нас способи роботи з математичними конструкціями, які перебувають, тим не менш, у самому тісному кревність з математичної мифологией.

2. Виродження математичної міфології: математические.

конструкції як парадигмальные схемы.

Почати з кількох прикладів, запозичених у Лейбница.

«Простота субстанції не перешкоджає множинності модифікацій, які повинні спільно існувати у тій найпростішої субстанції і перебувати у розмаїтості відносин і до зовнішнім речам. Так само у центрі, чи точці, хоч як вона проста, перебуває безліч кутів, освічених лініями, у ній зустрічаються» [15, с.404; курсив мій] (3) .

«…випадок досконалого рівноваги химеричен: він не зустрічається, оскільки універсум не можна розрізати чи розділити на дві цілком рівні і схожі частини. Універсум, як еліпс або інший такий овал (є у виду: на відміну еліпса чи іншого подібного овалу — В.Ш.), не можна розкласти у вигляді проведеної через центр прямий лінії на дві збіжні частини. Універсум немає центру, та її частини нескінченно різноманітні; отже, ніколи випадку, коли всі обох сторони стане однаковим і випускатиме на нас однакову вплив …» [15, с.381; курсив мой].

«Но коли дедалі більше сосредотачивал думку, аби дати їй блукати в тумані труднощів, мені спала на думку своєрідна аналогія між істинами і пропорціями, яка, освітивши глупої ночі яскравим світлом, все дивним чином роз’яснила. Приблизно так як у будь-якій пропорції менше входить у більше або однакову в однакову, і у будь-якій істині предикат присутній в суб'єкт; як у будь-якій пропорції, яка між однорідними (подібними) кількостями (числами), може відбутися якийсь аналіз рівних чи які збігаються і менше то, можливо відібрано від більшого відніманням з більшого частини, рівної меншому, і аналогічним чином від вычтенного може бути віднято залишок тощо, безперервно до нескінченності; точно і у аналізі істин цього разу місце одного терміна завжди підставляється рівнозначний йому, отже предикат розкладається тих частини, які зберігають у суб'єкт. Але як і, як і пропорціях аналіз колись все-таки вичерпується і дійшов загальної мері, яка своїм повторенням повністю визначає обидва терміна пропорції, а аналіз іноді то, можливо продовжений у нескінченність, як водиться і при співставленні раціонального і мнимого числа чи сторони, і діагоналі квадрата, аналогічно цьому істини іноді бувають доказуемыми, тобто. необхідними, інколи ж — довільними або випадковими, які ніяким аналізом неможливо знайти наведено до тотожності, тобто. ніби до загальної мері. І це і є основним відмінностями, існуючим як пропорцій, так істин» [15, с.316; курсив мій] (4) .

Эти три фрагмента, узяті з різних робіт Лейбніца, об'єднує таке: в контекст метафізичного міркування вводяться математичні фрагменти (ми виділяли їх курсивом). Причому автор сприймає їх як «своєрідні аналогії» досить випадково связавшиеся у його думки з метафізичним міркуванням. Наприклад, ще одному місці ми, Ляйбніц пише, що він болісно розмірковував «з того, як і поєднати волю і випадковість з ланцюгом причинної залежності і провидінням». «Аж раптом — говорить він про — зблиснув мені якийсь небачений і несподіваний світло, який був звідти, звідки я найменше чекав, — з математичних спостережень над природою нескінченного. Адже, щоб людського розуму існує два найбільш заплутаних питання („два лабіринту“). Перший стосується структури безперервного, чи континууму, а другий — природи свободи, і виникають вони вже з й того нескінченного джерела» [15, с.312−313; курсив мой].

Нетрудно побачити зв’язок між наведеними міркуваннями Лейбніца і математичними міфами Платона та Миколи Кузанского. Проте неважко помітити ще й суттєві відмінності: по-перше, залучення математики не з’являється нині усвідомленим, слушним і систематично проведених пізнавальним прийомом; по-друге, математичні конструкції не знаходять в цих міркуваннях особливої життя, вони у готовому вигляді запозичаються з розвинених незалежно математичних теорій. Тут спостерігається хіба що виродження математичного міфу, забуття їм власних коренів. Зовні все в математичному міфі, але зникло вимір глибини, залишилася лише поверхню, втративши свій зміст і неспроможна до самостійного життя і развитию.

Теперь маємо лише аналогія чи модель, єдиний сенс якого — дати наочне уявлення самим собою мало наочним метафізичним міркуванням. Вже Вплетена в метафізичний контекст математична конструкція служить тут зразком (парадигмою) для наочного уявлення метафізичних відносин, пропонує їм чіткий образ. Бажаючи відрізнити подібне додаток математики від математичного міфу, ми називати відповідні математичні конструкції - парадигмальными схемами [33, с.67; 35, с.370].

Легко помітити, що математичним міфом та використанням математичних конструкцій у ролі парадигмальных схем неможливо здійснити чіткою демаркаційній лінії. У кожному конкретному випадку може постати сумнів — і нами? Якщо правильні багатогранники в «Тимее» Платона — скоріш математичний міф, ніж парадигмальная схема, а геометричні і арифметичні конструкції з текстів Лейбніца — vice versa, те що є «совершенно-круглый кулю» в поемі Парменіда [33, с.57−59] сказати вже важко. У цьому в однієї й того автора поруч із повноцінними математичними міфами могли трапитися і вырожденные варіанти — наприклад, вже згадану вище пристрасть Платона для використання конструкцій геометричній пропорції і геометричного подоби, як способів організації иерархии.

Ситуация ще більше ускладнюється тим, що недостатня усвідомленість і продуманість зв’язок між ходом метафізичного міркування і залучуваними щодо його ілюстрації математичними аналогіями (як у Лейбніца, лише погано який здогадується про невипадковості що його думки метафизикоматематичних паралелей як слідстві єдності їх «нескінченного джерела»), часто призводить до тим більшої неусвідомлюваної залежності ходу метафізичного міркування від майбутніх думки математичних схем (як і вийшло в Лейбніца), іноді до справжньої математичної експансії [33, с.63−64]. Річ у тім, що відповідні математичні конструкції навряд чи приносяться в метафізичні міркування лише post hock, коли основний малюнок міркування вже є. Будучи на ранніх стадіях формування думки, відповідні математичні конструкції не залишаються пасивними. Наочність цих конструкцій, виразність математичних образів, зробила їх, можна сказати, «нав'язливими», визначаючи їх активне впливом геть шляхи, які обирає яка перебуває у стадії становлення метафізична мысль.

Тексты Лейбніца було обрано нами за приклад, ясна річ, не випадково. Проте, вважати, що вони єдині свого роду, тобто. у цьому як використовують у них математика. Використання математичних конструкцій у ролі парадигмальных схем — поширена явище, причому як серед философствующих математиків, як-от Ляйбніц і Г. Вейль [33, с.63−64], чи мислителів, отримали хороше математичне освіту, як-от П. Флоренський [33; 35] (5), а й в дуже далекі від математики мислителів — наприклад, у Вл. Соловьева [28, с. 3, 20], — хоча у цьому разі набір застосовуваних математичних конструкцій за зрозумілих причин значно беднее.

Еще більш поширене застосування різноманітних схем і діаграм — діаграми Эйлера-Венна, які у логіці набагато раніше побудов, связавших математичну логіку і топологію; діаграми, застосовувані школою Г. П. Щедровицкого, і естонську мови картинок, створюваний А. Г. Барабашевым [4]; діаграми А. Белого [5] тощо. Ми показали найяскравіші приклади. Проте, всяке ілюстрування міркування у вигляді наочної схеми, складеної з «кружечків», «прямоугольничков», «стрілочок» тощо. (див., наприклад, мал.1 і 2 у цьому тексті), стоїть у легко помітному кревність з математичними конструкціями у ролі парадигмальных схем, котрий є більш вырожденной версією математичної міфології [33, с.67−68]. Цікаво, що й інші діаграми і схеми мають «нав'язливістю» математичних образів і здатні вести у себе думку (потім особливо звертає увагу А.Г.Барабашев).

3. Математика як естетичний феномен і пангеометризм как.

спосіб розуміння природи математики.

В попередніх пунктах було продемонстровано певний контекст, у якому можуть існувати, і є математичні конструкції. Спробуємо віддати усвідомлювали у деяких визначальних особливостях такої їхньої существования.

Во-первых, звернемо увагу суто якісний, квалитативный, підхід до математичним конструкціям. Ця особливість досить яскраво простежується в наведених вище примерах.

Во-вторых, — на відсутність необхідної зв’язок між нематематическим предметом розгляду і математичної конструкцією [33, с.66; 35, с.369]. Наведемо відповідний пример.

Существует ціла традиція використання геометричного образу кола (окружності) для прояснення співвідношення Божественних іпостасей (hypostasis), яких три при єдності сутності (oysia). Проте робитися це може бути кілька по-разному.

Так Микола Кузанский порівнює Бога з максимальним колом, яка має, в силу одиничності максимуму, центр, діаметр і окружність тотожні. «Ти бач, — пише він, — щоб простий і неподільний максимум повністю залягає всередині передусім як нескінченний центр, що він ззовні всього охоплює усе як нескінченна окружність що він все пронизує як нескінченний діаметр. Він початком усього як центр, кінець передусім як окружність, середина насамперед як діаметр. Він діюча причина як центр, формальна причина як діаметр, цільова причина як окружність. Він дарує буття як центр, править як діаметр, зберігає як окружність, — і що у тому роді» [18, с.83]. Повидимому, центр, дає єдність колу, символізує тут Батька як єдність, діаметр, як що характеризує рівність кола за всі напрямам, — Сина, як рівність єдності, окружність, замикаюча і єднальна коло, — Духа, як зв’язок Отця й Сына.

Несколько інакше у Кеплера: «Образ Триєдиного Бога — це сферична поверхню; інакше кажучи, Бог-Отець перебуває у центрі, Бог-Сын — на зовнішньої поверхні, а Бог-Дух Святий — у рівності відносин між точкою і поверхнею» [2, с.62]. Замість кола маємо тут з кулею, а елементи, із якими пов’язувалися Син і Дух, помінялися местами.

Поясняя чому Бог троичен, а чи не четверичен, пятеричен тощо., Микола Кузанский використовує образ трикутника як найпростішого з многоугольников: «чотирикутна постать не мінімальна, що, вочевидь, оскільки трикутник менше її; отже найпростішій максимуму, котрі можуть збігтися тільки з мінімумом, чотирикутник, завжди составный і тому більший мінімуму, підходити ще може» [18, с.81].

Рассматривая те ж, П. А. Флоренский приваблює інакший спосіб: він воліє уявляти собі взаємне розташування точок на окружності. «У іпостасях, — пише він, — кожна — безпосередньо поруч із кожної, і ставлення двох лише то, можливо опосредствовано третьої. У тому числі абсолютно немислимо першість. Але кожна четверта іпостась вносить в ставлення себе перших трьох той чи інший лад і, отже, собою ставить іпостасі в неоднакову діяльність у ставлення до собі, як іпостасі четвертої» [30, с.50]. (Докладніше див. в [31, с.149−150]).

Обсуждаемое відсутність необхідної зв’язку цікаво виразилося вже у «Тимее». Бажаючи конструювати правильні багатогранники з прямокутних трикутників, Платон обирає два найбільш «прекрасних» їх — рівнобедрений і «той, що у поєднанні з цим йому утворює третій трикутник — рівносторонній» (т.зв. гемитригон). Перший із избраных трикутників «хороший» зі зрозумілих причин — в нього рівні катеты. Але чому із усіх неравнобедренных прямокутних трикутників обраний саме гемитригон? Цього Платон не пояснює: «обгрунтовувати було б занадто довго (втім, якби хтось викрив б нас і довів зворотне, ми охоче визнали його переможцем)» [21, с.457; курсив мій]. Зазначимо на виділені курсивом слова. Що це що означає? На думку, Платон підкреслює, що з нього важливий ефект, вироблений його міркуванням в цілому й захопити основні принципи його розгортання (у разі: естетичне досконалість), а чи не окремі його деталі, що і не визначатися темою діалогу однозначним чином, отже, і може бути замінені іншими, якщо такі будуть представлены.

Обе названі особливості існування математичних конструкцій в сюжеті, який нас культурному контексті є приватними проявами більш загальну тенденцію — тяжіння до сприйняття математики як естетичного феномена. Естетичного — у широкому, початковому розумінні - від aisthesis — чуттєве сприйняття (насамперед зір). Грецька математика переважно геометрична, а платонічної традиції саме геометрія опинялася самої «математичної» із усіх математичних дисциплін, дисципліною, найповніше яка втілює серединна становище математики між почуттєвим і эйдетическим [27]. Саме естетична сторона математики виявляє себе повно в математичної мифологии.

Как ми вже вказали, всяка специфічна область докладання математики дозволяє по-новому подивитись математику взагалі. Отже, яку перспективу в розумінні математики відкриває нам математична міфологія і математичних конструкцій у ролі парадигмальных схем?

В даному аспекті ключем до розуміння природи математики найприроднішим представляється шукати, ясна річ, у найбільш наочної, «зримою», області математики — в геометрии.

Уже Прокл чітко зафіксував головну особливість геометричній думки: вона може дати розгорнутий знання про своє предметах лише з допомогою уяви (phantasia), вклавши в уявлюваного матерії (hyle phantaston) [24]. Предмет математики не умозрителен, але й сприймаємо почуттями. Він дивним чином причетний й інші й іншого, що Аристотель зафіксував в парадоксальних, які суміщають головні протилежності платонічної онтології термінах hyle noete («мислима матерія») і noys pathetikos («стражденний розум») [27]. Геометричне уяву Прокла виявляється одночасно совмещающим у собі начебто несумісне — чисту активність (noys) і чисту пасивність (hyle). Чиста думку (noys theoretikos), овеществляясь, звертається до геометрії в noys pathetikos, а матерія почуттєвого сприйняття (hyle aisthete), очищуючись, постає як більше «тонка» геометрична матерія (hyle noete, hyle phantaston).

Следующий важливий крок у осмисленні природи геометричній думки робить Кант. Прокловскому розрізненню hyle aisthete і hyle phantaston у Канта відповідає протиставлення емпіричного і чистого споглядання (reine Anschauung). Причому Кант явно називає це чисте споглядання — «простір + час». Тут «простір та палестинці час» позначають той універсальний фундамент, який відповідний уявний експеримент виявляє основу будь-якого нашого уявлення (6). Геометричне мислення є просторово-часове конструювання, а предмет геометрії - простір та її відносини, тимчасова динаміка просторових конструкцій [11, т.3, с. 67, 76−77, 528−529].

В насправді, в естетичному аспекті діяльність геометра постає як організація та переорганизация просторових елементів у часі, а мета — вивчення існуючих тут можливостей. Вирішуючи завдання з елементарної геометрії, ми проводимо прямі і окружності, фіксуємо їх перетину як точки. Потім досліджуємо пристрій получившейся конфігурації: наскільки «жорстко» задані умови фіксують відповідну «конструкцію», скільки різних конструкцій то, можливо «зібрано» з наведених даних елементів тощо. Особливо важливим є відзначити, що з'єднання будь-яких двох елементів у цій діяльності безпосередньо дається в спогляданні, ми безпосередньо «бачимо» як вони «стикуються» між собою. Докази і обчислення в естетичному аспекті постають як порівняння і зіставлення різних елементів досліджуваної конструкции.

Намальована картина породжує, проте, низка запитань і вимагає комментария.

Во-первых, звернемо увагу те що, як проявляється у нашому найпростішому разі платонічна тема серединного становища геометричній діяльності між чистої активністю і чистої пасивністю. З одного боку, очевидна активне, конструктивне початок — ми можемо породжувати ті чи інші конфігурації за власним бажанням. З іншого боку, ми можемо, наприклад, змусити дві прямі «укладати простір», — те середовище, в якої ми розгортаємо свою конструктивну активність, має закономірності, які дозволяють нашому конструювання б бути зовсім довільним, накладаючи нею свої обмеження. Ця середовище має «відсталістю», вона пручається формующей руці творця, ця середовище матеріальна — актуалізувати у ній можна лише те, що її власними потенціями. Понад те, діяльність геометра, судячи з усього, таки спрямована на виявлення цих потенцій, а чи не на насолоду власним сваволею. Поруч із конструктивним початком в найпростішої геометричній діяльності ми виразно і присутність початку рецептивного (7) .

Во-вторых, слід особливо зупинитися ось на кантівському розрізненні чистого і емпіричного. Наскільки математична думку справді вільна від емпіричних образів? Міркуючи, геометр креслить паличкою піску, крейдою на дошці чи ручкою на папері. Ті чи інші емпіричні «підпірки» постійно супроводжують геометричну думку. У якій сенсі можна говорити, що вона від нього незалежна? Адже ж добре відомо, що у випадку досить складного завдання з елементарної геометрії практично неможливо обійтися без допомоги емпіричного креслення (8) .

Подобные здивування були вдало дозволені ще Арістотелем. Так, геометр розмірковує, коли бачиш намальований їм у дошці трикутник. Можна навіть сказати, що розмірковує про це намальованому трикутнику, проте, не оскільки вона намальований крейдою і дошці, тобто. не оскільки є певний об'єкт емпіричного світу, а оскільки це трикутник організований нашому історичному уявленні з певних закономірностям. Точніше: цей емпіричний креслення дозволяє геометру утримувати увагу до певної просторової конфігурації. У цьому нас настільки важливо здатні ми представляти трикутник повністю вільний від емпіричних характеристик (напр., кольору) чи ні. Нам предосить розрізняти в самому емпіричному предметі просторово-часові характеристики від решти. Так різні (з емпіричну погляду) креслення цілком можуть становити те ж геометричну конфігурацію (єдиний гештальт) (9) .

Однако ми можемо поставити тепер на наступний питання: а чи справі ми здатні відрізняти просторово-часові характеристики від усіх інших? Кант переконаний, що так. Але наведений їм у підтвердження цього й вже ж згаданий вище уявний експеримент зовсім на доводить бажаного. Він викликає у нашій уяві лише якісь невиразні образи (з різновиду «образів абстрактного», які Р. Арнхейм уподібнює імпресіоністської живопису). Интерсубъективность таких образів може викликати серйозні сумніви. Значно надійніше свідчить про цікавий для нас предмет самі слова «простір» і «час». Сам факт стійкого існування їх у мові припускає наявність постійної наступності у контекстах їх вживання, в достатньо які забезпечують порозуміння (хоч і не що гарантує абсолютної незмінності їх алегоричної суті!). Принаймні, ці слова визначають свій предмет буде не гірший ніж слово «математика» — свій (10). Конкретнішим роз’ясненням вкладається у яких у цьому виступі сенсу може лише сам текст цього виступи. Але, що ж здатний прояснити нам уявний експеримент Канта? Принаймні, достатню фундаментальність ситуацій вживання слів, виражають просторово-часові характеристики.

В-третьих, певного коментарю потребує уважного й твердження про даності геометричних фігур у спогляданні. Ще Декартом було наведено знаменитий приклад із тысячеугольником [9, с.58], яка може бути нами уявлений. Ще гірше: навіть ті найпростіші геометричні об'єкти як «точка» чи «пряма» непредставимы наочно точному буквальному розумінні, адже найпростіший уявний експеримент переконує в непредставимости ні занадто малого, ні надто великої [25, с.208; 12, с.273−274; 26, с.63−65; 32, с.44−48, 101- 111; 33, с.37−38]. Справді, ми можемо уявити точку, яка має розмірів, поспіль не можемо уявити лінію, яка має товщини, поспіль не можемо відразу оглянути нескінченну пряму. Але це корисно нам представляти прямі і точки досить чітко у тому, щоб відрізняти різні частини геометричній конструкції друг від одного й безпосередньо «бачити» їх взаємне розташування. Пряму ми маємо можливості «бачити» досить тонкої у тому, щоб у процесі міркування не звертати увагу її товщину, а точку — досить малої у тому, щоб ігнорувати її розміри (11). Справді, ми можемо уявити тысячеугольник настільки чітко, щоб відрізняти його від багатокутника з трохи більшим чи дещо меншим числом сторін. Але ми можемо досить чітко його інший бік і з'єднання її з іншими сторонами, а це вже цілком достатньо вивчення математичних властивостей відповідної конструкції (докладніше це завжди буде роз’яснили ниже).

В-четвертых, слід визнати кілька слів про час в геометрії. Вислів «просторово-часове конструювання» слід розуміти, як просторову організацію та влитися переорганізацію елементів у часі. Час входить у геометричні конструкції лише як динаміка їх просторових елементів. Час в геометрії є лише рух просторових елементів. Час як такий заборонена як геометричному, а й математичного вивченню взагалі, та й рух як такий також. Лише підмінивши час рухом, а рух його просторовим слідом (траєкторією) ми в змозі зробити їх предметом математичного вивчення. По суті ми вивчатимемо у своїй той час і рух, а особливості просторової організації самої траєкторії. Навіть вивчаючи в елементарної геометрії, може бути побудовано з допомогою циркуля і лінійки, що — немає, ми теж робимо предметом нашого розгляду геометричне становлення як такий, але — раскрываемые їм особливості організації простору (12) .

Итак, ми зробили деякі спостереження над найпростішими проявами геометричній думки в естетичному її аспекті. Таким кроком, природно, має стати спроба, поширити наші міркування і інші математиці, перевірити, не виявимо ми й там те, що залучило нашу увагу на в найпростіших геометричних прикладах. Необхідно з’ясувати, якою мірою лише доступне сказано нами про геометрії, можна й про математиці взагалі; які можна повторити дослівно, що лише mutatis mutandis.

Кант цей крок робить: конструктивний характер математичне мислення зберігає поза межами геометрії, проте власне геометричне, чи остенсивное, конструювання замінюється в арифметиці і алгебрі на символічне [11, т.3, с.530−531, 542].

Нечто принципово нове, проти розглянутим вище власне геометричних конструюванням, ми виявляємо вже в прикладі позиційної записи натуральних чисел. Ввівши суворо фіксований кінцевий набір графічних символів і певні правила їх комбінування, ми маємо можливість, наочно представляти досить великі натуральні числа і вироблені з них дії. У естетичному аспекті вся арифметика натуральних чисел постає як система організованих на площині графічних символів. Організація символів виробляється у вигляді кількох типів маніпулювання цими символами: розстановки і перестановки знаків, заміни одних знаків іншими. Пригадаємо хоча б множення «стовпчиком» чи розподіл «куточком». Зазначені маніпуляції можуть бути охарактеризовані як квазигеометрические, оскільки, представляючи з себе операції з графічними знаками як цілісними утвореннями, власне геометричними вони є (геометрична конфігурація самого знака тут і абсолютно неважлива, важливо лише зручність його з місця зору простоти написання, перестановок і замін, і навіть достатнє на відміну від інших знаків у межах тієї ж системи [7, с. 58, 61−62]).

Работа з багатшою та різноманітної алгебраїчній графікою він може бути охарактеризована як маніпулювання графічними символами. Розглянемо, за приклад, жодну з найпростіших алгебраїчних конструкцій — групу. Група — це сукупність елементів (як графічних символів можна використовувати літери латинського алфавіту), правила маніпулювання із якими, задаються такими умовами, званими аксіомами групи: (G1) з цих двох елементів x і y можна скласти новий графічний символ x•y; (G2) графічні символи (x•y)•z і x•(y•z) є взаємозамінними; (G3) серед елементів групи є елемент, званий нейтральним, який позначимо e, такий, що містять його графічні символи x•e, e•x і x є взаємозамінними; (G4) разом із елементом x є елемент, званий зворотним для x, позначимо його x ", такий, що символи x•x ", x «•x і e є взаємозамінними. В усіх життєвих аксіомах x, y і z — довільні елементи групи. Докази будь-яких тверджень щодо груп є розгортання певних квазигеометрических конструкцій. Це демонстрація певних особливостей маніпуляції з графічними символами за дотримання зазначених правил. Розглянемо, наприклад, як виробляється доказ те, що нейтральний елемент єдиний. Демонструється, будь-які два графічних символу, що зображують нейтральний елемент, взаємозамінні. У насправді, нехай навіть це символи e і f. Тоді, відповідно до правилу (G3), f взаимозаменяем з e•f, і той останній символ — з e, отже, e і f взаємозамінні. Перед нами маніпуляційна обгрунтування, основу якого завжди лежать найпростіші маніпуляції, типу «підставити замість», є неформальними, геометрично очевидними діями. Розуміння те, що означають, завжди негласно передбачається. Н. Малкольм зберіг таку думку Вітгенштейна: «Доказ у математиці у тому, що рівняння записують на папері та дивляться, як одне вираз випливає з іншого. Але якщо завжди брати під сумнів висловлювання, що з’являються на папері, то неспроможна існувати ні доказів, ні самій математики» [17, с.90]. Пригадуються також слова Г. Вейля: «Спосіб, яким математик поводиться зі своїми формулами, побудованими з знаків, дещо різниться від цього, як столяр у своїй майстерні поводиться з деревом і рубанком, пилкою і клеєм» [7, с.58].

В естетичному аспекті, як геометричне, і математичне доказ взагалі, постає як демонстрація, тобто. безпосередній показ того, як з'єднуються, «стикуються» елементи відповідної математичної конструкції. Результат ж математичного докази — математичне твердження — є, у що нас аспекті, твердження про особливості сполуки елементів математичної конструкції, яку ми мали змогу «бачити» у процесі докази. Не випадково математичне твердження одержало назву теорема (theorema), тобто. «видовище», «те, що смотрят».

Как відомо, найвагоміший аргумент для повсякденного мислення звучить приблизно так: «Я сам бачив, не віриш — піди і подивися». Заслуговує на увагу, що точна з теоретичних наук — математика, складова хіба що діаметральну протилежність повсякденному знання, черпає доказову силу своїх міркувань в безпосередньої наочності свого предмета, тобто. й у можливості «побачити самому» і «показати іншому». Можна навіть, що справжньої переконливістю, справжньої доказової силою має лише демонстрація (безпосередній показ). Як сказав Шопенгауер: «Остання, тобто. споконвічна очевидність, — созерцаема, що саме слово» [36, т.1, с.200].

Если би існувало яке обговорювали вище природних обмежень можливостей нашого наочного уявлення просторово-часових відносин (в сприйнятті надто великої, занадто малого т.п.), то, можливо, і математичного докази, а й викликав цим теоретичної математики не було б. Математикам не довелося б йти далі лаконічного «дивися» древніх індійців чи перегибания креслення (як, повидимому, обгрунтовував геометричні затвердження ще Фалес). Ми б сміливо, за Шопенгауэром [36, т.1, с.104−108, 196−216, т.2, с.212−214], обуритися хитросплетіннями доказів від протилежного, вироблених Евклидом там, де достатньо лише перегнути малюнок, і думати, що найкращим обгрунтуванням теореми Піфагора є вдалий креслення без будь-яких комментариев.

Однако зазначені обмеження існують, що саме обговорювання відповідних креслень та його особливостей знаменувало народження математики як такої. Але математики ми змогли б просунутися досить у далекому своїх пошуках, але навчилися втілювати словесні міркування в квазигеометрические символічні побудови, тобто. ми змогли знову взяти за основу геометричну оче-видность, але якісно новий рівень. Саме слово (logos) виявляється тим з'єднувальною ланкою, що дозволяє піднятися від геометричного конструювання до квазигеометрическому маніпулюванню графічними символами (13). «З допомогою понятійного мислення — каже Г. Рейхенбах — ми можемо переступити від споглядання до преобразованному споглядання. Людський розум може, так сказати, „перехитрити“ візуальні образи з допомогою абстрактних понять і після цього продукувати нові образи» [26, с.67].

Уже під час вирішення найпростіших завдань геометрії, поруч із власне геометричних конструюванням систематично застосовується й квазигеометрическое конструювання. Повертаючись приміром з тысячеугольником, можна побачити, хоча його наочне подання, і неможливо такою мірою, якою вона можна здійснити до трьохчи п’ятикутника, проте, зберегти конструктивний характер відповідних міркувань легко вдається з допомогою введення алгебраїчній символіки, що дозволяє говорити про співвідношенні кутів і відрізків відповідної конфігурації незалежно від кількості сторін, і навіть розрізняти, нерозрізнені в наочному поданні багатокутники з тисячею і тисяча двома сторонами. Там, де геометрична наочність нам відмовляє, ми можемо взяти за основу наочність квазигеометрическую. У цьому, як ми мали змогу відволікатися (абстрагуватися) від товщини геометричних ліній та розміру геометричних точок, то абстрагуємося і зажадав від конкретного обриси використовуваних нами алгебраїчних знаків, зосереджуючи звернула увагу лише на системі просторово-часових відносин, з допомогою передаваемых.

То, що математик займається у своїй саме просторово-тимчасовими відносинами, добре ілюструється широким застосуванням у математиці аксіоматичного методу. Адже його ідея полягає у зведенні визначення об'єкта до вказування системи відносин, де цей об'єкт може бути коїться з іншими об'єктами тієї ж теории.

Итак, в естетичному аспекті математичне мислення постає маємо як просторово-часове конструювання, що може виступати або у вигляді власне геометричного конструювання, або як квазигеометрическое конструювання, тобто. маніпулювання графічними символами.

. Що вивчає математика?

. Просторово-часові конструкции.

. Як вона делает?

. З допомогою розгортання просторово-часових конструкцій іншого рівня. Такого погляду на природу математики можна охарактеризувати як пангеометризм (14). Він ключем до розуміння специфіки математичного мислення є образний аспект математики, понятийно-логический ж аспект розглядається у своїй як вторичный.

4. Математика містиків, філософів, поетів і традиційна история.

математики (Замість заключения).

Разворачивание математичних просторово-часових конструкцій здатне викликати особливе почуття краси, яке безперечно служить найважливішим психологічним стимулом, як до професійним, і до аматорським занять математикою. Як всяка справжня краса, математичне дійство має магічним чарівністю. Воно здатне створити у нас відчуття торкнутися таємниці, а де й релігійний восторг.

Это безпомилково вгадав особливо чуйний до подібного роду речей Новаліс (Фрідріх фон Гарденберг, 1772−1801). У його «Фрагментах» (насамперед є у виду «гімни до математики», як говорив їх Вільгельм Дильтей) ми бачимо чітке вираз цих думок: «Справжня математика — справжня стихія мага. Істинний математик є ентузіаст per se. Без ентузіазму немає математики. Життя богів є математика. Чиста математика — це релігія. На Сході справжня математика на своїх батьківщині. У Європі вона виродилася в суцільну техніку» [19, с.153]. Новаліс переконаний, що розуміє природу краще, ніж учений. Не вченому і створеної завдяки зусиллям техніці дано опанувати світом, але поетові, здатному розчути потаємний ритм світобудови. Не ззовні, але зсередини міститься світ. «Справжня математика» Новалиса — це те математика, що дозволяє нам вловити цей прихований ритм. «Кожен метод є ритм: якщо хтось опанував ритмом світу, це що означає, він опанував світом. У кожної людини є свій індивідуальний ритм. Алгебра — це поезія. Ритмічне почуття є геній» [19, с.152].

Современная математична культура мало має нас розуміти, що за справжня математика (яка на той водночас є справжня поезія, справжня релігія і щира магія), яку натхненно каже Новаліс (15). Можливо тому так погано розуміємо і математику пифагорейско-платонической традиції, і навіть багатьох інших феномени європейської духовної культури так само незвичайне нас сприймають математику і розвиваючі її. І тут й не так у культурній гордині, як у реальних бар'єри заважаючих пробитися до реалій інший культури. Приклад те, що вдається побачити сучасному математику, яка звернулася до «другорядним сторінкам історії» дає книга Дена Пидоу «Geometry and the Liberal Arts» (1976). Автору залишається тільки засмучуватися, що ми втратили здатності захоплюватися природою простих геометричних постатей, і сподіватися, що «неопифагорейские вчення все-таки отримають поширення культурі прийдешніх поколінь» [20, с.207]. Безсумнівно, більш вдалими можна припустити спроби П. А. Флоренского і А. Ф. Лосева, що й з’явилися головними натхненниками мого інтересу до цієї області, проте уважне ознайомлення зі своїми працями вкотре переконує наскільки серйозні труднощі їм доводиться долати у цьому пути.

Мартин Дайк, автор монографії, присвяченій математичним фрагментами Новалиса, говорить про своєї книжки: «Це дослідження почасти розпочато тим математиков-профессионалов, яких може статися ознайомитися з фрагментами Новалиса і виявити, що математичні поняття застосовуються тут, добре чи ні, але таким предметів, які немає звичаю розглядати математично, які до рамок встановлених математичних уявлень, і це завжди буде схиляти їх до висновку у тому, такі фрагменти що неспроможні, мабуть, мати будь-якого сенсу. Можна прийняти від початку, що це які стосуються математиці фрагменти философичны, але з технічні. З позиції суворого математика вони неточні (unrigorous), довільні (arbitrary) і вносять ніякого внеску до технічні аспекти математичної науки. Не встигає Новаліс поринути у чудове зі своєї стрункості будинок математики, як з’ясувалося, що він вже встиг в спосіб розширити його межі (transgressed its boundaries), заглибившись у джунглі філософських ідей, у яких жоден математик, залишаючись математиком, не зважиться його наслідувати, з побоювання, що грунт там занадто хистка (the ground too slippery) і доказ безсило приборкати (and prove defenceless among) диких звірів, які населяють ці темні області». Бажаючи ознайомитися з польотом думки Новалиса, що веде в цьому напрямі, ми можемо уникнути постійної огляду на офіційно прийняті результати, постійного відповідності загальноприйнятим змістом тих математичних областей, в що він вторгається, проте «нам годі було використовувати ці офіційні стандарти у ролі абсолютних і придатних для будь-який ситуації мірок (as measuring rods with absolute and exclusive value)», і тоді «у його на погляд фантастичных ідеях про математиці можна буде потрапити розгледіти глибокі прозріння стосовно цієї науки» [41, p.2−3].

То, що говорить М. Дайк про сучасному математике-профессионале, то, можливо, на жаль, занадто часто точно повторений і сучасному історика математики, з якого й у повною мірою мають влада стереотипи професійного математичної освіти. Через війну, ми просто дуже погано знаємо «другорядні» сторінки своєї історії математики, а тим паче погано уявляємо собі їхні роль розвитку те, що поміщається нами на «основних» його сторінках. Книжка М. Дайка є скоріш виняток, аніж правилом. Та чи можна апріорі стверджувати, що роль ця невелика, ми ледь знаємо межи очі тих, чию роль поспішаємо умалить?

Историческое дослідження неминуче передбачає відбір матеріалу. Історія культури то, можливо уподібнена найскладнішої павутинні, де кожна культурне подія є «вузлик», пов’язаний неозорим числом найтонших «ниток» з іншими «самими клунками». Тому, всяке вивчення цієї «павутиння» полягає у виділенні основних «вузликів» і перетинів поміж ними ігноруванні другорядних. Проте, викликає сумніви можливість адекватної та забезпечення однозначного оцінки «на очей» того, які «вузлики» і які «нитки» є основними. Що стосується «зорового сприйняття» такий «павутиння», судячи з всьому, може і має виявлятися добре відомий ефект перемикання зорового гештальта. У цьому переключенні вибір основних «вузликів» і «ниток» може істотно змінюватися. Яку конфігурацію «вузлів» і «ниток» ми виділимо з неозорого безлічі всіх можливих, залежить від нашої установки. Що ми «побачимо» («два профілю» чи «вазу») залежить ми. Наше математичну освіту готує нас до того що, щоб завжди бачити «два профілю» і «вазу», але це значить, перше є адекватне виділення основного, тоді як друге — немає. Пафос справжнього доповіді таки у тому, щоб нагадати про можливості дивитися як у саму математику, і їхньому історію sub specie artis, тобто. бачити «вазу» там, де зазвичай бачать лише «два профиля».

Приведем ще кілька прикладів традиційно «другорядних» сторінок історії математики, які, з проведеної нами погляду, опиняються у числі основных.

О йенском професора математики астрономії Эрхарде Вейгеле (Erhard Weigel, 1625−1699) можна зараз почути переважно у зв’язки й з біографією Лейбніца, яку він надав незаперечне вплив. Колись «всесвітньо відомий», «найвідоміший професор математики», який створив Ієні сильну школу математики фізики [10, с.135] нині практично повністю забутий. Вже для Морица Кантора математика Вейгеля лише приклад властивого німецьких університетів на той час відсутності потреби у математиці [29, с.8−9]. Нині, численні роботи Вейгеля практично неможливо було знайти в бібліотеках, де вони перевидаються і переводяться. Рідко що не енциклопедичному словнику знайдеш статтю про неї. У чому справа? А у цьому, який математикою займався Вейгель.

В центрі чию увагу — утворення єдиної системи знання (що включає у собі як богослов’я, і все явища фізичного і міністерства соціального порядку) на основі універсального логико-математического методу, і реформа в цій основі сучасної йому системи освіти. Він упевнений в загальній приложимости математичного методу і намагається до зближення цьому грунті всіх галузей людського знання. Його девіз: omnia mensura, numero et pondere. За підсумками поєднання методу Евкліда (зведення змісту науки до її основних елементів) або Ньютона (виведення з цих елементів наслідків у вигляді силогізму) він прагне побудувати раціональну теорію науки, завдання якої - пізнати світ знає як sillogismus realis. У цьому аксіоми виступають як закони природи, а виведені їх слідства не є лише необхідними, а й реальними. Вейгель розвиває ідею «загальної математики» (Mathesis universae) чи «пантометрии» (Pantometria), яка поширюється не лише з фізичний, а й у громадянський мир у. Пізніше він розвивати думку, що «пантогнозия» (Pantognosia), чи спосіб точно знати, що не пішли, зводиться до виміру й ліку всіх предметів пізнання, бо достовірно лише кількісне знання. Звідси природно випливає «пантология» (Pantologia) — погляд поширювати на світ, як у такої системи речей, коли всі має власну логіку. У цьому контексті він писав про моральної арифметиці, тобто. про зведенні всіх моральних чеснот до кількостям; розробляв практичну етику на арифметичній основі; займався вивченням проблеми зла з математичної погляду; доводив «геометрично» буття Боже тощо. [29; 10, с.39−41].

Еще одна сторінка історії математики, у що нас аспекті, — це діяльність Юзефа Гоэнэ-Вронского (J.M.Hoёne-Wroсski, 1776−1853). Вона, поруч із міркуваннями Декарта, Вейгеля, Лейбніца, Новалиса і багатьох інших, виявляється важливим «вузликом» історія надто значущою у розвиток математики Нового часу ідеї Mathesis Universalis. Як вона та Новаліс, Вронський спирався у своїх міркуваннях на філософію математики Канта. Доля математичних робіт польського математика-философа XIX століття дуже нагадувала долю спадщини Вейгеля, а ставлення до ідей Вронського зі боку общепризнаной математики В. В. Бобынин описував так: «У продовженні всього життя офіційна наука з наполегливістю, гідної кращої долі, постійно відмовляла то визнання наукового значення його праці по філософії математики, хоча, слід сказати, в послідовниках його вчення, і не бракувало» [6, с.10]. У процитованої роботі 1886 року Бобынин називає Вронського «найвидатнішою сьогодні, навіть можна сказати, поки єдиним, представником філософії математики — науки, ще тільки створюваній, але має у майбутньому підкорити собі все розвиток наук математичних» [6, с.1]. Пророцтво Бобынина про майбутнє значенні робіт Вронського доки справдилося. Щоправда, в XX столітті философскоматематичним творів Вронського пощастило більш: в 1925 р. вони були перевидані, а 1939 про «loi supreme» Вронського з’явилася стаття такого великого математика як Стефан Банах. Втім, як минулого столітті, і у нинішньому занадто підозрілої продовжує виглядати більшість математично освічених людей тісний зв’язок математичних міркувань Вронського з «месіанізмом», «абсолютної філософією» тощо. [40].

Убежденность в одиничності звичного і узвичаєного погляду те, що таке «справжня математика», це не дає навіть підійти до вивчення философскоматематичних робіт Новалиса, Вейгеля, Вронського, чи Карла Эккартсхаузена (K. von Eckartshausen, 1752−1803). Ці праці написані з погляду іншого розуміння математики вимагають для на своє вивчення вміння оцінити них за тим кутом зору, під яким розглядали їх автори, вміння визнати для цього кутом зору хоча б мінімальну, «стартову», цінність. На погляд, тут відкривається велике полі для досліджень. Мої власні перші боязкі кроки у цьому напрямі і представлені у наведених міркуваннях про математичної міфології і пангеометризме.

Примечания.

1. «Чуттєве споглядання то, можливо сравнено з лінією, а розумовий — з» [23, с.61]. Запропонована Плотином аналогія перегукується з «Тимею».

Платона. 2. Заслуговує на всіляку увагу, що і прихильники, і противники математики філософії (філософської математики, математизированной філософії) знаходять свої аргументи у Платона, тобто., захищаючи діаметрально протилежні позиції, вони розвивають думки що відбуваються із загального джерела (Платон і неоплатоніки). Зазвичай, така дивовижа пов’язані з розумінням критики Платоном неправильного ставлення до математиці як вирішального аргументу проти математики взагалі, а протилежності математичного і діалектичного методів як несумісності математики філософії взагалі (Кант, Гегель,.

В.Гамильтон). І на першій дії і у другий випадок повністю ігнорується можливість і дієвість математичної діалектики. 3. Близький образ зустрічається у Греблю: Єдиний (Єдине) «созерцается в багатьох істот, більшою або меншою мірою здатних сприйняти і відображати їх у собі, а проте різниться і відокремлений від усіх їх, аналогічно, одностайно центр по колу залишається один сам собою, тоді як безліч радіусів від усіх точок периферії щодо нього сходятся».

[23, с.66; курсив мій]. 4. Аналогія, використовувана Лейбніцем у тому досить вечоровому уривку, то, можливо роз’яснена так: як відтинки може бути між собою або сумірними, або — немає, причому, у разі, процедура знаходження спільної заходи, — показує, що з відрізків складається з тієї ж частин, що інший, — можна здійснити за кінцеве число кроків, тоді як у другому — виходить у безкінечність, і істини можуть бути або необхідними, або випадковими, причому, у разі, за кінцеве число кроків може бути показане, що предикат складається з тієї ж частин, які у суб'єкт, тоді як у другому — процедура аналізу виходить у безкінечність. 5. П. А. Флоренский обмежувалося роботою з математичними конструкціями як парадигмальными схемами. Він із небагатьох, хто усвідомлено жадав відродженню математичного міфу у його полноте.

Після ним саме в цьому напрямі йшов і А. Ф. Лосев. 6. Простір та палестинці час визначаються Кантом як обов’язковий компонент будь-якого споглядання: відкидаючи в спогляданні усе, що то, можливо відкинуте, ми остаточному підсумку отримуємо простір та палестинці час в чистому вигляді. Див. [11, т.3, с. 64, т.4, с.38]. Фактично, апріорна созерцание.

(простір та палестинці час) опиняється в Канта цим, і що може бути відкинуте ні з якого споглядання, і можна знайти нами під час уявної експерименту, який перебуває в відкиданні всього, що відкинути можливо. 7. До речі, ця, рецептивна, сторона геометричній думки залишилася недостатньо позначеної Кантом. Чисте споглядання Канта, заменившее геометричну матерію платоников, не вже є якась середовище з власними потенціями, що й розкриваються в геометричних міркуваннях. У математиці «поняття про об'єкт дається дефініцією спочатку», «математичні дефініції створюють саме поняття», а предмет розгляду математика «неспроможна утримувати у собі не більше, не менше, ніж поняття» [11, т.3, с.538−539]. Ні дефиниции,.

— немає поняття про об'єкт, а тим самим самого предмета (що містить стільки ж, скільки поняття). Тут фокусуються як би й ні предмета, властивості якого прагне вловити дефініція, ця последняя.

«нізвідки виводиться». Бажаючи в усьому протиставити математику та філософію, Кант доходить у своїх міркуваннях майже абсурду: втративши відмінний від нього предмет розгляду математична дефініція (поняття) стає чистим сваволею. Навряд Кант справді дотримувався такої погляду, (чистий сваволю неспроможна служити джерелом синтезу), однак у запалі полеміки вона виявляється у небезпечній близькості від цього межі. 8. Звісно, згадується Я. Штейнера, будь-коли що користувався у своїх лекціях ніякими малюнками, чи Дістервега, навіть спеціально затемнявшего приміщення під час семінарських занять із геометрії [13, с.146], проте, то радше історичні казуси, ніж закономерность.

Неважко здогадатися, що здатність слухачів ознайомитися з міркуваннями цих геометрів передбачала вже певний досвід геометричного мислення котрий використовує емпіричні посібники. 9. Хотів би особливо звернути увагу на близькість развиваемых у цьому доповіді ідей з поглядами американського психолога, фахівця у галузі психології мистецтва, Рудольфа Арнхейма, що у своїй книжці «Visual Thinking» (1969) [39]. Арнхейм саме наближається до математиці sub specie artis і (це) звертає увагу переважно ті ж культурні феномени, які опинилися в центрі моєї уваги. Спроба прояснити сформовані в моїй ході отримання математичної освіти й європейського досвіду викладання математики ставлення до математичному мисленні (та й мисленні взагалі) привели мене до поглядам, які опинилися найближчому родинному зв’язку з представлениями.

Макса Вертхеймера про творчому мисленні (productive thinking) [8] і особливо, з ідеями Арнхейма, також явно примыкающими до гештальтпсихології. «Продуктивне мислення — каже Арнхейм — в разі потреби грунтується на перцептуальных образах і, навпаки, активне сприйняття включає у собі окремі аспекти мислення» [3, с.165]. «Лише те, що, по крайнього заходу, у принципі доступно наочному уяві, може піддаватися і людському розумінню» [2, с.78−79]. Є «близьке кревність перцептуального досвіду і теоретичного міркування», поэтому.

«між мистецтвами і науками немає різниці; також має прірви та між використанням стрічок і вживанням слів» [3, с.167]. Прямісіньке ставлення до нашої темі мають погляди Арнхейма на природу абстракції, на розрізнення статичних і динамічних понять, на протиставлення постаті і фону, є основою найпростіших систем образов.

(зокрема, образів математичних) тощо. Поняття ж «хорошого гештальта» (Вертхеймер) дає ключем до розуміння те, що таке математична краса. Втім, використання напрацювань гештальтпсихологів у сфері психології мислення з метою філософії математики потребує окремого обговорення. 10. Розвиток цієї думки означає балачки про соціокультурної природі феномена математики. Перед нами місток, дозволяє нам відчути соціокультурну гнучкість висунутого погляду. Його гнучкість визначається історичної мінливістю розуміння слів «пространство»,.

«час», «просторово-часове конструювання» тощо. Проте, соціокультурна природа аналізованого феномена гарантує нам як гнучкість і мінливість, але й спадкоємність, сохранение.

«сімейного подібності» (Л.Витгенштейн) у вигляді «соціальних эстафет».

(М.А.Розов) (див. також запровадження сьогодення доповіді). 11. Вже Аристотель зауважив, що математик непотрібні на свої міркувань у виставі дуже великих величин, бо його цікавлять не самі величини, які відносини, але «у тому відношенні, що не ділиться найбільша величина, можна було хотів би відділити і яку завгодно іншу» (Phys., III, 7) [1, с.121]. Отже, все уявлювані математиками конструкції, це без будь-якого їм шкоди, може бути покладені до рамок кінцевого аристотелевского космосу. Та коли аж скоро хочемо казати про нашої індивідуальної здібності уявляти — у межі між верхнім і нижнім порогами сприйняття; потрібно лише вчасно змінювати масштаб: гомотетичным чином збільшувати чи зменшувати всю конструкцію. 12. Хотів би зробити деякі зауваження, які проясняють ставлення висловлюваної погляду в ролі часу й руху на математиці підходили до позицій платонічної традиції, і Канта. Хоча Аристотель (Met., VI, 1) й уряд пропонує відрізняти математику від фізики по нерухомості предмета вивчення першої, проте, намічене, а Миколина вчення про специфічної матерії математичних предметів (Met., VII, 10−11; VIII, 6) природно веде до думки про наявність становлення (руху на широкому аристотелевском сенсі) у цій галузі: адже всяка матерія не лише лишенность форми, а й обов’язково її можливість, а всяка можливість розкриває себе лише переходячи у дійсність, тобто. припускає наявність становлення. Отже, можна казати про математичному становленні (Met., IX, 9), проте математика цікавить саме становлення (це специфічний предмет Арістотелевої фізики), а лише його результат. Цей погляд підтверджено і Проклом [24]: з одного боку, геометрія визначається в нього як вивчає величини у спокої (на відміну астрономії, що вивчає величини рухається, і охарактеризованной у зв’язку з цим Арістотелем як найбільш фізична з математичних дисциплін — Phys., II, 2), з другого боку, всередині самої геометрії різняться ж проблеми і теореми, що компанія напряму пов’язується Проклом з розрізненням становлення і буття [27].

Час, відповідно до Канту, «ми можемо мислити не інакше, як зважаючи під час проведення прямий лінії (що має бути зовні образним поданням щодо часу) виключно на дію синтезу різноманітного, з якого ми послідовно визначаємо внутрішнє почуття, і тим самим маю на увазі послідовність цього визначення. Навіть сама поняття послідовності породжується, передусім, рухом як дією суб'єкта (але як визначенням об'єкта)» [11, т.3, с.142]. Кант з великою пересторогою належить до руху в геометрії, як науці заснованої чистою спогляданні. Ведь.

«поняття руху, з'єднуюче у собі простір та палестинці час, передбачає щось емпіричне» [11, т.3, с.78]. І він пропонує розрізняти «рух об'єкта у просторі», яке «заборонена розгляду в геометрії, оскільки рухливість чого це не пішли пізнається не апріорі, лише досвідом», і «рух як опис простору», яка є «чистий акт послідовного синтезу різноманітного в зовнішньому спогляданні взагалі з допомогою продуктивної здібності уяви» [11, т.3, с.142] - якого неможлива геометрична думку, і який була охарактеризована вище как.

«дію суб'єкта, але з визначення об'єкта». Це кантовское розрізнення два види руху цілком відповідає платоническому розрізненню становлення емпіричного та становлення геометрического.

Неможливо не згадати тут також яка сягає зазвичай до Канту ідеї про особливу зв’язку геометрії з спогляданням простору, а арифметики з спогляданням часу. У насправді, у Канта читаємо: «Геометрія кладе основою чисте споглядання простору. Арифметика створює поняття своїх чисел послідовним додатком одиниць у часі» [11, т.4, с.38].

Це місце справді провокує таке розуміння: як геометрія пов’язані з простором, так арифметика згодом. Саме такими сприймає цю пам’ятку Шопенгауер: «На зв’язку частин часу грунтується літочислення, слова у ньому слугують лише у тому, щоб відзначати окремі кроки послідовності; отже, в цій зв’язку заснована і арифметика, яка того лише методичного скорочення исчисления».

«Також на зв’язку становища частин простору заснована вся геометрия».

[36, т.1, с.104]. Шопенгауер дуже добре знався на математиці, проте цю ідею підхоплює такий великий математик как.

В.Р.Гамильтон, в 1833 р. випустив «an elementary essay on Algebra as the Science of pure time» [13, с.206], втім, змушений визнати, що вони запровадження вирахування вимагає просторових представлений.

Цікаво, що як уважне ознайомлення з Кантом переконує, що ніякого протиставлення арифметики, як спирається виключно на споглядання часу, і геометрії, — як спирається виключно на споглядання простору, не виробляється. Ніякого уявлення простору, вільного від уявлення часу не може: «час є апріорна формальне умова всіх явищ взагалі» [11, т.3, с.73].

Не може бути уявлення часу, вільного від уявлення простору — вище ми можемо вже цитували одна з місць першої Критики, де цей думку висловлюється, ще, можна зазначити чорнові заметки.

Канта спеціально розвиваючі цю думку [11, т.8, с.651]. Ми завжди маємо працювати з просторово-тимчасовим комплексом уявлень, що лежить у підставі, як арифметики, і геометрії, хоча акценти і може расставляться різна. Справжнє ж різниця геометрії від арифметики і алгебри в типі конструювання — остенсивном у разі і символічному — у втором.

На хибність уявлення про особливу зв’язку геометрії з спогляданням простору, а арифметики — з спогляданням часу, вказував Шпенглер.

Але він думав, що цей помилку зробив і саме Кант. «Колосальної за своїми наслідками — писав Шпенглер — і по сьогодні ще перебореної помилкою Канта було те, що він цілком схематично встановив зв’язок зовнішнього й внутрішнього світу людини з багатозначними і, не стабільними поняттями простору й часу й цим цілком хибним чином пов’язав геометрію і арифметику, замість яких тут мусить бути хоча б згадана глибша протилежність математичного і хронологічного числа. Арифметика і геометрія обидві суть числення простору й найвищих своїх галузях взагалі підлягають розрізненню. Числення часу, інтуїтивно цілком зрозуміле наївному людині, відповідає питанням «коли», а чи не питанням «що» или.

«скільки» «[37, с.132]. «Кожну логічний операцію — пише Шпенглер далі - накреслити. Кожна система є геометричний спосіб роботи з думками. Тому час позбавлене місця у «системі» чи падає жертвою її методу. Тим самим було спростовується і повсюдно поширене непорозуміння, поверховим чином сполучне період із арифметикою, а простір з геометрією, оману, якому був би підпасти Кант, хоч навряд чи чи слід очікувати чогось іншого від Шопенгауера з його нерозумінням математики. Оскільки живої акт числення якось співвідноситься згодом, число та палестинці час постійно змішували друг з одним. Але числення не є число, як малювання не є малюнок. Числення і малювання суть становлення, числа і фігури — що було. Кант та інші мали у вигляді щодо одного разі живої акт.

(числення), а іншому — його результат (пропорції готових постатей). Але одне належить до сфери життя і часу, інше — до протяжності і каузальності. Те, що счисляю, підлягає органічної логіці; те, що счисляю, — неорганічної. Уся математика, — популярно висловлюючись, арифметика і геометрія — відповідає питанням «як» і «що», отже, питанням про природному розпорядку речей. У суперечності з цим перебуває питання «коли» речей, специфічно історичний питання — питання про долю, майбутньому й минулому. Усе це таїться в слове.

«літочислення», яке наївний чоловік розуміє цілком недвозначно. Між арифметикою і геометрією немає жодної протилежності. Кожен рід числа належить в усій її обсязі до сфери протяжного і став, чи це евклидова величина чи аналітична функція. А до якої з обох сфер було б віднести циклометрические функції, биноминальную теорему, римановы площині, теорію груп? Кантівська схема була вже спростована Эйлером и.

Д «Аламбером, перш ніж встиг її сформулювати, і тільки непоінформованість пізніших філософів у справі сучасної їм математики — на противагу Декарту, Паскалю і Лейбницу, які самі створювали математику свого часу із глибин власної філософії, — міг призвести до того що, що дилетантські погляди на ставлення між часом і арифметикою продовжували передаватися у спадок, майже зустрічаючи заперечень. Але становлення нічого не зтикається з якоюсь областю математики» [37, с.282−283]. Ця велика цитата приведено не лише як яскравий протесту проти зв’язування арифметики лише з спогляданням часу, а геометрії - з спогляданням простору, а й як найяскравіший приклад протесту проти уявлення, що час і становлення взагалі можуть бути предметом застосування математичних методів. Проте хоч у головному Шпенглер, безумовно, прав, картина трохи складніше, що його представляється. Зазначимо, що серед прихильників уявлення про особливу зв’язку алгебри і часу ми находим.

В.Р.Гамильтона, якого навряд можна звинуватити у незнанні сучасної йому математики. Це означає, що не в дилетантизмі, як Шпенглер. Не у цьому, що математики й її методам недоступні час і становлення взагалі, суть у тому, що час і становлення у математиці істотно інші, ніж історичний час і емпіричне становлення, про які говорить Шпенглер. Більше адекватним тут виявляється платонічне уявлення про серединному характері математики (її предмети й методу) — і повну свободу від часу й становлення — вічне буття ейдосів і созерцающего їх розуму, але й власне емпіричне час і становлення почуттєво сприйманого космосу. Можна і треба казати про часу й становленні у математиці, але пам’ятаючи, що це особливі, математичні, час і становление.

Наприклад, вони мають унікальністю і неповторністю історичного часу й емпіричного становлення. У математиці можна двічі ввійти у те саму воду. Її час і його становлення подібні часу й становленню кінофільму, що можна прокручувати ще та ще разів, і навіть переглянути у порядку. Проте сама подія, яке у тому, що мені сталося прокрутити саме такий «математичний кінофільм», саме у цей час і у цьому жахливому місці, є факт емпіричного та історичного порядка.

13. Слід зазначити, що роль слова в математичному мисленні, та й у мисленні взагалі, значно більше помітна, чому це представлено у цьому виступі. Зосередивши увагу до естетичному аспекті математики, ми говорили переважно про спогляданні і образі, залишивши затінена нерозривно пов’язані із нею язик, і поняття. Річ тут не недооцінки останніх, а певному вугіллі зору обраному у цій роботі. Насправді гадаю, що українці перехід від геометричного до квазигеометрическому конструювання передбачає мовне посередництво, а й всяка геометрична конструкція, та й всякий чіткий образ взагалі, неможливий поза досвіду обговорювання, поза мовної обробки споглядального фону. Споглядання і естонську мови, образ і поняття що неспроможні існувати друг без друга, їх можна уподібнити двом сторонам однієї монети [33, с.14−27; 21]. Образ і поняття нерозривно пов’язані у процесі генези, а й у процесі коммуникации.

Наведемо простий приклад. Припустимо, бачимо людини яка малює щось. Просто дивлячись, що він малює ми маємо неможливо з’ясувати, і нами — художньо творчість чи математична діяльність, чи є те, що бачимо орнаментом чи геометричних кресленням. Чи поза досвіду обговорювання відрізнити архітектурне спорудження від стереометрической моделі? Дитина, що росте у ній математиків, зазвичай, досить рано починає виявляти інтерес до тих «закорючкам», яким колись його батьків на достатку покривають паперові листи. Він пробує наслідувати їх, можливо не без деякого успіху. Припустимо, він власноручно відтворив листку папери ланцюжок формул. Чи є його математичної? ;

Звісно, немає. Найімовірніше, що з дитини ця ланцюжок формул має переважно естетичної цінністю, але — це математична естетика. Також перестав бути математикою гра в п’ятнадцятки, в хрестики-нулики, в шахи. Та й побудова кінцевих ланцюжків знаків за правилами (навіть запозиченим з метаматематики!) стане математикою лише у контексті зв’язку цих правив із змістовної математичної теорією, чи з міркуваннями, выясняющими особливості просторово-часової організації відповідної системи знаків (проблеми еквівалентності, разрешимости, аксіоматичного побудови тощо.). У такий спосіб предметом математичного вивчення можуть бути зроблені і п’ятнадцятки, хрестики-нулики чи шахи. Інакше кажучи, математичность (чи нематематичность) деякою графіки визначається не їй самій, а тим смисловим контекстом, який пов’язує її вивчення просторово-часових відносин, створити ж це контекст можна лише словом. 14. Така позиція діаметрально протилежна панарифметизму, поданому, наприклад, роботою Ауреля-Эдмунда Фосса (A.Voss) «Про сутність математики» (1908). У роботі читаємо: «…розділимо всю сукупність математичних пошуків на чисту математику й області її докладання. До них ми зараховуємо геометрію і механіку, розуміючи в щонайширшому значенні. Чиста ж математика є наука про числах; а числа суть створені нами знаки для упорядочивающей діяльності нашого розуму, що припускають поєднання друг з одним з певних загальними правилами. У вченні про числах ми вбачаємо тому справжню сутність математики, а пояснення того, як інші уявлення, які у понятті величини, може бути підпорядковані поняттю числа, становить межах чистої математики перехід до областям її докладання» [32, с.17]. Якщо ми теперішньому доповіді прагнули підібратися до таємниці математики через поширення протягом усього математику ідеї геометричного побудови, то Фосс робить те саме щодо ідеї числа. Якщо ми дивилися на математику sub specie artis, то Фосс — з погляду внутриматематической тенденції до арифметизации математики, властивій останній третині ХІХ століття, особливо для.

Берлінської школи К.Вейерштрасса. 15. Приміром, висловлювання Новалиса «крива лінія є перемога вільної природи над правилом» [19, с.146], з його антиплатоническим пафосом, то, можливо належним чином зрозуміло лише контексті особливої, онтологічно виділеної, ролі, що відводиться платониками окружності і прямий (відкинутої ще «Геометрії» Декарта!), і навіть платонічного вчення про материи.

1. Аристотель. Тв. в 4-х томах. Т.3. М.: Думка, 1981. 2. Арнхейм Р. Візуальне мислення. Глави з оповідання // Глядачеві образи: феноменологія й другий експеримент. Збірник перекладів. Ч.3. Душанбе: ТГУ,.

1973. С.6−79. 3. Арнхейм Р. На захист візуального мислення // Арнхейм Р. Нові нариси по психології мистецтва. М.: Прометей, 1994. С.153−173. 4. Барабашев О. Г. Безкраїсть і жахаюча невизначеність // Безкраїсть у математиці: філософські й історичні аспекти. М.: Янус-К, 1997. С.273;

282. 5. Білий Андрій. Про сенсі пізнання. Мінськ: ТПЦ «Поліфакт», 1991. 6. Бобынин В. В. Гоёне Вронський та її вчення про філософію математики. М.:

Тов-во тип. А. И. Мамонтова, 1894. 7. Вейль Р. Математичне мислення. М.: Наука, 1989. 8. Вертгеймер М. Продуктивне мислення. М.: Прогрес, 1987. 9. Декарт Р. Тв. в 2-х томах. Т.2. М.: Думка, 1994. 10. Жучків В.А. Німецька філософія епохи раннього освіти (кінець XVII — перша чверть XVIII в.). М.: Наука, 1989. 11. Кант І. Повне Зібр. тв. в 8-місячного томах. М.: Чоро, 1994. Т.3, 4 і побачили 8-го. 12. Клейн Ф. Елементарна математика з погляду вищої. Т.2: Геометрия.

М.: Наука, 1987. 13. Клейн Ф. Лекції про розвиток математики ХІХ столітті. Т.1. М.: Наука,.

1989. 14. Кричевец О. Н. Чотири кроки інтуїції у математиці // Школа діалогу культур: Ідеї. Досвід. Проблеми. Кемерово: «Алеф» Гуманітарний Центр,.

1993. С.387−405. 15. Ляйбніц Г. В. Тв. в 4-х томах. Т.1. М.: Думка, 1982. 16. Лосєв А.Ф. Історія античної, естетики. Рання класика. 2-ге вид. М.:

Ладомир, 1994. 17. Малкольм М. Людвіґ Вітґенштайн: Спогади // Людвіґ Вітґенштайн: чоловік і мислитель. М.: Вид. грн. «Прогрес», «Культура», 1993. С.31;

96. 18. Микола Кузанский. Тв. в 2-х томах. Т.1. М.: Думка, 1979. 19. Новаліс. Гейнрих фон Офтердинген. Фрагменти. Учні в Саисе. СПб.:

Євразія, 1995. 20. Пидоу Д. Геометрія і мистецтво. М.: Світ, 1979. 21. Платон. Повне Зібр. тв. в 4-х томах. Т.3. М.: Думка, 1994. 22. Гребель. Про благо чи єдиному (VI 9) // Логос. N 3. М.: Гнозис, 1992.

С.213−227. 23. Гребель. Твори. СПб.: Алетейя, 1995. 24. Прокл. Коментар до першій книжці «Почав» Евкліда. Запровадження. М.: Греколатинський кабінет, 1994. 25. Пуанкаре А. Про науку. 2-ге вид. М.: Наука, 1990. 26. Рейхенбах Р. Філософія простору й часу. М.: Прогрес, 1985. 27. Родін А.В. «Почала» Евкліда у світі філософії Платона або Ньютона (на матеріалі I-IV книжок) / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. філософ. наук.

М.: ИФРАН, 1995. 28. Соловйов Вл.С. Повне Зібр. тв. і листів на 15-ти томах. Т.3. М.: Логос, 1993. 29. Спекторский Є.В. Эргард Вейгель. Забутий раціоналіст XVII века.

Варшава: Тип. Варшавського учеб. округу, 1909. 30. Флоренський П. О. Стовп і запровадження Істини. М.: Щоправда, 1990. 31. Флоренський П. О., Лузин М. М. Листування // Историко-математические дослідження. Вып.31. М.: Наука, 1989. С.125−191. 32. Фосс А. Про сутність математики. СПб.: Physice, 1911. 33. Шапошников В. А. Математичні поняття і образи філософському мышлении.

(з прикладу філософії П. А. Флоренского і філософських ідей представителей.

Московської математичної школи) / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. філософ. наук. М.: МДУ, 1996. 34. Шапошников В. А. Про співвідношення понятійного і образного у філософському мисленні // Тези конференції «Єдність онтології, теорії пізнання й логіки». Уфа: Баш. держ. ун-т, 1996. С.94−96. 35. Шапошников В. А. Тема нескінченності у творчості П. А. Флоренского //.

Безкраїсть у математиці: філософські й історичні аспекти. М.:

Янус-К, 1997. С.362−386. 36. Шопенгауер А. Тв. в 4-х томах. М.: Наука, 1993. Т.1−2. 37. Шпенглер Про. Занепад Європи. Т.1. М.: Думка, 1993. 38. Ямвлих. Теологумены арифметики // Лосєв А.Ф. Історія античної эстетики.

Останні століття. Кн.II. М.: Мистецтво, 1988. С.395−419. 39. Arnheim, Rudolf. Visual Thinking. Berkeley and Los Angeles: Univ. of.

California Press, 1969. 40. Dobrzycki J. Hoлnй-Wroсski // Dictionary of Scientific Biography / Ed.

Ch.C.Gillispie. Vol.XV. Supplement I. NY: Charles Scribner «p.s Sons,.

1978. P.225−226. 41. Dyck M. Novalis and mathematics. Chapel Hill: The Univ. of North.

Carolina Press, 1960.