Математичні основи обчислення тарифних ставок

МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ

ОБЧИСЛЕННЯ ТАРИФНИХ СТАВОК Поняття випадкової величини. Страхування виникає там, де існують явища і процеси випадкової природи. Тому біль­шість величин, що розглядаються у страхуванні, є випадкови­ми величинами. З математичного погляду випадкова величина — це змінна, яка може набувати певних значень з певною ймовір­ністю.

Випадкова величина повністю описується своєю функцією розподілу. Функцією розподілу випадкової величини або інте­гральною функцією) називається функція, яка кожному числу х ставить у відповідність імовірність того, що абуде значення, меншого за х:

$$\begin{array}{c}x\\ \\ \\ \mathit{F}(x)=P\\ \end{array}$$ .

Функція Fвизначена при всіх значеннях аргументу x і має такі властивості:

$$0<=F_{}(x)<=1$$ ;

якщо х<у, то F$$$$

F.

.

F l;

F 0;

P{a alt="" src="data:image/*-base64,AQAJAAADrwAAAAIAHAAAAAAABQAAAAkCAAAAAAUAAAACAQEAAAAFAAAAAQL///8ABQAAAC4BGAAAAAUAAAALAgAAAAAFAAAADAKAAUABEgAAACYGDwAaAP////8AABAAAADA////5v///wABAABmAQAACwAAACYGDwAMAE1hdGhUeXBlAAAgABwAAAD7AoD+AAAAAAAAkAEAAAACAAIAEFN5bWJvbAB3QAAAAKEFCsUWQ8d3H0PHdyDAyXcAADAABAAAAC0BAAAIAAAAMgpAATQAAQAAAKN5EgAAACYGDwAZAE1hdGhUeXBlVVUNAAMBAQMBCgEChmQiAAAACgAAACYGDwAKAP////8BAAAAAAAcAAAA+wIQAAcAAAAAALwCAAAAzAECAiJTeXN0ZW0AAAAACgAhAIoBAAAAAP////+E/BIAKULHdwQAAAAtAQEABAAAAPABAAADAAAAAAA=">b}=FF.

Серед випадкових величин можна виокремити два основні ти­пи — дискретні та абсолютно неперервні.

Дискретною називається випадкова величина, яка може на­бувати скінченної або зліченної множини значень. Дискретними є, наприклад, такі величини: кількість позовів (страхових випадків) у поточному році кількість договорів, що їх буде укладено страховиком.

Якщо функцію розподілу Fвипадкової величини ожна подати у вигляді.

$$F_{}(x)=\underset{-\mathrm{}}{\overset{x}{}}{p}_{}(t)\text{dt}$$ ,.

де р — деяка невід'ємна функція, то випадкова величина азивається абсолютно неперервною, а функція р — щільні­стю розподілу випадкової величини бсолютно неперервни­ми можна вважати, наприклад, розмір майбутніх прибутків стра­ховика, а також тривалість очікування між двома послідовними страховими випадками.

Числові характеристики випадкових величин. У страховій практиці, як правило, нас цікавлять не самі випадкові величини, а деякі їх числові макрохарактеристики. Найважливішими з них є математичне сподівання та дисперсія.

Математичне сподівання (його називають також середнім, або сподіваним, значенням) — це середньозважене за ймовірніс­тю значення випадкової величини. Для дискретних випадкових величин математичне сподівання обчислюється з формулою:

М[math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >ixipi ,.

де хі - значення, яких набуває випадкова величинарі - ймовір­ності їх реалізації. Для абсолютно неперервних випадкових вели­чин математичне сподівання подається так:

= $$\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}{\text{tp}}_{}(t)\text{dt}$$ ,.

де рщільність випадкової величини кщо випадкова вели­чина невід'ємна (0 математичне сподівання можна обчисли­ти за формулою:

= $$\underset{0}{\overset{\mathrm{}}{}}(1-F_{}(t))\text{dt}$$

.

.

Для будь-яких сталих a, b та випадкових величин виконуються такі властивості математичного сподівання:

М[а] = а;

М[bb;

M[[[p>

Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини ід її середнього значення й обчислюється як математичне сподіван­ня квадрата відхилення цієї величини від й математичного споді­вання:

$$D[]=M[(-M[]{)}^2]$$ .

Дисперсія задовольняє такі співвідношення:

$$D[]=M[{}^2]-M[{]}^2$$ ;

$$D[a]=0$$ ;

$$D[\mathit{b}]=b^{2}D[]$$ ;

$$D[+a]=D[]$$ ,.

де а, b — довільні сталівипадкова величина. Якщо випад­кова величина невід'ємна, дисперсію можна обчислити за фор­мулою.

$$D[]=2\underset{0}{\overset{\mathrm{}}{}}t(1-F_{}(t))\text{dt}(\underset{0}{\overset{\mathrm{}}{}}(1-F_{}(t))\text{dt}){)}^2$$.

Поряд з дисперсією часто використовують похідні поняття — стандартне відхилення та коефіцієнт варіації. Стандартним, або середньоквадратичним, відхиленням називають корінь ква­дратний із дисперсії:

$${}_{}=\sqrt{D[]}$$.

Відношення стандартного відхилення випадкової величини о модуля математичного сподівання називається коефіцієнтом варіації.

$$V[]=\frac{{}_{}}{|M[]|}$$ .

Для випадкової величини вантилем рівня, а (або вантилем) називається величина ta, яка при заданому значенні довір­чої ймовірності коренем рівняння.

$$F_{}=(t_{})=$$ .

Незалежність випадкових величин. Випадкові величини, а азиваються незалежними, якщо за відомим значенням ве­личини е можна зробити жодних висновків стосовно значення навпаки, значення іяк не впливає на обізнаність із величиною ормально випадкові величини, а азиваються неза­лежними, якщо при будь-яких значеннях, а та b імовірність події р{а, b} є добутком імовірностей подій р{а}та Р{b}:

$$P\left\{<a,<b\right\}=P\left\{<a\right\}P\left\{<b\right\}$$.

Якщо випадкові величини не задовольняють наведену щойно умову, то вони називаються залежними. Прикладом залежних випадкових величин є кількість позовів та сумарний розмір ви­плат. Відсутність позовів означає відсутність виплат. Нехай ількість позовів (кількість виплат) у поточному році, відпо­відна сума виплат у страховика. Нехай з імовірністю 10% протя­гом року виплат у страховика немає Цей факт можна записати кількома способами:

$$\begin{array}{c}P\left\{=0\right\}=P\left\{<1\text{грн}\right\}=\text{10}\text{\%-}\\ P\left\{=0\right\}=P\left\{<1\right\}=\text{10}\\ P\left\{<\mathrm{1,}<1\text{грн}\right\}=\text{10}\end{array}$$.

Отже, Р{1, 1 грн}>Р{1 грн}Р{1}. Це означає, що ви­падкові величини алежні. Незалежними випадковими вели­чинами можуть вважатись, наприклад, кількості позовів з різних видів страхування.

Наведемо дві важливі властивості. Якщо випадкові величини, а езалежні, то для них виконуються такі співвідношення:

$$\begin{array}{c}M[]=M[]M[]-\\ D[+]=D[]+D[]\end{array}$$.

Статистичні оцінки. Часто ми не маємо інформації про ре­альний розподіл випадкової величини ле маємо деяку сукуп­ність спостережень, у результаті яких вона набуває значень х1, х2, х3, …, хn. Ця сукупність значень називається вибіркою, а величини.

$$\stackrel{}{x}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{}}\text{xi}$$.

і.

$$s^2=\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\overset{n}{}}(\text{xi}-\stackrel{}{x}{)}^2$$.

відповідно вибірковим (емпіричним) середнім та незсуненою вибірковою (емпіричною) дисперсією. Вибіркове середнє вико­ристовують для оцінювання математичного сподівання:

$$\stackrel{}{x}M[]$$ ,.

незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадкової.

величини:

$$s^{2}D[]$$.

Принципи обчислення тарифних ставок. В актуарній прак­тиці використовуються найрізноманітніші методи обчислення та­рифних ставок. Усі вони базуються на принципі еквівалентності фінансових зобов’язань страхувальника і страховика. Але пара­докс полягає в тому, що не існує єдиного погляду на те, як тлу­мачити цей загальновизнаний принцип страхування. Розглянемо найпоширеніші підходи до трактування принципу еквівалентності.

Еквівалентність фінансових зобов’язань як еквівалент­ність сподіваних значень. Зобов’язання страхувальників поля­гають у сплаті страхових премій. Зобов’язання страховика опла­чувати позови страхувальника. Нехай р означає суму зібраних страховиком премій, Х-сумарні виплати страховика. Природно вважати, що справедливою платою за ризик страховика є споді­ване (середнє) значення випадкової величини X:

$$p=M[X]$$.

У такому вигляді принцип еквівалентності доволі часто вико­ристовується у страхуванні життя та деяких інших галузях масо­вого страхування.

Еквівалентність зобов’язань з погляду теорії розорення.

Зобов’язання страхувальників мають безумовний характер. Ку­пуючи поліс, страхувальник звільняє себе від ризику несподіва­них витрат. Витрати страховика, навпаки, непередбачувані. Страховик бере на себе ризик, який полягає в тому, що його ви­плати будуть значно більші за М[Х]. Тому страховик вправі вима­гати додаткової плати за можливі збитки — ризикову надбавку L, із цього погляду справджується співвідношення:

$$p=M[X]+L$$.

Постає запитання: якими мають бути розміри ризикової над­бавки L та страхової премії р? Щоб відповісти на нього, доцільно звернутися до теорії розорення.

Факт розорення страховика описується співвідношенням U + р < X, де U — розмір власних коштів страховика. Відповідно ймовірність розорення дорівнює Р{U + р < X}.

Отже, якщо страховик намагається досягнути ймовірності ро­зорення о він має забезпечити розмір страхових премій р та­ким, щоб виконувалося співвідношення: Р{U + р < X}= >

Таке розуміння принципу еквівалентності є найпоширенішим у сьогоденній практиці. Основним недоліком цього підходу є до­сить висока абстрактність поняття «ймовірність розорення». Яка ймовірність розорення страховика вважається достатньою — 10, 1 чи 0,1%? На це запитання дуже важко дати аргументовану від­повідь. Зменшення ймовірності розорення з 2 до 0,2% для стра­ховика не має принципового значення, хоча може призвести до необхідності збільшити ризикову надбавку в півтора раза.

Принцип еквівалентності зобов’язань у термінах теорії розо­рення має математично обгрунтовану форму, але застосування його в актуарній практиці може призводити до значних коливань розрахункових значень.

Еквівалентність зобов’язань з погляду теорії корисності. Нині дедалі популярнішим стає підхід до формалізації принципу еквівалентності фінансових зобов’язань страхувальника і страхо­вика, що грунтується на теорії корисності.

Основним поняттям цієї теорії є функція корисності. Функ­цією корисності називають функцію u (х), яка має такі властивості:

функція й зростаюча — u (х) > u (у) при х > у;

функція й задовольняє нерівність Єнсена М[u (х)]<u (М[х]);

функція й задовольняє умову нульової корисності u (о)=0.

Функція корисності визначає ступінь важливості для страхо­вика певних грошових сум. Вона має суб'єктивний характер, включаючи психологічний компонент.

За допомогою функції корисності принцип еквівалентності можна записати так:

$$M[u(U+p-X)]=u(U)$$.

Отже, сподівана корисність капіталу страховика після прийняття ризиків не повинна зменшитися порівняно з корисністю початково­го капіталу. На практиці часто застосовують експоненціальну u (х)=1-е-ах та квадратичну u (х) = ах-х2 функції корисності.

Головна проблема при практичному використанні принципу еквівалентності в термінах теорії корисності - відшукання адек­ватної функції корисності.