Паралельність прямої і площини

Уманський державний педагогічний університет імені Павла Тичини

Інститут природничо-математичної та технологічної освіти Фізико-математичний факультет Кафедра вищої математики

Урок на тему: «Паралельність прямої і площини»

10 клас

Мета: з’ясувати можливі випадки взаємного розміщення прямих та площин в просторі, познайомити учнів із означенням паралельних прямої і площини, визначити та довести ознаку паралельності відповідних елементів, навчити учнів виділяти паралельні пряму і площину на стереометричних моделях та у побуті; розвивати в школярів увагу, просторове мислення, уяву та уявлення про розміщення прямої та площини в просторі; виховувати спостережливість до оточуючого світу, цікавість та любов до предмета.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Обладнання: стереометричний набір, моделі стереометричних тіл, рисунки, підручник Геометрія 10, Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владімірова.

Хід уроку:

І. Організаційний момент (2 хв.)

Забезпечення організованого, своєчасного початку уроку. Перевірка присутніх, перевірка готовності учнів до уроку.

ІІ. Актуалізація опорних знань (3−4 хв.)

1. Пригадайте можливі випадки розміщення прямих у просторі.

(Прямі перетинаються, прямі паралельні, прямі мимобіжні, прямі збігаються.)

2. У якому випадку дві прямі у просторі являються паралельними?

(Прямі паралельні, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині.)

3. Чи можна провести через точку простору, що не належить даній прямій пряму, паралельну даній?

(Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, і до того ж тільки одну.)

4. Сформулюйте ознаку паралельності прямих у просторі.

(Якщо дві прямі, паралельні третій, то вони паралельні між собою.)

5. Коли два відрізки або промені є паралельними?

(Коли вони лежать на паралельних прямих.)

ІІI. Повідомлення теми, мети, завдань уроку, мотивація навчальної діяльності учнів (2−3 хв.)

На минулому уроці ми з вами працювали із паралельними прямими в просторі. Тема сьогоднішнього уроку: «Паралельність прямої і площини».

На уроці ми з вами аналогічно до того, як можуть розміщуватися прямі в просторі, з’ясуємо можливі випадки взаємного розміщення прямої та площини в просторі, познайомимось із означенням паралельної прямої та площини, визначимо та доведемо ознаку паралельності прямої й площини, навчимося виділяти паралельні пряму і площину на стереометричних моделях та у побуті.

Даний матеріал використовується не тільки в курсі стереометрії, він стане у пригоді вам і на уроках креслення, і при виконанні різних малюнків, якщо вас цікавить художнє мистецтво. Можливо, хтось із вас захоче стати архітектором, інженером, дизайнером, комп’ютерним модератором, — всі ці професії потребують розвиненої уяви, просторових уявлень, творчості та звісно ж, умінь і навиків працювати із просторовими рисунками. Тому паралельність прямої і площини є не тільки цікавим, а і корисним матеріалом, що сприяє розумінню не тільки суто геометрії, а і тісно пов’язаний із оточуючим нас середовищем.

ІV. Пояснення нового матеріалу (10−15 хв.)

Давайте поміркуємо, які існують випадки взаємного розміщення прямої та площини в просторі? (Пряма може лежати в площині і не лежати в ній. Коли пряма не лежить в площині, можливо що пряма і площина не перетинаються, або пряма і площина перетинаються в одній точці.)

Тобто, існує декілька варіантів взаємного розміщення прямої та площини, аналогічно до того, як розміщуються дві прямі у просторі. Давайте розглянемо та зобразимо кілька самих основних із можливих варіантів положення прямої та площини, а саме: а) пряма і площина паралельні; б) пряма перетинає площину в одній точці; в) пряма і площина взаємно перпендикулярні.

(Демонстрація положення прямої та площини за допомогою стереометричного ящика) Рис. 1

паралельний пряма площина Оскільки тема нашого сьогоднішнього уроку «Паралельність прямої і площини», то розглянемо саме перший випадок, коли пряма і площина паралельні.

Означення. Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються, тобто не мають спільних точок.

Якщо пряма, а паралельна площині, то записують це наступним чином: а¦.

Теорема. (ознака паралельності прямої і площини) Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна будь-якій прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Рис. 2

Нехай — площина, а — пряма, яка не лежить в ній і а1 — пряма у площині паралельна а.

Проведемо площину через пряму, а і а1. Вона відміна від, оскільки пряма, а не належить площині. Площина і перетинаються по прямій а1. Якби пряма, а перетинала площину, то точки перетину належали б прямій а1, але це не можливо, оскільки, а і а1 паралельні.

Отже, пряма, а не перетинає площину, тобто паралельна площині.

Теорему доведено.

Відрізок називається паралельним площині, якщо він належить прямій, яка паралельна даній площині.

Наведіть приклади паралельних прямої та площини в побуті. (Наприклад, у приміщенні, яке має форму прямокутного паралелепіпеда, стики стін зі стелею паралельні підлозі, і навпаки — стики стін з підлогою паралельні стелі і т. д.)

(Демонстрація моделі прямокутного паралелепіпеда, куба.)

Наслідок 1. Якщо пряма паралельна площині, то через кожну точку цієї площини можна провести на ній пряму, паралельну даній прямій.

Наприклад, на площині міститься безліч прямих, яким паралельна пряма b.

Рис. 3

Наслідок 2. Існує безліч прямих, які паралельні одній і тій самій площині.

Наприклад, поза площиною містяться безліч паралельних їй прямих, які можуть належати або не належати одній площині.

Рис. 4

Наслідок 3. Якщо пряма паралельна кожній з площин, які перетинаються, то вона паралельна і прямій їхнього перетину.

Рис. 5

Отже, через точку, А поза площиною можна провести:

— безліч прямих, паралельних площині ;

— одну пряму b, паралельну прямій, а площини ;

— безліч прямих, мимобіжних з прямою, а площини .

V. Закріплення нового матеріалу (10−12хв.)

(Розв'язування вправ) Назвати можливі паралельні пряму та площину на зображеному паралелепіпеді.

Рис. 6

Рис. 7

Розв’язання.

В1С 1 — пряма перетину (АВС) і. ВС¦, тому ВС¦ В1С 1.

?А В1С 1 = ?АВС (За трьома кутами).

.

СС1 = 3k, C1A = 2k, тоді АС = 5k.

.

B1C1 = 6 см, 2k = 6, k = 3, BC = 5k = 5 • 3 = 15 (см).

Відповідь: 15 см.

VІ. Підсумок уроку (2−3 хв.)

1. Коли пряма і площина називаються паралельними?

(Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються, тобто не мають спільних точок.)

2. Сформулюйте ознаку паралельності прямої і площини.

(Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна будь-якій прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.)

3. Скільки існує прямих, паралельних одній і тій самій площині?

(Безліч)

4. Кожна з прямих, а і в паралельна площині. Чи випливає з цього, що прямі а і в паралельні?

(Ні тому, що вони можуть бути паралельні різним прямим даної площини, а були б паралельні тоді, коли були паралельній одній прямій цієї площини.)

VІІ. Домашнє завдання (1−2 хв.)

Опрацювати § 15 підручника Геометрія 10, Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владімірова, виконати № 65, № 67.

VІІІ. Оцінювання та мотивація (1 хв) Оцінювання учнів, що працювали на уроці. Мотивація виставлених оцінок.