П'ятий постулат

Ім'я Евкліда назавжди пов’язані з однією з відгалужень математики, який отримав назву «евклидова геометрія ». Настільки міцна слава закріпилася за Евклидом заслужено, завдяки одній його труду. Начала ". У школах усього світу, довгі століття геометрія викладалася по. Началам «Евкліда. У англійських школах до сьогодні підручники геометрії за своєю формою нагадують цей учений трактат. У світовій літературі «Почала «належать до найпопулярніших і поширених математичних праць. Попри таку величезну популярність Евкліда як автора. Начал », він, її образ і життєвий шлях відомі обмаль. Ні історично вірних даних про його життя, невідомі навіть точні дати її народження й смерті. За даними залишеним нащадку Проклом (410—485), автором коментарів до «Засадам », діяльність Евкліда відбувалася у час правління Птолемея Сотера 1 (305—282 рр е.). У цьому царя, столиця Єгипту Олександрія побувала в центрі наукової й нерозривності культурної життя тодішнього світу, і привертала собі багатьох видатних учених усіх сторін, зокрема, з Греції. У знаменитій на той час Олександрійської школі працювали тоді багато світила математики у тому числі Евклид, який був однією з перших її викладачів. Які Дійшли до нас твори Евкліда, свідчать, що це був дуже спроможний устояти й навіть талановитий викладач. Є думка, що Евклид був вихованцем Платоновської академії, де, маючи доступом до найкращим трудам грецьких математиків і філософів, досяг висот тодішніх наукових знань. Справді, твори Евкліда носять у собі ознаки захоплення платонівської філософією: Евклид, наприклад, у трактатах дуже ретельно уникає проблем практичного порядку. Певний світло на Евкліда як людина, математика і філософа, проливають два анекдоту, правдивість яких, втім, як і правдивість взагалі всіх анекдотів, то, можливо узята під. Розповідають, наприклад, що якось цар Птолемей 1, гортаючи книгу. Начал «звернувся до автора з аналогічним запитанням чи немає простіших шляхів до оволодіння наукою геометрії, потім Евклид відповів: У геометрії немає особливих доріг навіть царів ». У другому анекдоті говориться, чтр одне із учнів Евкліда, вивчаючи геометрію і ознайомившись із першої аксіомою запитав що він дасть вивчення геометрії? Замість відповіді Евклид підкликав невільника і. «Дай йому обола, бо ця людина очікує прибуток від науки ». Математик Папп (320 р. зв. е.) захоплюється незвичайній чесністю, скромністю, покірливістю і водночас незалежністю, якими рисами характеру вирізнявся Евклид. Евклид був дуже плідним автором різних праць. Відомо, що його перу належить щонайменше 10 трактатів, у тому числі «Почала », які з 13 книжок вважаються найбільшим твором історія математики. Це перший, що зберігся математичний трактат, у якому з всю повноту позначилося дедуктивний метод… Начала «носять характер підручника, у якому Евклид дав повний звід математичних знань своїх попередників. Отже, Евкліда важко вважати самостійним автором змісту «Почав », за невеликими винятками, які стосуються конусных перетинів і сферичної геометрії. Однак у «Засадах «Евклид проявив себе чудовим систематиком і видатним педагогом із усіх існували за історію математики… Начала «було написано близько року по н.е., але найдавніші, збережені рукописи грецькою мовою походять лише до Х ве нашого літочислення. Після 1 століття нашої зр «• ранилось лише кілька уривків папірусу з ским текстом. Попри відсутність оригинг даруючи копіткій праці учених, порівняли внейшие, збережені рукописи, вдалося порозмовляти з повної достовірністю відновити початковий текст чудового праці Евкліда. З тринадцяти книг. Начал «перша, друга, третя і четверта і навіть шоста, присвячені геометрії на площині, в одинадцатой, дванадцятої і тринадцятої наведено основи стереометрії, інші книги. Начал «присвячені теорії пропорцій і арифметиці. На початку праці Евклид наводить десять первинних теорем — без доказів, у тому числі п’ять перших назвав аксіомами, інші ж — постулатами і ввів необхідну кількість визначень. Маючи цієї сиСтеме аксіом і постулатів, Евклид дає докази 465 теорем розподілених в ланцюжок, чергові ланки якої логічно випливають із попередніх ланок або з аксіом. П’ята, так называемая, Аксиома паралельності «на цілі століття посіла уми багатьох математиків. Спочатку, як, наприклад, Птолемей у минулому і потім, вже у у вісімнадцятому сторіччі вчені намагалися дати доказ цієї аксіоми і після багатьох невдалих спроб прийняли чотири перші аксіоми без доказів; зрештою, відмови від п’ятої аксіоми призвела до виникнення нову теорію, що отримала назву неевклідової геометрии.

Один із теорем, приведений у «Засадах », авторство якої приписується Евклиду, відома з шкільного курсу і гласит:.Площадь квадрата побудованого в розквіті прямокутного трикутника опущеної з прямого кута на гипотенузу, рівновелика площі прямокутника зі сторонами рівними відрізкам гіпотенузи, отриманими від перетину її заввишки «Інші твори Евкліда не збереглися. Про те, що існували свідчать згадки у працях інших математиков.

Історію давньогрецької математики можна підрозділити втричі періоду: перший — надзвичайно буйне, майже стихійне розвиток, другий — період сумнівів, критичного ставлення до нових праць і, нарешті, третій — період упорядкування результатів отриманих великими вченими прошлого.

Праця Евкліда належить саме до цього останньому периоду.

Великі заслуги Евкліда. Про те, як високо оцінені його праці, свідчить факт, що «Почала «залишалися фундаментальним математичним працею протягом понад 2000 лет.

Як відомо, в III столітті до нашої ери грецький геометр Евклид у своїй книжці «Почала» сформулював систему аксіом, у тому числі послідовно, одна одною, виводяться все основні теореми геометрії. І не виходило двох суперечать одна одній теорем, докази яких рівноправно витікали із прийнятої системи аксіом. Це означає, що аксіоматика Евкліда непротиворечива.

Аксіоми евклідовій геометрії є продуктом повсякденних людських спостережень, крім однієї — аксіоми про паралельних, званої також п’ятим постулатом. Хто сформулює цю аксиому?

Учень. Наскільки пам’ятаю: через точку поза прямий можна навести у тому площині тільки один пряму, не що перетинає данной.

Ведучий. У Евкліда в «Засадах» трохи інакша формулювання, але суть той самий. І цю аксіому, на відміну інших, ніяким досвідом не підтвердиш, не спростуєш, на практиці відтворювані лише відтинки прямих, але ніколи самі прямі в усій їх безкінечною протяженности.

Учень. Але коли цей п’ятий постулат непроверяем фізично, вона може бути, слід було виключити його у складі аксіом й доводити як теорему, спираючись решту аксиомы?

Ведучий. Це так і це. Століттями тривали спроби придумати доказ — не вдавалося нікому. У таємницю цих невдач якраз і проник М. І. Лобачевський глибоко й остаточно: п’ятий постулат недовідний і південь відгосподствовавшего бо лее двох років переконання, чт (евклидова геометрія є єдиний ная мислима система геометриче ского пізнання світу, необхідно від казаться.

1-ї учень. Вічний… п’ятий. Від Евклида.

І на цих ось снегов.

Постулат, як чорний идо.

Задля вимагає умов…

2-ї учень. «Постулат недоказуем!».

Навіть страшно произнесть.

О, догматики! Грозу им.

Чи принесе така весть.

3-й учень. На уроках геометрії вчитель говорив нам, що Лобачевський створив «неевклидову геометрію», де за точку можна навести більше лінії, не котрий перетинає цю прямую.

Ведучий. Правильно. Лобачевський замінив евклидов п’ятий постулат більш загальній аксіомою паралельності, зберігши інші аксіоми і постулати. Щоб легше було зрозуміти сенс аксіом Лобачевського, візьмемо пряму АВ іза її межами точку З. Нехай САВ прямой.

Побудуємо промінь СD, перетинав пряму АВ у точці D, лежачої праворуч точки Проте й уявімо, що він обертається проти годинниковий стрілки. Принаймні обертання променя СD безпосереднє стеження перетину його з АВ стає нездійсненним. Через це буде логічно правомірним змінити наше уявлення про прямий лінії промені, яке нині дозволило було б уявити, що промінь СD якогось моменту свого обертання «відривається» від прямий АВ, т. е. перестає мати із нею загальну точку.

Тоді «пряму» (аа "), що містить промінь, вперше «який відірвався» від АВ, назвемо прямий, паралельної прямий АР у бік променя АВ.

Розглянувши симетрію з віссю 4С, бачимо, що є «пряма» (ЬЬ "), симетрична «прямий» {аа ") і через точку З (рис. 39). Зрозуміло, як і цю «пряму» (ЬЬ ") можна вважати паралельної АВ, але вже напрямі променя АВ ". Отже, через З проходять дві «прямі», паралельні прямий ВР " .

З кожної з цих «прямих» промінь СА, перпендикулярний прямий У «У, утворює кут л (р), під назвою Лобачевским кутом паралельності. Кут? (р) залежить від довжини СА==р і має таке властивість: все прямі, які відбуваються через З повагою та які із перпендикуляром СА кут, менший л (р), перетинають У «У, й інші «прямі», які відбуваються через З, не перетинають У «У, їх називають що розходяться прямими чи сверхпараллелями до прямий У «У. Через З проходить безліч таких «прямых».

У приватному разі, коли? (р) ==90°, виходить постулат Евкліда і дотримуються всі пропозиції звичайній геометрії, «вживаної», як називав її М. І. Лобачевский.

Кут? (р) зростає й наближається до прямому розі з наближенням точки З до прямий У «В.

З припущення, що? (р).

Виявилося також, що взаємозв'язок простору й часу, від крита X. Лоренцом, А. Пуанкаре, А. Ейнштейна і Р. Мінковським і описувана у межах спеціальної теорії відносності, має безпосередній стосунок до геометрії Лобачевського. Наприклад, під час розрахунків сучасних синхрофазотронів використовуються формули геометрії Лобачевского.

Таку геометрію Лобачевський спочатку назвав «уявлюваного», і потім (наприкінці жизни)—"пангеометрией", т. е. загальної геометрією. Нині її в усьому світі називають «геометрією Лобачевского».

Ученик.

Був мудрим Евклид,.

Але його параллели,.

Начебто вічні палі легли.

І думки його, що і стріли летели,.

Завжди залишалися не більше Земли.

І, у Всесвіті, інші законы,.

Там точками служать інші тела.

І паралельних променів миллионы.

Природа крізь Марс, то, можливо, провела.

Ведучий. З розуміння паралельності «по Лобачевскому» вйтекает багато дивовижних здавалося б, але суворо обгрунтованих следствий.

Учень. Каких?

Ведучий. Наприклад, у просторі Лобачевського паралельні прямі необмежено зближуються у бік паралельності і тому існують «нескінченні трикутники», боку яких попарно рівнобіжні, але немає многоугольников.

Ученик.

Незабаром порохом спалахне світанкова тишь.

Ти на чіткий креслення невідривно глядишь.

Після встав, потягнувся устало.

Вічність таємницю тобі нашептала,.

І душею здивованої побачив ти то,.

Що досі не знав і відав никто:

Паралелі стрелою націлені в высь,.

Паралелі простромлюють міжзоряні дали.

Паралелі — ти, чуєш? — прагнуть ойтись,.

Тільки відразу таке осягнеш ледь ли.

Ведучий. У геометрії Лобачевського цікава й важлива така теорема: «Сума кутів трикутника завжди менше 180°».

Учень. Дозвольте на хвилинку перебити Вас. У Данте є такі строки:

Як для смертних істина ясна,.

Що у трикутник двом тупим не влиться.

Тепер нам зрозуміло, і що може бути двох тупих кутів у нашому «земній» трикутнику, а й у «зоряному» трикутнику геометрії Лобачевского…

Ведучий. Дуже цікаво, але затримаємося ще небагато на трикутнику в геометрії Лобачевского.

Нехай ?,? і ?— кути трикутника, тоді число ?= 180°— (? +?+?).

називають «дефектом трикутника» і справедлива вражаюча формула виведена М. І. Лобачевским ?= S/R2, де де S—площадь трикутника, а R— число, однакове всім трикутників Значимість До, має розмірність довжини, називають радіусом кривизни, простору Лобачевського, а негативну величину??? R2 кривизною цього пространства.

У евклідовому просторі ?=0 (оскільки? +?+?=180°), тому його кривизна вважається рівної нулю.

Виходить отже наша «вживана» геометрія є граничним (при ?—> 0) випадком геометрії Лобачевского.

1-ї ученик.

У все криволинейно.

Прямота лише сфери часть.

І Евклидово ученье.

У космосі… втрачає власть.

Учень. Послухайте вірш поета Олександра Лихолета (Донецьк), надрукованого у альманасі «Витоки» (М.: Молода гвардія, 1983).

Лобачевский.

«Усі! Перекреслені «Начала».

Досить думку ними скучала,.

Хоч прав майже в усьому Евклид,.

Але не вічно постоянству:

І площину згорнута в пространство,.

І мир

Інший має вид…

Що він думав у вчерашнем?

Про зоряному хмарі, летящем.

З нізвідки в никуда?

Про те, що станеться новим взглядом:

Дві траси, що тривають рядом,.

Не рівнобіжні никогда?

Що постійному движенью.

Світів супроводжує сближенье,.

І, отже, зустрінуться они:

Його земна з неземными.

Непараллельными прямыми.

Колись, над наші дни?..

Ведучий. Відкриття Лобачевського настільки випередило розвиток математичної думки на той час, була настільки несподіваним і сміливим, що в усьому світі майже ніхто з математиков—его сучасників — готовий сприйняти ідеї «уявлюваного геометрії». Тому, за життя Лобачевський потрапив у скрутне становище «невизнаного вченого». Наведу цікавий факт життя того времени.

Могутній «володар дум» передовий інтелігенції — М. Р. Чернишевський. Здавалося, адже він міг, хоча б інтуїтивно, відчути в твердженнях геометрії Лобачевського ідею революційного переосмислення століттями вкоріненою системи сприйняття простору. На жаль, так і не сталося. Інакше Чернишевський не іронізував в листі до синам: «Що таке „кривизна променя“ чи „криве простір“? Що таке геометрія без аксіоми паралельних?» Він порівнює це з «спорудженням чобіт в квадрати» і «витяганням коренів з халяв» у відповідь, що це ж безглуздо, як «писати російською без дієслів», (Адже Фет писав без дієслів і здорово: «Шелест, боязке дихання, трелі соловья».).

1-ї ученик.

Відхитнулися колеги, відстали друзья…

Може, у Комуністичній партії життя позіхнув ти ферзя ?

2-ї ученик.

— Нісенітниця, — кричать, — Лобачевский,—нелепица, бред.

Нічого смехотворней й у мире-то нет!

Паралелі не зустрінуться — це ж просто,.

Як дорога від міста Київ і до погоста!

А хоч рейки візьми, перетнутися їм что-ли,.

Хоч років розрізаючи роздольне поле?

3-й ученик.

Де ж зрозуміти їм: коли до зірок протягнуться рельсы,.

Зануряться з розбігу в інші законы.

Там, де у нуль звертається зябнущий Цельсий,.

Світові закони поки потаенны.

4-й ученик.

Пропливають в усмішці вчені лица,.

І глузувань у серця стоїть ледостав.

Так невже ж вона, Лобачевський, смирится?

Ні, він цілому світу доведе, що прав!

Ведучий. Знадобилося півстоліття у тому, щоб ідеї Лобачевського стали невід'ємною частиною математичних наук, проникли у механіку, фізику, космологію, стали загальнокультурним надбанням. Так було в «Братах Карамазових» Іван, у якого, за словами автора роману, «евклидовским» характером ума,.говорит: «Хай навіть паралельні лінії зійдуться, і це сам це побачу; побачу і скажу, що зійшлися, а все-таки, не прийму…» Це означає, що Достоєвський мав чітке уявлення про нове геометрии.