Розрахунок тарифних ставок страхування

РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНИВЕСИТЕТ.

(МАТИ їм. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО).

КАФЕДРА «ФІНАНСОВИЙ МЕНЕДЖМЕНТ «.

РЕФЕРАТ по ДИСЦИПЛИНЕ.

" Страховое справа «.

Розрахунок тарифних ставок страховании.

ВЫПОЛНИЛ:

Студент.

Групи 6МФ-III;

Скоркин Я. Л.

МОСКВА.

2002 навчальний год.

Зміст. 1.

Введение

.

1. Структура тарифної ставки.

2. Деякі поняття теорії ймовірностей, застосовувані в страховании.

3. Теоретичні аспекти визначення тарифної ставки. 2. Розрахунок тарифних ставок страхуванні жизни.

1. Таблиці смертности.

2. Операції на імовірностями у страхуванні жизни.

3. Комутаційні функції і страхові аннуитеты.

4. Страхування на дожитие.

5. Страхування жизни.

6. Пенсійне страхование.

7. Розрахунок страхових резервів. 3. Розрахунок тарифних ставок ризикових видах страхования.

1. Поняття тарифікаційної системы.

2. Теоретичні аспекти визначення тарифних ставок.

3. Практичний підхід до визначення нетто-ставки.

Визначення тарифної ставки можна було зрозуміти по тому, як будуть зрозумілі схема роботи страхового ринку. Так страховик і страхувальник укладають між собою угоду те що, що страхової компанії, надасть певну послугу свого клієнта в разі настання страхового випадку, вказаної у договорі. Будь-яка послуга має власну вартість чи ціну, що у страховий внесок (тарифі, премії), яку страхувальник сплачує страховику. Страхова премія встановлюється під час підписання договору ЄС і залишається незмінною протягом строку його действия.

Реальна вартість страхової послуги у тому, що й настав страховому випадку, то страховик, наприклад, оплачує витрати страхувальника, відшкодовуючи йому цим збитки, понесений їм у зв’язки Польщі з подією. Необхідно визначити, як страховик визначає собі цю ціну, ніж він керується у її установления.

По-перше, величина премії мусить бути достатня, щоб: — відповісти за договору страхування у вигляді запропонованих претензій; - створити страхові резерви; - покрити витрати страхової компанії; - забезпечити певний розмір прибутку. По-друге, ціна страхової послуги, як і будь-яка ринкова ціна, коливається під впливом попиту й пропозиції. Вона варіюється у певному інтервалі, нижню межу визначається рівністю між надходженнями платежів від страхувальників і виплатами страхове відшкодування (страхових сум) за договорами плюс витрати страхової компанії (Пн=А+З). Зрозуміло, що за такого рівні ціни, страховик якби мав жодної прибутку. Верхня кордон ціни страхової послуги визначається розміром попиту нього і величиною банківського відсотка (Пв=F (Ds;i). Тоді Пн 0) — страхова надбавка прямо пропорційна відхилення від середнього значення шкоди. 3. За коефіцієнтом варіації: Н (х)=с*Var (x), (с>0), тобто страхова надбавка безпосередньо залежить від стандартного відхилення, змінюється назад пропорційно з його середнього значення. (a, b, c) — числа, що дають ступінь пропорційності і культурний рівень страхової надбавки.

Нетто-премию можна як як математичне очікування величини збитків, а й як твір середнього шкоди на значення ймовірності його у різних тимчасових періодах: Е1(Х)=[pic], де t — тимчасові періоди. Ця формула можна буде, якщо страхові події незалежні, тобто наступ однієї з них впливає поява іншого. У принципі так, ця формула також виражає принцип фінансової еквівалентності: нетто-премия дорівнює твору середнього розміру шкоди (так собі її оцінює страхувальник) заздалегідь відомої ймовірності його наступу (певної виходячи з минулого опыта).

Для визначення страхової премії треба зазначити, що страхова премія сплачується під час ув’язнення договору страхування, а страхова сума — згодом (якщо відбудеться страховому випадку). Тому у страховиків є договір запас часу, і нагоду отримати всю премію повністю, не заплативши нічого страхувальникові. Використовуючи час, страховик може інвестувати кошти, одержуючи від рівня цього додатковий прибуток. Якщо ж не станеться страховому випадку, то сума страхових премій за даними договорами страхування в страховика. У цих двох пунктах і полягають основні доходи страхової компании.

Страховий бізнес має значної часткою авантюризму, у ньому невід'ємно присутній елемент випадковості. Тобто, як страховик, так і страхувальник отримують свої вигоди залежно від фортуни. Якщо розглянути формування ціни страхової послуги з погляду витрат, їх визначення залежить від калькуляції шкоди, якого призведе страхове подія. Його визначають як страховик, і страхувальник, домовляючись про виплаті певної страхової суми. Проте, у страхуванні не можна визначити доведеться нести ці витрати страховику, як компанії, яка надає послуги. У разі важко знайти рівноважну ціну й визначити внески страхувальника. Єдиним шляхом у її визначенні є аналіз минулих даних, у своїй досліджуваний період має бути як треба максимально довго, а сукупність даних однороднее.

Величина виплат за договором страхування є випадкової величиною, отже, сума виплат за всіма договорами, також величина випадкова. Сума виплат обмежена страховим фондом, що формується з страхових премій. Тому сукупна страхова сума варіюється у певному інтервалі, верхня межа якого дорівнює сумі всіх виплат за всі договорами. Задля більшої 100-відсотковій гарантії те, що сума нетто-премий перевищить суму виплат, страховик повинен створити страхової фонд у вигляді сукупної страхової суми. І тут страхова премія дорівнюватиме страхової сумі. Через війну страхувальник, з урахуванням навантаження, має заплатити більше, ніж отримає в разі настання страхового випадку. Такі умови страхувальник на сприйме, отже, страховику доводиться ризикувати тож його ризик визначається можливістю всіх страхових подій яких він страхує. Собі страховик визначає розмір свого ризику, що математично можна сформулювати наступним нерівністю: [pic] чи [pic], де y — задана страховиком гарантія безпеки, Si — виплата, Pi — премія, b — верхня межа страхової гарантії. Сутність даного нерівності така: можливість, сума всіх виплат перевищить суму всіх внесків страхувальників, має визначитися страховиком заздалегідь. Це робиться визначення нетто-премии.

Відповідно до теоремі А. М. Ляпунова (якщо Х — випадкова величина, рівна сумі значної частини незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких всю суму мізерно мало, то Х має розподіл близький до нормальному) страхові події та страхові виплати розподілені по нормальному закону. Якщо відомий закон розподілу випадкової величини, то наведене вище нерівність легко вирішується. По-перше, можливість, що безперервна випадкова величина Х прийме значення, те що інтервалу (a, b), дорівнює певному інтегралу від щільності розподілу, взятому не більше від a до b ([pic]. По-друге, [pic]- функція нормального розподілу, де a — матемпатическое очікування випадкової величини, а [pic]- її середнє квадратическое відхилення. І, по-третє, [pic], де Ф — функція Лапласа. Сума нетто-премий є математичним очікуванням від суми виплат, а ймовірність відхилення мусить бути задана страховиком заздалегідь, то наведене вище нерівність тотожний наведеній вище. Підставляючи відомі значення дане рівняння можна знайти сумарну величину нетто-премии.

З принципу фінансової еквівалентності, очікувану величину нетто-премии можна означити як твір страхової суми і неттоставки, яка виражається у відсотках (Е (X)=S (X)*T (X)/100). Де Т (Х) — нетто ставка, що залежить як від можливості наступу страхового випадку, і від тяжкості страхового випадку (величини шкоди). Страхову суму персонально визначає страхувальник. Верхня її кордон — максимальна вартість страхуемого имущества.

Нетто-премия є частиною брутто-премии (П (Х)), яку теж можна висловити у відсотках загальної величині виплат: П (Х) = S (X)*L (X)/100, де L (X) — брутто ставка в %. У цьому, L (X) = Т (Х) *f, де f — частка навантаження, котре виражається у відсотках. Частка навантаження розраховується за даним бухгалтерського обліку страховика: [pic], де R — витрати, крім комісійних. [pic]- сума зібраних брутто-премий за даним видом страхування, K (%) — відсоток комісійних, одержуваних посередниками по даному виду страхування, Vчастка прибутку на брутто-ставке, яку страховик хоче за даним видом страхування. З наведених вище формул, розрахунок брутто-ставки можна наступним вираженням: П (Х)=Т (Х)/(1-f) чи П (Х)=Т (Х)/100-f%.

Вище були описані загальні принципів формування нетто-ставок, які є основою приватних розрахунків, залежать від виду страхування. Кожен із видів має свої особливості, пов’язані з характером страхуемых подій і об'єктів. Деякі з цих особливостей істотно впливають на розрахунок нетто-ставок.

Види страхування сточки зору особливостей розрахунку нетто-ставок можна розділити на 2 категорії: 1. Страхування життя. Тут формування резерву внесків й розрахунки тарифних ставок виробляються з допомогою актуарних методів, з урахуванням таблиць смертності і норми дохідності інвестування тимчасово вільних резервів зі страхування життя. 2. Ризикові види страхування. Це види страхової діяльності, які від страхування життя. Не передбачають зобов’язань страховика із виплати страхової суми при закінченні термін дії договору страхування, і пов’язані з накопиченням страхової цифру протягом строку дії договору страхування. У ризикових видах страхування немає принцип капіталізації і, отже, при розрахунку неттоставок не використовуються методи фінансових числень (дисконтирование і компаундинг). Дані види страхової діяльності можна умовно розділити на два виду: — Масові ризикові види страхування. Вони охоплюють дуже багато суб'єктів страхування і страхових ризиків, що характеризуються однорідність об'єктів страхування і незначним розкидом у розмірі страхових сум. Наявність значної частини застрахованих об'єктів передбачає, що у зазначеним ризикам існує достатній обсяг статистичних даних, основі яких можна описати всю сукупність ризиків з допомогою їх числових характеристик, як-от середнє і дисперсія. У цьому, враховуючи однорідність застрахованих об'єктів, можна стверджувати, що середні значення характеризуватимуть всю сукупність з достатньої точністю. — Страхування рідкісних подій і значних ризиків. У разі йдеться про ризики, що з низькою частотою наступу страхового події та високої вартістю шкоди. Кількість об'єктів, що можна застрахувати, обмежена, а розкид страхових сум становить значну величину.

Для страхування рідкісних подій і значних ризиків є певні особливості розрахунку нетто-ставок, зумовлені специфікою страхуемых ризиків та. По-перше, при розрахунку тарифів необхідно спиратися на дані кілька років (що більше термін тим точніше розрахунок). Певна в такий спосіб премія повинна підтримувати фінансову рівновагу страховика не більше одного року, а досить тривалого періоду. По-друге, під час розрахунків нетто-премий необхідно використовувати реальну вартість ризику, а чи не середню, на відміну від страхування масових ризиків, оскільки сукупність ризиків неоднорідна. По-третє, страховики змушені враховувати перестрахування на величину шкоди з усього портфелю ризиків такого типу. По-четверте, для зваженого розрахунку тарифних ставок необхідно розширити базі даних межі статистичної інформації та використовувати дані інших страхових компаний.

Розрахунок тарифних ставок при страхуванні жизни.

Страхування життя зумовлює ряд особливостей, які впливають на вибір форм і методів аналізу підготовки й проведення страхових операцій. Можна виділити основні чинники, які впливають на методику розрахунку тарифних ставок зі страхування життя: 1. Об'єктом договору з даному виду страхування є життя, здоров’я та працездатність громадян. Кількісні показники, що характеризують тривалість життя й дитяча смертність серед населення централізовано збираються і якнайретельніше обробляються в федеральних і регіональних органах статистики. З подібних даних складаються таблиці смертності, що використовуються страховиками при розрахунку нетто-ставок зі страхування життя. 2. Договори страхування життя, зазвичай, полягають на тривалий срок.

Період часу між сплатою внесків і моментом виплат сягає кілька років. У перебігу цього часу з допомогою інфляції і перерозподілу прибутку, одержуваної від інвестування тимчасово вільних коштів, вартість страхових внесків змінюється. Щоб врахувати ці зміни застосовуються методи фінансових числень (дисконтирование).

У страхуванні життя невизначеність пов’язана з випадковим характером тривалості людського життя. Тому страховики повинні розташовувати для розрахунку ймовірностей дожития до певного віку осіб різної статі. Джерелом таких даних є таблиці смертності, составляемые з урахуванням перепису населения.

Таблиця смертності. |Таблиця смертності і комутаційних функцій. (чоловіки, i=9% |Аннуит| | |ет. | |x |lx |qx |dx |Dx |Nx |Cx |Mx |N (12)x |N (12)x |ax | |18 |100|0,0014|149|21 199,|244 591|28,9789|1003,|254 308,36 |234 875,5|11,537| | |000|9 | |37 402 |, 9762 |61 |702 | |965 |69 805 | |19 |998|0,0017|173|19 419,|223 392|30,8685|974,7|232 293,43 |214 491,7|11,503| | |51 |32 582 | |98 803 |, 6022 |44 |228 | |744 |23 069 | |20 |996|0,0019|195|17 785,|203 972|31,9211|943,8|212 124,36 |195 820,8|11,468| | |78 |56 299 | |63 423 |, 6142 |22 |543 | |652 |39 137 | |21 |994|0,0021|215|16 285,|186 186|32,2890|911,9|193 651,02 |178 722,9|11,432| | |83 |61 173 | |1745 |, 98 |68 |332 | |417 |9128 | |22 |992|0,0023|232|14 908,|169 901|31,9652|879,6|176 734,75 |163 068,8|11,396| | |68 |37 108 | |238 |, 8055 |81 |441 | |631 |50 477 | |23 |990|0,0024|247|13 645,|154 993|31,2220|847,6|161 247,67 |148 739,4|11,358| | |36 |94 043 | |31 729 |, 5675 |2 |788 | |637 |73 679 | |24 |987|0,0026|260|12 487,|141 348|30,1516|816,4|147 071,65 |135 624,8|11,319| | |89 |31 872 | |41 769 |, 2502 |37 |568 | |504 |2538 | |25 |985|0,0027|273|11 426,|128 860|29,0451|786,3|134 097,84 |123 623,8|11,277| | |29 |70 758 | |19 487 |, 8325 |55 |051 | |265 |66 802 | |26 |982|0,0029|288|10 453,|117 434|28,1110|757,2|122 225,92 |112 643,3|11,233| | |56 |31 119 | |70 243 |, 6376 |48 |6 | |573 |78 424 | |27 |979|0,0031|306|9562,4|106 980|27,4018|729,1|111 363,72 |102 598,1|11,187| | |68 |23 469 | |41 641 |, 9352 |25 |489 | |494 |61 706 | |28 |976|0,0033|325|8745,4|97 418,|26,7002|701,7|101 426,84 |93 410,14|11,139| | |62 |27 804 | |80 415 |49 355 |25 |471 | |836 |29 583 | |29 |973|0,0035|347|7996,6|88 673,|26,1537|675,0|92 338,156 |85 007,86|11,088| | |37 |64 934 | |76 302 |1 314 |84 |469 | |983 |73 359 | |30 |969|0,0038|370|7310,2|80 676,|25,5846|648,8|84 026,866 |77 325,80|11,036| | |90 |14 826 | |46 493 |33 683 |98 |931 | |719 |6 245 | |31 |966|0,0040|391|6681,0|73 366,|24,8044|623,3|76 428,244 |70 303,93|10,981| | |20 |46 781 | |63 461 |9 034 |06 |084 | |625 |19 944 | |32 |962|0,0042|409|6104,6|66 685,|23,8039|598,5|69 482,974 |63 887,07|10,923| | |29 |50 278 | |11 614 |2 688 |42 |04 | |989 |71 327 | |33 |958|0,0044|426|5576,7|60 580,|22,7461|574,7|63 136,429 |58 024,40|10,863| | |20 |45 836 | |57 172 |41 527 |9 |001 | |156 |1 831 | |34 |953|0,0046|444|5093,5|55 003,|21,7498|551,9|57 338,199 |52 669,11|10,798| | |94 |54 381 | |44 793 |65 809 |14 |539 | |673 |6992 | |35 |949|0,0048|462|4651,2|49 910,|20,7629|530,2|52 041,926 |47 778,30|10,730| | |50 |65 719 | |27 061 |1133 |02 |041 | |09 |52 608 | |36 |944|0,0051|486|4246,4|45 258,|20,0380|509,4|47 205,161 |43 312,61|10,658| | |88 |4351 | |17 888 |88 624 |68 |412 | |137 |13 291 | |37 |940|0,0054|517|3875,7|41 012,|19,5561|489,4|42 788,858 |39 236,07|10,581| | |02 |99 883 | |58 159 |46 835 |62 |031 | |92 |79 243 | |38 |934|0,0059|556|3536,1|37 136,|19,2948|469,8|38 757,462 |35 515,95|10,501| | |85 |47 478 | |85 269 |71 019 |48 |469 | |861 |91 304 | |39 |929|0,0064|603|3224,9|33 600,|19,1980|450,5|35 078,61 |32 122,44|10,419| | |29 |88 825 | |1182 |52 492 |62 |521 | |034 |0523 | |40 |923|0,0070|654|2939,4|30 375,|19,1025|431,3|31 722,855 |29 028,37|10,333| | |26 |83 595 | |36 635 |6131 |49 |54 | |131 |82 137 | |41 |916|0,0077|706|2677,6|27 436,|18,9187|412,2|28 663,423 |26 208,93|10,246| | |72 |0137 | |28 309 |17 647 |22 |515 | |016 |44 697 | |42 |909|0,0083|756|2437,6|24 758,|18,5858|393,3|25 875,791 |23 641,30|10,156| | |66 |10 797 | |21 011 |54 816 |48 |327 | |52 |84 885 | |43 |902|0,0088|801|2217,7|22 320,|18,0661|374,7|23 337,402 |21 304,45|10,064| | |10 |79 282 | |63 703 |92 715 |91 |469 | |212 |61 018 | |44 |894|0,0094|843|2016,5|20 103,|17,4435|356,6|21 027,429 |19 178,89|9,9689| | |09 |28 581 | |79 408 |16 345 |62 |807 | |788 |42 143 | |45 |885|0,0099|883|1832,6|18 086,|16,7626|339,2|18 926,539 |17 246,62|9,8691| | |66 |69 966 | |2929 |58 404 |16 |371 | |895 |99 483 | |46 |876|0,0105|927|1664,5|16 253,|16,1448|322,4|17 016,873 |15 491,03|9,7647| | |83 |72 175 | |48 659 |95 475 |62 |745 | |661 |8198 | |47 |867|0,0112|977|1510,9|14 589,|15,6107|306,3|15 281,931 |13 896,88|9,6556| | |56 |61 469 | |63 999 |40 609 |1 |297 | |092 |94 043 | |48 |857|0,0120|103|1370,5|13 078,|15,1866|290,7|13 706,631 |12 450,25|9,5421| | |79 |77 548 |6 |94 794 |44 209 |28 |19 | |281 |65 305 | |49 |847|0,0130|110|1242,2|11 707,|14,8471|275,5|12 277,207 |11 138,48|9,4247| | |43 |27 625 |4 |39 788 |8473 |87 |323 | |739 |8852 | |50 |836|0,0140|117|1124,8|10 465,|14,5342|260,6|10 981,151 |9950,063|9,3042| | |39 |84 339 |8 |22 344 |60 751 |92 |851 | |933 |31 523 | |51 |824|0,0152|125|1017,4|9340,7|14,2058|246,1|9807,0994 |8874,470|9,1809| | |61 |19 316 |5 |12 812 |85 164 |04 |508 | |959 |1954 | |52 |812|0,0163|132|919,20|8323,3|13,8013|231,9|8744,6726 |7902,072|9,0550| | |06 |65 786 |9 |4 449 |72 352 |19 |45 | |148 |13 407 | |53 |798|0,0175|140|829,50|7404,1|13,3477|218,1|7784,3603 |7023,983|8,9260| | |77 |39 467 |1 |18 416 |71 907 |25 |437 | |563 |46 377 | |54 |784|0,0187|146|747,66|6574,6|12,8399|204,7|6917,349 |6231,991|8,7936| | |76 |19 099 |9 |31 389 |70 066 |82 |96 | |127 |26 064 | |55 |770|0,0199|153|673,08|5827,0|12,3331|191,9|6135,5063 |5518,507|8,6571| | |07 |7221 |8 |95 034 |6 927 |06 |56 | |571 |5 626 | |56 |754|0,0213|161|605,18|5153,9|11,8591|179,6|5431,2917 |4876,543|8,5163| | |69 |59 764 |2 |2 003 |17 423 |8 |229 | |165 |35 169 | |57 |738|0,0229|169|543,35|4548,7|11,4334|167,7|4797,7736 |4299,700|8,3716| | |57 |36 215 |4 |20 131 |37 223 |3 |637 | |884 |21 184 | |58 |721|0,0246|178|487,05|4005,3|11,0342|156,3|4228,6186 |3782,151|8,2236| | |63 |94 095 |2 |46 557 |8521 |88 |303 | |826 |87 348 | |59 |703|0,0266|187|435,80|3518,3|10,6571|145,2|3718,0744 |3318,586|8,0731| | |81 |54 921 |6 |48 455 |30 554 |96 |96 | |667 |79 063 | |60 |685|0,0287|196|389,16|3082,5|10,2515|134,6|3260,8924 |2904,158|7,9208| | |05 |13 233 |7 |37 631 |25 709 |13 |388 | |984 |96 037 | |61 |665|0,0307|204|346,77|2693,3|9,79 713|124,3|2852,3025 |2534,421|7,7667| | |38 |94 433 |9 |94 619 |61 946 |49 |873 | |359 |8622 | |62 |644|0,0329|212|308,34|2346,5|9,32 596|114,5|2487,9092 |2205,255|7,6101| | |89 |66 863 |6 |91 604 |82 484 |73 |902 | |785 |47 148 | |63 |623|0,0352|219|273,56|2038,2|8,84 166|105,2|2163,6164 |1912,850|7,4506| | |63 |29 222 |7 |31 707 |33 323 |77 |642 | |203 |86 137 | |64 |601|0,0374|225|242,13|1764,6|8,32 945|96,42|1875,6481 |1653,692|7,2879| | |66 |9626 |6 |37 182 |70 153 |77 |253 | |198 |98 406 | |65 |579|0,0402|233|213,81|1522,5|7,89 913|88,09|1620,5334 |1424,539|7,1209| | |10 |69 384 |2 |15 682 |36 434 |77 |308 | |466 |26 372 | |66 |555|0,0430|239|188,25|1308,7|7,44 269|80,19|1395,0099 |1222,439|6,9517| | |78 |92 591 |5 |82 643 |24 866 |39 |394 | |828 |52 535 | |67 |531|0,0461|245|165,27|1120,4|6,99 921|72,75|1196,216 |1044,717|6,7795| | |83 |61 367 |5 |13 101 |66 602 |99 |124 | |251 |59 024 | |68 |507|0,0494|250|144,62|955,19|6,56 254|65,75|1021,4821 |888,9084|6,6045| | |28 |59 864 |9 |58 353 |52 918 |51 |203 | |507 |96 544 | |69 |482|0,0530|255|126,12|810,56|6,13 586|59,18|868,37 524 |752,7636|6,4268| | |19 |28 889 |7 |17 074 |94 566 |61 |948 | |74 |82 994 | |70 |456|0,0568|259|109,57|684,44|5,71 949|53,05|734,66 831 |634,2271|6,2465| | |62 |96 325 |8 |21 224 |77 491 |64 |361 | |93 |50 074 | |71 |430|0,0610|263|94,805|574,87|5,31 187|47,33|618,3281 |531,4231|6,0637| | |64 |71 893 |0 |38 649 |56 268 |56 |412 | |58 |44 351 | |72 |404|0,0655|265|81,665|480,07|4,91 219|42,02|517,50 028 |442,6401|5,8784| | |34 |63 635 |1 |54 318 |2 403 |25 |224 | |997 |91 976 | |73 |377|0,0704|266|70,010|398,40|4,52 359|37,11|430,49 276 |366,3166|5,6906| | |83 |285 |1 |32 418 |46 971 |82 |005 | |318 |56 368 | |74 |351|0,0756|265|59,706|328,39|4,14 385|32,58|355,75 965 |301,0290|5,5001| | |22 |50 589 |7 |5 696 |43 729 |17 |645 | |968 |85 235 | |75 |324|0,0812|263|50,632|268,68|3,77 451|28,44|291,89 481 |245,4818|5,3066| | |65 |56 738 |8 |34 731 |8316 |32 |26 | |234 |5336 | |76 |298|0,0873|260|42,677|218,05|3,42 085|24,66|237,61 634 |198,4955|5,1094| | |27 |70 503 |6 |18 158 |59 687 |03 |809 | |938 |27 581 | |77 |272|0,0938|255|35,732|175,37|3,7 818|21,24|191,7562 |159,0013|4,9080| | |21 |98 093 |6 |52 729 |87 871 | |724 | |787 |99 156 | |78 |246|0,1009|249|29,703|139,64|2,75 109|18,16|153,26 057 |126,0319|4,7012| | |65 |52 767 |0 |95 515 |62 598 |77 |906 | |47 |68 201 | |79 |221|0,1085|240|24,500|109,94|2,43 981|15,41|121,17 158 |98,71 302|4,4873| | |75 |4566 |7 |23 732 |23 046 |14 |796 | |919 |97 537 | |80 |197|0,1166|230|20,037|85,442|2,14 443|12,97|94,625 908 |76,25 822|4,2641| | |68 |53 177 |6 |47 055 |6 731 |54 |815 | |663 |14 429 | |81 |174|0,1254|219|16,238|65,404|1,86 840|10,83|72,847 272 |57,96 192|4,0277| | |62 |15 187 |0 |5651 |59 675 |61 |371 | |108 |32 522 | |82 |152|0,1348|205|13,029|49,166|1,61 159|8,965|55,137 822 |43,19 424|3,7734| | |72 |21 896 |9 |36 001 |3 165 |91 |305 | |165 |80 171 | |83 |132|0,1448|191|10,341|36,136|1,37 440|7,353|40,876 728 |31,39 661|3,4941| | |13 |57 337 |4 |94 219 |67 164 |94 |706 | |48 |86 195 | |84 |112|0,1556|175|8,1136|25,794|1,15 881|5,979|29,513 468 |22,7 599|3,1791| | |99 |77 494 |9 |10 993 |72 944 |34 |297 | |107 |92 282 | |85 |954|0,1671|159|6,2848|17,681|0,96 395|4,820|20,561 682 |14,80 055|2,8132| | |0 |80 294 |4,9|66 394 |11 845 |03 |483 | |469 |84 697 | |86 |794|0,2390|189|4,8019|11,396|1,5 314|3,856|13,597 161 |9,195 343|2,3732| | |5,1|53 001 |9,3|82 189 |25 206 |52 |533 | |554 |39 135 | |87 |604|0,3416|206|3,3523|6,5942|1,5 068|2,803|8,1 307 604 |5,57 779|1,9670| | |5,8|25 591 |5,4|43 059 |69 868 |46 |388 | |3 |62 962 | |88 |398|0,4880|194|2,0248|3,2419|0,90 666|1,752|4,1 699 874 |2,313 866|1,6010| | |0,4|66 526 |2,7|59 522 |26 809 |62 |703 | |194 |62 579 | |89 |203|0,6950|141|0,9510|1,2170|0,60 641|0,846|1,6 529 437 |0,781 190|1,2797| | |7,7|48 339 |6,3|3 092 |67 286 |57 |037 | |87 |72 166 | |90 |621|0,9816|610|0,2660|0,2660|0,23 962|0,239|0,3 880 103 |0,144 118|1 | | |, 4 |70 422 |, 01|64 195 |64 195 |14 |621 | |106 | | |Форм| |[pic] | |lx*(1+|[pic] |dx*(1+i|[pic]|[pic] |[pic] |[pic] | |ула | | | |i)-x | |)-x+1 | | | | |.

Таблиця смертності - числова модель процесу вимирання по віком деякою абстрактної сукупності людей.

Перш ніж розпочати безпосереднє опис методів розрахунку страхових ануїтетів і нетто-тарифов, необхідно сформулювати загальне твердження принципи визначення нетто-премий у власному страховании.

У страхуванні життя, як і у будь-якому з видів страхування має дотримуватися умова перевищення страхових премій над страховими виплатами (Е (Р)+I>=E (S)), де I — прибуток від інвестицій тимчасово вільних коштів. Величина виплат є випадкової величиною, і не можна заздалегідь передбачити точну суму виплат. за рахунок значної частини застрахованих, статистичні дані однорідні й володіють належної ступенем надійності. Тому, ймовірність відхилення реальних величин від своїх математичного очікування мізерно мала. У результаті, в актуарних розрахунках прийнято використовувати ймовірну (очікувану) вартість виплат. Теж є і сумами нетто-премий. Його розмір залежить від випадкової величини P. S, отже, є величиною случайной.

На момент здійснення виплат страховик повинен мати фондом, рівним імовірною вартості виплат. Він визначає собі майбутню вартість виплат і величину необхідного страхового фонду. Оскільки страховик інвестує вільні кошти, всі вони йому приносять дохід, який змінюється в залежність від норми дохідності r, темпу інфляції (h), і податків (g). Тоді дисконтирование іде за рахунок скоригованої ставці i=r (1- g)+h/100. Страхова премія виплачується в останній момент підписання договору, то є у сучасний час, а страхові виплати через час. Тому, їхнього порівняння необхідно дисконтувати страхові виплати, наводячи їхню вартість до сучасного дню.

У страхуванні життя нетто-премии іноді сплачуються не однієї сумою, а серією платежів, у різні періоди часу (на виплату). Для їх урахування страховику доводиться як нетто-премии, і страхові виплати приводити одного моменту часу, інакше, при незаплановане припинення договору, страховик недоотримає частина належних йому премий.

Вищесказане можна як нерівностей, які показують основні засади розрахунку тарифних ставок: 1. E+I>S — Нетто-премия з урахуванням доходу, від інвестицій повинна перевищувати страхову выплату.

Якщо цю рівність нічого очікувати дотримуватися, то страховик збанкрутує. 2. E+I>Sp — Сума виплат — величина випадкова, оскільки невідомо з яким договорами доводиться відшкодовувати збитки. Тож у актуарних розрахунках застосовують її найбільш ймовірне значення (Sp). 3. E>Sp-I — Сучасна ймовірна вартість виплат (відмінність між сумою виплат і накопичених доходів) має перевищувати вартість одноразової нетто-премии. 4. Ep-IE>Sp-I — Порівняння імовірною вартості виплат відбувається з реальними сумами нетто-премий, і з найбільш імовірним значением.

(математичним очікуванням). Сучасна ймовірна вартість нетто-премий, сплачених на виплату, має бути меншою, ніж сучасна вартість выплат.

Виходить, що нетто-премии — доходи страхової компанії, а страхові виплати — витрати, причому й ті та інші мають випадковий характер. Так як і страхуванні життя порушено значні періоди часу, у межах змінюється вартість грошей пропорційно ставці і, то розрахункові дані необхідно призводити до одного моменту времени.

Принцип фінансової еквівалентності (P=Sq) у страхуванні життя кілька видозмінений. Нехай P — розмір премії, qn — ймовірність страхового події (смерть застрахованої через n багатьох років після початку страхування). Якщо страхове подія відбудеться першому році страхування, то страховик отримає суму Р, якби другому році - 2Р, тощо. Математичне очікування такого низки премій становитиме: Pq1+2Pq2+3Pq3+…+nPqn. Проте, премія виплачується у різні моменти часу. З огляду на це чинника цю величину доречно буде навести одного моменту часу (до початковому): E (P)=P (q1+(1+v)q2+(1+v+v2)q3+…+(1+v+…+vn-1)qn), де v=(1+i)-1-дисконтный множник. Е (Р) — дисконтированное математичне очікування страхових премий.

Тепер на сукупність виплат. Припустимо, вони виплачуються наприкінці року, у якому мала місце страховому випадку. Тоді математичне очікування виплати за першому році становитиме Sq1, у другому році - Sq2, тощо. З урахуванням чинника часу математичне очікування страхових виплат така: E (S)=S (vq1+v2q2+…+vnqn)/.

Як відомо, E (S)=E (Р). Підставляючи відомі значення дане рівність можна визначити розмір нетто-премии.

Знаючи основні принциы формування нетто-премии у страхуванні життя можна можливість перейти до розгляду методів її розрахунку. Отже, основний показник таблиці смертності - число людей lx у віці x років, своїх з початкової сукупності l0 (зазвичай рівної 100 000 людина). Величини lx (крім l0) визначають розрахунковим шляхом з урахуванням заданих ймовірностей смерті (qx) у віці x років, чи основі кількості померлих (dx). Зазначені ймовірності отримують з урахуванням даних статистики населення з наступним усреднением і сглаживанием.

Показники таблиці смертності пов’язані такими співвідношеннями: — lx+1=lx-dx; - dx=lx*qx; - qx=1-px=1-lx+1/lx=dx/lx .

Для визначення страхових тарифів треба зазначити страхові ймовірності страхуванні життя і дії з них: 1. npx=lx+n/lx — ймовірність прожити n років обличчя, що дожили до віку x років. 2. px=1-qx=1-dx/lx=lx+1/lx — ймовірність людиною, що дожили до x років, прожити ще 1год. 3. nqx=1-npx=(lx-lx+n)/lx — ймовірність померти в інтервалі вікових груп від x років до n років. 4. mqx=mpx*qx+m=(lx+m/lx)*(dx+m/lx+m)=dx+m/lx — ймовірність дожити до віку x років й померти у віці x+m років у перебігу 1 року. 5. m/nqx=mpx*nqx+m=(lx+m/lx)*(lx+m-lx+m+n)/lx+m=(lx+m-lx+m+n)/ lx — ймовірність дожити до x+m років й померти у дітей віком із x+m років до x+m+n лет.

Для спрощення розрахунків й скорочення записи формул в таблицях смертності використовуються комутаційні функції. Їх сенс складно інтерпретувати, тому вони мають сприйматися і суто технічні допоміжні кошти. Їх можна розділити на дві групи. У основу перших покладено числа доживающих до певного віку, других — числа померлих. 1. Dx=lx*vx 2. [pic], де w-предельный вік, врахований в таблиці смертності. — Nx=Nx+1+Dx; Nw=Dw — [pic](Nx+1-Nx+2)+(Nx+2-Nx+3)+…+Nx+k-Nx+k+1=Nx+1-Nx+k+1 3. Cx=dx*vx+1; Cx=dx*vx+1=(lx-lx+1)*vx+1=lx*vx*v-lx+1*vx+1=Dx*v-Dx+1 4. [pic]; [pic].

Страхування на дожитие.

Страхувальник і страховик домовляються між собою у тому, що другий виплатить першому страхову суму P. S, коли він доживе до віку n. У обмін на дані умови страхувальник пропонує заплатити страховику неттопремію, яка дорівнює твору страхового тарифу та розміру виплати (nEx*S). Нетто-премия може сплачуватися одноразово, і може в розстрочку, що веде до різноманітної методику розрахунку: 1. Нетто-премия сплачується одноразово. І тут страхувальник обов’язково її заплатить, інакше договір нічого очікувати укладено. Страхова виплата залежить від цього, доживе чи страхуемый до n років, або немає. Тому, у її розрахунку застосовується математичне очікування від суми выплаты.

(S*npx). Страхова виплата можливе лише через n багатьох років після підписання договору, тому її треба призвести до моменту сплати нетто-премии.

(S*npx*vn). Використовуючи принцип фінансової еквівалентності (зобов'язання повинні прагнути бути рівні), виходить: — nEx*S = S*npx*vn — nEx= npx*vn= (lx+n/lx)* vn — nEx= (lx+n*vx+n/lx*vx+n)* vn=Dx+n/Dx 2. Нетто-премия сплачується на виплату. Тут нетто-премия є потік платежів від страхувальника страховику, у своїй все платежі складові нетто-премию у вигляді страхування — суми фактичні, а чи не ймовірні, бо коли людина помре завчасно, він не отримає страхову суму, а й у страховика залишиться частина нетто-премий, що він нікому ні. Нехай, страхові премії сплачуються протягом t років, на початку кожного року. Тоді P1*S — премія сплачена у першому році, Р2*S — премія сплачена у другому році тощо. — (P1+P2*v+…+Pt*vt-1)*S = S*npx*vn — Якщо платежі однакові, то P (1+v+v2+…+vt-1)=npx*vn чи [pic].

Страхування жизни.

Цей вид страхування називають також страхуванням у разі смерті. Страхова сума, рівна P. S, виплачується разі смерті застрахованої. Страховий договір полягає страхователем в x років терміном n років. Тут слід розглянути два випадку: 1. Нетто-премия сплачується одноразово. Тоді зобов’язання страхувальника рівні твору страхового тарифу і страхової суммы.

(S*nAx). Нетто-премия — основну умову підписання договору, тому її величина для страховика реальна, а чи не ймовірна. Якщо виплати страхових сум відбуваються у кінці року, і страхувальник помре в 1-ый рік, то страхова сума дорівнюватиме S*qx*v (qx — ймовірність померти у віці x років); якщо другого року, то страховик муситиме сплачувати S*2qx*v2=S*v2*dx+1/lx; - якщо помре втретє рік — страхова виплата = S*v3*dx+2/lx тощо. — З огляду на фінансової еквівалентності: S*nAx=S*dx/lx*v+ S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn — Помножимо і розділимо цей вислів на vx, тоді: nAx=(dx/Dx)*vx+1+(dx+1/Dx)*vx+2+(dx+2/Dx)*vx+3+…+(dx+n-1/Dx)*vx+n=1/Dx *(Cx+Cx+1+…+Cx+n-1) Mx=Cx+Cx+1+…+Cx+n-1+Cx+n+Cx+n+1+…+Cw Mx+n= Cx+n+Cx+n+1+…+Cw Mx-Mx+n= Cx+Cx+1+…+Cx+n-1 nAx= 1/Dx *(Mx-Mx+n) — Якщо страхування довічне, то nAx= Mx/Dx 2. Нетто-премия вносять у розстрочку. Нехай розстрочка здійснюється з допомогою рівних платежів (P) пренумерандо (початку року) протягом t років. У разі нетто-премия є потік платежів, обмежений періодом t. У цьому всі члени цього потоку, є випадкової величиною, бо за настанні страхової випадку платежі припиняться, а страховик має сплатити всю страхову суму страхувальникові. Наступ кожного наступного платежу не визначено, оскільки невідомо настане чи страховому випадку. Страховик має враховувати, що коли станеться, він втратить як страхову суму, а й премії. — З принципу фінансової еквівалентності можна записати такі вираз: S*(P+P*px*v+P*2px*v2+P*3px*v3+…+P*t-1pxvt-1) = S*dx/lx*v+.

S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn — P*(1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)= (Mx-Mx+n)/Dx — P*(1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)* (vx/vx)= (Mx;

Mx+n)/Dx — [pic] - [pic].

Страхові виплати, котрий іноді страхові премії є потік платежів, що у фінансової математиці називається аннуитетом (страхової рентою). Вартість страхового ануїтету, власне, є відправним моментом в актуарной математиці. Як відомо, платежі можуть вносять у новому році - пренумерандо, і наприкінці року — постнумерандо. У залежність від цього різняться і різноманітні види ануїтетів. Крім цього, у страхуванні ренти діляться залежно від інтервалу часу, у якому виробляються платежі. Ануїтет вже застосовувався у наведених вище розрахунках. Далі його розглянуть докладніше, оскільки широко використовують у пенсійному та інших видах страхування, про які йшлося піде ниже.

Види страхових ануїтетів. |Пояснення |Формула | |Постнумерандо. | |Ануїтет довічний, |[pic] | |негайний — особі, | | |починаючи з віку x років | | |довічно наприкінці року | | |виплачується по 1 рубаю. | | |Ануїтет відкладений на n |[pic] | |років, довічний — | | |сплачується довічно | | |особі у віці x+n років за| | |одному рубаю наприкінці | | |кожного року. | | |Ануїтет негайний, |[pic] | |обмежений — | | |виплачується особі в | | |віці x років, протягом t| | |років, по 1 рубаю, наприкінці | | |кожного року. | | |Ануїтет відкладений на n |[pic] | |років, обмежений — особі, | | |наприкінці кожного року | | |виплачується по 1 рубаю, | | |починаючи з віку n років, | | |до віку t років. | | |Пренумерандо. | |Ануїтет |Вы|[pic] | |довічний, |пл| | |негайний |ат| | | |и | | | |ін| | | |ои| | | |зв| | | |од| | | |ят| | | |ся| | | |в | | | |на| | | |ча| | | |ле| | | |го| | | |так| | | |. | | |Ануїтет | |[pic] | |відкладений на| | | |n років, | | | |довічний | | | |Ануїтет | |[pic] | |негайний, | | | |обмежений | | | |Ануїтет | |[pic] | |відкладений на| | | |n років, | | | |обмежений | | | |Соотношения|[pic] |[pic] | |Рента що сплачується k на рік. | |Для обмеженою |[pic] |[pic] | |ренти | | | |Для довічної |[pic] |[pic] | |ренти. | | |.

Пенсійне страхование.

З економічного погляду забезпечення пенсіями від старості з урахуванням недержавних пенсійних фондів — це довгостроковий інвестиційний процес, першому етапі якого здійснюються вкладення (пенсійні внески) і послідовне нарощення вкладених сум з допомогою інвестицій вільних коштів, другою — отримання віддачі накопичень в вигляді періодичних пенсий.

Пенсійне страхування ділиться на два виду: 1. Нефондируемые — виплата пенсій здійснюється з поточних надходжень. І тут страхові тарифи не розраховуються. 2. Накопичувальні - з виплати пенсій створюються спеціалізовані фонды.

Вони своє чергу діляться на три виду схем виплат: — Ощадні - дана схема не враховує ймовірність дожития кожного учасника фонду, передбачається успадкування накопичень, відсутня солідарність учасників у забезпеченні виплат (при смерті однієї з учасників його внесок не йде виплату пенсій), обмовляється конкретний термін виплат. — Страхові - учасники солідарні між собою, враховується ймовірність дожития застрахованих, немає наслідування накопичень. — Змішані сберегательно-страховые — тут передбачається послідовне використання описаних вище схем, тобто, наприклад, під час накопичення застосовується ощадну схема, а період виплат — страховая.

Розрахунок тарифних ставок пенсійне страхування полягає в принципі фінансової еквівалентності (рівність зобов’язань). З практичної погляду основа всіх розрахунків — страхові ануїтети. При застосуванні кожній із пенсійних схем з допомогою спеціалізованого фонду потрібно вирішити дві завдання: 1. Визначення розміру пенсії за величиною встановлених внесків (розрахунок величини внесків по заданим розмірам пенсії) 2. Розрахунок страхових резервов.

Умовні позначення, використовувані під час розрахунків. |Змінна |Опис. | |-R- |Річна сума пенсії | |-E- |Розмір одноразового внеску | |-A- |Сума, нагромаджена на індивідуальному рахунку, початку виплат | | |пенсій. | |-x- |Вік застрахованої в останній момент підписання договору. | |-L- |Вік виходу пенсію. | |-w- |Вік в останній момент закінчення дії контракту. | |-n- |Термін накопичення, n=L-x | |-t- |Термін виплат пенсій, t=w-L |.

Ощадні схемы.

У разі пенсія є фінансовий ануїтет, в якому не враховуються ймовірності дожития до певного віку, то є, що людина вкладає, те він і отримує, з урахуванням дохідності на вкладені кошти. Розраховувати пенсії можна двома методами: 1. Внески сплачуються одноразово. Ця схема відображена на графике.

Очевидно, що буває після сплати до пайового фонду початкової суми, вона накопичується з роками (термін n років), пропорційно нормі дохідності досі початку виплат пенсій. Після цього накопичені у фонді кошти поступово витрачаються, до того часу, доки скінчаться зовсім (термін t років). З огляду на фінансової еквівалентності, що з наведених на графіці позначень можна поєднати наступним вираженням: [pic] 2. Премія сплачується на виплату. Тут схема справляє враження попередню, це підтверджує графік, намальований справа. Розділені на однакові частини премії є потік платежів, тому накопичення відбувається повільніше, порівняно з першим разі, за інших рівних умов. Період виплат той самий, як й у першому випадку. Математично цю схему можна відобразити наступним выражением:[pic].

Перетворюючи наведені вище рівності, не буде важко з’ясувати, як розмір необхідної пенсії, та до і величину необхідної величини премії, яку потрібно доповнити пенсійний фонд задля забезпечення себе потрібної пенсією. Крім цього, можна визначити термін, куди необхідно ухвалити платіж, задля забезпечення заданої величини пенсії, чи термін в один перебігу якого «буде сплачуватися нагромаджена у фонді пенсия.

Страхові схемы.

За суттю пенсійне страхування одна із видів страхування на дожитие. Якби пенсія виплачувалася разової виплатою, то ці дві виду страхування було б повністю однаковими. Істотним відзнакою тут і те, що пенсія є страхової ануїтет. Тобто, кожна наступна виплата залежить від можливості дожития особи до наступній виплати. Крім цього, все платежі наводяться тут до початковому моменту часу (момент вкладу першого взноса).

Нетто-премия у вигляді страхування може бути оцінена при двох умовах, коли він вноситься одночасно й коли платежі вносять у розстрочку. Система визначення нетто-тарифов полягає в принципі фінансової еквівалентності зобов’язань страховика і страхувальника, тому, наведені нижче тотожності від попередніх лише деякими нюансами. 1. Нетто-премия вноситься одноразово. Тут нетто тариф дорівнює вартості ануїтету, відповідного умовам виплат пенсії, а нетто-премия — твору нетто-тарифа на розмір пенсії. Умови виплат, у разі, впливають на застосовуваний у розрахунках вид ануїтету. Розглянемо окремі: — Пенсія якщо виплачуватися з віку x років довічно, на початку года:

[pic] - Пенсія виплачуватиметься з віку x+n років довічно, на початку года:

[pic] Знаючи формули визначення ануїтетів, можна визначити розмір пенсії та й розмір нетто-премий нічого для будь-якого варіанта пенсійного забезпечення. 2. Нетто-премия вносять у розстрочку. Задля більшої себе достатньої пенсією потрібно вносити в пенсійний фонд більшу суму коштів, якої ми завжди маємо, чи достатньо великим інтервалом часу досі виплат пенсій, що загрожує ризиком розвалу страхової компанії та іншими ризиками, пов’язані з нестабільністю політичні й економічні систем. Зручним варіантом вкладення коштів є дана схема, що дозволяє над збитки собі та своїм близьким вносити частину спільних доходів в пенсійний фонд, забезпечивши себе у майбутньому належної пенсією. Платежі можна вносити як щомісяця, і на рік. Тут якщо розглянутий 2-ой варіант. У разі, як розмір пенсії, і вкладені кошти залежить від ймовірності дожития, тому, в наведених нижче рівняннях фінансової еквівалентності, як зліва, і справа використовуються страхові ануїтети. Наприклад, внески робляться на рік починаючи з віку x років до віку x+t років, а пенсія виплачується з віку x+n років, довічно. Як внески, і пенсії сплачуються наприкінці кожного року: [pic]. Якщо внески виробляються початку року, то тому випадку застосовується ануїтет пренумерандо: [pic].

Так застосовуючи різні види ануїтетів, можна побудувати різні варіанти пенсійних схем. Тут, як та скрізь вище, все рівності будуються за принципом фінансової еквівалентності зобов’язань страхувальника і страховика. З складених рівностей, можна визначити крім щорічних внесків, розмір щорічної пенсії та й наоборот.

Страхові резервы.

При сплаті страхователем страхової премії виконує свої фінансові зобов’язання, зобов’язує страховика відповідати за договором страхування. Те є страховик, власне, стає кредитором страхувальника. Та навіть якщо настає страховому випадку, то страховик зобов’язується сплатити страхувальникові страхову суму. Щоб зуміти зробити обіцяні виплати, страховику необхідно створити резервы.

У моєму особистому страхуванні існують резерви двох типів: — резерви по страхових випадках, підлягає врегулюванню (резерви за тим самим що стався, але з оплаченим страховим подій) — резерви по поточним (чинним) договорам.

Страховий резерв відбиває борг страховика перед страхователем. Зобов’язання страховика носять імовірнісний характер, оскільки страхової випадок може статися, і кошти страхувальника залишаться у страховика, борг зникне. З іншого боку виплати страхових премій і страхової суми не збігаються у часі, отже, має місце ефект накопичення. Тому, за розрахунку математичних резервів необхідно використовувати сучасну ймовірну вартість обязательств.

Схема балансу компанії зі страхування життя. |Актив |Пасив | |Інвестиції |Власні фонди | | |Математичні резерви | |Інші активи |Інші зобов’язання |.

Із даної схеми видно, що математичні резерви — це відмінність між зобов’язаннями компанії та зобов’язаннями для компанії. З наведених вище міркувань, можна змінити це визначення, саме, страхової резерв — відмінність між сучасної імовірною вартістю майбутніх зобов’язань страховика та сучасного імовірною вартістю майбутніх зобов’язань страхувальника. Оскільки страхові резерви накопичуються у страховика, всі вони досягають згодом розмірів, які можна ефективно инветировать. Проте, під час використання цих коштів, необхідно пам’ятати, що вони належать страхувальників, і є активами, спрямованими виконання зобов’язань перед страхователями.

Резерв можна визначити про всяк момент дії страхового контракту. Для сутності страхового резерву розглянемо кілька варіантів його визначення: 1. Визначення математичного резерву в останній момент підписання договору до першої виплати премії. У цьому, передбачаються довічні внесок у новому році Рх. Тоді, з визначення: [pic], де Ax — сучасна вартість якихось зобов’язань страховика, 0Vx — розмір страхового резерву у віці x років, в останній момент підписання договору. Оскільки, страхувальник ще заплатив жодної страхової премії, то страховик також йому щось повинен, тому 0Vx=0. З математичної погляду, страхової резерв — відмінність між деяким постійним числом й очікуваної сумою надходжень від страхувальника. Розмір резерву залежить від страхової суми, розміру страхової премії, дохідності від інвестицій і періоду угоди. 2. Якщо страхові премії вже виплачуються страхователем протягом часу t, тоді величина страхового резерву визначається по формуле:[pic] 3. Страхування на дожитие. У разі страхові премії сплачуються одним платежем в останній момент підписання договору, а після закінчення терміну t (в останній момент x+t) виплати не очікуються, тому величина резерву визначається сучасної величиною зобов’язань страховика, залежать від сплаченої нетто-премии: tVx=Ax+t. Сучасна ймовірна вартість зобов’язань визначатиметься залежно від страхової суми R, ймовірності дожития від його віку x+t до віку x+n, і навіть ставкою дохідності, терміном страхування і моментом укладання угоди: [pic]. 4. Якщо страхуванні на дожитие страхові премії сплачуються на виплату, протягом усього терміну страхування, до страхового случая.

(період t), з визначення страховго резерву, його величина визначається за такою формулою: [pic], де р — страхової тариф. 5. Накопичені в страхової компанії кошти інвестуються у різні види діяльності, отже, ними нараховується відсоток. У разі, виникає плутанина між страховим резервом і накопиченої сумою, оскільки здається, що страховик, щоб забезпечити повернення коштів страхувальникові, в разі настання страхового випадку, накопичує їх за звичайній схемі нарощення (як у банку). Нехай нетто-премия поповнюється комерційному рахунку за ставкою і% в досі x+t, тоді нарощена сума определется за такою формулою: [pic]. На той самий час страхової резерв визначається выражением:[pic]. Тобто страхової резерв більш ніж нарощена нетто-премия, якщо ймовірність дожития досі t не дорівнює одиниці. Це, вочевидь, бо коли б можливість настання страхового події не впливала на величину страхової суми, чи зобов’язань страховика, то клієнту, було б вигідніше покласти гроші у банк, а чи не застрахуватися. Розмір страхового резерву — є величина наращенной нетто-премии, який змінюється, назад пропорційно ймовірності дожития від x років до віку x+t років. Чим більший ймовірність померти у тому інтервалі, тим менше страхової резерв. Страховий резерв і страхові суми більше, ніж банківський відсоток, позаяк у страхувальники несуть солідарну перед одне одним, залежно від можливості наступу страхового випадку. Тобто, якщо страхове подія не настане, то частину коштів не отриманих страхователем отримає хтось інший. 6. Страхування життя. За визначенням маємо: [pic]. При сплаті нетто-премии одноразовим платежем, після моменту часу x+t внески страхувальник не сплачує, отже, права частина рівності визначається лише зобов’язаннями страховика Аx+t. Тоді, [pic]. Аналогічно даним перетворенням виводяться формули до розрахунку страхового резерву при платежах на виплату. Усі дані наводяться на момент часу x+t. 7. Страхування пенсії. Розглянемо варіант, коли страхова премія сплачується одноразово у віці x років, а пенсія видається з возраста.

L років (L>x) пожизнено. Тоді період від возаста x до граничного віку можна розділити на два тимчасових інтервалу. У першому відбувається нагромадження коштів — період до виплати пенсії (L-x), тоді як у другому періоді, з тривалістю (w-L) — виплата пенсій (витрачання средств).

Схематично можна побачити на представленому вище графіці, показує накопичення страхових премій та його витрачання. На початок внеску резерв дорівнює страхової премії, чи сучасної вартості виплат. Нехай розмір річний пенсії дорівнює R, та її виплата відбувається у новому році, тоді [pic]. Далі, в інтервалі від x років до L років, резерв збільшується пропорційно нормі дохідності: [pic]. Тут мається на увазі, що з моменту x років відбувається термін t.