Имитационное биомеханическое моделювання як засіб вивчення рухових дій людини

Имитационное биомеханическое моделювання як засіб вивчення рухових дій человека

А.В. Воронов Московський міської педагогічний університет, Москва Одним із найпоширеніших методів пізнання біологічних об'єктів є моделювання. Цей метод дозволяє, використовуючи основні закони фізики, механіки, математики, біології, фізіології та інших наук, пояснити функціональну структуру досліджуваного процесу, виявити його суттєві зв’язки Польщі з зовнішніми об'єктами, внутрішню організацію, оцінити кількісні характеристики. Найповніше відбиває гносеологічну суть моделі визначення В. А. Штофа [23]: «Під моделлю розуміється така подумки представлена чи матеріально реалізована система, яка, відображаючи чи відтворюючи об'єкт дослідження, здатна заміщати його отже, її вивчення дає нову інформацію про цей об'єкт ». Пошук аналога оригіналу може бути з урахуванням наступних типів моделей:

— детермінований моделі - моделі, побудовані на системах алгебраїчних, регресійних і диференційних рівнянь, рівнянь у приватних похідних;

— статистичні моделі, предсказывающие ймовірність різних подій.

Общие підходи до моделювання рухів людини. Моделювання локомоций людини у спортивної биомеханике, робототехніці, ергономіці, фізіології, реабілітаційної і космічної медицині ведеться за наступних напрямах:

— дослідження центральної і периферичної організації нормальних і патологічних рухових дій;

— допомогу у діагностики та корекція порушень опорно-рухового апарату з наступної реабілітацією;

— оптимізація робочого місця оператора у системі людина-машина;

— розробка раціональних варіантів рухових дій зі метою досягнення запланованого спортивного результату.

Создание біомеханічних моделей полягає в двох типах інформації: теоретичних знаннях про досліджуваному руховому дії та експериментальних даних, отриманих методами видеоанализа, электромиографии, гониометрии та інших.

Общая теорія моделювання припускає можливість [33] побудови комплексної моделі, тобто. включення до модель максимальної кількості параметрів. Така тенденція під час створення биомеханической моделі можуть призвести до того що, що ця модель буде надто важкою розуміння.

Поскольку модель є спрощене (навіть дуже) відбиток рухового дії, необхідно у початковій стадії моделювання визначити суттєві і не дуже складові моделі, тобто. вирішити, які параметри включати у модель, а якими знехтувати. Чим простіше модель, то швидше яку можна створити, й тим менше ймовірність помилок під час написання формалізованої частини. Баланс між комплексностью моделі і його інформаційної значимістю залежить від цілей моделювання. Модель, працююча у системі «чорної скриньки «і функціонуюча у реальному режимі часу, деяких випадках набагато корисніше самої докладної моделі, дає результати після багатогодинних розрахунків.

Каждая модель має відповідати метрологічним правилам надійності і достовірності. Властивість «надійність «відбиває здатність моделі давати подібну інформацію незалежно від цього, хто цієї моделлю користується. У «хороших «моделях можливість суб'єктивної підстроювання параметрів моделі під очікуваного результату відстежується програмної частиною суспільства і зводиться до минимуму.

Достоверность моделі залежить від її здібності відбивати досліджуваний біомеханічний процес. Якщо теоретичні і експериментальні значення узгоджуються — модель достовірна. Проте чи можливо оцінити точність деяких параметрів моделі експериментальними методами. Наприклад, сили межзвенных реакцій не можна виміряти силоизмерительными датчиками без тріщини рухового апарату людини. Ніхто на допомогу приходять непрямі методи оцінки достовірності моделі. Для випадку межзвенных сил можна обмежитися вимірами реакцій опори з допомогою силоизмерительных платформ. Якщо модель дає реакції опори, близькі до величинам, зареєстрованим з допомогою силоизмерительных пристроїв, те з високою ймовірністю вважатимуться, що ця модель коректно оцінює і сили у суглобах.

Моделирование рухового апарату людини. Локомоторный апарат складається з трьох систем:

— скелета, що складається з кісток, суглобів і зв’язок, які забезпечують жорсткість тіла чоловіки й протидія силі тяжкості;

— м'язової системи, що з м’язів і жил, виконують функцію рушіїв;

— нервової системи, які забезпечують управління економіки й м’язовим скороченням контроль над ним.

Три системи анатомічно і функціонально об'єднані друг з одним. М’язи з'єднані з кісткової системи у місцях кріплення сухожиль і апоневрозів до кістяку. Нервова система пов’язані з м’язами у вигляді мотонейронов і пропріоцепторів. Нервова система організує активацію і зменшення м’язів, рецептори м’язів через механізм зворотний зв’язок впливають працювати мотонейронов. Довжина м’язів і, отже, стан рецепторного апарату визначаються геометричними розмірами скелета і кутами в суглобах.

В зв’язки Польщі з анатомічними особливостями будівлі тіла людини антропоморфна модель то, можливо представлена трьома видами моделей, анатомічна основа яких наступна: а) кістки і суглоби; б) м’язи, сухожилля, кістки, суглоби і зв’язки; в) нервова система, м’язи, кістки, суглоби і зв’язки.

Прежде ніж моделювати таку складна система, як тіло людини, необхідно визначити мета моделювання і виходячи з неї вибрати модель. Структура моделі передбачає завдання числа ланок, тип суглобів, кількість й посвідку рушіїв. Якщо уявити повну модель тіла людини, що складається з кісток хребта й черепи, верхньої та нижньої кінцівок, така модель полягатиме більш ніж із 80 твердих тіл (кісток) плюс 250 ступенів свободи [37]. Створити математичний алгоритм такий комплексної і «неозорої «, себто розмірності, завдання досить важко. Нині з моделей тіла людини найбільш повними є: 16−17-звенные моделі з 40−44 ступенями свободи, розроблені [2, 30, 10, 11].

В залежність від цілей дослідження вибирають й посвідку моделі. Найчастіше використовують 11-звенную пласку модель. Така модель з точністю описує такі локомоции, як ходьба, легкоатлетичний біг, біг на ковзанах [37, 41].

Исследование локомоций людини з допомогою пласкою многозвенной моделі здійснюється виключно як в вигляді прямий, і у вигляді зворотної завдань динаміки.

При рішенні прямий завдання динаміки вводять початкову конфігурацію системи, і навіть вектор управління. Після чисельного інтегрування системи диференційних рівнянь знаходять кінцеву конфігурацію системи та кінематичні і динамічні траєкторії [30, 31, 22, 13, 14, 16, 24]. Щоб під час вирішення були спотворені фізіологічні параметри, додають деякі обмеження на кинематику і надасть динаміки моделі. Наприклад, під час моделювання м’язової системи додають залежності «сила-скорость », «сила-длина «[26, 39]. Для спрощення рішення системи диференційних рівнянь досить часто линеаризуют рівняння [22, 3]. При моделюванні, заснованому на інтегруванні диференційних рівнянь, необхідно знайти відповіді питанням: «Якими повинні прагнути бути початкові кінематичні і динамічні параметри, щоб механічна система перейшла вже з відомого положення у інше? «.

При рішенні зворотної завдання динаміки відомою кінематиці перебувають силы/моменты, які рух. Особливу увагу в такому способі моделювання приділяється рівнянням. Вони мають якомога точніше описувати досліджуваний біологічний процес з урахуванням фізичних, анатомічних і фізіологічних параметрів [19, 36]. Наприклад, під час моделювання бігу на ковзанах [6, 41] враховуються сили аеродинамічного опору сегментів тіла і сили тертя ковзанів про лід. Для оцінки навантаження на м’язову систему використовують рівняння «сила-время », «сила-скорость », «сила-длина », періоди електричної активності м’язів [30].

При рішенні як прямий, і зворотної завдання механіки припущення, які у основі побудови моделі тіла людини, такі:

— сегменти тіла людини (включаючи тулуб) абсолютно тверді;

— все суглоби ідеальні;

— довжини сегментів, становища центрів мас відомі;

— визначено лінійна і кутова кінематика ланок тіла;

— маси, тензор моментів інерції ланок тіла відомі;

— сили реакції прикладені в центрах обертання в суглобах;

— моменти управління є функціями сил межзвенных реакцій, кутів, кутових швидкостей;

— сили опору довкілля відомі.

Остановимся кілька докладніше що на деяких припущеннях, зроблених вище. Твердження про тому, що це сегменти тіла людини абсолютно тверді, коректно для таких сегментів, як плече, передпліччя, стегно і гомілка. Для стопи припущення про абсолютної твердості є вимушеним [15]. Ідеальні циліндричні шарніри не відбивають анатомії суглобів, проте зручні для математичного моделирования.

Предположение про наявність рушіїв в суглобах як м’язових моментів дозволяє уникнути необхідності включення до модель плечей тяги м’язів. Попри спірність багатьох припущень, застосовуваних при побудові антропоморфних моделей, ці моделі працюють, і дають дослідникам необхідну інформацію про кінематиці і динаміці локомоций людини [2].

Модели управління антропоморфного механізму. Після створення антропоморфної моделі необхідно вибрати систему управління ланками тіла. Найпростіший вид управління представляють приводи, створюють моменти в шарнірах [31]. Кожен привід створює момент щодо осі обертання в суглобі. Схема управління приводами заснована на реципрокном гальмуванні антагоністів: момент створюють лише мышцы-агонисты, момент антагоністів нульовий. Завдання з приводним управлінням при відомих силах реакції опори завжди однозначно можна залагодити.

В тому випадку, якщо за рушіїв розглядаються м’язи, число невідомих значно більше ступенів свободи антропоморфного механізму. Так, управління верхньої конечністю із сьомої узагальненими координатами в моделі [34] здійснюється 32 м’язами. Руху на трьох суглобах нижньої кінцівки здійснюються як мінімум 9 м’язами [40, 17]. Для знаходження рішення в моделях, коли кількість невідомих більше ніж рівнянь, необхідно створити алгоритм управління м’язами, відмінний від приводного. Оскільки координаційні механізми подолання м’язової надмірності зрозумілі не, дослідники придумують схеми управління руховими діями з урахуванням відомих математичних алгоритмів. Найчастіше зустрічається математичним способом подолання м’язової надмірності є метод мінімізації цільової функції. У біомеханічних дослідженнях цільові функції найчастіше відбивають такі фізіологічні параметри: мінімуми метаболической енергії, механічної роботи, сил тяги м’язів тощо. Запропоновані критерії поверхово відбивають механізми управління ЦНС м’язами, проте до деяких типів локомоций принцип мінімуму цільової функції дає деякі результати, близькі до експериментально обмірюваним силам тяги м’язів [27, 28, 31].

Механизмы управління м’язової активністю і скоростно-силовыми характеристиками м’язів докладно досліджено односуставных рухах [32, 21] і локомоциях, скоєних переважно у площині, як-от ходьба, вертикальна стійка, стрибки вгору.

Силы тяги м’язів, м’язові синергії в просторових локомоциях, куди входить більшість спортивних рухів, вивчені недостатньо.

По нашої думки, метод імітаційного моделювання має бути інструментом, здатним досліджувати механізм управління у просторових рухах людини. З допомогою цього можна кількісно оцінити як внутрішню (координаційну) структуру рухових дій (через амплітуду і знаки м’язових моментів), і зовнішні прояви м’язової активності - швидкості і сили у центрах мас сегментів [4].

Исследование біологічних систем методом імітаційного моделювання. Імітаційне моделювання здійснюється з метою вивчення складних біологічних систем. Наприклад, енергозабезпечення м’язової діяльності [20], м’язове скорочення [1]. Ці моделі мають велику розмірність, і остаточно зрозумілі й формалізовані механізми досліджуваних процесів. Такі моделі можуть бути що з логічних (неформалізованих), ймовірнісних, і математичних блоків.

Термин «імітація «означає такий до вивчення систем, коли така інформація функціонування цією системою і його частин виходить з допомогою багаторазового програвання на ЕОМ моделі системи. Результатами багаторазового повторення моделі біологічного об'єкта з різними вхідними физиолого-анатомическими параметрами, формами математичної зв’язок між складовими біологічної системи є:

а) оптимальний варіант управління системою;

б) найкращий режим функціонування;

в) раціональний спосіб застосування сили [20, 12];

г) коригується поведінка реальної системи (наприклад, тактичні дії спортсмена на дистанції [20] і.

д) робиться кращий вибір техніки рухів [6, 41].

Поскольку під час моделювання біологічних систем частина компонентів невідомі чи відомі неточно, імітаційна модель, яка описувала біологічний процес, є лише його копією. Залежно від точності модельних блоків результати комп’ютерного перебору модельних варіантів дозволяють: а) розрахувати шукані параметри чи б) визначити тенденції поведінці біологічної системи, зокрема і антропоморфного механізму.

Изменение деяких вхідних даних антропоморфної моделі впливає сили, моменти, потужності суглобах, механічну роботу, тому дослідник може визначити, як кожен параметр впливає кінцевий результат. Така постановка імітаційної завдання зводиться до відповідальності питанням: «Що, якщо? » .

Имитационное моделювання в биомеханике. Метод імітаційного моделювання стосовно биомеханическим завданням дозволяє, не реєструючи кинематику і надасть динаміки рухового дії, лише з кинетограмме, створеної за комп’ютером:

а) оцінити [6, 41] максимальних зусиль м’язів;

б) визначити суглоби, куди найбільше падає навантаження із єдиною метою запобігання травм;

в) розрахувати механічні енерговитрати розробити і ефективні варіанти рухових діянь П. Лазаренка та т. п.

При побудові имитационных антропоморфних комп’ютерних моделей виходили речей, що рух людини, можна у вигляді певної послідовності фаз, повторюваних рухових циклів. У багатьох локомоций людини кінематичні параметри руху досить добре вивчені. Відомі тимчасова тривалість фаз, середня швидкість ланок в фазах, кути і кутова швидкість суглобах в кінці кожної фази. Так, нормальна ходьба складається з таких фаз: переднього поштовху, заднього поштовху і маху. У бігу на ковзанах фазовий склад руху наступний: фази вільного прокату (I фаза), одноопорного відштовхування (II фаза) і двухопорного відштовхування (III фаза) [18]. Розглянемо завдання імітаційного моделювання локомоций особи на одне прикладі бігу на коньках.

Задание кінематичних характеристик локомоций. При моделюванні руху чоловіка з допомогою ЕОМ розробили наступний алгоритм:

а) моделі тіла людини надавали форму, відповідну началу/окончанию фаз, наприклад для бігу на ковзанах такі становища, як «початок вільного прокату », «початок одноопорного «і «закінчення двухопорного становища «(рис. 1), назвали їх «базисні кінематичні становища » ;

б) ставили час між фазами і середню швидкість полюси моделі (тазостегнового суглоба) в фазах;

в) як интерполирующей функції - математичної залежності, дає кінематичну послідовність між засадничими точками, застосовували сплайны (кубічний сглаживающий чи интерполяционный). Використання сплайна дозволяє отримати кинетограмму руху від будь-яким тимчасовим інтервалом між точками.

При виборі математичної залежності, яка зв’язує час і кинематику руху, необхідно враховувати:

1) наявність «розривів «в похідних, тобто. таких елементів в фазах, при яких відбуваються зміни швидкістю. Наприклад, за нормальної постановки стопи на опору при ходьбі, бігу, стрибках відбувається різку зміну вертикального прискорення. Отже, якщо розглядати локомоции з у швидкістю за аппроксимирующую функцію, взяти тригонометрические полиномы [25] чи кусочно-полиномиальные функції, дають краще наближення модельної кінематики до реального в точках «розриву «швидкостей [2];

2) у разі, якщо моделюються руху, які мають відсутні швидкі зміни швидкостей, наприклад: біг на ковзанах, плавання, біг на лижах, то, при побудові кинетограммы подібних локомоций на ЕОМ можна використовувати гладкі функції типу полиномов: алгебраического чи интерполяционного сплайна [29], сглаживающих сплайнов 3-й чи 5-ї ступеня.

Начало вільного прокату (А).

.

Начало одноопорного відштовхування (Б).

.

Начало двухопорного відштовхування (В).

.

Рис. 1. Базисні кінематичні становища під час моделювання бігу на ковзанах.

.

Рис. 2. Позитивне напрям моментів в суглобах толчковой ноги.

.

Рис. 3. Механічна робота у суглобах толчковой ноги щодо осі X инерциального базису при різною швидкості бігу на ковзанах.

Необходимо відзначити, що математичні залежності, описують кинематику моделі (сплайны, тригонометрические полиномы), дуже чутливі до способу завдання початкових (базисних) кінематичних даних, і до крайовим умовам [35]. Наприклад, довільність за часом між засадничими точками можуть призвести до того що, що кинетограмма моделі стане суттєво відрізнятимуться від реальної руху.

Для уникнення спотворення кінематики в імітаційної моделі перед її створенням надійшли так:

а) досліджували кинематику моделируемой локомоции (біг на ковзанах по прямий) з допомогою видеорегистрирующей методики. Наявність вихідних кінематичних даних із дискретністю 40 мс (частота видеорежима PAL) дає можливість із прийнятною точністю визначити кінематичні параметри моделі;

б) щоб крайові умови не впливали на швидкість і прискорення досліджуваного руху, справа і ліворуч досліджуваного циклу ставили додатково щонайменше трьох фаз [41].

Трехмерная імітаційна модель локомоций людини (з прикладу бігу на ковзанах). Просторова імітаційна модель локомоций людини була спрямована реалізована для бігу на ковзанах по прямий. Рівняння моделі, описують тривимірне рух ланок тіла, дано у [10]. Побудова імітаційної моделі розвивався кілька етапів:

1. У першому етапі визначили масс-инерционные характеристики сегментів тіла ковзаняра: маси, моменти інерції ланок, становища центрів мас і біомеханічні довжини ланок [7, 9].

2. З другого краю етапі досліджували особливості руху ковзаняра в двухопорной фазі. І тому оцінили величину поперечного усунення ланок тіла ковзаняра, розрахували відцентрову силу, діючу на толчковый коник, і тим самим запровадили обмеження на «розвантаження толчковой ноги «в двухопорной фазі. При розрахунку завантаження опорною ноги і моментів в суглобах застосовували рівняння з роботи [5].

3. На етапі визначили аэродинамическое опір сегментів тіла ковзаняра. Включення в модель аеродинамічних сил необхідно, оскільки аэродинамическое опір — основна гальмуюча сила, діюча на ковзанярів. Коефіцієнти аеродинамічного опору Сх до різних форм посадки ковзанярів залежно від швидкості і виду бігу: з руками чи ні рук, по прямій чи по повороту — склали від 0,75 до 1,2 [8, 38]. Сумарна величина опору повітря для тіла ковзаняра (сила, прикладена до ОЦМ) залежно від форми посадки при швидкості бігу 15 м/c становить 45−61 М. Найбільше вплив сили аеродинамічного опору посідає тулуб — близько тридцяти% від сумарною сили. Аэродинамическое опір гомілки і стегна ніг вбирається у 10 М.

4. На четвертому етапі розрахували кінематичні характеристики імітаційної моделі бігу на ковзанах. До них належать: довжина кроку, тривалість фаз: вільного прокату, одноопорного відштовхування і двухопорного відштовхування; середня швидкість по фазам, ширина «ялинки », форми посадки ковзанярів.

Выше було зазначено, що єдиний спосіб завдання базисних точок кинетограммы серйозно впливає зі швидкістю і прискорення досліджуваного руху, і, отже, на результати рішення ОЗД. При моделюванні бігу на ковзанах ще точного завдання лінійних і кутових характеристик локомоций використовували дані відеозйомки ковзанярів. Перш ніж створити кинетограмму бігу на ЕОМ, спочатку методом биомеханической видеосьемки і комп’ютерних програм визначали кути, кутові швидкістю суглобах у трьох положеннях: на початку фази «вільного прокату «(рис. 1А); на початку одноопорного відштовхування (рис. 1Б); на початку двухопорного відштовхування (рис. 1В); в завершенні двухопорного відштовхування (рис. 1Б).

Зная відстань між масштабними знаками на доріжці, визначали шлях збереження та середню швидкість тазостегнового суглоба (полюси моделі) між засадничими точками в подовжньому напрямі.

Аналогичную послідовність у фортепіанній обробці кадрів застосовували й у відеоряду поперечних рухів ковзанярів.

5. На етапі в комп’ютерну модель включили дані про з анатомічною будовою м’язів нижньої кінцівки ковзанярів — точки кріплення м’язи до кістках, фізіологічний поперечник, довжини м’язової і сухожильной частин, склад волокон; кут перистости [9].

6. На шостому етапі вирішували зворотний завдання — визначення динаміки для 16-звенной просторової моделі тіла людини.

Выходные параметри моделі. Через війну комп’ютерного моделювання бігу на ковзанах визначали такі біомеханічні параметри:

а) управляючі (суглобні) моменти;

б) механічну роботи й потужність, развиваемую в суглобах;

в) швидкості 7 м’язів нижньої кінцівки і.

г) сили тяги 7 м’язів ноги.

Применение імітаційного моделювання визначення біомеханічних характеристик бігу на ковзанах з рекордної швидкістю. Продемонструємо можливості методу імітаційного моделювання з метою визначення модельних динамічних характеристик бігу на ковзанах з рекордної швидкістю. І тому визначили динамічні і енергетичні параметри, такі, як: а) механічна роботу і б) потужність що за різних швидкостях бігу, включаючи рекордну швидкість 15 м/с.

Среднюю швидкість бігу в фазах, кути в суглобах, фазовий склад руху визначили на основі результатів біомеханічного дослідження темпо-ритмовых характеристик бігу на прямий учасників забігів на дистанціях 1500 і 5000 м зимових Олімпійських ігор Нагано і Солт-Лейк-Сіті.

Механическая робота у залежність від швидкості бігу. Моменти, створені задля розгинання в суглобах (моменти щодо поперечних осей), надають прискорене рух ОЦМ тіла (рис. 2). Розрахунок механічної роботи у тазостегновому, колінному і гомілковостопному суглобах толчковой ноги при різною швидкості бігу проводили в проекції на вісь X инерциального базису. Результати підрахунків представлені на рис. 3.

С збільшенням швидкості бігу механічна робота у суглобах немає односпрямованої тенденції до зростання. Так, робота у тазостегновому суглобі майже змінюється — 74−69 Дж, в колінному — зростає 52 (V=11 м/с) до 92 Дж (V=15 м/с); а гомілковостопному — збільшується в 2,8 разу — з 55 (V=11 м/с) до 159 Дж (V=15 м/с).

Механическая потужність в суглобах толчковой ноги. Крім механічної роботи розглянемо ще один показник силовий активності м’язів — потужність (й у проекції на вісь X инерциального базису). Потужність за своїми що становить: кутовий швидкості і моменту — більшою мірою відповідає фізіологічним особливостям функціонування м’язи, саме залежності «сила-скорость ». Збільшення швидкості бігу з 11 до 15 м/с змінює екстремум потужності тазостегновому суглобі на 24%. У колінному і гомілковостопному суглобах зі збільшенням швидкості бігу максимальна потужність зросте у двічі (рис. 4).

Заключение

Застосували метод імітаційного моделювання до завдань, що з вивченням рухової діяльності в екстремальних умовах. Приклад бігу на ковзанах з рекордної швидкістю 15 м/с було визначено «провідні «суглоби, у яких розвивається максимальна міць і відбувається найбільша механічна робота. Такими суглобами є колінний і гомілковостопний. З зростанням швидкості бігу з 11 до 15 м/с механічна робота збільшується в колінному суглобі майже двічі - з 52 до 92 Дж, в гомілковостопному — втричі - з 55 до 159 Дж (див. рис. 3). Механічна суглобовий потужність — непрямий показник напруженості м’язової роботи — свідчить у тому, що гомілковостопний суглоб з допомогою шарніра між лезом коника і черевиком стає провідним суглобом, які забезпечують зростання швидкості бігу до 15 м/с (див. рис. 4).

.

Рис. 4. Потужності розгинання в суглобах толчковой ноги при різною швидкості бігу.

Список литературы

1. Агапов Б. Т. Імітаційне моделювання сократительной функції поперечно-полосатой серцевого м’яза: Автореф. докт. дисс. М., 1993.

2. Алешинский С. Ю. Результати рішення основної мети биодинамики. — У кн.: Удосконалення управління системою підготовки спортсменів вищої кваліфікації. Биодинамика спортивної техніки / Під ред. В.М. Заціорського. — М.: ГЦОЛИФК, 1978, з. 87−117.

3. Білецький В. В. Двоногий ходьба: модельні завдання динаміки та управління. — М.: Наука. 1984. — 288 з.

4. Бернштейн Н. А. Про побудові рухів. — М.: Медгиз, 1947. 252 з.

5. Воронов А. В., Лавровский Э. К. Моделювання на ЕОМ двухопорной фази відштовхування ковзанярів на прямий // Теорія і практика фіз. культури. 1989, № 2, з. 29−32.

6. Воронов А. В., Лавровский Э. К. Про моделюванні раціональних варіантів техніки бігу на ковзанах. — У кн.: Сучасні проблеми біомеханіка, 1992, вип. 7, з. 144−163.

7. Воронов А. В., Селуянов В. М., Чугунова Л. Г. Розподіл маси тіла ковзанярів різною кваліфікації // Ковзанярський спорт: Щорічник. — М.: ФиС, 1983, з. 43−44.

8. Воронов А. В., Юдін Г. В., Белякова З. Н. Дослідження властивостей обтікання і величини лобового опору плохообтекаемого тіла з прикладу спортсмена-конькобежца. — ВИМИ, депонированная рукопис, 23 грудня 1986 р., № Д7 075, серія «СВ «випуск 04 за 1986 р.

9. Воронов А. В. Анатомічне будову та біомеханічні характеристики м’язів і суглобів нижньої кінцівки. — М.: Фізкультура, освіту й наука, 2003. — 203 з.

10. Вукобратович М. Що Крокують роботи і антропоморфні механізми. — М.: Світ, 1976. — 541 з.

11. Вукобратович М., Стокич Д. Управління манипуляционными роботами: теорія і докладання. — М.: Наука, 1985. — 384 з.

12. Загревский В.І. Програмування навчальною діяльності спортсменів з урахуванням імітаційного моделювання рухів особи на одне ЕОМ: Автореф. докт. дисс. Томськ, 1992.

13. Зинковский А. В., Макаров Н. В., Шолуха В. А. Комп’ютерний аналіз адекватних моделей антропоморфних локомоций. — У кн.: Кібернетика і обчислювальної техніки, 1990, вип. 86б, з. 56−60.

14. Зинковский А. В., Шолуха В. А. Антропоморфні механізми, моделювання, аналіз стану та синтез рухів: Учеб. сел. — Л.: СПбГТУ, 1992, 71 з.

15. Меделевич І.А. Стопа. — У кн.: Клінічна біомеханіка. — Л.: Медицина, 1980, з. 82−106.

16. Новожилов І.В., Кручинин П. О., Копилов І.А. та інших. Математичного моделювання сгибательно-разгибательных рухів нижніх кінцівок за зміни вертикальної пози людини. — М.: Вид-во механіко-математичного факультету. 2001. — 52 з.

17. Прилуцкий Б.І., Зациорский В. М. Перебування зусиль м’язів людини по заданому руху. — У рб.: Сучасні проблеми біомеханіка. Вип. 7. Нижній Новгород, 1993, з. 81−123.

18. Соколов М. П. Ковзанярський спорт. — М.: ФиС, 1955. — 339 з.

19. Третьяков В. П., Штарк М. Б., Шульман Є.І. та інших. Принципи побудови і функціонування проблемно-орієнтованих програмних систем автоматизації досліджень, у експериментальної біології з урахуванням микроЭВМ і КАМАК //Автометрия, 1986, № 3, з. 3−22.

20. Уткін В.Л. Біомеханічні аспекти спортивної тактики. М., 1984. — 128 з.

21. Фельдман О. Г. Центральні і рефлекторні механізми управління рухами. — М.: Наука, 1979. — 184 з.

22. Формальский А. М. Переміщення антропоморфних механізмів. — М.: Наука, 1982. — 368 з.

23. Штоф В. А. Моделювання і філософія. М.-Л., 1966. — 275 з.

24. ByoungHwa Ahn, Gye-San Lee, Bo-Yeo Kim. A mathematical modeling of the human upper extremity: an application of its model to the simulation of baseball pitching motion // Korean Journal of Sport Science, 1993, Vol. 5, p. 5−81.

25. Capozzo A. A general computing method for the analysis of human locomotion // Journal of Biomechanics, 1975, Vol. 18, p. 307−370.

26. Chow C.K., Jakobson D.H. Studies of human locomotion via optimal programming // Mathematical biosciences, 1971, Vol. 10, p. 239−306.

27. Dul J., Jonson G.E., Shiavi R., Townsend M.A. Muscular synergism — II. A minimum-fatigue criterion for load sharing between synergist muscles // Journal of Biomechanics, 1984b, Vol. 17, p. 675−684.

29. Dul J., Townsend M.A., Shiavi R., Jonson G.E. Muscular synergism — I. On criteria for load sharing between synergist muscles // Journal of Biomechanics, 1984a, Vol. 17, p. 663−673.

30. Dunfield D.L., Read J.F. Determination of reaction rates by using cubic spline interpolation // The Journal of Chemical Physics, 1972, Vol. 57, N 5, p. 2178−2183.

31. Hatze H. Myocybernetic control models of skeletal muscle. — University of south Africa, Muckleneuk, Pretoria, 1981. — 193 p.

32. Hemami H. Modelling, control, and simulation of human movement // CRC Critical Reviews in Biomedical Engineering, 1988, Vol. 13, Issue 1, p. 1−34.

33. Herzog W. Individual muscle force prediction in athletic movements. — PHD Thesis, 1985, The University of Calgary, p. 1−278.

34. Karpus W.J. The spectrum of mathematical modeling and systems simulation. — In: Simulation of systems, ed. L. Dekker, Delft, 1976, pp. 5−13.

35. Kedzior K., Zagrajek T. A biomechanical model of the human musculoskeletal system. — In Human and Mashine Locomotion, ed. A. Morecki and K.J. Waldron. Springer-Verlag Wien New York 1997, p. 125−153.

36. Laughlin T.M.Mc, Dillman C.J., Lardner T.J. Biomechanical analysis with cubic spline functions // Research Quarterly for Exercise and Sport, 1978, Vol. 48, N 3, p. 569−581.

37. Lumb J.R. Computer simulation of biological systems. — Molecular and Cellar Biochemistry, 1987, Vol. 73, p. 91−98.

38. Morecki A. Modeling and simulation and walking robot locomotion. — In Human and Mashine Locomotion, ed. A. Morecki and K.J. Waldron. Springe-Verlag Wien New York 1997, p. 1−79.

39. Schenau Ingen Van G.J., Bakker K.A. Energy cost of speed-skating and efficiency of work against air resistance // Journal of Biomechanics, 1976, Vol. 40, N 4, p. 584−4591.

40. Seyfarth A., Blickhan R., Van Leeuwen J.L. Optimum take-off techniques and muscle design for long jump // The Journal of Experimental Biology, 2000, Vol. 203, p. 741−750.

41. Voronov A.V., Lavrovsky E.K. Muscle force prediction model in speed-skating — International Society of Biomechanics XIV-th Congress, Paris, July 4−8, 1993, p. 1432−1433.

42. Voronov A.V., Lavrovsky E.K., Zatsiorsky V.M. Modelling of rational variants of the speed-skating technique // Journal of Sport Sciences, 1995, Vol. 13, N 2, april 1995, p. 153−170.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.