Часть I. Основы линейной алгебры. . . 3
Введение. Основные определения . . . . . . .5
ЛЕКЦИЯ № 1. Простейшие случаи. Решение систем . 8
1. Простейшие случаи. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (способ подстановки и способ сложения или вычитания) . . . . .8
2. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными10
3. Эквивалентность линейных систем, элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду (метод Гаусса)12
4. Совместность и определенность линейных систем . . . . . .15
ЛЕКЦИЯ № 2. Матрицы . 18
1. Матрицы. Основные определения . . . .18
2. Линейные действия над матрицами . . .21
3. Умножение матриц .22
4. Многочлены от матриц, линейные комбинации матриц, комплексные матрицы .24
5. Свойства транспонированных матриц .25
6. Определители второго и третьего порядка. Их свойства . .26
7. Минор. Алгебраическое дополнение . .29
8. Определитель n&го порядка . .32
9. Обратная матрица. Присоединенная матрица. Вырожденная матрица34
10. Ранг матрицы . . . . .36
ЛЕКЦИЯ № 3. Линейные системы. Решение линейных систем. . . . . . . . 40
1. Системы линейных уравнений (матричная запись) . . . . .40
2. Решение линейных систем n уравнений с n неизвестными с помощью определителей. Теорема Крамера . . . . .42
3. Исследование систем m линейных уравнений с n неизвестными . . . . .45
ЛЕКЦИЯ № 4. Линейные пространства . . . . 47
1. Линейные (арифметические) пространства и подпространства . . . .47
2. Линейные комбинации. Линейная зависимость51
3. Базис, разложение вектора по базису. Размерность. Изоморфизм . . . . .52
4. Матрица системы векторов линейного пространства. Преобразование координат при изменении базиса55
ЛЕКЦИЯ № 5. Линейное преобразование . . 57
1. Линейное преобразование (отображение) . . . . . .57
2. Характеристическое уравнение и собственный вектор линейного преобразования . . . .58
3. Диагональный вид матрицы линейного преобразования . . . . .61
4. Действия над линейными преобразованиями . .62
5. Ортогональные матрицы . . . .63
Часть II. Приложения линейной алгебры. . . . . 66
ЛЕКЦИЯ № 6. Квадратичные формы . . . . . . 67
1. Квадратичные формы . . . . . . .67
2. Закон инерции квадратичных форм . . .69
3. Знакоопределенные квадратичные формы . . . . .71
4. Упрощение уравнений второго порядка с помощью квадратичных форм . . .72
ЛЕКЦИЯ № 7. Группы и подгруппы . . . . . . . 74
1. Группы и подгруппы (определения) . . .74
2. Циклические группы. Симметрические группы76
3. Морфизмы групп . . .78
4. Разложение группы по подгруппе . . . . .79
ЛЕКЦИЯ № 8. Кольца и поля. . . . . 81
1. Кольца . . . .81
2. Поле. Модуль . . . . . .83
ЛЕКЦИЯ № 9. Функции от матриц. Жордановы цепочки . . . . 85
1. Аннулирующие многочлены .85
2. Корневые подпространства . .87
3. Жордановы цепочки. Теорема Жордана. Жорданова матрица . . .88
4. Функции от матриц .92
5. Матричные функции скалярного аргумента . . . .94
ЛЕКЦИЯ № 10. Норма. . . 96
1. Нормированные пространства. Норма96
2. Нормы матриц . . . . .97
ЛЕКЦИЯ № 11. Численные методы. . . . . . . 100
1. Численные методы. Введение . . . . . . .100
2. Метод Гаусса . . . . . .101
3. LU&разложение . . . .103
4. Выбор главного элемента. Масштабирование .105
5. Разложение на ортогональный и треугольный множители (QR&разложение) . .107
6. Итерационные методы решения линейных систем. Метод простой итерации . . . . .109
7. Метод Зейделя. Метод верхней релаксации . . .111
ЛЕКЦИЯ № 12. Псевдорешения и псевдообратные матрицы 113
1. Псевдорешения . . . .113
2. Псевдообратные матрицы . . .114
3. Метод наименьших квадратов . . . . . . .116
ЛЕКЦИЯ № 13. Системы линейных неравенств . . . . 118
1. Однородные системы линейных неравенств . . .118
2. Неоднородная система линейных неравенств .121
Литература . . . . . 124